Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 2, С. 3-8

УДК 517.22

ЗОНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ВЕСОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ТЕОРИИ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

А. В. Абанин, Фам Чонг Тиен

На шкале весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций, найдены две зоны, в первой из которых каждый меньший вес является медленно меняющимся, а во второй — каждый больший вес таковым не будет. Установлено, что их нельзя расширить без потери указанных свойств. Данные зоны непосредственным образом связаны с наличием или отсутствием аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа.

Ключевые слова: ультрадифференцируемые функции, теорема Бореля о продолжении.

1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

Весом или весовой функцией называется [1] непрерывная неубывающая на [0, то) функция и : [0, то) ^ [0, то), и(1) = 0, для которой выполнены следующие условия:

00

(а) и (2t) = O(u(t)) при t ^ то; (ß) / ^ dt < то;

1

(Y) ln(t) = o(u(t)) при t ^ то; (¿) (x) := u(ex) выпукла на [0, то). Совокупность всех весов обозначим через W.

Вес и называется [2] строгим, если имеется такое K > 1, что

u(Kt) ^ limsup —-— < K, t—o u(t)

и нестрогим — в противном случае. Строгость веса — необходимое и достаточное условие справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье максимального и минимального типов, им (весом) задаваемых (см. [2-6]).

В [7] и [8] было установлено, что в случае пространств Берлинга и Румье нормального типа, соответствующих данному весу и, аналог теоремы Бореля верен тогда и только тогда, когда и медленно меняется, то есть когда

lim UM = 1

t—o U(t)

(изложение общей теории медленно меняющихся функций имеется в [9]). Символом SV обозначим множество всех медленно меняющихся весов. В [3] отмечено, что всякий вес и, для которого

ln иШ

t^ := limsup —-= 1,

t—хо ln t

© 2008 Абанин А. В., Фам Чонг Тиен

является нестрогим (всегда ^ 1). При этом, если < 1, то существует такой строгий вес а, что ш(Ь) = о(а(Ь)) при Ь ^ то (например, а(Ь) = Ьр, где < р < 1). С другой стороны, в [10] доказано, что если

ш(Ь)

тш := птвир —^ < то , 1п £

то ш — строгая весовая функция. Если же тш = то, то имеется такой нестрогий вес а, что а(Ь) ^ ш(Ь) при всех

Таким образом, в [3] и [10] были найдены зоны устойчивой нестрогости и строгости, соответственно, которые нельзя расширить относительно степени роста на бесконечности входящих в них весов. В следующих двух теоремах, составляющих основное содержание настоящей работы, содержится описание аналогичных зон в случае медленно меняющихся весов.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

(1) Всякий вес ш, для которого тш < то, является медленно меняющимся.

(2) Если тш = то, то существует такой вес а / , что а(Ь) ^ ш(Ь) при всех Ь.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

(1) Всякий вес ш, для которого > 0, не является медленно меняющимся.

(2) Если = 0, то имеется медленно меняющийся вес а, для которого ш(Ь) ^ а(Ь) при всех Ь ^ 0 и ш(Ь) = о(а(Ь)) при Ь ^ то.

Из теоремы 1 следует, что зона устойчивой строгости совпадает с зоной устойчивого медленного изменения. Поэтому утверждение (1) этой теоремы представляет собой уточнение теоремы 1 из [10]. Смысл теорем 1 и 2 можно интерпретировать следующим образом. Положим

:= {ш £ W : тш < то} , := {ш £ W : > 0}

и введем в классе всех весов естественный частичный порядок, считая, что ш ^ а (или а ^ ш), если ш(Ь) ^ а(Ь) при всех Ь ^ 0. Тогда зона (соответственно является

непрерывной, относительно порядка зоной весов, являющихся (не являющихся) медленно меняющимися, и эту зону нельзя расширить. Именно, обладает тем свойством, что если ш £ (ш £ и а ^ ш (соответственно ш ^ а), то а £ (а £ При этом, если ш / (ш / ), то имеется такой вес а, не являющийся (являющийся) медленно меняющимся, что а ^ ш ( ш ^ а ); более того, в теореме 2 функцию а можно выбрать так, чтобы ш(Ь) = о(а(Ь)) при Ь ^ то.

Отметим, что доказательства первых утверждений теорем 1 и 2 мы проводим отличным от [10] методом, основанном на применении обобщенного правила Лопиталя и его обращения.

2. Вспомогательные результаты

В этом параграфе приводятся необходимые для доказательства теорем 1 и 2 сведения и результаты.

Будем называть функцию ассоциированным с ш £ W весом. Совокупность всех ассоциированных весов обозначим через . Ясно, что класс совпадает с множеством тех выпуклых неубывающих на [0, то) функций ^ : [0, то) ^ [0, то), для которых

ф(0) =0 и выполнены условия:

сс

/ф (ж)

-dx < то; (y') ж = о(ф(ж)) при ж ^ то.

ex

о

Заметим, что ш является медленно меняющимся весом в том и только в том случае, когда

lim Ф^^ = 1,

x—с фш (ж)

а для характеристик тш и верны формулы

V Ф^ (ж) . In фш (ж) тш = limsup-г—; ^ = limsup-. (1)

Ж1 Гр

„ Х—ж

Следующая лемма позволяет в исследуемых нами вопросах считать рассматриваемые веса бесконечно дифференцируемыми.

Лемма 1. Для любой функции ф из класса AW имеется такая бесконечно дифференцируемая функция ф из того же класса, что

ф(ж) ^ ф(ж) ^ ф(ж + 1) при всех ж ^ 0 . (2)

< Используем стандартную процедуру свертки ф с подходящей функцией с компактным носителем. Именно, возьмем функцию % из пространства СC(R) всех бесконечно дифференцируемых на R функций, для которой %(t) ^ 0 всюду на R, %(t) = 0 при |t| ^ 1

и Im X(t) dt = 1.

Пусть n(t) :=6%(6i - 2). Тогда ^ёС C(R), n(t) ^ 0 на R, n(t) =0 вне (1/6,1/2) С [0,1] и JR n(t) dt = 1. Продолжим ф на всю вещественную прямую, приняв, что ф(ж) = 0 для ж < 0, и положим при любом ж ё R

ф(ж) := J(ф(ж + t) - ф(4))п(*) dt = J ф(£)п(£ - ж) dt - J ф(4)п(*) dt.

R RR

Ясно, что ф(0) =0, ф не убывает на [0, то) и ф ё СC(R). Далее, из выпуклости ф на R следует, что ф также выпукла на R. Кроме того, по той же причине ф(ж) + ф^) ^ ф(ж +1) при всех ж, t ^ 0, и поэтому при всех ж ^ 0 имеем

1

ф(ж) = /(ф(х +t) - dt >/ фМ.,« dt = ф(ж).

R 0

С другой стороны, при всех ж ^ 0 выполняется 1 1 ф(ж) = J(ф(ж + t) - ф(^)п^) dt ^У ф(ж + 1)n(t) dt = ф(ж + 1). о о

Итак, ф удовлетворяет условию (2), из которого к тому же следует, что ф — ассоциированный вес. >

Лемма 2. Пусть функции f и д дифференцируемы на (а, то), д'(ж) =0 на (а, то) и lim f (ж) = lim д(ж) = то. Тогда

x — с x—с

f '(ж) , f (ж! f (ж! /(ж)

lim ini ^ lim ini ^ lim sup . . ^ lim sup . .

x—c д'(ж) x—c д(ж) x—с д(ж) x—с д'(ж)

Лемма 3. Пусть f и g — неубывающие выпуклые на (а, то) функции. Предположим, что g непрерывно дифференцируема на (а, то), g'(ж) ^ то при x ^ то и ßg :=

lim sup inf g( ) < то. Тогда справедливы импликации x—o g'(x) t>x t - x

f (x) f'(x) , f (x) , f'(x)

lim = 0 lim = 0 ; lim sup . . < то lim sup . < то ,

x—o g(x) x—o g'(x) x—o g(x) x—o g'(x)

где под f '(x) понимается правая производная f в точке x.

Лемма 2 — не что иное, как хорошо известное правило Лопиталя в обобщенной форме, а лемма 3 — один из вариантов его обращения, установленный в теореме 2 из [11] в несколько более сильной форме (см. также следствие 2 теоремы 2 из [12]; в некоторых конкретных случаях, связанных со сравнением роста максимального члена и максимума модуля целых функций, обращение правила Лопиталя использовалось ранее Ю. Ф. Коробейником в [13]).

3. Доказательство теоремы 1

< (1): Пусть тш < то. По лемме 1 найдем бесконечно дифференцируемую функцию ф из AW, для которой

фш(x) ^ ^(x) ^ фш(x + 1) при всех x ^ 0 . (3)

Отсюда и из (2) следует, что

т ФИ фш (x)

lim sup —тг- = lim sup-„— = тш < то .

Ж 2 rp2

x—xo x

Тогда, так как функция g(x) = x2 выпукла на (0, то) и ßg = 2, то по лемме 3, примененной к ф, имеем, что

V Ф'И lim sup- < то .

x—o x

Использовав неубывание и выпуклость функции ф, а затем условие (y') для ф, заключаем отсюда, что

0 < Ф(X + 1) - Ф(X) < ^ +1) ^ 0 при x ^то . ф(x) ф(x)

Поэтому lim ^Д1) = 1. А тогда в силу (3)

x—o W\x)

lim фш(x + 1) = 1, x—o фш (x)

и, значит, ш — медленно меняющаяся функция.

(2): Если тш = то, то, как установлено в теореме 2 из [10], существует такой нестрогий вес а, что a(t) ^ w(t) при всех t. Так как всякий нестрогий вес не является медленно меняющимся, то этот же вес удовлетворяет утверждению (2) теоремы 1. >

Отметим, что пункт (1) теоремы 1 можно было доказать, использовав незначительное уточнение рассуждений, приведенных в доказательстве теоремы 1 из [10].

4. Доказательство теоремы 2

< (1): Пусть > 0. Как и выше, возьмем бесконечно дифференцируемую функцию ф из AW, для которой выполняется (3). Тогда из леммы 2 и (3) следует, что

/! ,/ NN/ I0 Ф(Ж) I0 фШ (Х) lim sup = limsup(ln ф(ж)) ^ lim sup-= lim sup-= .

ж^те ф(ж) ж^те ж^те Х ж^те Х

В силу выпуклости ф имеем, что ф(ж + 1) — ф(ж) ^ ф/(x) при всех ж. Поэтому, еще раз применив (3), получаем, что

фШ (ж + 2) ф(ж + 1) , ф/(ж)

lim sup---— ^ lim sup ——т^— ^ 1 + lim sup ——— ^ 1 + > 1.

ж^те фш (ж) ж^те ф(ж) ж^те ф(ж)

~ У Фш (ж + 1)

Отсюда, очевидно, следует, что lim -——— > 1, и, значит, ш не является медленно

ж^те фш (ж)

меняющейся.

(2): Пусть = 0. Зафиксируем произвольную последовательность (An)^=1, для которой Ai < 1 и An I 0. Из равенства =0 следует, что имеется такая последовательность (ж„)те=1, что жп+1 > жп + 1 и фШ (ж) < еЛпж при всех ж ^ жп (n G N). Пусть An := еЛ"жп+1 — еЛп+1жп+1 (n G N). Заметим, что An > 0 при всех n G N. Положим

ф(ж) : =

еЛ1 ж при ж G [0, ж2),

n— 1

еЛпж + Aj при ж G [жп, жп+1) и n ^ 2.

i=1

Ясно, что ф не убывает и непрерывна на [0, то). Далее, если жп < ж<ж + 1 < жп+1, то

ф(ж)

а если жп < ж < жп+1 < ж + 1, то

ф(ж + 1) — ф(ж) < еЛ™(ж+1) — еЛ™ж = еЛп 1

ф (ж + 1) - ф (ж) eAn+l(x+1) + А„ - eA™x Л л

—-, !, <-х---< еЛп + еЛп+1 - 2 .

ф(ж) e^x

Поэтому

v ф (ж + 1)

lim ; =1. (4)

x—c ф (ж)

Положим Ф(ж) := /0е ф(t) dt. Очевидно, что Ф(0) =0, Ф возрастает и дифференцируема на [0, то). При этом Ф'(ж) = ф(ж) не убывает на (0, то), и, значит, функция Ф выпукла на [0, то).

еЛ^

По построению ф^) ^ еЛ1* на [0, то), и, следовательно, Ф(ж) ^ —— при всех ж ^ 0.

Отсюда получаем, что Ф удовлетворяет условию (в'). Кроме того, так как ф(ж) ^ фш(ж)

' Ф(ж) при ж ^ ж1, то lim Ф'(ж) = lim ф(ж) = то, а тогда и lim - = то. Поэтому для Ф

x—c x—c x—с ж

имеет место условие (y'). Наконец, применив правило Лопиталя и воспользовавшись (4), имеем

Ф(ж + 1) v ф(ж + 1) lim 4 ' = lim \ ' =1, (5)

x—c Ф(ж) x—c ф (ж)

откуда, очевидно, следует, что Ф удовлетворяет условию (а').

е

Положим сто(Ь) := Ф(1п+ Ь), где 1п+ Ь := тах(0,1пЬ) при Ь ^ 0. Тогда из сказанного выше заключаем, что сто является медленно меняющимся весом. Кроме того, по построению ф получаем, что (ж) С еЛ"ж С ф(ж) при ж £ [жп, жп+1) (п £ Н). А из выпуклости Ф и (5) имеем

ф(ж) Ф'(ж) Ф(ж + 1) - Ф(ж)

11т = 11т —Ц^ С 11т --Ц-^ = 0.

ж^о Ф(ж) ж^о Ф(ж) ж^о Ф(ж)

Следовательно, (ж) = о(Ф(ж)) при ж ^ то, то есть ш(Ь) = о(сто(Ь)) при Ь ^ то. Подберем Т > 1 так, чтобы ш(Ь) С сто(Ь) при всех Ь ^ Т, и положим ст(Ь) := сто(Т)ЩГ при 0 С Ь С Т и ст(Ь) := сто(4) при Ь ^ Т. Тогда ст обладает теми же свойствами, что и сто и при этом ш С ст. >

Литература

1. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.—1990.—V. 17.—P. 206-237.

2. Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Studia Math.—1991.—V. 99.—P. 155-184.

3. Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Math.—1988.—V. 26.—P. 265-287.

4. Bonet J., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad.—1989.—V. 89(A).—P. 53-66.

5. Абанин А. В. Характеризация классов ультрадифференцируемых функций, допускающих аналог теоремы Уитни о продолжении // Докл. РАН.—2000.—Т. 371, № 2.—C. 151-154.

6. Abanin A. V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions // Math. Ann.—2001.—V. 320.—P. 115-126.

7. Абанина Д. А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика.—2003.—№ 8.—С. 63-66.

8. Abanina D. A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Results math.—2003.—V. 44.—P. 195-213.

9. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.—М.: Наука, 1985.—141 с.

10. Абанин Д. А. О зонах устойчивости в задаче Уитни о продолжении для ультрадифференцируемых функций // Мат. заметки.—2002.—Т. 71, № 2.—С. 163-167.

11. Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя // В сб.: Механика сплошной среды.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ.—1985.—С. 28-42.

12. Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций.—М.: Прометей, 2005.—232 с.

13. Братищев А. В., Коробейник Ю. Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций // Мат. сб.—1978.—Т. 106, № 1.—С. 44-65.

Статья поступила 24 марта 2008 г.

Абанин Александр Васильевич Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, 344090, РОССИЯ E-mail: [email protected]

Фам Чонг Тиен

Южный федеральный университет

Ростов-на-Дону, 344090, РОССИЯ