CC BY
67
УДК 519.63+539.313 Доронин Сергей Владимирович,
к. т. н., доцент, заведующий лабораторией «Механика деформирования и разрушения», СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН,
тел. 8923-315-2723, e-mail: s.doronin@gmail.com Рогалев Алексей Николаевич,
к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования СО РАН, тел. (8391)249-83-29, 8-962-074-5281, e-mail: rogalyov@icm.krasn.ru
Рейзмунт Елена Михайловна,
к. т. н., научный сотрудник отдела «Информационные технологии и методы риск-анализа», СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН,
тел. (8391)227-72-96, e-mail: e.sigova@gmail.com
АНАЛИЗ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ ОЦЕНОК НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ
S. V. Doronin, A N. Rogalyov, E. M. Reizmunt
ANALYSIS OF THE FINITE ELEMENT ESTIMATIONS OF STRESS STATE OF LOAD-BEARING STRUCTURES WITH STRESS CONCENTRATORS
Аннотация. Концентрация напряжения в элементах силовых конструкций является одним из основных факторов их прочности, живучести, техногенной безопасности. Несмотря на значительные успехи в области исследования природы и влияния концентрации напряжений на конструкционную прочность, накопленные аналитические, численные, экспериментальные данные не могут охватить все многообразие конструктивных форм и условий нагружения конструкций.
Наиболее распространенным в настоящее время является численный подход к анализу концентрации напряжений, реализуемый чаще всего с использованием коммерческих пакетов конечно-элементного анализа. В этом случае принципиальное значение имеет удовлетворение требованиям точности и достоверности результатов моделирования. Опыт численного исследования напряженного состояния в области концентраторов напряжений свидетельствует о многочисленных случаях нарушения этих требований, возникающих вследствие проблем со сходимостью и устойчивостью численных решений.
В настоящей работе рассматриваются конечно-элементные решения ряда элементов конструкций с концентраторами напряжений, не удовлетворяющие требованиям сходимости, и анализируются возможные причины возникающих ошибок.
Ключевые слова: численные решения, концентрация напряжений, силовые конструкции, численная сходимость.
Abstract. Stress concentration in load-bearing structures elements is one of the main factors of their strength, survivability, safety. In spite of considerable advances of investigations for nature of stress concentration and its influence on structural strength accumulated analytic, numerical, experimental data can't cover all diversity of structural forms and loading conditions.
The numerical approach for analysing stress concentration with the help of commercial finite-element software is the most widely-spread at present. In this case meeting requirements of accuracy and reliability of simulation data is of fundamental importance. The experience of numerical investigation for stress state of structural elements with stress concentrators demonstrates numerous cases of violation of these requirements due to difficulties with convergence and stability of numerical solutions.
In this paper finite-element solutions for stress concentrators which are not meeting requirements of convergence are discussed and possible reasons of errors are analysed.
Keywords: numerical solutions, stress concentration, load-bearing structures, numerical convergence.
Введение
Под концентрацией напряжений понимается резкое местное изменение поля напряжений в деформируемом теле. К настоящему времени природа концентрации напряжений достаточно хорошо изучена и связывается со следующими группами факторов [1, 2]:
- конструктивные, а именно резкое изменение формы и размеров сечений деталей и элементов конструкций, отверстия и вырезы, сопряжения деталей, изготовленных из материалов с различными характеристиками сопротивления деформированию;
- технологические, в том числе резкое различие механических свойств материала в поверхностном слое и в основном объеме, наличие дефектов и трещин технологического происхождения;
- концентрация внешних воздействий, в первую очередь локальное приложение силовых и термических нагрузок;
- эксплуатационные дефекты, возникшие в связи с накоплением повреждений различной природы, и другие.
Зоны концентрации напряжений являются инициаторами возникновения и распространения трещин [3], в связи с чем концентрация напряжений рассматривается в качестве одного из ключевых факторов развития разрушений, аварий, техногенных катастроф. В связи с этим решение краевых задач в зонах концентрации напряжений на протяжении многих десятилетий входит в число фундаментальных проблем механики деформирования [4].
1. Подходы к анализу концентрации напряжений в прикладных задачах конструкционной прочности
Анализ напряженного состояния (НС) элементов конструкций, содержащих зоны конструктивной концентрации напряжений, в общем случае вызывает значительные трудности. Это связано с высокими уровнями градиентов напряжений
Механика
и неоднородности НС. Для анализа используют аналитические решения задач теории упругости и пластичности, приближенные методы численного решения, экспериментальные исследования. Для многих типов концентраторов напряжения имеются [5, 6 и др.] расчетные зависимости, полученные в результате обобщения аналитических, численных, экспериментальных исследований НС. Однако эти зависимости справедливы для ограниченного диапазона изменения конструктивных параметров и граничных условий. Кроме того, справочные данные не могут охватить всего многообразия конструктивных вариантов силовых элементов с концентраторами напряжений.
Следует также отметить характерное для многих концентраторов наличие угловых точек и известные затруднения получения в этих точках аналитических и численных решений [7, 8]. Известные решения для НС в этих точках носят исключительно теоретический характер и не могут быть использованы при решении прикладных задач для практически востребованных конструктивных конфигураций.
В настоящее время наиболее перспективные подходы связаны с численным, обычно конечно-элементным (КЭ), анализом полей напряжений и деформаций в зонах конструктивной концентрации. В этом случае, как показывает практика, возможны затруднения со сходимостью и устойчивостью численных решений. При наличии угловых точек применяются специальные приемы, включающие численный анализ полей напряжений в окрестности концентратора и экстраполяцию его результатов в область предполагаемой точки максимальных напряжений [9, 10]. Такие приемы накладывают существенные ограничения на сложность геометрических форм анализируемых конструкций.
Отсюда следует острая необходимость дальнейшего развития численных методов моделирования НС элементов силовых конструкций в области зон высоких градиентов напряжений, обусловленных, в частности, конструктивными концентраторами. При этом особый интерес представляют вопросы использования этих методов в рамках широко применяющихся при решении прикладных задач программных средств КЭ-моделиро-вания, являющихся самостоятельным фактором качества численного решения.
2. Фактор качества программного
обеспечения метода конечных элементов
В настоящее время сфера компьютерного инженерного анализа обеспечена значительным числом развитых высокоуровневых программных
комплексов, позиционируемых как системы CAE (computer-aided engineering). Они позволяют обеспечить высококачественную реализацию построения и анализа модели конструкции. Ключевым моментом здесь является наличие сеточных генераторов, обеспечивающих автоматизацию построения КЭ-модели, и обширных библиотек конечных элементов.
Современные генераторы сетки конечных элементов располагают широкими возможностями управления формой, размерами элементов, оптимизации сетки при моделировании объектов сложной геометрии и ее адаптации к имеющимся геометрическим особенностям. Повышению качества сеточных областей способствуют встроенные средства контроля вырожденности конечных элементов.
Библиотеки конечных элементов как фактор качества программного обеспечения метода конечных элементов (МКЭ) формируют потенциальные возможности моделирования тех или иных физико-технических процессов и явлений. К наиболее распространенным относятся задачи моделирования упругого, пластического деформирования, ползучести в широком диапазоне температур и скоростей нагружения, внутренней и внешней аэро- и гидродинамики, контактного взаимодействия, электромагнитных полей. При создании библиотек конечных элементов решаются вопросы обоснования базисных функций, обеспечивающих эффективность численного решения для многих классов прикладных задач.
В широко используемых в настоящее время коммерческих программных продуктах, реализующих МКЭ, как правило, используются весьма совершенные алгоритмы сеточных генераторов и библиотеки конечных элементов, включающие высокоточные элементы для снижения размерности создаваемых моделей. Как следствие, можно предположить, что для большинства прикладных задач современные программные продукты МКЭ обеспечивают эффективные с позиций точности и сходимости решения с использованием «штатных средств», без привлечения дополнительных процедур, направленных на разработку специальных базисных функций и анализ асимптотических свойств решений.
Влияние фактора качества программного обеспечения проиллюстрируем решением задачи о вычислении жесткости и деформации упругой балки квадратного сечения с трещиной при кручении [11]. Форма и размеры сечения определяются точками Pi,...,P5, Qi,- -,Q3 (рис. 1). Сечение содержит разрез-трещину PiP. Точки Ri, R2 исполь-
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
зуются в качестве «точек наблюдения», для перемещений которых выполняется сравнительный анализ вычислительной ошибки. Она определялась сравнением численного результата с истинным решением, под которым, в соответствии с [11], в данном случае понимался результат, имеющий совпадающие первые шесть цифр.
ft
1 у 1 !е = — 1 2 1 ^i' е = л
* Г 1 ^
\R = 0;--
1 2 1 24)
|6 = —
! 2 1
Л-'И
R, =
Р> =
& = 0:
Л =
Рис. 1. Сечение упругой балки с трещиной: 1 - разрез
В [11] выполнен анализ сходимости и ошибок численных решений, полученных в различных пространствах функций. Нами эта задача решена с использованием пакета конечно-элементного моделирования ЛК8У8. Моделирование балки выполнено с использованием 20-узлового трехмерного конечного элемента SOLID186.
Сравнение величины ошибок (табл. 1) позволяет сделать следующий вывод. Ошибки решения, полученного с использованием стандартной процедуры решения статической задачи теории упругости в рамках ANSYS, оказались существенно меньше ошибок решений, полученных в [11] в большинстве пространств функций, за исключением содержащих сингулярные функции. Это свидетельствует об эффективности решения, полученного с использованием современного программного продукта, и подчеркивает важность фактора качества программного обеспечения.
Вместе с тем совершенствование программного обеспечения МКЭ в плане снижения вычислительных ошибок и обеспечения высокой скорости сходимости, по-видимому, имеет свой предел. Это иллюстрируется следующими примерами решения прикладных задач.
Диапазоны изменения ошибок А (*106) в точках Ri и Яг
Т а б л и ц а 1
Особенности получения приближенного решения Ri R2
h А h А
Пространство S^ непрерывных функций, представляющих собой билинейные полиномы, на равномерной сетке с шагом h: без сингулярных функций с сингулярными функциями 1/30.1/15 1/20.. .1/6 280.2000 20.200 1/41.1/4 1/17.1/5 1800.19000 90.1300
Бикубическое эрмитово пространство Sh на равномерной сетке с шагом h: без сингулярных функций с сингулярными функциями 1/23.1/4 1/18.1/8 800.6000 1,6.31 1/50.1/4 1/20.1/10 1800.13000 1,3.25
Сплайн-лагранжево пространство SgL на равномерной сетке с шагом h, состоящее из кусочно бикубических полиномов с сингулярными функциями 1/11.1/6 3.40 1/10.1/6 1.16
Пространство Sнепрерывных функций, сводящихся к линейным полиномам на каждом треугольном элементе с градуированной сеткой с максимальной h и минимальной 5 стороной треугольника 1/26.1/15 120.1400 1/20.1/7 600.6000
Равномерная сетка 20-узловых трехмерных конечных элементов SOLID 186 с шагом h в среде программного комплекса ANSYS 1/33.1/4 1.31 1/33.1/4 1.80
Механика
оо оо
3. Примеры неустойчивых решений в условиях концентрации напряжений
Опыт практического конечно-элементного анализа силовых конструкций с концентраторами напряжений [12, 13] свидетельствует о систематическом возникновении случаев неустойчивости и отсутствия сходимости численных решений. В качестве примеров рассмотрим результаты решения следующих задач.
Задача 1. Напряженное состояние пересекающихся оболочек.
Модельная задача представлена двумя пересекающимися цилиндрическими оболочками толщиной 2 мм, нагруженными внутренним давлением 0,2 МПа. Зона пересечения характеризуется концентрацией напряжений. Выполнена серия расчетов в среде программного комплекса ANSYS с варьированием типов конечных элементов в трехмерной (элементы SOLID185 и SOLID87), двумерной (элементы SHELL181 и SHELL281) постановках и шага сетки. Во всех случаях генерировалась регулярная сетка, шаг которой определялся характерным размером - длиной ребра элемента (element edge length, EEL). Во всех случаях неизменным оказывалась качественная картина распределения интенсивности напряжений по Ми-зесу, однако количественные результаты изменялись весьма существенно.
Как видно (рис. 2), использованные конечные элементы приводят к значительному отличию в результатах при одном и том же шаге сетки. При этом в трехмерной постановке последовательное уменьшение шага сетки приводит к ускоренному росту напряжений, стремящихся к бесконечности при стремлении шага сетки к нулю. Полученные результаты свидетельствуют об отсутствии сходимости и устойчивости численного решения с использованием объемных конечных элементов.
ah МПа 600
500 -
400
300 -
200 -
100
V2
к 4 /
3
-г -г
0
10
15 EEL, мм
Рис. 2. Сходимость численного решения задачи о НС пересекающихся оболочек: 1 - 80ЬГО185; 2 — 80ЬГО187;
3 - 8ИЕЬЬ181; 4 - 8ИЕЬЬ281
Задача 2. Напряженное состояние соединения вертикальной цилиндрической стенки и самонесущей конической крыши стального вертикального резервуара низкого давления для хранения мазута емкостью 100 м3.
Рассмотрены два варианта узла соединения крыши и вертикальной стенки. Конструктивная схема узла по первому варианту (рис. 3, а) включает в себя оболочки крыши К, стенки С, кольцевой уголок У, соединенные тремя сварными швами Ш. Во втором варианте стенка С и крыша К соединены непоредственно двумя сварными швами Ш (рис. 3, б).
Характеристики НС получены путем КЭ-мо-делирования конструкции резервуара в осесим-метричной упругопластической постановке с помощью 8-узлового двумерного конечного элемента типа РЬЛКБ82 с двумя степенями свободы в каждом узле при следующих условиях нагруже-ния. Предполагался максимальный налив резервуара до высоты 5,56 м. Гравитационные нагрузки
Рис. 3. Геометрическая схема первого (а) и второго (б) вариантов исполнения узла соединения
конической крыши со стенкой
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
приложены в соответствии с распределением массы по объему резервуара. Поверхность крыши нагружена равномерным снеговым давлением.
Рассматриваются критические с точки зрения прочности локальные точки в области высо-конагруженных сварных швов. В качестве «точек наблюдения», в которых исследовалось поведение характеристик НС, для первого варианта исполнения рассматриваются точки 1-3 на границах сварного шва Ш, связывающего крышу К и уголок У (рис. 3, а), а для второго варианта - точка 4 на границе сварного шва Ш, связывающего крышу К и стенку С (рис. 3, б). Эти точки являются вершинами углов различной величины, которая оказывается решающим фактором качества численного решения. Решена серия задач с варьированием сетки под управлением параметра EEL.
Вначале рассматриваются характерные точки двух конструктивных вариантов, находящиеся в аналогичных условиях деформирования. Точка 1 является вершиной достаточно острого угла (15 градусов), и в ней ожидаемо возникли затруднения со сходимостью решения. Однако и в вершине тупого угла в 142,5 градуса (точка 4) также сходимость решения не наблюдается (табл. 2 содержит результаты для первых четырех шагов последовательного измельчения сетки конечных элементов). Исследование показало неограниченный рост напряжений при последовательном измельчении сетки конечных элементов, причем на каждом последующем шаге интенсивность роста оказывалась выше, чем на предыдущем.
В первом конструктивном варианте точки 2 и 3 являются вершинами достаточно больших углов - соответственно 127,5 и 142,5 градусов. С учетом результатов в точках 1 и 4 возникли затруднения с априорными представлениями о поведении решения в точках 2 и 3. Результаты исследования сходимости (рис. 4) показали следующее.
При крупной сетке напряжения в точках 2 и 3 весьма близки (эти точки принадлежат соседним конечным элементам), при последовательном измельчении сетки напряжения в этих точках все
более различаются. При этом в точке 3 наблюдается сходимость интенсивности напряжений, с уменьшением параметра EEL зависимость постепенно становится все более пологой и асимптотически становится параллельной оси абсцисс. В точке 2 интенсивность напряжений не сходится, с уменьшением параметра EEL зависимость постепенно приобретает экспоненциальный характер.
Таким образом, в рамках одной и той же задачи в зависимости от выбора точки наблюдения можем иметь как сходящийся, так и расходящийся результат. В рассматриваемом примере точки 1, 2 и 4 следует считать особыми, напряженное состояние в области которых характеризуется высокой степенью неопределенности.
Рис. 4. Сходимость интенсивности напряжений в связи с размером конечного элемента в точках 2 и 3
Задача 3. Напряженное состояние тонкостенного сосуда давления с фланцем. Сосуд представляет собой тонкостенную оболочку переменной толщины (0,8-1,5 мм) в форме эллипсоида вращения, в полярной области которого расположен глухой фланец. Зона перехода оболочки во фланец характеризуется резким изменением высоты поперечного сечения и является концентратором напряжений (рис. 5). Задача решена в осесим-метричной упругопластической постановке с помощью 8-узлового двумерного конечного элемента типа РЬЛ]ЧЕ82.
Т а б л и ц а 2
Характеристика сходимости в точке 4
EEL, мм Интенсивность напряжений по Мизесу, МПа Количество элементов по толщине крыши Разница соседних решений, %
0,5 838 6
0,4 899 9 6,8
0,3 979 15 8,2
0,2 1094 22 10,5
Механика
Рис. 5. Зона перехода оболочки во фланец: 1 - концентратор напряжений
Сравнение результатов упругопластического 1 и упругого 2 решений в связи с шагом сетки конечных элементов (рис. 6) свидетельствует о неограниченном росте напряжений при стремлении шага сетки к нулю, причем при упругом решении наблюдается катастрофическая интенсивность роста.
Рис. 6. Сходимость интенсивности напряжений в связи с размером конечного элемента в концентраторе фланца
Заключение
Накопленный опыт решенных задаче позволяет констатировать наличие проблемы вычислительной неустойчивости, заключающейся в отсутствии сходимости численных решений в зонах концентрации напряжений, не вытекающей из теории МКЭ. Проблема не объясняется наличием угловых и других типов особых точек, поскольку наблюдается и в их отсутствие, при довольно невысоких уровнях концентрации. Можно утверждать, что в ряде случаев численные расчеты НС силовых конструкций с концентраторами напряжений приводят к большим погрешностям, непосредственно не связанным со свойствами решаемой задачи, в частности с эллиптичностью уравнений математической модели. В связи с этим необходимо установление возможных причин указанных затруднений и обоснование путей их преодоления.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
Васильев В.В. Концентрация напряжений в угловых элементах и деталях ступенчатой формы. М. : Машгиз, 1962. 74 с.
Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М. : Наука, 1981. 141 с.
Серенсен С.В., Махутов Н.А. Условия инициирования и распространения трещин малоциклового разрушения в зонах концентрации напряжений // Механика деформируемых тел и конструкций : c6. ст. М. : Машиностроение, 1975. С. 443-448. Махутов Н.А. Прочность и безопасность: фундаментальные и прикладные исследования. Новосибирск : Наука, 2008. 528 с.
Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений: графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. М. : Мир, 1977. 304 с.
Савин Г.Н., Тульчий В.И. Справочник по концентрации напряжений. К. : Вища школа, 1972. 412 с. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. общества. 1967. Т. 16. С. 209-292.
Беркун В.Б., Попов В.А. Об эффекте немонотонного поведения показателей сингулярности в решениях плоской задачи теории упругости в окрестностях угловой точки границы // Изв. АН Армянской ССР. 1988. № 2. С. 61-63.
Haghpanahi M., Pirali H. Hot Spot Stress Determination for a Tubular T-joint under Combined Axial and Bending Loading // IUST International Journal of Engineering Science. 2006. Vol. 17, No. 3-4. P. 21-28.
10. Nazari A., Durack J. Application of the hot Spot Stress Method to the Fatigue Assessment of Hollow Section Shiploader Boom Connections // 5th Australasian Congress on Applied Mechanics ACAM 2007, 10-12 December 2007, Brisbane, Australia.
11. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М. : Мир, 1976. 350 с.
12. Моделирование прочности и разрушения несущих конструкций технических систем / С.В. Доронин, А.М. Лепихин, В В. Москвичев, Ю.И. Шокин. Новосибирск: Наука, 2005. 250 с.
13. Доронин С.В., Рогалев А.Н. Оценка вычислительной ошибки решения задачи о растяжении пластины с дуговым вырезом // Вестн. машиностроения. 2015. № 1. С. 24-27.
