CC BY
23
Ю.А. Иванченко
преподаватель кафедры информатики и математики, филиал ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»
в г. Новороссийске Y.A. Ivanchenko teacher of chair of informatics and mathematics, KUBGUFGBOU VPO branch in Novorossiysk ([email protected], +79604799120)
АНАЛИЗ МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Аннотация. В статье анализируется возможность применения известных методов теории экспериментов с конечными детерминированными автоматами к распознаванию технологических процессов. Рассмотрены методы анализа диагностической информации, возникающей при дефектах в состояниях и операциях технологического процесса.
Annotation. In article possibility of application of known methods of the theory of experiments with the final determined machine guns to recognition of technological processes is analyzed. Methods of the analysis of the diagnostic information arising at defects in states and operations of technological process are considered. Ключевые слова: автоматизированные системы управления технологическими процессами, функционирование конечных автоматов, применение вычислительных машин, управление и обработка информации. Key words: automated process control systems, functioning of final machine guns, use of computers, management and information processing.
Современные комплексные системы управления и обработки информации должны базироваться на новых передовых производственных и информационных технологиях. Они требуют создания адекватного теоретического аппарата и соответствующего компьютерного инструментария для их автоматизации. Современные технические объекты, как правило, функционируют в условиях жесткого воздействия внешней среды, что приводит к значительным изменениям их параметров, и, как следствие, ухудшению характеристик. Поэтому при синтезе алгоритмов управления на первый план выдвигается задача обеспечения грубости (робастности) основных показателей качества функционирования систем по отношению к параметрическим и внешним возмущениям.
К настоящему времени в недостаточной степени разработаны методы синтеза децентрализованных алгоритмов управления, учитывающие неопределенности и структурные ограничения, налагаемые на информационную модель управляемой системы. Одним из основных свойств автоматов, выбираемых в качестве математических моделей технологических процессов, является проходимость состояний и наличие фискальных состояний.
Функционирование конечных автоматов является предметом исследования при решении таких актуальных задач как задача проектирования дискретных преобразований информации, задача управления дискретными динамическими системами и задача технического диагностирования. В функционировании конечных автоматов выделяют внешнюю связь последовательностей входных и последовательностей выходных сигналов, а также «внутреннюю» связь изменений состояний автомата. В задаче технического диагностирования внешняя связь
предполагается наблюдаемой, а внутренняя связь определяется анализом внешних связей.
Существуют разнообразные модели представления о теоретическом аппарате, на котором должна базироваться автоматизация. Абстрактная форма автоматов ориентирована на явное задание функции переходов и выходов автоматов. Структурный автомат является результатом композиции исходных, базовых автоматов. Разработаны методы синтеза как из всюду определенных базовых автоматов, так и из частично определенных автоматов. Основным свойством базового набора автоматов является функциональная полнота, то есть, возможность получения (заданными правилами композиции) из базового набора автоматов любого детерминированного автомата. В качестве главного рассматривается внешнее поведение автоматов базового набора.
Значительно меньше исследована и используется специфика траекторий изменений состояний конечных автоматов. Имеются отдельные работы, в которых рассматривается «внутреннее» (ненаблюдаемое) поведение автоматов. В монографии А. Гилла [1] определены преходящие и тупиковые состояния, а также преходящие и тупиковые подавтоматы. В диаграмме Мура для автомата вершина, соответствующая преходящему состоянию не имеет входящих дуг, а вершины, соответствующие тупиковому состоянию нет исходящих дуг. Здесь же аналогично выделены преходящие и тупиковые подавтоматы. Для этого подавтоматы рассматриваются как макросостояния обобщающего автомата. Процесс не имеет повторов, улучшающих технологический процесс, что приводит к тупиковым состояниям.
В работе А. Гилла, приведен метод построения для автомата, заданного таблицей, преходящих, тупиковых и изолированных (не связанных переходами состояний) подавтоматов.
В работе [2] основными полагаются траектории изменения инградиентов, а не траектории операций. Такой подход позволяет выделить основное положение: при принятой интерпретации конечных детерминированных автоматов технологическим процессам соответствуют траектории изменений состояний, не содержащие повторение состояний.
Обоснование выделенного основного положения состоит в том, что повторение состояния ) через к тактов ) = ^ + к)) в траектории изменений состояний автомата А соответствует:
— «лишней» части технологического процесса, так как в состоянии автомата представлены все инградиенты, включая промежуточные или конечные продукты;
— увеличение длительности технологического процесса (который моделирует автомат А);
— затрата ресурсов на «лишние» технологические операции;
— преодоление трудностей при организации возврата к моменту I + к к
тем же инградиентам, которые имелись в момент ^ .
Преходящим состоянием автомата может быть дана интерпретация, показывающая не только большое значение таких состояний, но и достаточную общность класса преходящих автоматов.
Одной из фундаментальных интерпретаций состояния автомата в момент времени ^ является представление состояния S(t) в виде
S(t) = ( а^), аг(1),..., а^)), (1)
где а^), 1<Кш, значение некоторого параметра, свойства или характеристики реального объекта, для которого автомат используется как модель. Реальный объект как материальное тело (или процесс) в каждый момент времени t имеет неограниченное число параметров и их значений, свойств и характеристик:
ФНр! ^ ,р2 Ю,...) (2)
Если ^ ^ t , то для состояний СГО и СГО) материального тела
СГО * Ф' ). (3)
Противоречие между условием и использованием автоматов с конечным числом состояний как моделей реальных объектов, то есть возможностью выполнения равенства для состояний S(t) и S(t') автомата
S(t) = S(t') при некоторых t * (4)
Устраняется на основании условия: фактическое состояние реального объекта представлено состоянием автомата только по конечному числу значений параметров, свойств и характеристик. Таким образом, неравенство (3) соответствует природе действительного мира, а равенство (4) оказывается следствием приближенного представления объекта математической моделью. Следующее неравенство
S(t) * S(t') , для некоторых t * t (5)
отражает тенденцию приближения математической модели к моделируемому объекту. В преходящих автоматах неравенство (3) через условие (5) реализовано наиболее полно.
Пусть А = - конечный детерминированный автомат с множеством
состояний S, множествами входных и выходных сигналов X и Y, функций переходов 5: S х X—^ S и функций выходов X : S х X— Y.
Функции 5 и X предполагаются распространенными до функции вида:
5: S х X*— S и X: S х X*— Y* по правилу: ^ еS)(Vx еХ)(Ур еХ*) 5^, хр) = 5(5(s, х), р) & X(s, хр) = X ГО х) Х( 5ГО х), р). Одним из основных способов задания конечного детерминированного автомата является его определение диаграммой Мура, то есть графом GA = ^,р) где каждая дуга р с S х S, имеет одну или несколько меток вида (x,y)еXxY. Метка (х,у) сопоставляется дуге если 5 ГОх) = s' и ХГОх) = у.
В работе А. Гилла [2] определены преходящие и изолированные состояния и подавтоматы в автомате.
_ « преходящее состояние - состояние, которое не имеет заходящих дуг (в диаграмме Мура для автомата), но имеет, по крайней мере, одну исходящую дугу; из этого состояния может быть осуществлен переход, по крайней мере, в одно другое состояние, но после выхода из этого состояния, в него нельзя попасть ни из какого другого»;
_ «тупиковое состояние - состояние, которое не содержит исходящих дуг, но содержит, по крайней мере, одну заходящую дугу; в такое состояние может быть осуществлен переход, по крайней мере, из одного другого состояния, но после перехода в это состояние, из него нельзя осуществить переход ни в одно другое состояние»;
_ « преходящий подавтомат можно перевести, по крайней мере, в один другой подавтомат, но он не может быть достигнут после того, как оставлен»;
_ « тупиковый подавтомат может быть достигнут, по крайней мере, из одного другого подавтомата, но не может быть покинут после того, как он достигнут»;
В конечных детерминированных автоматах типа Мура в = ,х^ м) первые четыре компоненты имеют тот же смысл, что и в автоматах типа Мили, а м является отображением вида м : $ ^ ¥ (функция отметок состояний). При исследовании свойства связности состояний автомата рассматриваются конечные детерминированные автоматы без выходов с = , х . Автомат с фиксированным начальным состоянием е $ называется инициальным и будет обозначаться А ^о .
В работе [2] определён новый класс проходимых автоматов. Проходимые автоматы являются собственным подклассом класса всех автоматов. Поэтому возможность выделения в конечном детерминированном автомате проходимого подавтомата представляет интерес. Возможность представления проходимого автомата как композиции частичного проходимого подавтомата и нижней границы состояний определяет потребность к выделению в произвольном автомате частичного проходимого подавтомата. Существенным оказывается разрыв контуров в автомате.
На рисунке 1 изображены ориентированные графы Gl и G2, в которых показано главное отличие абсолютно к- проходимых состояний от к-проходимых состояний.
Sl S2
Рисунок 1 - Состояния графов
Граф G1 без циклов и петель, соответствующий абсолютно 3-проходимому состоянию S1, и граф G2, с циклом С1 и петлей С2, соответствующий 3-проходимому состоянию S2. (Все вершины в графах G1 и G2 попарно различны.)
В отличии от преходящего по А. Гиллу автомату, состояния в проходимом возможен в предыдущие состояния. Очевидно, что каждое состояние конечного автомата с п состояниями является абсолютно k - проходимым, где 1 < k < п - 1, или возвратным, то есть входящим в некоторый цикл или имеющим петлю. Это позволяет каждый конечный детерминированный автомат представить как структуру, состоящую из компонент, образованную подавтоматами специальных типов.
На рисунке 2 показана возможная структура графа Gз, соответствующая состоянию глубиной проходимости 3. Наличие дуг а и Р определяет циклы С4 и С5, которые не позволяют определять состояние S3 как 4 - проходимое состояние.
Р
а
Gз
Рисунок 2 - Граф Gз, определяющий состояние С3 с глубиной
проходимости 3
Такое же значение имеет петля С3. Предполагается, что все вершины графа G3 попарно различны. Следовательно, в любом пути графа G3, исходящим из вершины S3 и имеющим длину 3, все вершины попарно различны.
Абсолютно проходимый подавтомат является максимальным, то есть не допускающим расширения множества состояний в границах глубины проходимости состояний. Дадим характеристику структуры конечных детерминированных автоматов.
Пусть а = ^а , X, Y, 5а , ^а ) абсолютный ^ проходимый подавтомат.
1) Состояние s е Sa будем называть корневым состоянием подавтомата а,
*
если для любых s' е Sa и р е X : 5а р) ^ S. Множество всех корневых состояний подавтомата а называется нижней границей подавтомата а и обозначается Б а .
2) Состояние s е Ба будем называть оконечным состоянием подавтомата а,
*
если для любых s' е Sa и р е X : 5а р) ^ s'. Множество всех оконечных состояний подавтомата а называется верхней границей подавтомата а и обозначается Б а .
В классе конечных детерминированных автоматов можно выделить подкласс автоматов, для которого понятия абсолютно ^проходимых и возвратных автоматов оказываются существенными при решении, например, задач распознавания свойств и автоматов. Этот подкласс образуют автоматы, у которых нет петель в диаграммах Мура и не все состояния принадлежат циклам.
В отличии от результатов Э. Мура явно выделяются свойства, на которых базируется решение установочной задачи:
- совпадение р - приемников у различных состояний автомата;
- несовпадение наблюдаемых реакций на одно и то же входное слово для различных состояний.
Первое свойство в частных случаях позволяет решать установочную задачу без наблюдения выходных слов. Второе свойство оказывается основным и существенным при сведении распознавания автомата в заданном семействе автоматов к установочной задаче для "расщепляемого" (по А. Гиллу) автомату для семейства. При данном подходе представлены оба случая проявления свойств состояний автоматов.
Исследованный метод впервые был указан в работе [1]. В этой работе показана общая структура процесса функционирования конечного детерминированного автомата под воздействиями периодических последовательностей. Здесь же приводится пример исключения из анализа вершин, не входящих в циклы, порождаемые приложением периодических последовательностей. Полного исследования, отвечающего на вопросы:
- как выбирать входные слова для формирования периодических входных последовательностей?
- для каких автоматов метод эффективен?
- как строить эксперимент по распознаванию автомата на основе приложения периодических входных последовательностей?
- какими алгоритмами возможна реализация условного эксперимента, построенного на основе этого метода?
- как оценить "неполноту" метода по отношению к методу (теоретически предполагаемых) установочного дерева?
Пусть А = (8, X, Y, 8, X) - конечный детерминированный автомат. Как показано в работе [1], для любого входного слова ре X связи состояний из множества состояний 8, представленные состояниями и их р - преемниками, определяются графом со свойствами:
- граф имеет конечное число связных подграфов;
- каждый подграф обязательно имеет один цикл (или петлю), каждая вершина которого может быть корнем дерева:
- граф ориентированный с направлением дуг от висячих вершин деревьев к их корнями с обходом контуров.
Основная идея сокращения числа состояний автомата, требующих анализа при распознавании, состоит в исключении из анализа всех вершин деревьев, кроме корней деревьев. Корни деревьев образуют циклы или петли. Следовательно, в предлагаемом методе распознавания анализируется наблюдаемое поведение автомата, представленное циклами и переходимы из одного цикла в другой.
Таким образом, функционированию автомата сопоставляется его проекция, в которой представлены связи состояний 5 и 8 ^, р), выходные слова, образованные выходными сигналами для состояний, входящих в цикл.
Сокращение действий по наблюдению и анализу выходных сигналов, выдаваемых автоматом до достижения циклов и наблюдение только последнего выходного сигнала для каждого приложения слова р, связано с потерей информации об объекте эксперимента.
В связи с этим возникают новые критерии существования решений установочных задач и задач распознавания автоматов, новые методы построения экспериментов и оценок их длины. На содержательном уровне задача диагностирования состояний технологического процесса заключается в том, чтобы по наблюдаемым признакам реального технологического процесса, определить, произошла ли замена в некоторый момент времени ^ одного состояния на другое, которое не предусмотрено математической моделью технологического процесса. Естественным является предположение о том, что возможные дефекты технологического процесса ограничены дополнительными предположениями.
Рассматриваемая в методе диагностируемость соответствует пассивному эксперименту с автоматом А, то есть, только наблюдению признаков состояний технологического процесса. Если рассматриваемый технологический процесс не оказался диагностируемым, то при реализации метода обнаруживаются состояния, для которых требуется изменить средства, условия или режим диагностирования. Метод позволяет точно определить, какое состояние технологического процесса (представляющее запланированное состояние или состояние с дефектом) неотличимо от других состояний. Это позволяет выявить места для повышения эффективности диагностирования состояний технологического процесса.
В случае, когда требуется только проверять, является ли реализованный технологический процесс соответствующим запланированному, решается задача контроля (по некоторым ГОСТам задача проверки работоспособности).
Список источников:
1. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1966. - 272 с.
2. Рзун И.Г. Методы синтеза и анализа проходимых автоматов в управлении технологическими процессами: Автореф. дисс .канд. физ.-мат наук:05.13.01 / Рзун Ирина Геннадьевна. - Саратов, 2005. - 113 с.
