ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ИЗ $L_{2}[0,2\pi]$ И МИНИМИЗАЦИЯ ТОЧНЫХ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 60-68

Математика :

УДК 517.5

Значения поперечников классов функций из Ь2[0, 2п] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона

М. Ш. Шабозов, С. Д. Темурбекова

Аннотация. Решена задача о минимизации константы в неравенствах типа Джексона по всем подпространствам размерности п, т.е. относительно всего множества приближающих подпространств размерности п. Показано, что эта величина равна значению различных поперечников класса (р, Н,ш \ ф).

Ключевые слова: минимизация констант, неравенство типа Джексона, наилучшие приближения, модуль непрерывности, поперечники.

Введение

Пусть ¿2 [0, 2п] — пространство измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу 2п-периодических функций f с конечной нормой

2п

1/2

II/II := II/IIl2 = 11 0\/(ж)|2^ж< то,

а ряд

— + ^ (ak cos kx + Ьк sin kx) к=1

является рядом Фурье функции / Е ¿2-

Через L^ (l20) = L2) обозначим множество функций /, у которых существует производная Вейля /(а) е L2 (/(0) = /). Если Sn-i(f(а); х) (а ^ 0) — частичная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции /(а\ то, как хорошо известно, наилучшее приближение функции /(а) Е L2 тригонометрическими полиномами Tn_i степени не выше n — 1 имеет вид

En-i(f(а)) = Ef(а); І2и-і) = inf [\\f(а) - Tn-i\\ : T-i Є І2п-і} =

/ <ж \ 1/2

= и(а)-Sn-i(f<“»)« = hrk2api) , (і)

\k=U /

где pk := a\ + b2k, k ^ n, I2n-1 — (2n — 1)-мерное подпространство

тригонометрических полиномов в ¿2-

Пусть B = {д : Уд У ^ 1} — единичный шар в ¿2- Назовём n-мерным поперечником по Бернштейну, Гельфанду, Колмогорову, линейным и проекционным поперечниками класса M С L2 соответственно следующие величины:

bn(M, L2) = sup {sup {є > 0; eS П Лп+і С M} : Лп+і С ¿2} , dn(M, L2) = inf {sup {\\f У : f Є M П Лп} : Лп С L2} , dn(M, L2) = inf {sup {inf {||f — g\\ : g Є Лп} : f Є M} : Лп С L2} ,

5n(M, L2) = inf {inf {sup {\\f — £f У : f Є M} : £L2 С Лп} : Лп С L2} , Пп(М, L2) = inf {inf {sup {||f — £±f У : f Є M} : £^2 С Лп} : Лп С L2} ,

где Лп С Ь2 — п-мерное подпространство; Лп С Ь2 — подпространство

коразмерности п; £ : Ь2 ^ Лп — непрерывный линейный оператор,

переводящий элементы пространства ¿2 в Лп; £^ : ¿2 ^ Лп — непрерывный оператор линейного проектирования пространства ¿2 на подпространство Лп таких, что Л/ = /, если / С Ьп.

Указанные величины монотонно убывают по п и между ними в пространстве ¿2 выполняются соотношения:

Ьп(М; ¿2) < ¿п(М; ¿2) < dn(Ш; ¿2) = 5п(М; ¿2) = Пп(М; ¿2). (2)

Равенством

= sup

Um(f,t) = sup{ IIA^f У : \т| < t} =

m

Т,(—1)\k)f (' + (m — к)т)

определим модуль непрерывности m-го порядка функции f Е Ь2.

Пусть <^(t) ^ 0 — суммируемая на [0,h] функция. Через Wm(f(а); ф)р>н, m Е N, a,p Е R+, 0 < h ^ п обозначим среднее в p-ой степени значение модуля непрерывности порядка m от функции f(а) с весом <^(t) :

-1/p

(«);,

Wm(f (а); <р)p,h = IJ upm(f (a); t)^(t)dt\ \J p(t)dt\ , (3

а через ь2*\р, Н, т; ^>) обозначим множество функций f Е , для которых №т(/(а); ^>)рЛ ^ 1. Очевидно, что в силу свойства монотонности модуля

непрерывности m-го порядка ит (f(a); t) для произвольной суммируемой весовой функции <^(t) ^ 0, 0 < t ^ h из (3) вытекает неравенство

C(m,a,p,h)Um(f(a); h) ^ Wm(f(a); <fi)p,h ^ ^m(f(а); h),

где C(m,a,p,h) - положительная константа, которая зависит от значений указанных параметров в скобке.

Отыскание наименьшей константы в неравенстве Джексона-Стечкина равносильно задаче вычисления точной верхней грани

(Т (а) т '-i \ _ / E(f ’ In) f ^ т (a) \ f л\

Xm,a,p,h (L2 ,L2, In) — supj ^m(f (a); ^)ph : f E L2 ]• (4)

Насколько важно изучение величины (4) в каждом конкретном случае для привлечения новых идеи и методов, которые затем оказываются полезными при решении других экстремальных задач, отмечено в монографии В.И.Иванова и О.И.Смирного [1].

Отметим, что величину (4) при <^(t) — sinnt, m — 1, p — 2, a E N U {0}, nt 1

h — п/n и <^(t) — sin — + 2 sin nt, m E N, p — 2, a E N U {0}, h — 2n/n

вычислил Н.И.Черных [2]. Затем Л.В.Тайков [3, 4] нашёл значение величины (4) при <^(t) = 1, m — 1, p — 1, a E N, h — n/n и <^(t) = 1, p — 2, 0 < h ^

^ п/n, r,a E N. Определили значение (4) Н.Айнуллоев [5] и В.В.Шалаев [6]

в

соответственно при <^(t) — sin при p — 2, в — п, 0 < h ^ п/n, m,a E N и

p — 2/m, в — п, m E N, h — п/n, a E N U {0}. М.Г.Есмаганбетов [7] вычислил значение величины (4) при <^(t) — sin7(et/h), 0 < p ^ 2, m E N U {0}, a ^ 1,

0 ^ y ^ ap — 1, 0 < в ^ п, 0 < h ^ п/n• Более общие результаты получены в [8].

Основной результат

В данной работе нами решена задача о минимизации величины (4) по всем подпространствам размерности n, т.е. вычислены значения инфимума величины (4) относительно всего множества приближающихся подпространств In С L2 размерности n :

Xn,m,a,p,h ^L2 , L2^ = inf Xm,a,p,h (^L2 , L2, ^n^ : ^n С L2 j1 =

= infW Wf 'in : f 6 L“} : In С L2} •

Положим также

E (L2a)(p,h,m;^),L^ = sup {\\f - Sn-i(f)\| : f E L2a)(p,h,m;

Теорема 1. Пусть Н,р > 0, а ^ 0, т Е N и {0}, п Е N. Тогда, имеет место равенства

Хт,и,а,р,н = йп [ь2а'){т,р,Н; ф),Ь^ .

-(«)

Доказательство. Пусть / е Ьу и Лт(/ (а),ф)Рнн = и > 0.

т(/<Г\ф)р,1

Тогда положив /1(х) = и 1/(ж), получим Лт(/(а\ ф)р,н = 1, т.е

/1 Е Ь^(т,р, Н; ф). Учитывая положительную однородность функционалов Е(/, 1п) и Wm(/(а),ф)р,н при фиксированном Н имеем

йир ш Е/ ^^ йир Е (/1п). (5)

/еь(2а) Лт ^ ; ф>р,Н /еь(2а) р,н,т;р)

Переходя в неравенстве (5) к нижним граням по всем подпространствам

1п С Ь2 размерности п, получаем

Хт,п,а,р,н (¿2*), ^ йп (т,р, Н; ф), . (6)

С другой стороны, для произвольной функции / Е ь2а)(р, Н, т; ф) в силу определения класса Ь^\р,Н,т; ф) имеем:

Е (/, 1п)

п

1/1/

т

' р,Н

Последнее неравенство верно для любого подпространства 1п С Ь2, а потому верно неравенство

йп (Ь2а)(т,р,Н;ф),Ь^ ^ Хт,п,а,р,н (ь2а),ь^ . (7)

Утверждение теоремы 2.1 вытекает из сопоставлений (6) и (7).

Теорема 2. Пусть весовая функция ф, заданная на отрезке [0, Н], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой. Если при некоторых а ^ 1,1/а ^ р ^ 2 и любых £ Е [0, Н] выполнено неравенство

(ар — 1)ф(£) — ф'(Ь) ^ 0, то при всех т,п Е N и 0 < Н ^ п/п справедливы равенства

Х2п,т,а,р,Н ^Ь^, ¿2^ = Х2п-1,т,а,р,Н , Ь^ = Еп ^Ь^ (р, Н, т; ф), Ь^ =

= А2п [ь2а)(р,Н,т; ф),Ь^ = Л2п-1 ^¿^(р, Н, т; ф),Ь^ =

( н 1 1/р ( н \ -1/р

= па ф(£)м 1 (/ (2 81п п) р ф(£)й£

где Лп(-) — любой из вышеперечисленных п-поперечников Ъп(), йп(-), йп( ), 5п(■), и Пп(-). Все п-поперечники реализуются частичными суммами Фурье Бп-1(/; г).

Доказательство. Воспользовавшись упрощённым вариантом неравенства Минковского

h / ж \Р/2 \ 1/Р ( ос ( h \ 2/Л

/ £lf>((t) I ^ A >(e U\h(t) И-dt) I

0 Vfc=^ / J \k=n\ о /у

1/2

, 0 <p ^ 2,

~ р — -г (а)

и имея ввиду, что для произвольной / Е Ь2 имеет место соотношение

шт f(а); ^ = 2m sup £ k2apl(1 — cos ku)m : | u| ^ t

,fc=1

получаем

h \ 1/p f (f (а); Л <P(t)dt

') r - Yn \1/p

/ 2^ k2ap2k(1 — cos kt)m\ v(t)dt I ^

(- i h г

pk { kap (1 — cos kt)ap/2^(t)dt \k=n { 0

Покажем, что при сделанных предположениях относительно функции ф(г) и указанных параметров функция

^(y) = yapJ (1 — cos yt)ap/2^(t)dt 0

(9)

возрастает по y > 0 при ap > 1. В самом деле, воспользовавшись легко проверяемым тождеством

d (1 — cos yt)ap/2 = y • d (1 — cos yt)mp/2 dy t dt

h

и выполнив интегрирование по частям во втором интеграле правой части

(9), получаем

h h tf(y) = apyap-1 У (1 — cos yt)ap/2p(t)dt + yap-1 j dt (1 — cosyt)ap/2tp(t)dt =

= yap-l\ (1 - cosyh)ap/2hp(h) + ^(1 - cosyt)ap/2 [(ap - 1)p(t) - tp'(t)] dt \ ^ 0.

4 0

Отсюда, при выполнении условий теоремы имеем

н

п\ ; ар

0

Тем самым, продолжая неравенство (8) с учётом равенства (1), получим н \1/р / н

h

min [ф(к) : к ^ п} = ф(и) = nap J(1 - cos nt)ap/2p(t)dt.

їирт (f(a); t) ^(t)dt) ^ 2m/2na П(1 - cos nt)ap/2^(t)dtU¿ p2

0 \0 / \k=n .

1/2

= 2m/2na ^ j(1 - cosnt)ap/V(t)dtj En(f).

Из последнего неравенства следует, что

í h \

[ upm (f (а); A v(t)dt

1/p

1

2m/2

na

(1 - cosnt)ap/2p(t)dt

V 0

/

(10)

Непосредственным вычислением убеждаемся, что равенство в

(10) достигается для функции fo(t) = sin nt Є . Поскольку Sn-i(Tn-i; t) = Tn-i(t) для Tn-i Є І2п-і, а также S2n-ilf) Є J2n-1 для любого f Є L2, то для проекционного поперечника класса L^(p,h,m; р) получаем оценку сверху

П2п (l2“}(p, h, m; р), L^ ^

^ П2п-і (L2a)(p,h,m; p),L^ ^ En [l^^(p,h,m; p),L^ =

h

Н \1/р ( Н \ -1/р

= 2-т/2п-а I [ ф(г)йг\ ! (1 - совпі)тр/2 р(і)йі

Н Л1/р ( Н \-1/р

= п-

р(і)йі

I (2зт |) р(і)М

(11)

С целью получения оценки снизу бернштейновского п-поперечника класса Ь^ (р, Н, т; ф) введём в рассмотрение шар

®2п+1 = | Тп Е 12п+1 : \\Тп\\ ^ п-а ( / ф(г)йг\ х

0

-1/р

х (1 у) р(і)йП |

в (2п + 1)-мерном подпространстве 12п+1 тригонометрических полиномов.

Покажем, что Тп Е ь2а^(р,Н,т; ф). Воспользовавшись рассуждениями работы [4], легко докажем, что для произвольного полинома Тп Е ®2п+1 П П 12п+1 имеет место неравенство

(тпа\і) < па (28ІП пу\\тп\1

Отсюда непосредственно получаем

/Г Н / \ \ 1//Р / 1'Н / пі \ тр

/о шт \т(а); і)р(і)Лі | | J0 (2йіпу) р(і)(1і

7Н ^ п 7Н

р(і)йі

( ГН ( . пі\тр \ 1/р

)

р(і)йі

/

а потому В2п+1 є (р, Н, т; р). Тогда по теореме о поперечнике шара (см.

[9, с.342]) имеем оценку снизу для бернштейновского поперечника

Ь2п-1 (¿^(р^т; р),Ь^ ^ Ь2п {¿^(р, Н, т; р),^) ^

( гн л1/р (гн ( пг )тр л 1/р

^ Ъ2п (®2п+1, ь2) = п а1 J ф(г)йЛ |у ^2э1п ф(г)йЛ . (12)

Сопоставляя неравенства (11) и (12) с учетом соотношения (2) завершаем доказательство теоремы 2.2. Из доказанной теоремы вытекает

в

Следствие 1. Пусть p*(t) = sin7 ^t; 0 ^ Y ^ ap — 1, а ^ 1, 1/а ^ p ^ ^ 2. Тогда имеют место равенства [7]

X2n,m,a,p,h (^L2 \ L2^ = X2n-1,m,a,p,h (^L2 ^, L^ =

= A2n (yL2a)(p,h,m; p*),L^ = A2n-i (L2a)(p,h, m; p*),L^ =

где Хк(•) — любой из вышеперечисленных к-поперечников.

Список литературы

1. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах ¿р. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

2. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.

3. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства ¿2 // Матем. заметки. 1977. Т.22, №4. С.535-542.

4. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из ¿2 // Матем. заметки. 1979. Т.25, №2. С.217-223.

5. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в ¿2 // Применение функционального анализа в теории приближений: сб. научных тр. Калинин: Калининский ун-т, 1991.

6. Шалаев В.В. О поперечниках в ¿2 классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Украинский матем. журнал. 1991. Т.43, №3. С.125-129.

7. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из ¿2[0, 2^] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Матем. заметки. 1999. Т.65, №6. С.816-820.

8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Наилучшие полиномиальные приближения в ¿2 некоторых классов 2^-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С.764-775.

9. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

Шабозов Мирганд Шабозович ([email protected]), д.ф.-м.н., академик АН Республики Таджикистан, отдел теории функций и функционального анализа, Институт математики АН Республики Таджикистан, Душанбе.

Темурбекова София Давронбековна ([email protected]), аспирант, Институт математики АН Республики Таджикистан, Душанбе.

The exact value of classes in L2[0, 2n] and the minimization of exact constant in the inequalities of Jackson’s type

M. Sh. Shabozov, S. D. Temurbekova

Abstract. The problem about the minimization of constants in the inequalities of Jackson type in all spaces dimension n, concerning all approximating subspace of dimension n, was solved. It’s shown that this value is equal to the value of diverse widths classes L^(p, h, m; p).

Keywords: inequality of Jackson’s type, the best approximation, modulus of continuity, n-widths.

Shabozov Mirgand ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, academician of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, department of theory of functions and functional analysis, Institute of Mathematics, Dushanbe.

Temurbekova Sofiya ([email protected]), postgraduate student, Institute of Mathematics of the Republic of Tajikistan, Dushanbe.

Поступила 16.09.2012