CC BY
57
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 681.32.069
ОЦЕНКА ДЛИН ЭКСПЕРИМЕНТОВ НАД КОНЕЧНЫМ АВТОМАТОМ И ИХ СВЯЗЬ СО СЛОЖНОСТЬЮ ГРАФА ПЕРЕХОДОВ/ВЫХОДОВ
©2°11 Курбанмагомедов К.Д., Магомедов И.А.
Институт (филиал)
ГОУ ВПО «Московский государственный открытый университет»
В работе анализируется длина эксперимента над конечным автоматом по его графу переходов и выходов. Приводятся аналитические выражения оценки сложности решения задач проведения установочного, контролирующего и диагностирующего экспериментов.
The authors of the article analyze the length of the experiment with the finite automation on its transition and output graph. They give the analytical expressions of the estimation of the solving complexity of implementation problems of adjusting, supervising and diagnosing experiments.
Ключевые слова: алгоритм, модель, тест, конечный автомат, граф переходов и выходов, тестовая последовательность, эксперимент.
Keywords: algorithm, model, test, finite automation, transitions and outputs graph, test sequence, experiment.
При анализе правильности
функционирования и
работоспособности дискретных
устройств информационных систем в качестве модели логической схемы (ПС) используется модель
детерминированного конечного
автомата (КА), задаваемого в виде А =<Х,0 ,У,8,Х>, где Х={х|},
/е/={1,2,...,/т} - множество входов, 0={Я^1=1-={^,2,...1т} - множество
состояний, У={у1},;е Л={ 1,2,....,;т} -
множество выходов, 5: Х*0*Х —► (0,1) - функция переходов, 1'. Х*0*У—► (0,1) - функция выходов.
Множества X, О, У принимают значение из области (0,1). Автомат, заданный не на всех входных и выходных наборах, называется частичным автоматом. Свойство
детерминированности КА отражает возможность использования его в качестве модели управляемого процесса в дискретных устройствах, в частности, для анализа процесса срабатывания элементов ЛС при подаче входного воздействия и съеме реакции. Автоматы, срабатывание которых в текущий момент времени не зависит от его состояния, называются автоматами без памяти, в противном случае -автоматами с памятью. Данные автоматы используются,
соответственно, для анализа комбинационных и
последовательностных схем (КС и ПС).
Наиболее распространенным способом задания КА является граф
или таблица переходов/выходов (ГПВ или ТПВ). В первом случае в качестве вершин графа принимаются состояния КА, а дуги соответствуют переходам из одного состояния в другое.
Под поведением КА будем понимать изменение его состояния и значения выхода при подаче входного воздействия. Это соответствует исследованию
моделируемого объекта для разных случаев входного воздействия или изменению его состояния. Анализ поведения, как правило,
предполагает исследование КА на всех заранее заданных входных воздействиях и перевод его из одного состояния в другое по всем имеющимся в графе дугам. Исследование КА, описывающего срабатывание ЛС, заключается в выявлении отличия в срабатывании исправных и неисправных схем. Для схем с памятью исследуются вопросы установления элементов памяти в заданное состояние. В зависимости от поведения различают автоматы Мили и Мура [4], описываемые следующими векторными уравнениями
У(0 = 4вд,е(01
1 автомат Мили,
до+1) = 4^(0,0(0]
Г(0 = Я[А-(0,О(0]
г п автомат Мура.
б(<+1) = ф(0]
Проведение установочного
эксперимента [4] предполагает однозначное установление автомата в заданное состояние из любого другого, диагностический
эксперимент - подача входной последовательности с целью различения всех состояний автомата между собой. Под длиной эксперимента понимается число входных символов, подаваемых в процессе проведения эксперимента при решении конкретной задачи [4]. Кратность эксперимента
определяется в зависимости от числа экземпляров автомата, используемых при его проведении. Если каждая входная
последовательность выбирается в зависимости от результата подачи предыдущих, то говорят об условном эксперименте, в противном случае -
о безусловном эксперименте, Вопросы исследования сложности
анализа ЛС на основе оценки длин экспериментов над КА разработаны в работах [2, 7, 9, 10].
Известно [7], что для любого КА с п попарноотличными состояниями возможно проведение установочного эксперимента длины п(п-1)/2. Длина эксперимента прямо
пропорциональна числу состояний
автомата, следовательно, числу вершин ГПВ. Перед решением
установочной задачи допускается нахождение автомата в т состояниях. Тогда длина эксперимента равна (т-1)пт. Данное выражение является верхней границей и доказывает конечность процесса.
Длина установочного эксперимента может быть снижена за счет анализа результата на каждом шаге или
разбиения множества исходных допустимых состояний на
определенные подмножества.
Минимальный установочный
эксперимент позволяет решить задачу для т состояний экспериментом длины I или меньшей длины или порядка т-1. Проведение регулярного установочного эксперимента
позволяет строить безусловный установочный эксперимент длины, равной или меньше (п-1)(т-1)/2. При этом порядок эксперимента меньше или равен т-1. При проведении установочного эксперимента длина эксперимента уменьшается с увеличением множества допустимых состояний т, а также снижается порядок эксперимента. Однако проведение условного эксперимента сложней, чем проведение
безусловного. Кроме того, проведение регулярного условного установочного эксперимента требует больших затрат времени при анализе срабатывания автомата на подпоследовательностях. Анализ установочного дерева показывает разность результатов
проведения экспериментов при разных сочетаниях букв входного алфавита или разном множестве исходных допустимых состояний или мощности множества всех состояний [1,5, 6].
Диагностическая задача над КА заключается в определении, в каком из заданного множества состояний находится автомат. Данная задача также решается с помощью безусловных, условных, простых и кратных экспериментов [4, 3]. При проведении простого безусловного диагностического эксперимента для двух допустимых состояний из п задача может быть решена
экспериментом длины, меньшей, чем п-1. Для допустимых начальных т состояний из п задача может быть решена простым безусловным экспериментом длины, меньшей, чем (т-1)пт. Данное выражение для простого безусловного эксперимента имеет место только при существовании решения. Однако
может и не существовать решения диагностической задачи. При существовании решения задачи
простым безусловным
диагностическим экспериментом она может быть решена и простым условным диагностическим
экспериментом, позволяющим при предварительном разбиении всей последовательности на
подпоследовательности сократить время идентификации исходного состояния [10]. Порядок эксперимента не превышает т-1. Решение, найденное проведением условного диагностического эксперимента, не может быть найдено безусловным экспериментом [4]. При наличии решения для обоих случаев длина эксперимента при анализе промежуточных результатов
существенно меньше. Верхняя оценка длины эксперимента такая же, как и в случае безусловного эксперимента. Отсутствие решения при проведении простых экспериментов привело к необходимости проведения кратного эксперимента. При этом сокращается
также длина эксперимента. Возможно [10] решение диагностической задачи кратным экспериментом для автомата с п состояниями при т допустимых состояниях длины, меньшей, чем (п-1)(т-1) и кратности, меньшей, чем т-1
В условном кратном
диагностическом эксперименте, где вместо использования одновременно всех диагностических
последовательностей, которые
требуются для проведения кратного эксперимента, может быть на автомат подано по одной последовательности, причем каждая последовательность (за
исключением первой) выбирается на основе предварительно
наблюдаемых реакций.
Диагностическая задача может быть решена с помощью кратного условного эксперимента длиной, меньшей чем (2п-т)(т-1)/2, и кратности, меньшей, чем т-1. При последовательном выполнении процедур установки автомата во все заданные состояния и проверке правильности каждого перехода автомата длина проверяющей последовательности каждого
перехода автомат примерно равна /ИЛ/3, где N - число входных символов; М - число состояний [10]. В то же время длина эксперимента зависит от связанности вершин ГПВ. Для класса попарнонеизоморфных сильно связанных автоматов, у которых все состояния попарно отличимы [8], справедлива следующая оценка длины / диагностического эксперимента
тп-1 < I < П2т+2р2тп ,[Х] = т, |7| = Р .
Определение структуры ГПВ позволяет снизить оценки длин экспериментов для каждого конкретного случая. Например, при соответствии ГПВ эйлеровому графу и при наличии циклической последовательности входных
символов, попарно различающихся между собой, автомат может быть преобразован в автомат с длиной /
контрольной последовательности, равной
1 <п + г(\п\ + тп) + ; |12,
где г - длина слова; п - число состояний в дискретном устройстве при разбиении исходного графа на макрограф, который является эйлеровым графом. Кроме того, при
7° = шахг.|^+ +7гг|, где
р = тах(п, р), ^ (¿г) - полустепени
исхода/захода длины контрольной последовательности вышеприведенного типа автомата, удовлетворяет неравенству
/ < 2п + 2^0 +т)п.
Верхняя оценка увеличивается с увеличением разности в
полустепенях исхода и захода. Длина диагностического
эксперимента [8] для сильно связанного автомата равна (п+2)(п-1)/2.
Сравнение длин экспериментов показывает, что длина эксперимента над КА возрастает увеличением мощностей множеств состояний, алфавитов входов и выходов.
В качестве требования к структуре графа для наличия решения можно привести условие эйлеровости графа, что позволяет обход всех вершин при проведении эксперимента. В реальном ГПВ между двумя вершинами, выбранными
произвольно, существует множество путей длины, большей или равной единице. Отсюда следует возможность проведения
минимальных экспериментов с заданием метрики длин путей. При этом используется понятие минимального пути, под которым понимается простой путь, и длина его находится в пределах от 1 до п-1.
Пусть ц1 j - метрика для оценки
длин путей между состояниями и % значения которой изменяются в нормированном пределе (0,1). Приведение ГПВ контролируемого автомата к эйлеровому графу позволяет перейти к анализу
алфавитов Х,0,У и их достаточности для полной контролируемости автомата. При фиксированном |()|=п требуется выбрать такие тир, чтобы вершины графа были попарно отличимы. Такой автомат относится к классу минимальных автоматов. Связь структуры графа с п состояниями с числами тир осуществляется через полустепени исхода и захода каждой вершины графа. Отсюда следует, что задача анализа автомата превращается в задачу сравнения его ГПВ с ГПВ, соответствующего автомату, для которого можно построить эйлеровый граф с т и р, где т и р -расширение множеств X и У автомата для достижения полной контролируемости. В качестве требования эйлеровости графа и связи его с требуемыми значениями полустепеней исхода и захода называется возможность его разбиения на макрограф, для которого сумма полустепеней исхода и захода по всем вершинам равна нулю [5]. Следовательно, для расширения автомата до полностью контролируемого автомата
необходимо проанализировать
возможность его разбиения на макрограф и оценки его эйлеровости. Это позволяет сделать вывод о значениях т’ и р. В качестве метрики, используемой для оценки структуры графа, можно
использовать /и'. ., характеризующую
влияние мощностей алфавитов X и У на контролируемость автомата и сложность проведения
эксперимента. При анализе реального автомата без
дальнейшего его преобразования в контролируемый метрика служит для оценки влияния каждой вершины на длину эксперимента.
Изменение числа состояний или мощности входного/выходного
алфавитов в большую или меньшую сторону приводит к
соответствующему изменению длины эксперимента.
Разность степеней влияния связана с числом полустепеней исхода и захода вершин, частотой
использования входных и выходных переменных, используемых при переходе из данной вершины в другие, и достижимостью вершин, связанных с данной вершиной по выходу. Вследствие этого приводятся только верхняя и нижняя оценки, между которыми имеется достаточно широкий разброс.
Пусть И - длина эксперимента
над автоматом Д Ц - влияние ¡-го
перехода на длину эксперимента,
П { - среднее значение влияния
перехода на длину эксперимента, причем
V П
Т _ 1 1
срл ~ 1
гг-1
Справедливы следующие
утверждения. Для всех переходов qi —»¿/, имеет место Ц = Ьср, Ц>ир
или Ц = Ьср. Вследствие ЭТОГО
множество /-={/-!,/. 2,.../-п} образует решетчатую структуру.
Таким образом, можно сделать вывод о взаимосвязанности длин экспериментов и мощностей алфавитов входов, выходов и состояний. Проведение условных и кратных экспериментов могут быть снижены. Однако для проведения минимальных установочных,
контролирующих и диагностирующих экспериментов необходимо более полное исследование структуры ГПВ или ТПВ. Классическое задание их не позволяет строить оптимальные эксперименты вследствие
невозможности рационального
выбора очередной вершины ГПВ по исходным описаниям без его структурного анализа [11].
Для формирования метрики /ие
рассмотрим ГПВ и отразим его в виде матрицы смежности М.
Произведение 1^ * М2 *......... Мп-1
позволяет проанализировать в графе все пути между вершинами длины,
меньшей или равной п-1. Для нормализации полученной матрицы и оценки длин переходов между состояниями используются,
соответственно, выражения
М"-1
/Л =---------з- и
тах(М” )
тах(я£иМ^() тахМ
соответствует непосредственной связанности вершин ГПВ; 0 -
полному отсутствию связи. При построении пути между двумя заданными вершинами матрица М” 1 используется следующим образом. Пусть п и ц - ранги ¡-той и \-той вершин, причем п и Г| >1. Тогда для построения пути выполняется операция
тахЛцегг ,пг ,...,ц.г ), где к -
к чг Щ1+1) 5 г Щ1+1)2 5 5 г Чг0+1)к у
число вершин следующего ранга.
При анализе алфавитов для автомата О. и оценки его функциональных характеристик строится автомат С1, где
0=(Х,ОХёЛ), О'ЧР&Г.З'Л1),
Х'=Х^>а и У=7о|у5 а и /3, соответственно, превращения
входного и выходного алфавитов. Автомат О. считается полностью контролируемым. Следовательно, имеем Цг ^1_п , где \-а (и) - длина контрольной последовательности автомата О. (О.’). Возможности перехода от О к £2’и аналитические выражения для 1_п и Цу позволяют произвести функциональный анализ ГПВ автомата, так как [6] при вычислении 1_ учитываются и мощности алфавитов Х,0,У. При этом для учета влияния каждого перехода рассмотрим множество графов автоматов {^}, где ф -автомат без вершины Тогда длина контрольной последовательности его будет ЬП”. Очевидно, что ЬП”>ЬП’, а в некоторых случаях Цг=оо.
Таким образом, получены два взвешенных графа, построенных по
метрикам /и*1л/ие. Пусть цЕ
суммарная метрика, построенная с использованием //и//. При этом
= /(£1//;к2//), где Кч и К2 -коэффициенты, учитывающие
степень важности метрики. При анализе синтезированных графов их можно классифицировать как сильносвязанные,
одностороннесвязанные и
слабосвязанные [12]. Следует отметить, что эйлеров граф может быть только одностороннесвязанным или сильносвязанным. При
достраивании ГПВ автомата до полностью контролируемого новые ребра добавляются только в слабосвязанном ГПВ, а в одностороннесвязанном и
сильносвязанном ГПВ расширяются в основном алфавиты входов и выходов. При достраивании ГПВ автомата, описываемого графом, лежащим между изолированным и слабосвязанным, добавляются
новые ребра и расширяются входной и выходной алфавиты.
Примечания
1. Богомолов А. М., Барашко А. С., Грунский И. О. Эксперименты с автоматами. Киев : Наукова думка, 1973. 144 с. 2. Борисов А. Н„ Осис Я. Я. Поиск наибольшей разделимости размытых образов // Кибернетика и диагностика / под ред. Я. Я. Осиса. Рига : Рижский политехнический ин-т, 1969. Вып. 3. С. 79-88. 3. Виргер А. Г. Многозначное дедуктивное моделирование цифровых устройств // Автоматика и вычислительная техника. 1982. № 1. С. 77-82. 4. ГиллА. Введение в теорию конечных автоматов. М. : Наука, 1976. 272 с. 5. Каширова Л. Ф. Построение контролируемых автоматов (часть I) // Автоматика и телемеханика. 1983. N° 11. С. 141-146.6. Каширова Л. Ф. Построение контролируемых автоматов (часть П) // Автоматика и телемеханика. 1983. № 12. С. 115-121. 7. Кудрявцев В. Б.Функциональные системы. М.: МГУ, 1982.157 с. 8. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Элементы теории автоматов. М. : МГУ, 1978. 215 с. 9. Мур Э. Ф. Умозрительные эксперименты с последовательностными машинами // Автоматы. М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. С. 179-210.10. Основы технической диагностики / под ред. П. П. Пархоменко. М. : Энергия, 1976. 464 с. 11. Палагин А. В. Оценка сложности конечных автоматов // Кибернетика. 1984. № 4. С. 42-44. 12. Такеда Э. Связь расплывчатых графов // Вопросы анализа и процедуры принятия решений / под ред. Г. С. Поспелова. М.: Мир, 1976. С. 216-228.
Статья поступила в редакцию 10.02.2011 г.
