CC BY
251
УДК 372.8
ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ОБРАЗОВАНИИ БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ
ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
© 2016 И. В. Детушев1, Л. В. Детушева2
1канд. пед. наук, преподаватель математики Центра довузовской подготовки
e-mail: detushev-ivan@yandex.ru 2аспирант каф. алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: detusheva-lilia@yandex.ru
Курский государственный университет
В статье рассматривается применение аппарата линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, линейного и динамического программирования в экономике. В работе показывается важность математики в образовании современных специалистов экономического профиля.
Ключевые слова: студенты экономического профиля, методика обучения математике, применение математики в экономике, задачи с экономическим содержанием.
Характерной особенностью современной сферы производства является процесс непрерывного обновления технической и технологической базы, применение наукоемких технологий на каждом этапе технологического процесса, внедрение в процесс производства достижений научно-технического прогресса. Все это требует привлечения во все сферы производства достаточно большого числа широко образованных специалистов экономического профиля, способных решать управленческие задачи, прогнозировать экономические риски, владеть методами принятия стратегических и тактических решений в управлении производственной деятельностью предприятия. Однако все эти требования становятся практически невыполнимыми без внедрения в деятельность современных экономистов разнообразного и достаточно сложного математического аппарата, что ставит перед вузами проблему «качественной» математической подготовки специалистов экономического профиля.
С помощью математики необходимо обучить будущих специалистов экономического профиля статистическим и количественным методам решения типовых организационно-управленческих задач, а также сформировать у них способность выбирать математические модели организационных систем, анализировать их адекватность, проводить адаптацию моделей к конкретным задачам управления.
Обеспечить выполнение всех выше перечисленных задач обучения студентов-экономистов математике возможно с помощью ориентации обучения математике будущих экономистов на профессионально-прикладную направленность курса «Математика» с одновременным усилением уровня ее фундаментализации. Создать подобную образовательную модель можно с помощью включения в процесс обучения студентов-экономистов математике комплекса заданий и задач с прикладным экономическим содержанием. Образовательная ценность такого подхода рассматривается в работах Н.А. Бурмистровой, В.А. Далингера, М.Е. Исина, П.В. Кийко, Н.Ш. Кремера, Е.Б. Чуяко. В.А. Далингер отмечает: «Решая профессионально ориентированные задачи различного уровня сложности и в определенной последовательности, студенты оперируют профессиональными
терминами, приобретают умение анализировать ситуации, характерные для будущей профессиональной деятельности в сфере экономики и финансов» [Далингер 2002: 17].
Использование задач с прикладным экономическим содержанием в процессе изучения математики способствует расширению кругозора студентов-экономистов, развивает математическое и экономическое мышление будущих экономистов, способствует накоплению широкого спектра математических знаний, учит студентов мыслить оригинально, выделять главное и второстепенное, отыскивать новые подходы к решению задач, творчески подходить к вопросу решения задач учебного характера.
По мнению Н.А. Терешина, «экономический анализ рассматриваемых жизненных ситуаций по результатам решения задач способствует, с одной стороны, развитию математического мышления на конкретном материале, с другой -закреплению и углублению экономических знаний в результате качественно-количественной интерпретации экономических понятий» [Терешин 1990: 30-31]. Поэтому решение задач ситуационного экономического характера, кроме обучающих функций, несет в себе также и развивающие функции, в частности развивает математическое и экономическое мышление будущих специалистов экономического профиля.
Современные реалии таковы, что востребованным на рынке труда может себя считать лишь тот специалист экономического профиля, который обладает обширными знаниями, умениями и навыками в своей области, опирающимися на фундаментальную математическую подготовку.
Поэтому важнейшей целью обучения студентов экономического профиля математике можно считать формирование у них знаний, умений и навыков, необходимых им в будущей профессиональной деятельности. «У них необходимо формировать такой уровень математической подготовки, - отмечает П.В. Кийко, -который необходим для решения задач, требующих анализа ситуации и выбора решений при изучении специальных дисциплин, для осуществления профессиональной деятельности, для продолжения образования» [Кийко 2006: 40-42].
Важность целей и методов обучения математике утверждал известный математик и педагог П.С. Александров: «Принципиальными моментами проблемы математического образования являются: выбор объема и содержания математических курсов, определение целей обучения, правильное сочетание широты и глубины изложения, строгости и наглядности, то есть выбора наиболее эффективных и рациональных путей обучения, и все это с учетом ограниченного времени, отводимого на изучение математики» (см.: [Кудрявцев 1985: 60-61]). Из опыта преподавания математики студентам-экономистам известно, что математика для студентов экономических специальностей представляет интерес не столько как самостоятельная наука, сколько как основной инструментарий для решения различных экономических задач, поэтому данный курс должен сочетать в себе прикладной и теоретический характер. В процессе изучения математики у студентов экономического профиля должны сформироваться представления об основных математических понятиях и теориях, умения системно использовать математические методы и модели для описания экономических и управленческих явлений, навыки и приемы адаптации полученных математических знаний к возможности их применения при решении задач, характерных для профессиональной деятельности экономистов. Подобную точку зрения разделяет российский математик, педагог и исследователь Л. Д. Кудрявцев: «В математических курсах в высших специальных учебных заведениях и должны, конечно, в первую очередь изучаться математические структуры, моделирующие те или иные реальные явления, а математические структуры, не являющиеся непосредственной математической моделью реального явления, лишь постольку,
поскольку они являются удобным математическим аппаратом для изучения математических моделей реальных явлений» [Кудрявцев 1985: 50-51]. Поэтому при обучении математике студентов-экономистов акцент нужно делать на те математические структуры, которые студенты смогут применить в своей будущей профессиональной деятельности. То есть обучение студентов-экономистов математике должно быть профессионально направленным. Подобную точку зрения разделяют А.В. Щербаков, А.Л. Денисова, Н.П. Пучков и другие. Так, Н.П. Пучков утверждает: «Отбор содержания учебного курса по математике должен осуществляться при непосредственном участии преподавателей специальных дисциплин, которые могут определить объем дополнительных специальных знаний для преподавателя-математика» [Пучков 2003: 13-14].
В настоящее время во многих российских вузах так и не снята проблема «качественной» математической подготовки студентов экономического профиля. По-прежнему изложение математики на экономических факультетах многих вузов носит формальный характер, изучаемые математические понятия и теории не соотносятся студентами с их будущей профессиональной деятельностью, что отталкивает студентов от более детального и внимательного изучения данной дисциплины. Подобную точку зрения разделяет Л.Д. Рябоконева, которая утверждает: «Одним из ведущих средств формирования экономической грамотности является математика с ее арсеналом теоретических знаний и методов, но еще в большей степени математика практически-ориентированная» [Рябоконева 1997: 90-92].
По мнению Н.А. Бурмистровой, «в сфере экономики, как и в математике, применяются одни и те же методы рассуждений, цель которых состоит в осуществлении наиболее оптимального варианта поведения при исследовании конкретных ситуаций» [Бурмистрова 2001: 47-48].
Анализ научных исследований, посвященных проблеме обучения математике студентов экономического профиля, позволил выделить ряд ведущих общеобразовательных, воспитательных и развивающих целей математической подготовки студентов-экономистов.
Общеобразовательные цели: овладение студентами-экономистами знаниями, умениями, навыками, дающими представления о курсе «Математика» в контексте экономического образования, формирование и накопление умений построения реальных экономических явлений и процессов, ознакомление с ролью математики и математического моделирования в экономике и производстве, приобщение студентов к творческой деятельности в области математики.
Воспитательные цели: воспитание экономической интуиции, фантазии и чувства гармонии, умения думать и доказывать свою правоту; воспитание нравственности, сообразительности и честности, культуры общения и поведения.
Развивающие цели: развитие внимания, способности сосредоточиться; формирование логического, творческого, экономического мышления, критического отношения к своим способностям и действиям, развитие деловитости и предприимчивости.
О важности выбора целей обучения математике студентов нематематических специальностей высказывался Л. Д. Кудрявцев: «Надо всегда помнить, что когда мы учим математике студентов, которые в силу своей природной склонности избрали своей будущей специальностью не математику, то следует особенно тщательно отбирать лишь тот материал, который полезен для них, который им доступен и который может быть ими усвоен за тот промежуток времени, который на это отводится, наконец, тот, на котором можно воспитать у них нужную им математическую культуру» [Кудрявцев 1985: 33-34].
Чтобы процесс обучения математике положительно влиял на уровень сформированности знаний, умений и навыков, необходимых экономисту при выполнении его профессиональных обязанностей, нужно:
- направить курс математики на решение профессионально значимых задач;
- усилить связь математики с будущей профессиональной деятельностью студентов-экономистов;
- повысить мотивацию студентов при изучении математики за счет включения в процесс обучения задач с прикладным экономическим содержанием;
- увязать глубинные математические понятия со знаниями, непосредственно применяемыми в экономических задачах;
- наполнить курс математики фундаментальными математическими понятиями, которые характерны для математической деятельности в выбранной специальности.
Как отмечает К.Н. Соловьенко, «полученные в вузе знания должны не конфликтовать, а дополнять друг друга, давая целостную картину мира (в том числе и профессионального). Этому могут служить междисциплинарные связи управления, экономики и математики» [Соловьенко 2001: 47].
В настоящее время становится актуальным вопрос о содержании вузовского курса «Математика», читаемого на экономических факультетах вузов. В системе математической подготовки студентов-экономистов необходимо выделить разделы высшей математики, наиболее необходимые обучающимся в будущей профессиональной деятельности. К таким разделам можно отнести линейную алгебру, аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей и математическую статистику, линейное и динамическое программирование, теорию игр. Проанализируем каждый из представленных разделов высшей математики с позиции их применимости в экономике.
Раздел «Линейная алгебра»
При изучении элементов линейной алгебры на экономических факультетах основное внимание нужно уделить матрицам, определителям, системам линейных уравнений, собственным векторам матриц, квадратичным формам, поскольку эти понятия широко используются в экономических исследованиях, а также в специальных экономических дисциплинах. Особенно часто этими понятиями оперируют в межотраслевом балансе, в плановых расчетах, при расчетах фонда заработной платы. Неотрицательные матрицы широко используются при описании межотраслевых производственных процессов, при описании линейной матричной модели международной торговли, при составлении модели взаимных закупок товаров. Собственные векторы используются при анализе модели устойчивой согласованности мнений экспертов. Системы линейных уравнений применяются в модели Леонтьева, которая строится на основе схемы межотраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей.
При изучении линейной алгебры у студентов-экономистов не должно формироваться ощущение оторванности этой темы от экономики. Поэтому при обучении студентов линейной алгебре необходимо обращать внимание на активное творческое овладение изучаемым материалом, на развитие экономической интуиции, на создание теоретического и практического математического мировоззрения, использующего математический аппарат для решения экономических задач. В процессе изучения линейной алгебры на экономических факультетах вузов обязательно должно осуществляться применение математических методов к решению прикладных практических задач экономики. Только в этом случае у студентов-экономистов может
создаться убежденность в полезности аппарата линейной алгебры для их дальнейшей профессиональной деятельности. При изучении данного раздела студентам-экономистам нужно показать, что линейная алгебра широко применяется в реальной жизни. Это можно сделать посредством задач прикладного экономического содержания: определение объема расходования сырья как результат перемножения матриц, прогнозирование объема выпуска продукции как результат решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений, применение линейной модели матричного вида для анализа многоотраслевой экономики, анализ процесса взаимных закупок товаров с использованием понятия собственного числа и др.
Раздел «Аналитическая геометрия»
При изучении аналитической геометрии на экономических факультетах вузов основное внимание нужно уделить различным видам уравнений прямой на плоскости и в пространстве, методу координат, линиям второго порядка, поскольку эти понятия широко используются в экономической литературе, а также в обучающих курсах экономического содержания. Студентам необходимо показать, что аналитическую геометрию необходимо знать, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представленную в виде различных графиков (это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца), выводить интерполяционные формулы по методу наименьших квадратов, находить наилучший план производства при заданных расходах и др.
При изучении аналитической геометрии студентам нужно показать, что аналитическая геометрия широко применяется не только в экономических исследованиях, но и в реальной экономической жизни.
Раздел «Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных»
Дифференциальное и интегральное исчисление - это широко применяемые инструменты для исследования различных процессов в экономике. Важной задачей будущих экономистов является изучение экономических величин, записанных в виде функций. Эти функции строятся в процессе решения таких профессиональных задач экономистов, как направление изменения дохода государства при увеличении налогов, увеличение или уменьшение выручки фирмы при повышении цены на ее продукцию, получение максимальной прибыли при минимальных издержках и др. Для решения таких задач строятся функции, затем эти функции анализируются с помощью аппарата дифференциального и интегрального исчисления.
Студентам-экономистам в своей будущей профессиональной деятельности будет требоваться найти наилучшее значение того или иного показателя, к примеру -максимальную прибыль, наивысшую производительность труда, минимальные потери сырья и т.д. В подобных задачах поиск наилучшего значения показателя сводится к нахождению экстремума функции одной или нескольких переменных.
В экономике широко используются средние величины: средний доход, средняя производительность труда, средняя прибыль и др. Однако чаще требуется узнать, как изменится результат, если будут увеличены затраты, или, наоборот, на сколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить нельзя. В таких задачах требуется определить предел отношения приростов результата к затратам, то есть найти производную.
При обучении студентов-экономистов дифференциальному и интегральному исчислению нужно развивать у них экономическую интуицию, теоретическое и практическое мировоззрение. Изучая дифференциальное и интегральное исчисление на экономических факультетах вузов, важно показать, что этот раздел математики широко применяется в экономике. Этого можно добиться, решая на занятиях по математике
задания с прикладным экономическим содержанием, ориентированные на применение дифференциального исчисления при исследовании эластичности спроса и предложения, на определение максимальных чистых выгод, на анализ потребительского поведения для определения объема выпускаемой продукции и издержек, на расчет максимальной прибыли в условиях монополии и конкуренции, на применение второй производной при оценке стоимости облигации, на поиск экстремума функции нескольких переменных для определения прибыли и оптимизации распределения ресурсов, на применение интегрального исчисления в модели Лоренца и при расчете коэффициента Джини. Особое внимание при изучении дифференциального и интегрального исчисления на экономических факультетах вузов нужно уделить таким фундаментальным понятиям, как предел, производная, интеграл, так как эти понятия широко применяются в экономических исследованиях.
Раздел «Дифференциальные уравнения»
Дифференциальные уравнения - это широко применяемый аппарат для исследования различных процессов в экономике. В экономике дифференциальные уравнения применяются для описания динамики численности населения, при моделировании проблем инфляции, государственного долга, экономического роста, безработицы, взаимосвязей денежного и реального рынков, при анализе динамической модели инфляции в переходной экономике. Изучение различных закономерностей развития общества может привести студентов-экономистов к построению таких математических моделей, основным инструментом решения которых являются дифференциальные уравнения. Поэтому студентам-экономистам нужно показать необходимость изучения данного раздела математики для их успешного овладения специальной экономической литературой, а также для развития умения анализировать экономические процессы, которые описываются дифференциальными уравнениями.
Изучая данный раздел математики, студенты-экономисты должны осознать, что дифференциальные уравнения будут им нужны в будущем для успешного осуществления профессиональной деятельности. Если у студентов сформировать такую мотивацию, то можно ожидать, что они самостоятельно начнут изучать теоретический материал по теме «Дифференциальные уравнения» и тем самым повысят уровень фундаментальности своего математического образования.
Раздел «Теория вероятностей и математическая статистика»
Важнейшей задачей в деятельности современного экономиста является принятие управленческих решений в условиях неопределенности. При этом наиболее разработанным математическим инструментарием для решения подобного рода профессиональных задач экономистов является теория вероятностей и математическая статистика.
Теория вероятностей - это математическая дисциплина, изучающая закономерности, происходящие в массовых однородных случайных явлениях и процессах. Математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются математические методы систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Теория вероятностей и математическая статистика позволяют строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять всевозможные гипотезы о свойствах различных экономических показателей, что является фундаментом для экономического прогнозирования. Изучая теорию вероятностей и математическую статистику, будущие экономисты должны четко осознавать, что знания, полученные ими при освоении данного раздела математики, позволяют им получать наиболее адекватные количественные значения экономических показателей, устанавливать связи между различными случайными параметрами, а также принимать взвешенные и
экономически обоснованные решения в своей будущей профессиональной деятельности. Задачи, решаемые средствами теории вероятностей и математической статистики, имеют большую практическую важность, связанную, в частности, с контролем качества продукции на промышленных предприятиях. Именно поэтому умение решать задачи по теории вероятностей и математической статистике является неотъемлемой частью профессиональной культуры современного экономиста.
При изучении теории вероятностей и математической статистики на экономических факультетах вузов основное внимание необходимо уделить таким фундаментальным понятиям, как вероятность, случайная величина, случайные функции, функции распределения, корреляция, интервалы разброса, а также числовым характеристикам распределения, так как они широко используются в экономических исследованиях. У студентов не должно сформироваться ощущение оторванности этой темы от профессиональной деятельности экономистов. Поэтому при обучении студентов-экономистов данному разделу математики у них должно развиваться теоретическое и практическое мировоззрение, а также умение логически мыслить. Этого можно добиться, решая на занятиях по математике задания с прикладным экономическим содержанием, ориентированные на вероятностный анализ в модели Лоренца, вероятностный смысл индекса Джини, на вероятностные модели в исследовании политических предпочтений электората, на вероятностные модели ценностной ориентации в обществе, на вероятностное моделирование процессов ценообразования на фондовом рынке, на применение корреляционного анализа для исследования влияния отдельных факторов и их комбинаций на прогнозные характеристики социально-экономических систем, на применение вероятностных расчетов в текущем анализе хозяйственной деятельности фирмы и т. д.
Раздел «Линейное и динамическое программирование»
Линейное программирование - это раздел математики, изучающий теорию и подходы к решению задач о нахождении экстремумов линейных функций на множествах конечного векторного пространства, определяемых системой линейных равенств и неравенств.
Динамическое программирование - это раздел математики, занимающийся поиском оптимальных решений управления многошаговыми процессами, которые характеризуются постоянными изменениями и нестабильностью во времени. Линейное и динамическое программирование широко используется в экономических исследованиях, направленных на решение задач управления запасами, на поиск и принятие решений в задачах соотношения коэффициентов роста и коэффициентов рентабельности экономики. Линейное и динамическое программирование является мощным математическим инструментарием для решения широкого класса вышеперечисленных задач, поэтому в системе математической подготовки будущих экономистов этому разделу математики нужно уделять должное внимание. При изучении данного раздела у студентов-экономистов должна сформироваться убежденность в необходимости получаемых ими математических знаний в области линейного и динамического программирования. Этого опять-таки можно добиться, решая со студентами-экономистами задачи с прикладным экономическим содержанием.
Таким образом, математика в системе подготовки современного экономиста занимает ведущее место и, как утверждает Н.Ш. Кремер, «является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры» [Кремер 1997: 5-6].
Библиографический список
Бурмистрова Н. А. Обучение студентов моделированию экономических процессов при реализации интегрированной функции курса математики в финансовом колледже: дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2001. 196 с.
Далингер В.А. Математическое моделирование как системообразующий фактор интеграции курсов математики и спецдисциплин финансово-экономических специальностей // Математическое образование в вузах Сибири. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. С. 15-19.
Детушев И.В. Фундаментализация математической подготовки студентов экономических специальностей вузов на основе профессиональной направленности обучения: дис. ... канд. пед. наук. Курск, 2015. 186 с.
Кийко П.В. Математическое моделирование как системообразующий фактор в реализации межпредметных связей математики и спецдисциплин в обучении будущих экономистов: дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2006. 189 с.
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 439 с.
Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985.
176 с.
Пучков Н.П. Методологические подходы к обеспечению качества профессиональной подготовки экономиста в процессе изучения образовательной области «Математика». М.: Машиностроение - 1, 2003. 140 с.
Рябоконева Л.Д. Особенности содержания и методики преподавания математики в классах экономического профиля: дис. ... канд. пед. наук. Омск, 1997. 167 с.
Соловьенко К.Н. Менеджмент, маркетинг и математика в культуре идеального экономиста // Высшее образование в России. 2001. №2. С. 46-50.
Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. М.: Просвещение, 1990. 96 с.
