CC BY
52
УДК 656.62.052.484
И. В. Адерихин*, М. Г. Воротынцева**
Московская государственная академия водного транспорта Астраханское речное училище
АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ ГОТОВНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СУДНОМ МОРСКОГО ТРАНСПОРТА
Анализ научной и технической литературы показал, что наиболее удобно при оценивании готовности системы управления судном морского транспорта (СУС МТ) представлять их процесс функционирования в виде полумарковских процессов (ПМП), если заданы: граф состояний 0(Р, О) и возможные переходы {/, у}; матрица О(?) = {<2у(0} независимых функций распределения времени пребывания СУС в /-м состоянии перед переходом в у-е состояние, если бы данный выход из состояния / был единственным; начальное состояние в момент ^ = 0. В этих условиях алгоритм оценивания и исследования (обоснования путей обеспечения) готовности СУС должен включать следующие составляющие [1].
1. Выявление возможных признаков выделения состояний, определение их содержания на основании описательной модели функционирования, т. е. анализа особенностей, динамики и режимов функционирования, условий и стратегий применения, видов и характера негативных воздействий, способов восстановления надежности и готовности и других факторов и эксплуатационных мероприятий, влияющих на готовность СУС.
Адекватность описания функционирования СУС существенно зависит от правильного определения содержания состояния СУС МТ. Анализ существующих научных работ показал, что возможными признаками классификации состояний СУС могут быть следующие: число отказавших подсистем; число неготовых подсистем; уровень пропускной способности (мощности, производительности, проведенных навигационных определений; вид и число мероприятий (операций), выполненных или выполняемых СУС, и т. д. При таком подходе к определению состояний процесса функционирования СУС в условиях МП параметры потоков переходов между ними представляют собой величины, равные интенсивностям отказов или восстановлений, различных видов подготовок и проведения технического обслуживания, поступления судов (заявок) и их расхождение, а также интенсивностям проведения других мероприятий при управлении судном. В условиях ПМП требуется провести анализ переходов процесса на предмет выбора независимых функций распределения времени пребывания ОУ(). Теоретические исследования [2, 3] и анализ статистических данных показывают, что при выборе независимых функций распределения 0(0 наиболее часто эти функции встречаются в виде:
0(0 = 1 - в-ш; 0(0 = 1 - (1 + У/0еП
0(0 = г/Т/, г < Т/, 0(0 = 0, г < г;
1, г > Т/; 1, г > г и др.
Таким образом, на основе выбранных признаков идентификации состояний выделяются все состояния, в которых может находиться СУС МТ, образующие полную группу несовместных событий. При проведении анализа и определения состояний следует выбрать и обосновать независимые функции распределения времени пребывания СУС 0(0 в / -м состоянии перед переходом в у-е.
2. Разработка комплексных моделей функционирования СУС МТ в виде графа состояний и переходов 0(Р, 0), под которым понимается графическое представление состояний СУС МТ (пространство состояний процесса) и возможных переходов между ними, где Р - множество вершин графа, представляющих вектор вероятностей Р/, и 0 - множество ветвей графа, операторами которых являются безусловные вероятности перехода процессаРу из / -го ву-е состояние и среднее значение времени пребывания процесса в /-м состоянии до перехода в у-е состояние. Построение графа состояний и переходов СУС начинается с составления полного набора ее состояний. Состояния СУС МТ можно разделить на полностью готовые к применению или частично готовые к применению состояния; состояния, полностью или частично не готовые к применению; состояния полного или частичного отказов; состояния проведения эксплуатационных мероприятий, которые определяются режимами и динамикой функционирования, типами решаемых задач, условиями и способами применения, наличием негативных воздействий и т. д. Для удобства исследования готовности следует пронумеровать вершины графа состояний и переходов в определенном порядке.
3. Составление матрицы переходных вероятностей Р = ру| предусматривает определение условных вероятностей р/у переходов процесса (СУС) из /-го состояния в у-е по соответствующим зависимостям, а именно вероятность ргу(0 перехода из состояния / в состояние у за время не более г определяется выражением
t
у) = I П[1 - &(0№(0, (1)
0 к фу
а для неограниченного времени (^/(0 = 1)
Ру(¥) = I П[1 - 0гкШ0г(), (2)
0 кфу
где 0(0 - независимая функция распределения времени пребывания СУС в /-м состоянии перед переходом в у-е состояние, если бы данный выход из состояния / был единственным.
4. Составление матрицы безусловных функций распределения времени пребывания СУС в каждом /-м состоянии
Р = N01, (3)
где -^(0 - безусловная функция распределения времени пребывания в состоянии г определяется выражением
-(О = Ер—(О или -(0 = 1 - П[1 - Qy■(t)\, (4)
„ек „ек
где —„() - условная функция распределения, т. е. вероятность того, что время пребывания в состоянии г не превосходит t при условии, что из состояния г процесс переходит в состояние „.
5. Составление матрицы безусловных математических ожиданий времени пребывания СУС МТ в каждом состоянии Т = tг, I = 1, п, где tг -математическое ожидание времени пребывания СУС в г-м состоянии определяется выражением
tг = ![1 - -г ( 0^ = Ь[1 - Qгj(t)dt. (5)
0 0 „бк
Иногда приходится для определения ^ находить условные математические ожидания
, „=|1 - -«\л где „ = „„т,, (б)
6. Сведение полученных функций Qy(t), р„, -„(О, Тг в соответствующую таблицу, удобную для использования при решении задач.
7. Составление системы алгебраических уравнений
к
г = гР при Ег = 1, (7)
г=1
где г - вектор-строка, г = г(г1, г2,..., гк), определяющая стационарные вероятности гг застать вложенный марковский процесс в момент произвольного перехода в состояние г; к - общее число состояний процесса (СУС).
8. Решение системы уравнений г = гР с целью получения формул для коэффициентов Аг путем выражения всех вероятностей через одну, принимаемую за базовую гд, т. е.
г = Агд. (8)
9. Выбор подмножества состояний СУС, суммарная вероятность пребывания которых нас интересует. К таким состояниям в зависимости от решаемой задачи могут относиться, например, пребывание в режиме готовности, в режиме подготовки к навигационным определениям, проведения маневра и др.
10. Определение среднего интервала (математического ожидания) времени тг„ между последовательными попаданиями в состояние
%„ = где t = Ег&, г = 1, к. (9)
Характеристики %„■ в ряде конкретных задач являются искомыми величинами, так как определяют, например, средние сроки эксплуатации СУС между ремонтами, обслуживаниями, отказами и т. д. Иногда возни-
кает необходимость в определении (прогнозировании) средних интервалов между попаданиями СУС в каждое состояние, которое находится по формуле
tij = Ь + Ер^-. (10)
11. Определение математического ожидания времени одного перехода по формуле
k k к
t = = zd + £Аа] = zsA, где А = А5 + £Аа. (11)
1=1 1=1 i= 1
12. Определение выражений для показателей готовности с помощью найденных аналитических зависимостей для вероятностей пребывания СУС МТ в интересующих нас состояниях по формулам:
а) стационарные вероятности:
к
Pi = ^-/ или pi = Аа/А, где Ai = 5 = 1, т. е.Pi 5 = А5/А; (12)
У= 1
б) нестационарные вероятности
ру<5) = [аегА^)]"1^)^), (13)
где А0^) = I - ф(^); Ау(5) - преобразования Лапласа адъюнкты ау(0 матрицы А0^); у(^) = |у1(5)|; у(А) = П[1 - бУ(0]; ф(^) = | р(у)|; р^) = ру<5)|;
г
ру(0= $ п[1 - &(0№(0.
0 кф]
Далее, используя численные методы, находим оригинал Ру(0. В зависимости от содержания задачи исследования готовности и других ЭС СУС могут быть получены соответствующие показатели.
Таким образом, представленный алгоритм использования ПМП при оценивании (исследовании) готовности СУС сводится к нахождению вероятностно-временных показателей интересующих нас состояний в произвольно выбранные моменты времени как для стационарного, так и переходного режимов.
При исследовании готовности СУС МТ важной характеристикой являются затраты на выполнение того или иного эксплуатационного мероприятия и т. д. Такие затраты, например средние затраты С за единицу времени с использованием ПМП, могут определяться по формуле
к п
С = (1/А) ^[СуА + £ РуСу], (14)
У=1 ]=1
где Суу - средние затраты за единицу времени пребывания СУС в У-м состоянии; Су - средние затраты за переход из У-го состояния в ]-е. При вычислении показателя С значения показателей Су-,СУ, образующих квадратную матрицу С{СУ}, предполагаются известными, т. е. их предварительно находят для конкретных СУС МТ.
Таким образом, если заданы граф состояний G(P, 0 и переходов {У, ]}, матрица 0(А) = {0(0} независимых функций распределения времени пребывания СУС МТ в у-м состоянии перед переходом в ]-е, если бы данный выход был единственным, начальное состояние, а также матрица С = {Су} затрат на пребывание в У-м состоянии и переход из него в у-е, то можно определять (исследовать) следующие используемые в практике создания и эксплуатации в соответствии с разработанным алгоритмом оценивания показатели различных эксплуатационных свойств СУС МТ, включая и их готовность: ргу; рй(0; р*; р*(0; Ь; ] Zi; А; 4-; С и др.
Отметим, что получаемые вероятностно-временные показатели ЭС СУС МТ позволяют не только проводить их исследование, но и находить функции ограничений в задачах оптимизации параметров СУС МТ. При этом выражения (12-14) могут быть использованы как целевые функции (для различных ситуаций), а оптимизируемые параметры вектора {Х} СУС МТ обычно являются параметрами распределений 0(0 = {0(А,х)}; С(х) = { Су (х)}.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Адерихин И. В., Чертов В. В. Методика построения полумарковских математических моделей оценивания показателей эксплуатационных свойств сложных систем. - М.: МГАВТ, 1999. - С. 30-44.
2. Сильвестров Д. С. Полумарковские процессы и их приложения. - Киев: Наук. думка, 1982.
3. Тихонов В. И., Миронов Н. П. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977.
Получено 3.03.05
ALGORITHM OF ESTIMATION AND RESEARCH OF READINESS OF SEA-VESSEL CONTROL SYSTEM
I. V. Aderikhin, M. G. Vorotyntseva
Main stages of mathematical model developments are presented here which were worked out on the base of polymarkovian' s algorithm of estimation and research of probabilistic time indexes for readiness and other operating system characteristics of seagoing control system available for navigation practical experiment.
