Анализ надёжности технических средств сложных человеко-машинных систем при известных законах распределения времени до отказа элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 007.51:331.101.1 й01: 10.12737/1281

Анализ надёжности технических средств сложных человеко-машинных систем

*

при известных законах распределения времени до отказа элементов А. Л. Боран-Кешишьян

(Государственный морской университет имени адмирала Ф. Ф. Ушакова)

Полная информация о надёжности элементов сложных человеко-машинных систем имеет место в том случае, если известны точные законы распределения времени безотказной работы элементов и их параметры, а также имеется информация о независимости элементов. При нарушении одного из названных условий следует считать, что информация о надёжности элементов системы человек-машина (СЧМ) является неполной, что затрудняет расчёт и анализ надёжности технических средств СЧМ в целом. На основании многолетних исследований автора разработан метод решения задачи анализа надёжности технических средств различных человеко-машинных систем, основанный на положениях теории интервальных средних и учитывающий ограниченность исходной информации, зависимости элементов системы и возможность описания неопределённости. Приведены примеры анализа надёжности при наличии информации о независимости элементов по надёжности, при её отсутствии, а также надёжности восстанавливаемой системы человек-машина. Ключевые слова: надёжность человеко-машинных систем, эргономика, теория возможностей, интервальные средние.

Введение. Существует ряд способов математического моделирования неопределённости и неполноты информации, включая теорию вероятностей, теорию возможностей и теорию нечёткости, которые позволяют рассчитывать и анализировать надёжность сложных технических систем с точки зрения имеющейся исходной информации. В то же время, несмотря на внешние различия названных теорий, все они имеют общие положения и тесно связаны друг с другом. С другой стороны, каждая из этих теорий работает со своим типом исходной информации и не затрагивает другие темы. Это приводит к трудности объединения разнородной информации, особенно если она неполная или нечёткая.

Исходя из данных предпосылок, возникла некоторая общая теория, объединившая различные способы описания неопределённостей, рассматривая их как частные случаи, и позволившая обрабатывать разнородную неполную информацию в интересах расчёта и анализа надёжности сложных технических систем. Такой теорией является теория интервальных средних или обобщённых статистических моделей [1].

Полная информация о надёжности элементов сложных человеко-машинных систем имеет место в том случае, если известны точные законы распределения времени безотказной работы элементов и их параметры, а также имеется информация о независимости элементов. При нарушении одного из названных условий следует считать, что информация о надёжности элементов систем человек-машина (СЧМ) является неполной, что затрудняет расчёт и анализ надёжности технических средств СЧМ в целом.

Необходимо при анализе надёжности СЧМ учитывать следующие особенности: ограниченность исходной информации, зависимость элементов системы и возможность описания неопределённости.

Ограниченность исходной информации заключается в следующем: 1) для вероятностных моделей анализа надёжности в том, что:

- вероятность не всегда точно определена вследствие неточных измерений или недостающей информации;

* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

- наличествует неустойчивость статистических данных, т. е. они дают неточные средние;

- при лингвистической природе информации она выражается нечётко в виде высказываний естественного языка;

2) для оценок надёжности, в том, что имеются различные источники информации, к которым относятся:

- объективные измерения;

- результаты экспертного опроса;

- мнение пользователей СЧМ;

3) для процедур расчёта надёжности в том, что:

- данные о надёжности элемента представлены только значениями среднего времени до отказа или интервалом средних времён до отказа;

- закон распределения времени безотказной работы неизвестен, что усложняет расчёт характеристик надёжности СЧМ.

Основная часть. Рассмотренная в [1] специфика анализа надёжности сложных систем, позволяет, во-первых, заключить, что предлагаемые в литературе способы, методы и подходы анализа надёжности при неполной исходной информации о надёжности отдельных элементов носят частный характер и не означают общего подхода, позволяющего с единых позиций анализировать надёжность различных сложных систем. Во-вторых, разработка математических моделей для оценки надёжности сложных технических систем, как правило, сталкивается с необходимостью учёта тех типов неопределённостей, которые зависят от источника информации. В-третьих, ряд задач анализа надёжности не могут быть решены в рамках теории вероятностей. Поэтому возникает необходимость использования для этих цепей теории интервальных средних. В-четвёртых, в основе теории интервальных средних лежат классические понятия теории вероятностей, в то же время эта теория является обобщением вероятностных моделей. На основании вышесказанного можно решить проблему анализа надёжности сложных систем при наличии и отсутствии информации о независимости элементов по надёжности.

1. Анализ надёжности при наличии информации о независимости элементов по надёжности.

1.1. Рассмотрим параллельную систему из двух одинаковых независимых элементов. Известно, что нижнее и верхнее время до отказа 1-го элемента равны соответственно а и а . Известно также, что время до отказа обоих элементов имеет равномерное распределение с неизвестными параметрами а и Ь. Требуется найти нижнее и верхнее среднее время до отказа системы одним из двух способов. Исходным соотношением для первого способа является

, -Ц-, если (*1,х2Ма, ьМа, ь

р(*1,*2) = 1(Ь - а) . (1)

0, иначе

Откуда

М = 11 тах (х1, х2 )р (х1, х2) dx1dx2 ^ тах,

а а Ь Ь

М = Цтах(х1,х2)р(х1,х2)dx1dx2 ^тт,

при ограничениях

- (а + Ь) а < у _ ' < а .

Имеет место задача линейного программирования с целевой функцией

а + 2 Ь 3

при ограничении

max (min),

(a + b) _

a -'-<a ,

- 2

так как ^1 a) 11max(xux2)dx1dx2 = a +^2b (см. (1)).

— 4a

В итоге M = a и M = —.

" - 3

При втором способе исходной является F/ (t) — вероятность отказа /-го элемента за время t. Тогда среднее время до отказа системы определяется как

да

M=№ - f (of t)]dt,

0

F (t) = ^(t - a/ )(b - a/) при t e[a,, b ], /U |0 при t g[a/, b ].

(a + 2b)

С учётом (1) M = -—3—-. Следовательно, имеет место задача линейного программирования из первого способа.

1.2. Для параллельной системы, состоящей из n одинаковых элементов, на основании исходных данных 1.1 можно записать (равномерное распределение с двумя неизвестными параметрами a и b):

a + nb / . ч

--> max (min),

n +1 v '

(a + b) _ - 2na

при ограничении a < --- < a . Решение задачи даст M = a и M =

— W ■ 1 V_LLJV_I JUftUnri II— W Uff — , . .

2 _ " " (n + 1)

Если n ^ да, то M = a и M = 2a . 1.3. Если время до отказа параллельной системы, состоящей из n элементов, подчиняется экспоненциальному закону распределения с неизвестными параметрами , то можно записать:

да ( n л

M =|(1 -П(1 -exP(-A/t))Jdt.

Обозначив — = Ti, можно получить задачу оптимизации вида А/

n k 1 n n 1

M = ZH) + Z - Z -k--► max (min),

k = l 1 =1 ¡k =/к_!+1 ZT-1 j = 1

при ограничениях

1 -a < — < a .

a А/ /

Откуда получим

n . „ n n

M = Z(-1)Z- Z , M = Z(-1) Z- Z

k

k=1 1 =1 / =/k-1+1 z a-1 k=1 1=1 k =/k -1 +1 z a-1 j=1 j=1

Если все элементы системы одинаковы, то

п 1 _ _ п 1

М = и М = а^—.

к=1 к к=1 к

1.4. Для параллельной системы, состоящей из п одинаковых элементов, имеющей равномерные распределения с одним параметром Ь, время до отказа элементов определяется вероятностью

F (0 =

при t е Г0, b ],

b

0 при t г[0, b ],

с неизвестными параметрами Ь i,/ = 1,п . Тогда

лГ п х \

М=1(1 -пхг,

о V /=1 Ь/

2

+

2

/=1,п ■ п + Если все элементы одинаковы, то

М = 2аи М = 2а п

M = 2maxа. —— |ТГa I (maxa.) ,

" i^-1 n +1 V) Um^/

M = 2maxa —— Ina I (maxa) .

i=im . n +1 V .=1 .) UM 7

п +1 п + 1

1.5. Рассматривается последовательная система, состоящая из п независимых одинаковых элементов —[*Г]-|*Г]— ... —, нижнее и верхнее среднее времени до отказа /-го элемента равны а и а . Время до отказа элементов имеет равномерное распределение с двумя неизвестными параметрами а и Ь. Тогда

да

М =1(1 - F (0)"^,

о

С - а)

F (t) =

при t е[a,b]

(b - а)

0 при t г[a,b]

В результате преобразований формируется задача линейного программирования

an+b / . ч

--> max (min),

n +1 v '

a + b -

при ограничениях a - —2— - a .

Откуда M = 2—^ и M = a . ~ n +1

Если n ^0, то M = 0 и M = a .

1.6. Последовательная система из n независимых элементов имеет равномерное распределение с

одним неизвестным параметром b времени до отказа. Тогда

» n ( x Л ( n Л-1 B n

m=Ш|1 -Xr=(nb) jn(b-x)dx,

0 i=1 V ui J V i=1 J 0 i=1 где B = min b.. Поскольку M возрастающая функция по b., то из этого следует

M = (ПаI"1 s^^(mina,f1 ss - s Па,,

V /=1 J k=0 k +1 , =i /=/ ,„_k =/„_k-i ;=i

k

' +

Если все элементы одинаковые, то

M = ГгПа-1"1 s(mina-Г ss - s Па,.

V /=1 J k=0 k +1 ,1 =1 /2=/ /„"k =/„-k"i ,=1

Mи M = 2а

„+1 „+1

1.7. Последовательная система, состоящая из „ независимых элементов, имеет экспоненциальное распределение для времени до отказа элементов с независимым параметром Л/. Тогда имеет место оптимизационная задача вида

» „ 1 M = |П ехР ("М)dt =--> max (min),

0 '=1 s Л/

/=1

при ограничениях — < — < а/, / = 1,„ . Откуда M = —1— и M = —1— . Если все элементы оди-

Л/ " It-/-1 i-г1

/=1 /=1

наковые, то M = а и M = —.

„ „

Таблица 1 иллюстрирует полученные результаты для системы с независимыми одинаковыми элементами.

Таблица 1

Среднее время до отказа системы

Вид распределения среднего времени до отказа Вид системы

Последовательная Параллельная

M M M M

Равномерное распределение, определяемое двумя параметрами а и Ь 2— „ +1 а а 2а„ „ +1

Равномерное распределение, определяемое одним параметром Ь 2а „ +1 2а „ +1 2а„ „ +1 2а„ „ +1

Экспоненциальное распределение с неизвестным параметром Л а „ а „ i.ik а—1 i-i k

2. Анализ надёжности при отсутствии информации о независимости элементов по надёжности. Нижняя Н (£) и верхняя Н (£) вероятности безотказной работы системы в интервале времени [0, £] могут быть получены с использованием принципа продолжения в форме задач линейного программирования.

2.1. Для параллельной системы, состоящей из п одинаковых по надёжности элементов, время до отказа элементов имеет экспоненциальное распределение с неизвестным параметром Л:

— ™ Г „ 1 1

M = sup J min <¡1, s exp (-hxHdx = (1 + In „) sup—,

/=1 I Л Л

™ 1 M = inf J exp (-Лх)Х = inf —,

Л 0 Л Л

при ограничениях

1 _ a<-<a, Л

откуда M = a и M = a (1 + In n).

2.2. Если время до отказа элементов параллельной системы, состоящей из n однотипных по надёжности элементов, имеет равномерное распределение с неизвестными параметрами a и b, то

M = inf | - a + - bJ и M = sup [— a + 2n ~1 b|,

" a,b ^ 2 2 J a,b {2n 2n J

a + b - .. j-. -2n -1 при ограничении a <-< a , откуда M = a и M = a-.

~ 2 ~ ~ n

2.3. Если время до отказа элементов параллельной системы, состоящей из n однотипных по

надёжности элементов, имеет равномерное распределение с неизвестным параметром b, то

«":; 1_ 2n -1 .. . , b

M = sup b-, M = inf —,

b 2n ~ b 2

b - м n -2n -1 -U 1 ^ при ограничении a < — < a , откуда M = a, M = a-= a I 2 — I.

- 2 " " n у nJ

2.4. Для последовательной системы, состоящей из n однотипных по надёжности элементов, время до отказа элементов которой имеет экспоненциальное распределение с неизвестным параметром Л:

— " 1 M = sup fexp(-Лx)dx = sup-,

л 0 л Л

"г n !

M = inf f max -jo, £ exp (-Лх)-(п - 1)dx,

при ограничении a < — < a , откуда Л

M = a и M = a|1 + (n -1)In

n -1

Если n ^ да , M = 0 .

2.5. Пусть время отказа элементов последовательной системы из n однотипных по надёжности элементов, имеет равномерное распределение с неизвестными параметрами a и b. Тогда нижнее и верхнее среднее время до отказа

M = inf| 2n-1 a + — bI и M = sup|1 a +1 b|,

" a b у 2n 2n J a, b 12 2 J

a + b -

при ограничении a < —— < a , откуда

М = = и М = а . п

Если п ^ да, то М = 0 .

2.6. Пусть время отказа элементов последовательной системы из однотипных по надёжности элементов имеет равномерное распределение с неизвестным параметром Ь. Тогда нижнее среднее время до отказа системы определяется как

" f n

M = inf f max -0, £

0 ' I i=1

1 - x b'

-(n - 1)[dx = inf

in и

2£ b

¡=1 ^

n

ь £ а , а

при ограничении а, < — < а,-, откуда М = —-— = ■=■.

2 ' ~ п п

Если п ^ да, то М = 0 . Верхнее среднее время до отказа системы

М = sup|тт-¡1 -^-\dx = тта, = а .

х

ь

На рис. 1 проиллюстрированы зависимости среднего времени до отказа от числа элементов п последовательной (а) и параллельной (б) систем, причём время до отказа имеет равномерное распределение с неизвестными параметрами а и Ь. Элементы систем одинаковые и а = а = 100 часов. На рис. 1, а графики 1 и 3 соответствуют случаю независимых элементов, графики 2 и 3 соответствуют случаю, когда нет информации о независимости элементов. На рис. 1, б графики 1 и 2 соответствуют случаю, когда элементы независимы, графики 1 и 3 соответствуют случаю, когда нет информации о независимости элементов.

м,мм 120

80

3 ^_______

I

-*-

• • 2

М,М(Ч)

120

3

1

---- ..... ..... ...... I ■ ■ ■ 1 ----1..... 2 .....

П,ед о

6 7 8 9 10 11 12 23456789

а) б)

Рис. 1. Среднее время до отказа последовательной (а) и параллельной (б) систем

М,М(ч)

120

П.ед

4

2

1

С- \ .3..

... .'IV. . .'.V .. ...-

П,ед

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Рис. 2. Среднее время до отказа последовательной системы различных по надёжности элементов

На рис. 2 показаны зависимости среднего времени до отказа от числа элементов п последовательной системы, время до отказа элементов которой имеет экспоненциальное распределение с неизвестным параметром Л. Элементы системы одинаковые и а = 80 ч, а = 100 ч . Графики

1 и 2 соответствуют случаю, когда элементы независимы, а 3 и 4 — когда нет информации о независимости.

3. Анализ надёжности восстанавливаемой СЧМ при отсутствии информации о независимости элементов по надёжности. Анализ надёжности простейшей восстанавливаемой системы проводится в предположении, что х1, х2,... ,хп — случайное время до отказа каждого из п

элементов системы при отсутствии информации о независимости случайного времени до отказа. Предполагается также, что время восстановления равно 0.

Пусть известны нижнее и верхнее время до отказа, то есть М (х,), М (х,), / = 1, л . Одним

из показателей надёжности восстанавливаемых систем является «среднее время между отказами до момента времени £»

Л п п л+1

В (0 = пТх, , Ъх, < £ < Xх, .

" /=1 /=1 /=1

Для нахождения верхнего среднего необходимо решить задачу оптимизации

В (£) = ¡пГ |с0 +Х тах (с,М, с,М) I,

(2)

при ограничениях

со + Х с/х/ >

0 при х > х1 при х < £ < х1 + х2,

1 п п л+1

-Xх, пРи Xх, <£ <Хх,.

п /=1 /=1 /=1

(3)

Нижнее среднее определяется как В (£) = -В (-£).

Известно [2], что нижнее В (£) и верхнее В (£) средние времена между отказами за время £ простейшего восстанавливаемого процесса при известных нижнем М и верхнем М средних времён до отказа элементов имеют вид:

В (£) = о

.тк 1

В (О = тт МТ - + тт

4 ' 1<*<+» /=1 /

£ -(к + 1)М £ - кМ

(4)

к +1 к

Из (4) вытекает, что если £ < М , то В (£) < £, а если £ > М, то В (£) > М

В('),ч

М - 200

М =100

М = 50

Рис. 3. Влияние верхнего среднего времени до отказа элемента М на верхнее среднее время между отказами В (£)

восстанавливаемой системы 66

Графики, представленные на рис. 3, иллюстрируют влияние верхнего среднего времени до отказа элемента M на верхнее среднее время между отказами простейшей восстанавливаемой системы.

Заключение. В результате проделанной работы автором разработан способ решения задачи анализа надёжности технических средств СЧМ с помощью теории интервальных средних. При этом, во-первых, рассмотрены задачи анализа надёжности при наличии информации о независимости одинаковых элементов по надёжности для следующих типов соединений элементов (систем): параллельное из двух одинаковых элементов, параллельное из n одинаковых элементов, последовательное из n одинаковых элементов. При этом случайные величины времени до отказа элементов имели или равномерное распределение с двумя (одним) неизвестным параметрами, или экспоненциальное распределение с неизвестным параметром интенсивности отказов. В результате для параллельной и последовательной систем (соединений элементов) и трёх названных распределений получены формулы для расчёта верхнего и нижнего среднего времени до отказа. Во-вторых, рассмотрены задачи анализа надёжности при отсутствии информации о независимости элементов по надёжности для: параллельной системы из „одинаковых по надёжности элементов, последовательной системы из n одинаковых по надёжности элементов. Анализ осуществлялся при трёх видах распределений, как и в первом случае. В результате для двух видов систем и трёх распределений получены формулы для расчёта верхнего и нижнего среднего времени до отказа. Библиографический список

1. Боран-Кешишьян, А. Л. Использование теории интервальных средних для оценки надёжности сложных технических систем / А. Л. Боран-Кешишьян // В мире научных открытий. — 2011. — № 4.1. — С. 531-534.

2. Барлоу, Р. Статистическая теория надёжности и испытания на безотказность / Р. Барлоу, Ф. Протан. — Москва : Наука, 1984. — 328 с.

Материал поступил в редакцию 18.03.2013.

References

1. Boran-Keshishyan, A. L. Ispolzovaniye teorii intervalnykh srednikh dlya otsenki nadezhnosti slozhnykh tekhnicheskikh sistem. [Using theory of interval averages for reliability evaluation of complex technical systems.] V mire nauchnykh otkrytiy, 2011, no. 4.1, pp. 531-534 (in Russian).

2. Barlow, R., Proschan, F. Statisticheskaya teoriya nadezhnosti i ispytaniya na bezotkaznost. [Statistical theory of reliability and life testing.] Moscow : Nauka, 1984, 328 p. (in Russian).

RELIABILITY ANALYSIS OF COMPLEX MAN-MACHINE SYSTEM TECHNIQUE UNDER KNOWN DISTRIBUTION LAWS OF TIME TO COMPONENT FAILURE*

A. L. Boran-Keshishyan

(Admiral Ushakov Maritime State University)

Complete information o„ the component reliability of the complex man-machine systems is obtained /„ the esse of availability of the component uptime distribution laws and of their parameters, ss well as of the information o„ the components Independence. Under the violation of one of these conditions ¡t should be assumed that the Information on the complex man-machine system (MMS) component reliability is incomplete which complicates in whole the calculation and analysis of the MMS hardware reliability. Based on the long-term author's studies, a problemsolving technique for the hardware reliability analysis of various man-machine systems is developed on the basis of the interval average theory tenets. The technique takes account for the limitation of the source information, system component dependence, and the possibility of describing uncertainty. Examples of the reliability analysis in the event of information on the component reliability independence, in its absence, and under the man-machine restor-able system reliability are presented.

Keywords: man-machine system reliability, ergonomics, possibility theory, interval averages.

* The research is done within the frame of the independent R&D.

67