CC BY
57
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«наука. инновации. технологии», № 4, 2014
удк 519.6: 681.3 Гезалов С. К. [Gozalov S. K.], Гасумов Р. А. [Gasumov R.A]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КРИТИЧЕСКОГО ПУТИ К ПОСТРОЕНИЮ КРАТЧАЙШЕГО ПО ВРЕМЕНИ ПУТИ В ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕдЕлЕННОСТИ
Application of critical way to time constructing the shortest paths in the transport network in the conditions of interval uncertainty
Для задачи маршрутизации на транспортной сети на основе метода критического пути разработаны алгоритмы построения кратчайшего по времени пути для четкого и интервального задания продолжительности операций.
Ключевые слова: задача маршрутизации, сетевой граф, критический путь, метод критического пути.
For the problem of routing on the transport network on the basis of the critical path, we have developed algorithms for constructing the shortest time path for the sound and setting the duration of the interval operations.
Keywords: routing problem, a network graph, the critical path, critical path method.
Введение
Одним из важных направлений исследований в области совершенствования транспортных процессов, является решение вопроса организации планирования перевозок - разработка рациональных маршрутов и эффективного распределения транспортных средств по ним.
Разработка рациональных маршрутов сводится к задаче нахождения кратчайших цепей на графах, узлы которого представляют собой пункты, в которых происходит обработка грузопотока, а ребра - дорожную сеть, по которой грузопоток перемещается [1].
При решении задачи выбора кратчайшего по времени маршрута на транспортной сети будем считать заданным множество P допустимых путей доставки груза из начального пункта i1 в конечный пункт in через те или иные вершины - узлы и дуги сетевого графа. Прибытие в пункт i (вершину - узел i,j ф i1) назовем событием i. Каждая из дуг (i,j) (условно называемая работой) соединяет два возможных (допустимых с точки зрения состояния дорог) последовательных пункта i и j определенных (одного
или нескольких) маршрутов (путей) p е P. Длина всего пути равна сумме длин (продолжительностей) составляющих дуг-работ. Выполнение последующей работы j на некотором фиксированном пути p не обязательно должно начинаться сразу после завершения непосредственно предшествующей ей на этом пути работе i, однако, не может начинаться пока не будет завершена работа i. При этом событие i предшествует событию j, если /р(0 < lp(j), где lp(i) и lp(j) - длина пути из i1 в пункты i и j при следовании по маршруту p е P.
Для решения сформулированной выше задачи маршрутизации рассмотрим на сетевом графе, представленном транспортной сетью, задачу управления разработкой сложного комплекса [2]. Под вершинами графа понимаются события - начало и конец определенных работ, а под дугами графа - различные работы, в процессе выполнения которых возникают указанные события. Каждой дуге ставится в соответствие время выполнения соответствующей работы называемое длиной дуги. В отличие от задачи маршрутизации на транспортной сети, здесь полагается, что событие j возникает после окончания всех входящих работ, лежащих как одном так и на различных путях из P. Очевидно, промежуток времени между начальным событием i1 и событием, представленным вершиной in, определяет путь наибольшей длины, ведущий из i1 в in. Этот путь выявляет наиболее напряженные участки работ и называется критическим.
Методами решения задач управления проектами в классическом случае (т. е. при точном задании продолжительности каждой работы) являются методы сетевого планирования и управления (СПУ) [2-4], при этом решение задачи календарного планирования осуществляется методом критического пути (МКП).
В случае, когда оценки продолжительностей работ несут вероятностный характер, для решения задачи календарного планирования разработки проекта используют статистические методы сетевого планирования [5, 6]. В частности, в предположении, что действительный наиболее ранний срок окончания проекта является нормальной случайной величиной, для учета неопределенности длительности выполнения операций был разработан метод, известный под названием PERT (Program Evolution and Review Technique) [7]. Метод PERT в сущности повторяет метод критического пути с той разницей, что детерминированные длительности выполнения операций заменяются на ожидаемые.
При использовании метода PERT необходимо помнить, что теоре-
тическое обоснование выражений для ожидаемого времени выполнения операций и дисперсии времени выполнения операции опирается на весьма сомнительное предположение о бета-распределении продолжительности выполнения операций (см. [4]).
Однако эти недостатки компенсируются простотой алгоритма расчета, что обусловило разработку различных модификаций этого метода. Например, метод Фалкерсона [8] применим для любого ограниченного дискретного распределения вероятностей работ и улучшает оценки, получаемые методом PERT, но это достигается за счет роста объема вычислений в связи с необходимостью перебора всех возможных сочетаний длительностей работ, предшествующих каждому событию.
Критическим временем проекта называют минимальное время наступления последнего (завершающего) события проекта in. Другими словами, критическое время - это минимальное количество времени, необходимое для выполнения всего комплекса работ. По указанному выше, критическое время равно максимальной длины (т.е. продолжительность, равную критическому времени), называют критическим путем.
C помощью метода критического пути можно построить наикратчайший по времени путь, отсеивая по одному критическому пути путем вычеркивания его дуг, не входящих в оставшиеся пути и получая при этом новый сетевой граф. На конечном шаге такой процедуры получается путь из i1 в in с однозначно определенными дугами между каждой парой его вершин, имеющий минимальную продолжительность.
Поскольку в момент планирования достаточно сложно иметь точную информацию о будущих длительностях работ на основе их предыстории, очень важно учесть нечеткую неопределенность исходных данных.
1. Временные характеристики путей при четком задании продолжительностей операций
Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ). Зависимость между операциями задается в виде сети (сетевого графика), представляющей собой ориентированный граф (U, D) без петель (U и-множество вершин и дуг соответственно). Среди множества вершин U выделим вход сети i1 и выход сети in .
Опишем сначала классической (четкий) метод критического пути (МКП). Будем считать, что события в рассматриваемой сети занумерованы таким образом, что их нумерация является правильной. Для установ-
ления правильной нумерации вершин сети пользуются методом вычеркивания дуг [2].
Напомним, что событие i соответствует некоторому узлу (вершине сетевого графа) и представляет собой момент начала одной или большего числа работ-дуг (i,j), выходящих из узла i. Введем обозначения из [9].
Пусть Tj(E) - наиболее ранний (early) возможный срок наступления j-го события, j = 1, ... , n, где n - число событий (узлов) в сети. Поскольку основной задачей в МКП является отыскание критического пути, Tj (E) вычисляется как продолжительность самого длинного пути от начального до данного события.
Допустим, что от начального события (события 1) к j-му событию ведут r путей: pbp2, ... , pr. Каждому пути соответствует длина (время), равная сумме продолжительностей всех работ (i,j) на данном пути:
где tmm - продолжительность работы (m,m'), принадлежащей пути
Рк.
Таким образом, самый длинный путь от начального узла (узел 1) до i-го узла определяется как
(1.2)
где
максимум берется по всем путям рк, соединяющим узлы 1 и 7. Удобно принять Т1 (Е) = 0 (самый длинный путь к первому узлу равен нулю).
Рассмотрим теперь все работы, ведущие к последующему событию. Самый ранний возможный срок наступления 7-го события определяется как
О,если 1 = 1 (начальное события);
г- <
[7} + g,2<i<
(1.3)
Для сети с п событиями, 7 = 1,2, ... , п, вычисления по формуле (1.3) продолжаются до тех пор, пока не будет определен наиболее ранний возможный срок наступления завершающего п - события. Пример 1.1. [9].
№4, 2014
физико-математические науки
17
Применение метода критического пути...
'0
4(н) 2а)
04D
Рис. 1.1.
Пример сети в виде модели узел-событие.
На рис. 1.1. указаны узлы-события 1,2,...,8 (узел 1-начальный, узел 8-завершающий) и работы А, В, С, Б, Е, С, Н, I с указанием их продолжительности 5, 3, 10, 7, 10, 5, 9, 4, 2 соответственно.
В данном поимсос:
7\(£) = 0,7"2(£) = rt(£) + tu = 0 + 5 = 5,Г3(£) = 7\(£) + ^ = 0 + 3 = 3,
Перейдем к определению наиболее позднего допустимого срока наступления каждого события.
Пусть T1 (L) - наиболее поздний (late) срок наступления i-го события, не влияющий на завершение всего проекта. Начиная с «-го (завершающего) события, будем двигаться в обратном направлении через каждое предшествующее событие. Чтобы гарантировать, что продолжительность критического (самого длинного по времени) пути не будет превышена, необходимо положить
Наиболее поздний допустимый срок наступления любого ^ -го события определяется как
(1.5)
Минимум берется по всем ]-м событиям, соединенным с 7-м событием работой (7,]). Вычисления по формуле (1.5) ведутся до тех пор, пока не будет определен наиболее поздний срок наступления начального события (событие 1).
Для примера 1 имеем:
Т9 (Ь) = Т8 (Ь) = 25 (длина критического пути);
В некоторых работах (например [10,11]) ранний и поздний моменты свершения события 7 обозначают через 1+ и ^ , при этом поздний момент свершения события определяется через длину ^ максимального пути от этой вершины до выхода сети (для выхода сети соответствующая величина считается равной нулю):
где R, -
Тогда где T -
между его поздним и ранним моментом свершения, т. е.
At, = t+ - t_, (1.8)
Формулу (1.8) можно также записать в виде
множество событий, непосредственно следующих за событием 7, т. е. множество вершин] сети, для которых существует дуга (7,]).
длина критического пути (т.е. критическое время). Очевидно, что формулы (1.4) и (1.6) дают один и тот же результат.
Полным резервом А^ события 7 называется [10] разность
At, = T (E) - T (L)
(1.9)
Таблица 1.1 ПАРАМЕТРЫ СОБЫТИЙ В ПРИМЕРЕ 1.1
Событие tr V At
1 0 0 0
2 5 7 2
3 3 4 1
4 10 10 0
5 13 14 1
6 19 19 0
23 23 0
8 25 25 0
где T(E) и T(L) определяются по формулам (1.3) и (1.5).
Для примера 1.1 значения величин t-, t+ и At,- приведены в таблице
1.1.
Из таблицы 1.1 следует, что события 4, 6, 7 являются критическими (начальное и конечное событие заведомо являются критическими), поскольку их полные резервы равны 0. Следовательно, путь 1-4-6-7-8 является критическим и критическое время T = 25.
Введем далее понятия наиболее ранних возможных и наиболее поздних допустимых сроков начала и окончания работ.
Наиболее ранний возможный срок начала работы представляет собой самое ранее время начала работы при допущении, что все предшествующие работы будут завершены как можно раньше. Пусть ESj - наиболее ранний (early) возможный срок начала (start) работы (i,j). Поскольку работа не может начинаться раньше наступления предшествующего события, имеем
ESj = T (E) (1.10)
где индекс i обозначает событие, предшествующее работе (ij). Отсюда следует формула для определения наиболее раннего возможного срока окончания (conclusion) работы [9].
ЕСи = + t¿. = + t¡
(111)
Наиболее поздний (late) допустимый срок окончания работы представляет собой самое позднее время завершения работы без задержки срока окончания всего проекта (т. е. критического времени T). Поскольку работа может быть закончена не позднее наибольшего допустимого срока наступления последующего события j, имеем
(1.12)
Наиболее поздний допустимый срок начала работы (у) можно выписать следующим образом:
(1.13)
Полный резерв работы (i,j) вычисляется по формуле
LC.j-EC.J.
(1.14)
В таблице 1.2 приводятся результаты вычислений для каждой работы (у) в примере 1.1. Критический путь 1-4-6-7-8 состоит из работ (1, 4), (4, 6), (6, 7), (7, 8), (обозначаемых *), имеющих нулевой резерв времени.
Таким образом, критический путь можно определять как путь, удовлетворяющий следующим двум условиям
1) проходит только через критические (с нулевым резервом времени) события-вершины или критические работы-дуги сетевого графа;
2) длина (длительность) пути равна критическому времени Т, определяемому по формуле (1.3).
Примечания
1. Критических путей может быть как один, так и несколько.
2. Расчет критического пути на практике удобно вести по критическим вершинам, поскольку на практике вершин
Таблица 1.2 НАИБОЛЕЕ РАННИЕ И НАИБОЛЕЕ ПОЗДНИЕ СРОКИ НАЧАЛА
и окончания РАБОТ В ПРИМЕРЕ 1.1
Работа Предшествующее событие 1 Последующее событие у Продолжи-тель-ность ^ Наиболее ранний возможный срок Наиболее поздний допустимый срок резерв времени Критический путь
начала ББу окончания ЕСу начала окончания
А 1 2 5 0 5 2 7 2
В 1 3 3 0 3 1 4 1
С 1 4 10 0 10 0 10 0 *
0 2 5 7 5 12 7 14 2
Е 3 5 10 3 13 4 14 1
0 4 6 9 10 19 10 19 0 *
Р 5 6 5 13 18 14 19 1
Н 6 7 4 19 23 19 23 0 *
I 7 8 2 23 25 23 25 0 *
сетевого графа оказывается значительно меньше, чем дуг, составляющих любой допустимый путь из начальной вершины в конечную.
Алгоритм 1.1 (построения критического пути).
1. Вычислим по формуле (1.8) для каждой вершины / полный резерв А^ и обозначим через икр множество всех критических вершин (т.е. вершин с А^,= 0).
2. Построим множество всех путей, проходящих только через вершины из икр и обозначим его через Рпод. кр (подозрительных на критичность). Пути, входящие в Рпод. кр , обозначим через р-! = 1, ... , ]0.
3. Вычислим по формуле (4) критическое время Т.
4. Для каждого пути pj еРпод. кр вычислим соответствующую
длину Т, равную (с учетом нулевых значений А^ для критических вершин) сумме длин составляющих дуг-работ. 5. Вычислим Пусть этот максимум достига-
ется при некотором / = /*, тогда путь Рбудет критическим.
Для нахождения путей на сетевом графе Г1"0'' = (£/, О. удовлетворяющих директивному сроку ^¡кр продолжительности проекта (в нашем случае - это доставка груза из пункта ¿х в пункт г.,,) предлагается следующий алгоритм.
Алгоритм 1.2
(нахождения допустимых по длительности путей).
1. Пусть на шаге ¿(к= ОД,.,,) по алгоритму 1.1
„ (ь)
найден некоторый критическии путь р. на графе Г(л) = = £/, = О. Ее-ли этот путь будет иметь длину пути Г^, превышающую Тд. то рассмотрим новый сетевой граф
, полученный вычеркиванием из графа рСь) дуг найденного критического пути, не входящих в оставшиеся пути. Если после такой операции множество вершин = ¿л} не будет пустым, то после установления в р (*=-!■) правильной нумерации полагаем к: = к + 1 и идем на п. 1.
В противном случае задача не имеет решения, выдается сообщение: «на графе ^ нет пути р с длиной Т — Тдир» и идем на п. 3.
2. При Т '■ к-: < Т1ДКЕ: любой путь из множества допустимых путей из ¿1 в ¿и на графе г^-1' может быть принят за решение задачи.
3. Конец.
Если же директивный срок выполнения проекта не задан и требуется найти на графе г® кратчайший по времени путь из ^ в будем пользоваться упрошенным вариантом алгоритма 1.1.
физико-математические науки
Применение метода критического пути..
Алгоритм 1.3
(нахождения кратчайшего по времени пути).
1. На шаге к{к= ОД,2,...} рассматривается граф
полученный из графа тем же спосо-
бом, что и в алгоритме 1.2. Если множество вершин ^ (ь+1) _ д 1",':_1"'1 \ (1 ^., 1 п} не является пустым, то после установления в графе р '■■к+1 ■■' правильной нумерации полагаем к: = к + 1 и идем на п. 1.
2. Если £) 0н-1) _ ф 5 то путь р" '■■' будет кратчайшим путем на графе г®.
3. Конец.
Во многих реальных ситуациях полная и точная информация о продолжительностях операций отсутствует, т. е. имеет место неопределенность. В зависимости от имеющейся информации различают интервальную (известен диапазон значений продолжительностей операций), вероятностную (известно распределение вероятностей продолжи-тельностей операций) и расчетную (имеется нечеткая информация относительно продолжительностей операций) неопределенность.
При вероятностной неопределенности [5, 6] в общем случае невозможно (исключение составляют операции, выполняемые последовательно или параллельно) получение аналитических выражений для распределений вероятностей и других характеристик событий проекта.
2. Временные характеристики путей в случае интервального задания продолжительностей операций.
Рассмотрим случай интервальной неопределенности относительно продолжительности операций, а именно, будем считать, что
Наряду с обозначениями ( Е~) и Г; (Ь) для ранних и поздних сроков события 1 будем также пользоваться соответственно обозначениями и ^ из [10].
Тогда ранние моменты ti свершения события г принадлежат (см. [10]) отрезку Д;= [£™ ,£"], где
;
где д,
множество событий, непосредственно предшествующих событию ,.
где
Длина критического пути принадлежит отрезку
(2.2)
По аналогии с (1.6), вычислим для каждой вершины-события i оценку ] длины максимального пути от этой вершины до выхода сети (для выхода сети считаем соответствующие величины равными нулю):
(2.3)
где то же. что и в (1.6).
Положим, что
£?~ =Т -1Т
I.--_ гр +
Т~ -^¿6 и.
(2.4)
Получим следующую оценку границ отрезков, которым принадлежат полные резервы времени события 1:
В предельном случае интервальной неопределенности, т. е. при полной информированности, когда отрезки сжимаются
в точки ¿,7 Е 11, выражения (2.1)—(2.5) переходят в соответствующие выражения (1.2), (1.4)—(1.8) для четкого случая.
В интервальной модели, в отличие от «классической», нельзя однозначно сказать является ли событие критическим. Все события могут
физико-математические науки
Применение метода критического пути..
быть разделены на три класса. В первый класс попадают события, для которых имеет место полная определенность, т. е. события, для которых обе границы (2.4) равны между собой и равны нулю. Эти события можно с полным основанием называть критическими.
Путь из начальной вершины в конечную, проходящий только через критические события-вершины, будет критическим путем.
Во второй (промежуточный по степени «критичности») класс попадают события, для которых Д^ = 0, а Д£Г > 0. Такие события в рамках существующей (интервальной) неопределенности могут оказаться критическими. Условно их можно назвать полукритическими [10].
И, наконец, третий класс составляют события, для которых Д >0, такие события можно с полной определенностью отнести к не критическим.
Для нахождения критических путей при интервальном задании про-должительностей пабот нужно уметь сравнивать два интервальных числа а ~ [а1'аг] и ^ — по отношению '' (больше). Воспользуемся
предложенным в [12] решением задачи сравнения интервальных чисел.
Определим меру удаленности двух интервалов а и Ъ как суммарную длину всех подинтервалов, которыми различаются а и Ь, включая подин-тервал ^ между а и Ь, в случаях, когда а и Ъ не пересекаются. Таким образом
U = |й\£| - |b\ä| - |Р|
(2.6)
Здесь символ означает длину интервала ^.
Операция "V* определяется как разность двух множеств. В соответствии с (2.6) удаленность совпадающих интервалов (случай 5) равна нулю, удаленность интервалов а и b на рис. 2.1, случаи 1-4, составляет:
U = fr, -¿j. 2)f = Он — Ъ2. з) U = аг —Ъг — а2 — Ъ2. 4) U = Ъ2 — ^ — — Ь2 — а2 — а^ = а2 — Ь1
а удаленность интервалов ® и Ъ на рис.2.2 равна
Операции V = max и Л = min над интервалами а и Ъ определяют-
ся как теоретико-множественные обобщения соответствующих операций над вещественными числами:
ЪУЪ = \aVb\a еа,Ь е Ъ},аАЬ = {аЩа еа,Ь е Ь). (2.8)
Результаты операций V и Л над интервалами всегда
Рис. 2.1.
существуют в виде соответствующих интервалов и определяются по формулам
аУЬ = [а1,а2]\/[Ь1/Ь2\ = [а1УЬ1,а2УЬ2],
аЛЬ = [а1г аг]Л[Ь1, Ь2] = [а±ЛЪ1г а2АЬг]
(2.8)
Рис. 2.2.
Мера близости В двух интервалов 2 и Ь определяется как величина, дополнительная к мере их удаленности и, т.е. чем больше (меньше) и,
тем меньше (больше) В. Конкретная форма математического соотношения между и и В может быть различной, например такой
(2.9)
Согласно (2.9) при увеличении удаленности интервалов U от ^min ~ Q (удаленность совпадающих интервалов) до Umax — оо (удаленность бесконечно разнесенных интервалов) их близость B уменьшается от — со до ВтЫ — 0.
Для произвольных интервалов, независимо от их расположения друг относительно друга, различные возможные отношения между интервалами определяются в виде:
(а > Ъ) ^ а, аЩ < U(b, aVb),U(a, aAfr) > ü(b, qM)]. (a > b) а, аЩ < U(b, aVb),U(a, аДЬ) > ü(b, qM)].
Как видно из (2.10), для того чтобы некоторый интервал а был большим (большим или равным) из двух интервалов а и Ь, нужно чтобы интервал а был ближе (ближе или равноудален) к результату операции V = max над а и b и дальше (дальше или равноудален) от результата Л = min над а и Ъ, чем интервал Ь. Из (2.10) также видно, что для равенства двух интервалов а и b нужно. чтобы они были равноудалены от результата операции V над а и b и равноудалены от результата операции Л над а и Ь.
Критический путь при интервально заданных продолжительностях работ будем определять по следующему алгоритму.
Алгоритм 2.1.
1. Вычислим по формуле (2.5) интервальные числа
] для всех вершин сетевого графа и выделим среди них множество критических вершин икр .
2. Вычислим по формуле (2.2) интервальное число
для критического времени.
3. Построим множество путей, проходящих только через критические вершины и обозначим его Рпод. кр (подозри-
тельных на критичность). Пусть мощность множества Рпод. кр равно j0, т. е. в Рпод. кр входят j0 различных путей
V} 0 = 1.....Уо)
4. Для каждого пути Р1 вычислим соответствующую длину Г- = Т- ), которая равна сумме интервальных чисел, представляющих длины составляющих дуг-работ. Сумма двух интервальных чисел А = [а1г а2 ] и В = [Ь-р £>2] определяется по правилу (см. [13,14]):
А - В = - Ь1га2-Ь2]. (2.ц)
5. По формуле (20) вычислим меру удаленности и) интервального числа Г,- = (Г,- ) от Т = (Т ,7*+) . Тогда
будет являться мерой близости наиболее близкого к Т интервального числа из множества О = 1,- ■ ■ ■ /и). Пусть минимум в (2.12) (не обязательно равный нулю) достигается при] /*. тогда путь Р}* из ^ппд.Еф будет критическим.
Очевидно, что критический путь имеет меру удаленности от Т, равную нулю, так что наименьшее среди чисел . . будет соответс-
1 ~1 ■ "'/О
твовать критическому пути. Пусть
(2.13)
достигается при некотором }* <= {1,... Тогда V)" является критическим путем.
В случае интервально заданных продолжительностях работ в алгоритме 1.2 при заданной допустимой длительности пути в виде интервального числа Гд^ = [Т^р-.! Г +] сравнение длины критического пути = [Т^*",^"*] с Тдир производится по второй из формул (2.10).
Алгоритм 1.3 остается без изменений.
Пример 2.1 [10]. Пусть имеется сеть, изображенная на рис. 2.3 с продолжительностями работ, приведенными в таблице 2.1. В таблице 2.2 приведены параметры событий, рассчитанные в соответствии с формулами (2.1) — (2.4).
Из таблицы 2.2 видно, что при использовании нижних границ интервалов продолжительности работ все вершины будут критическими, критическое время Т = 6, критическими путями будут 0-1-4, 0-1-3-4, 0-2-4 (путь 0-3-4 не критический, его длина равна 5). При использовании верхних границ критическими будут все вершины кроме вершины 2, критическое время Т = 12, критическим будут только путь 0-1-3-4, а пути 0-1-4 и 0-3-4 не являются критическими, хотя и проходят через критические вершины. Таким образом, событие 2 является полукритическим, что подтверждается оценками \/2 = 0 и = 1 > 0. Критическими при заданных интервальных продолжительностях работ (^у^) будут события 0,1,3,4. Это следует из оценок Д£„ - - 0, Д^ - - О, Д£3 = Д^з = О, Д£4 = = 0, причем на основании оценок (16) длина критического пути представляется интервальным числом Т = (6,12).
Для сравнения отметим, что задачу нахождения кратчайшего по времени пути можно свести к целочисленной задаче дискретной оптимизации в условиях интервальной неопределенности. Обозначим через (1,]) к - к-й возможный вариант дорог, соединяющих пункт 7 с пунктом
Таблица 2.1. ПАРАМЕТРы РАБОТ В ПРИМЕРЕ 2.1
Работы Минимальная продолжительность Максимальная продолжительность
а 1 3
в 4 7
с 1 3
й 1 3
е 5 6
f 2 4
g 4 6
Таблица 2.2. ПАРАМЕТРы СОБыТИй В ПРИМЕРЕ 2.1
Событие Г- Г+ I- I * V- V* ы- АГ
0 0 0 6 12 0 0 0 0
1 1 3 5 9 1 3 0 0
2 4 7 2 4 4 8 0 1
3 2 6 4 6 2 6 0 0
4 6 12 0 0 6 12 0 0
j, и пронумеруем эти варианты в любом порядке 1..., ку (ку - общее число вариантов дорог, соединяющих 7 с у). Тогда рассматриваемая задача запишется в виде линейной целевой функции
и ¿4=1 ¿*}=2 = 1 ч ч
тт
(2.14)
с ограничениями
пЬ,-;
К=1Х*1= V = 1.....) = 2.....
Пч
(2.15)
(2.16)
Здесь , если из 7 приходим в] по к-му варианту и 'I
- в
1т .
противном случае; - длина отрезка пути (в нашем случае это длительность) следования из 7 в ] по к-му варианту.
Ограничения (2.15) являются условиями прибытия в пункт] из пункта 7 только по одному варианту.
Пусть (}1>]г),...,(1т>1п) ДУГИ, которым в опти-
мальном решении задачи (2.14) - (2.16) соответствуют единичные значения переменных, и этим дугам соответствуют варианты ■ ■ ■, кт их прохождения (цЛ)*1,0*,]*^. 0™, *„}где ¿^(1,2,... Д^-} 0 = 1, ...,тг - 1; } = 2, ...,п; 2= 1, ...,тп). Тогда
путь, составленный из дуг (4,О^'Л)*3' ■■ ' От> 1п) кш- будет кратчайшим по времени путем из начального пункта 71 в конечный пункт 7И.
В работах [15-17] ранее был предложен общий подход к оптимизации систем с интервально заданными параметрами, основанный на принципах сравнения интервальных чисел, вытекающих из общих принципов интервальной математики [13]. Однако предложенный в [15-17] подход имел ограничение, связанное с невозможностью сравнения интервалов, один из которых накрывает другой.
Применение метода критического пути предусматривает расчеты временных характеристик только для вершин - событий, приводя к значительному сокращению объема вычислений по сравнению с алгоритмами дискретной интервальной оптимизации [12, 15-17], особенно при сильно разветвленном сетевом графе с большим числом дуг-работ.
ВЫВОДЫ
1. Метод критического пути дает возможность существенно упростить алгоритм расчета кратчайшего пути (особенно при сильной разветвленности транспортной сети) по сравнению с известными методами дискретной интервальной оптимизации [12, 15-18].
2. Под «длиной пути» в широком смысле можно понимать веса составляющих дуг, представляющие любую аддитивную меру дуг, например, расстояние, время, или стоимость дуги-работы сетевого графа.
3. Предложенные алгоритмы расчета кратчайших путей будут использованы при разработке программного инструментария «TRANZIT», ориентированного на моделирование транспортных систем сообщения, проходящих че-
рез сеть терминалов республики и функционирующих в условиях интервально неопределенных воздействий. Использование данного инструментария позволит автоматизировать наиболее трудоемкие этапы исследования реальной транспортной сети, что обеспечивается наличием непрерывной связи с расположенными в регионах республики логистическими центрами и возможностью оперативной корректировки параметров моделирования, сокращая время и стоимость решения проекта при изменении структурной организации сети и управлении транзитными транспортными потоками с учетом имеющегося зарубежного опыта [19].
ЛИТЕРАТУРА 1. Корчагин В. А., Ляпин С. А., Корчагин Д. И. Методические подходы эффективного и экологически безопасного автотранспортного обслуживания металлургического комбината // Грузовое и пассажирское автохозяйство. М., 2007. № 2.
2. Зуховицкий С. И., Радчик И. А. Математические методы сетевого планирования. - М.: Наука, 1965. 296 с.
3. Ермольев Ю. М., Мельник И. М. Экстремальные задачи на графах. Киев: Наукова думка, 1968. 176 с.
4. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах / пер. с англ. М.: Мир, 1981. 323 с.
5. Голенко Д. И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М.: Наука, 1968. 400 с.
6. Голенко Д. И., Ливщиц С. Е., Кеслер С. Ш. Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками). Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 264 с.
7. Clark G.F. The PERT model for the distribution of an activity time// Operation Research, 1965, 13, 1/
8. Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. / L. R. Ford, D. R. Fulkerson - Потоки в Сетях / Flows in networks / пер. с англ. М.: Мир, 1966. 276 с.
9. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. / Fillips D., Garsia-Dias A. Методы анализа сетей / Methods of networks' analysis / пер. с англ. М.: Мир, 1984.- 496 с.
10. Акимов В. А., Балашов В. Г., Заложнев А. Ю. Метод нечеткого критического пути // Управление большими системами. М.: Институт проблем управления, 2003. C. 5-10.
11. Врублевская С. С., Федорова И. В., Шиянов Б. А. Алгоритм вычисления нечеткого критического пути // Вестник Воронежского гос. технического ун-та. 2007. Т. 3. № 7. С. 93-100.
физико-математические науки
Применение метода критического пути..
12. Левин В. И. Сравнение интервальных чисел и оптимизация систем с интервальными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2004. № 4. С. 133-142.
13. Алефельд Г., Херцбергер Ю./ G. Alefeld, J. Herzberger - Введение в интервальные вычисления / Introduction to Interval Computations / пер. с англ. М.: Мир, 1987. 356 с.
14. Шокин Ю. И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. 112 с.
15. Левин В. И. Дискретная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. С. 97— 107.
16. Левин В. И. Булево линейное программирование с интервальными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 1994. № 7. С. 111 — 122.
17. Левин В. И. Интервальное дискретное программирование // Кибернетика и системный анализ, 1994, № 6.- с. 91-103.
18. Gen M., Cheng R. Interval programing using genetic algorithms // Intelligent automation and control. V.4. Proceeding of the World Automation Congress (WAC 96). May 28-30, 1996. Montpellier, France.
19. Максимей И. В,, Сукач Е. И., Еськова О. И. Сравнительный анализ вариантов организации транспортной сети сообщения с использованием программного инструментария «TRANZIT» // Матема^чы машини i системи. 2012. № 1. С. 98—105.
ОБ АВТОРАХ: Гасумов Рамиз Алиевич - доктор технических наук, профессор. ОАО "Северо-Кавказский научно-исследовательский проектный институт природных газов" (СевКавНИПИгаз). 355035, г. Ставрополь, ул. Ленина, 419. Тел.: (8652) 35-08-35, (8652) 94-40-73(ф), 35-96-78. E-mail: www.sevcavnipigaz.euro.ru,svnipigz@gazprom.ru, sevkavnipigaz@mail.ru.
Gozalov Sulhaddin Kamal - Head of the department "Automotive vehicles" Azerbaijan Technical University, Ph.D., Associate Professor, Academician of the International Academy of Transport. Address: Baku, Ave H. Javid, 25. Tel: (012) 539 14 43 servant; Phone: (050) 221 28 68; E-mail:ssszaz@gmail.com.
Гезалов Сулхаддин Камал оглы - Сулхаддин Камал оглу Геза-лов - начальник кафедры «Автомобильные транспортные средства» Азербайджанского Технического Университета, кандидат технических наук, доцент, Академик Международной Транспортной Академии. Адрес: Баку, пр-т Г. Джавида, 25. Тел: (012) 539 14 43 раб; Моб: (050) 221 28 68; E-mail: ssszaz@gmail.com Gasumov Ramiz Aliyev - Doctor of Technical Sciences, Professor. OJSC "North Caucasus Research Institute of Natural Gas Project" (SevKavNIPIgaz). 355035, Stavropol, st. Lenin, 419. Phone. (8652) 3508-35 (8652) 94-40-73 (f) 35-96-78. E-mail: www.sevcavnipigaz.euro. ru, svnipigz@gazprom.ru, sevkavnipigaz@mail.ru
