CC BY
29
ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕЧЁТКОГО КРИТИЧЕСКОГО ПУТИ
Фёдорова И.В.
(Воронежский государственный архитектурно - строительный университет, Воронеж) FEDOROVA_I@list.ru
Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ), представленный в виде сети (и, П), |и| = п без контуров с правильной нумерацией вершин. Среди множества вершин выделены входы сети ио и выходы сети ип. При этом дуги сети соответствуют операциям, а вершины - событиям (моментам окончания одной или нескольких операций). В четком случае для каждой операции (г; }) задана её продолжительность ti}. Методы описания
и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарносетевого планирования и управления [2, 3, 4].
Предположим, что выполнение комплекса операций (проекта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим и~ - множество событий (вершин) } сети, для которых существует дуга (у, г); и+
- множество событий (вершин) } сети, для которых существует дуга ( /',}').
В [1] рассмотрен нечёткий случай, при котором относительно продолжительностей операций имеется нечёткая информация, заданная функциями принадлежности Цу (•) : ® [0;1] нечёткой
продолжительности операции ( г, }), г, } е и , которая может быть получена от экспертов в ситуации, когда проект и каждая операция являются уникальными.
В [1] для функций принадлежности нечёткого раннего времени свершения события ге и - Ц~ (/), нечёткой длины критического пути Цт (Т) ,нечёткого позднего времени свершения события ге и
- т + (■), нечёткой длины максимального пути из вершины г -/ц™х (^) и нечётких полных резервов времени - Ц? (^) были при-
ведены следующие формулы (ранние времена свершения событий
- входов сети предполагались чёткими и равными нулю):
(1) mi(t) = m ах min[min((m , (t]1); mj (tj))];
{(tj,tji),jeU, |max (tj +tji )=t} jeU,
jeUf
(2) mT (T) = max min[m - (tj)];
{(tj ), jeU„|max tj =T jeU „
JeU’n
(3) m+ (t) = max min[mT (T); тГ* (tj)], где
{(T,tj )|T-tj =t} 1
(4) mmax (t) = max min [min(m j (t,j); mjmax (tj))];
{(tj,tj),jeU,+ |max(tj +tj)=t} jeU+ J J J J
МиГ
(5) т? (‘) = {( пі ах } тіп[тг+ (уг,); ті Ні)] •
{(Уі А )\Уі-‘і =о
Во всех формулах предполагается, что ‘і > 0, ‘у > 0 для
"і є и, у є и+ •
Введём обозначение О~ = |(‘;.,Г.),у є и~ \ тах(‘;. + ‘.і) =
]єи-
"(‘у,М)є Ц
(6) т^х тіп [тіп(т я- (‘Уі); ті (‘}))] > тіп [тіп(т л (‘л); ті (‘,))] •
О- уєи- ] ] ] ] уєиі ] ] ] ]
Рассмотрим вектор (‘*, ) такой, что V/ є и]
А=тіп(т;г (‘"); ті (0) = тахіттт (‘л); ті (‘,))] для.
Если (у / ) ї О” , то есть ї* + / < ‘ для V/ є и~ , то построим по вектору (‘*, ‘''і) вектор (‘у, ‘і ) є О - • Для этого найдём ‘1 и
4 та^ что 5= тіп(тгг (‘й); ті (‘1)) = ш^ттОт, (‘й); ті (‘і))] =
Ч +‘іі =‘
= тахтах[тіп(т й (‘,-,-); ті (‘,-))]• Ясно, что В < А1 •
уєиг іу+у =
Полагаем 7 = і',7]г = Ґ]г у ф 1;7 = іи7и = 4 • (~.,7)є Ц~ • Если В > тіп А,, то
єі ]
тіп тіп(т і(7); ту(7)) = тіп[ А,у є иі \{1};В] = тіп А;
уєиі 7 ує^ 7
иначе тт тт(т]г (} ); т- (^ )) = В.
}еи.
Поэтому, так как неравенство (6) выполняется и для
(~ ) е °Г , то
(7) тах тт [тт(т }1 ); т] ))] >
> min
тах тах [тт(т ;г (^); т] (4))]
}еи1 tj+*$=
тп тах [тт(тг ^]г); т} (4))]
}еи- г,+1Л£ 7 7
С другой стороны, е иг , V(t}, tji) е фг
шт[тт(тг ); т- (^))] < тЧтл(}); т} )). ^"} е иг
]еиг
тт[тт(тя (^,); т} (4))] < тгкМЧтл ); т- (4)) ]. ^
}еиг 0<
(8) тахmin[min(m„■ );т} ))] <
ф Г }еиг 7 7
< min тах [min(mг ^]г); т} ))].
}еи- 1} +1Л <г
Пусть для произвольного вектора (;’, t'г ) е фг , I - это номер, для которого ^ ^ = t. Тогда:
шт[тт(т г ); т}(^))] < тЧт« Ю; т; (t')) <
}е и г ^ ^ ^ ^
< тах[тт(тЙ ^); т- (tг))] < тах тах[тт(тц ); т} (^)). ^
*и +4 = } еиг }=
(9) тах тт[тт(т]г ^]г); т} (^))] <
ф г- }еиГ
< тах тек [min(m ;г (^); т} (4))]
}еи- г}+} =
Из (8) и (9)следует
(10) тах тт[тт(т„■ ^,г); т}(t,))] <
ф- }еи- 7 7
< min
а из (7) (10) следует
тах т^ [min(m л ^л); т- (t^))] =
ф- }е и- ■> ■>
}еи г =1
тт тах[тт(т]г ^]г); т1 (t,))]
}еи- 1, +1 <(
тт
тах тах МЧт р ); т} ))]
}еи- г, +^ =1
тт тах [min(m ,г (t ,г ); т 1 (t } ))]
_}еи- +} <(
Таким образом, формула (1) может быть записана в следующем виде:
(11) тг ^) = min
тах тах [тт(т г ^ г ); т - ))]
}еи1 1} +} =1
реи- +} <(
min
тах тах{тт(т} ^ - tj); т} (^))}
ттmax{min( тах (т,,(Л.,.));т-(^))}
‘пе[0;‘-‘1]
Формулы (2)-(5) принимают следующий вид:
шах т / (t); тт тах т(^ )
(12) тТ (Т) = тт
рип * рип 0 <
(13) тГ (t) = тах тт[тТ (Т); т гшах (Т -1)],
где после преобразований, аналогичных преобразованиям для формулы (1),
(14) т Гх(( ) = тт
тах Ш ах{тт(тгУ (t - (у ); т”ах ^,))};
ттmax{min( тах (тг, ^г,)); тШзх((, )}
}еи* 1,& ' tijе[0;t-tj ]
(15) т? ^) = тах min[mг+ (t + ^ ,); т7 (tг)].
тах Ву (‘)
В формулах (11), (14) при вычислении тіп
каждого допустимого } при фиксированном t происходит оптимизация по одной переменной при нахождении В, ^) и оптимизация
по двум переменным при нахождении Ау ^), что позволяет реализовать более простые и эффективные алгоритмы нахождения
принадлежности г-го события критическому пути, ге и. Тогда при выполнении проекта первоочередное внимание должно уделяться событиям, у которых степени принадлежности критическому пути равны единице или близки к ней.
Рассмотрим иллюстративный пример нахождения функции принадлежности нечёткого критического пути для сети, представленной на рисунке 1.
Рис. 1
На рисунках 2 и 3 изображены графики функций
тШп (‘)=тіп тах[тіп(т Р (‘ц); т] (‘]))]
]єиг ‘у+‘уі<
для вершины і = 2, а на рисунках 4 и 5 для вершины і = 3^ На рис 6
- 7 приведены графики т2 (‘) и т3 (‘) соответственно • В данном
случае тТ (‘) = т3 (‘) •
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
^ min (t)
m 3 (t)
Рис. 5
Рис. б
Рис. 7
Литература
1 БАЛАШОВ ВГ, ЗАЛОЖНЕВ А,Ю, ИВАЩЕНКО А А , НОВИКОВ ДА^ Механизмы управления организационными проектами. М: ИПУ РАН, 2003^ - 84 с
2^ БУРКОВ ВН, ЗАЛОЖНЕВ А Ю , НОВИКОВ ДА Теория графов в управлении организационными системами. М^: Синтег, 2001 - 124 с
3^ БУРКОВ В Н , ЛАНДА БД, ЛОВЕЦКИЙ С Е , ТЕЙМАН А И ,
ЧЕРНЫШЕВ ВН Сетевые модели и задачи управления. М^: Советское радио, 1967^ - 144
4^ ДЕБАЗЕИ Г , КОФМАН А^ Сетевые методы планирования и их применение. М^: Прогресс, 1968^ -182 с
