Жесткость и несущая способность композиционной балки мостового покрытия Текст научной статьи по специальности «Физика»

---------------------------------------- © В. О. Каледин, А. В. Суханов,

В.И. Сисаури, Е.А. Левина,

2006

УДК 539.3

В. О. Каледин, А.В. Суханов, В.И. Сисаури,

Е.А. Левина

ЖЕСТКОСТЬ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ КОМПОЗИЦИОННОЙ БАЛКИ МОСТОВОГО ПОКРЫТИЯ

Многолетняя практика эксплуатации зданий и сооружений различного назначения показала, что за последние два десятилетия весьма возросли расходы на ремонт и реконструкцию объектов из железобетона. Это, в частности, объясняется значительным усложнением условий эксплуатации сооружений за счет постоянного возрастания рабочих нагрузок на железобетонные конструкции, с одной стороны, и загрязнения окружающей среды - с другой. Эти отрицательные факторы привели, в лучшем случае, к сокращению сроков межремонтной эксплуатации конструкций, а в худшем - к моральному износу и уменьшению регламентированной несущей способности [1].

Поэтому в последние годы заметно увеличивается применение в конструкциях сооружений перспективных волокнистых композиционных материалов на базе стеклянных, углеродных и арамидных волокон на эпоксидной и полиэфирной матрице. Высокие прочностные и антикоррозийные свойства этих материалов при весьма малой массе позволяют восстанавливать поврежденные стальные и железобетонные конструкции сооружений, доводя их прочностные и деформативные характеристики до уровня их проектных значений или значительно улучшая их по сравнению с исходным состоянием.

При проектировании таких конструкций требуется выполнение условий прочности и жесткости при нормируемых эксплуатационных нагрузках. Поскольку од-нонаправлено армированные композиты обладают относительно малой прочностью и жесткостью при нагружении поперек волокон, существенной особенностью прочностного расчета композитных балок является необходимость определения поперечных и сдвиговых напряжений, которые, как правило, недостаточно точно учитываются известными моделями деформирования тонкостенных стержней. В то же время ввиду относительно высокой податливости материала лимитирующим фактором может быть жесткость конструкции, вследствие чего высокая точность расчета напряжений может оказаться излишней на этапе выбора основных конструктивных параметров.

В настоящей работе приводятся методика и некоторые результаты расчетного анализа балки коробчатого сечения, которая состоит из полых тонкостенных профилей, изготовленных методом пултрузи-онного формования. Рассматривалась конструкция настила для пешеходных мостов, которая может использоваться и для пешеходных дорожек при уширении автомобильных мостов. Типовая схема таких конструкций - это настил на силовых балках, расположенных с определенным шагом. Расчетными нагрузками для мосто-

в

в

Рис. 1. Типовые сечения коробчатых балок

вых настилов являются распределенные по поверхности нормальные и касательные силы.

При расчетном анализе рассматривались профили в виде прямоугольного полого короба с внутренними наклонными стойками, изготовленные из однонаправ-лено армированного композиционного материала методом пултрузионного формования. Профили показаны на рис. 1: а -двухполостная балка с одной наклонной стенкой, б - трехполостная балка с двумя симметрично расположенными наклонными стенками, в, г - многополостные балки. В качестве армирующего материала рассматривалось использование ровин-гов из стекловолокна.

Рассматривалось поведение коробчатой балки при нормальных и касательных распределенных по поверхности нагрузках при следующих вариантах закрепления: балка настила расположена на поперечных опорных балках, отстоящих друг от друга на величину пролета Ь (внутренний пролет, рис. 2, а); балка настила консольно закреплена (крайний пролет, рисунок 2, б). Кроме того, рассматривалось деформирование профиля, лежащего на жестком основании.

Л7Т7ТЛ

г

Нагрузка задавалась равномерно распределенной по верхней поверхности либо по локальной области в центре верхней полки.

Для построения методики расчетного анализа введем декартову систему координат (рис. 2), в которой ось ъ совпадает с продольной осью балки, ось у направлена вертикально вверх, а ось х - горизонтально. Силовые воздействия определяются вертикальной распределенной нагрузкой, направленной вдоль оси у и имеющей постоянное значение оу (т.е. нагрузка, направленная вниз, имеет знак «минус»). Термические воздействия отсутствуют.

При нагружении балки коробчатого профиля, расположенной на двух опорах, происходит сложное деформирование, как общее балочное, так и местное. Поэтому для подробного анализа такого поведения использовалось математическое моделирование на основе метода конечных элементов. Моделируемая конструкция была представлена набором продольных пластин, скрепленных боковыми сторонами на продольных ребрах коробчатой балки. Ширина каждой пластины определялась длиной гладкой части профиля. Напряженно-деформированное состояние каж-

У

.1111 II

. П П

Рис. 2. Закрепления и нагрузки для внутреннего (а) и крайнего (б) пролета

У

ъ

б

а

дои пластины в двумерной постановке определялось методом конечных элементов с использованием прямоугольных конечных элементов (рис. 3) в рамках теории ортотропных пластин.

Наряду с ранее введенной общей системой координат, для удобства описания перемещений и напряжений в каждой пластине рассмотрим местную декартову систему координат 8, 1, п, в которой ось п направлена по нормали к пластине, а оси 8 и 1 лежат в ее плоскости, причем ось 8 направлена вдоль продольного ребра. Согласно статическим гипотезам теории пластин, напряжения ап равны нулю, а касательные напряжения тп и тп обращаются в нуль на лицевых поверхностях пластины. В качестве кинематической используется гипотеза Кирхгофа-Лява об отсутствии деформаций нормали и поперечных сдвигов.

Решение задачи сводится к минимизации потенциальной энергии П, которая равна энергии деформации W за вычетом работы внешних сил А:

П = Ж-А ^ тт.

(1)

Энергия деформации для линейно упругого тела равна [2]:

Рис. 3. Конечно-элементная сетка

= — £ 'о 2

(2)

где о - вектор-столбец напряжений, £ -вектор-столбец деформаций.

Деформации координатной поверхности пластины включают как мембранные компоненты £ з, £ 4, Y а , так и компоненты кривизны к з, к ( и кручения X . С учетом гипотезы Кирхгофа-Лява их можно выразить через перемещения координатной поверхности:

£ =[£ з £ 1 Y .

ди дч ди дв д? д?

дч

дв

д2ум

~двГ

д2ум

д2ум

двд(

(3)

где и,у,м> - соответственно перемещения вдоль осей 5, £ П.

Перемещения в произвольной точке

Т

и [б 11

и = V = [ N1 N2 N3 N4 ]• б

w _б 3 _

выразим через перемещения узлов конечного элемента (три линейных и два угла поворота нормали):

(4)

где б , = [ Ц v| w| в з, в„ ] T - перемещения г-го узла; N - матрица, содержащая

базисные интерполяционные функции:

' Ц 0 0 0 0

0 Ц 0 0 0

Ni =

0 0 р у? у‘

(5)

е5ь,

12(1 - V sv {)

( з + « ,)

Е*

1 - V SV г

12(1 - V sV {)

(7)

в*

12

-х

или в матричном виде: а = й £ ,

где матрица упругости Б

Б =

(8)

1 - V sV, 1 - V sV,

Е,ь

1 - VSV,

вл

0

Е,ЬЪ

0 0

V зЕзЛ3

12(1 - V sV,) 12(1 - V sV,)

ЕЛъ V ,Е,Ь3

Ц (5,/) - билинейные базисные сплайны [2], р (5,/), у*, у, - кубические базисные сплайны [3].

Из формул (3) и (4) получаем связь деформации с узловыми перемещениями:

£ = В б . (6)

Напряжения (погонные силы п5, п, п5Ь изгибающие моменты т5, т/ и крутящий момент т5/) линейно упругой пластины найдем из закона упругости. Для орто-тропного материала имеем [2]:

ЕЛ

12(1 - V sV,) 12(1 - V sV,)

в,*

мепрично ^

(9)

Тогда энергия деформации принимает вид квадратичной формы:

М = 1 б ТКб , (10)

где К - матрица жесткости элемента:

К =| Вт йВбУ . (11)

V

Внешние силы в рассмотренном случае представляют собой распределенную нагрузку q, работа которой на перемещениях элемента пластины с учетом (4) выражается через перемещения узлов:

А =| qTNб , (12)

S

где q = ^ qt q„ ]Т (13)

- вектор распределенной нагрузки; интеграл берется по нагруженной поверхности.

Выразим потенциальную энергию через узловые перемещения:

П = М - А = 1 б Т К б - qT б . (14)

Минимизация потенциальной энергии даст систему линейных уравнений равновесия:

К б = О , (15)

решая которую, найдем перемещения узлов. Далее по формулам (6) и (7) определяются деформации и напряжения.

Изложенная методика вычисления напряжений в балке и ее перемещений под нагрузкой реализована в специализированном пакете программ, в котором сетка конечных элементов автоматически строится по небольшому числу

ns

заданных геометрических параметров, а по найденным результатам автоматически генерируется сводка важнейших - максимальный прогиб, максимальные напряжения, максимальное отношение действующего напряжения к предельному в каждой из пластин. Это упрощает параметрическое исследование, необходимое для выбора рациональных конструктивных ре-

Рис. 4. Прогиб балки с двумя наклонными стенками: а - распределение по длине и ширине верхней полки, б - по ширине верхней полки при нагрузках по нормали и по касательной. Сплошная линия

- материал на эпоксидном связующем, пунктир - на полиэфирном связующем

шений. Тем не менее, общее время расчета, составляющее в зависимости от густоты сетки от 20 секунд до 5-6 минут, остается достаточно большим. В целях достаточно полного параметрического исследования с варьированием большого числа конструктивных параметров (толщин участков профиля, ширины и высоты сечения, углов наклона промежуточных стенок, размеров опорных площадок, длины пролета) необходимо проанализировать несколько тысяч вариантов сочетаний этих параметров, что потребовало значительного сокращения времени расчета.

Такое сокращение может быть получено при использовании упрощенной расчетной модели, отражающей только лимитирующие параметры состояния. Для их выявления рассмотрим результаты расчета одного из типичных вариантов конструкции.

На рис. 4 приведен график прогиба верхней полки трехполостной балки с двумя наклонными стенками при действии нормального давления и касательной нагрузки, действующей горизонтально поперек оси балки. Как видно из графика, прогиб зависит главным образом от рас-

X. мм

Рис. 5. Напряжения в

верхней полке при действии нормального давле-

Т

стояния до плоскости симметрии, а по ширине балки изме-няется несущественно.

Ввиду податливости боковых и наклонных стенок прогиб над опорной площадкой изменяется вдоль продольной оси. Вдоль линии стыка с наклонными стенками прогиб несколько меньше, чем на середине ширины, но различие не превышает нескольких процентов от максимального прогиба.

Поэтому для анализа выполнения условий жесткости достаточно, чтобы модель правильно описывала изгиб балки, а учет деформации сечения не требуется.

На рис. 5 приведены графики напряжений в верхней полке при действии нормального давления. Продольные нормальные напряжения изменяются по ширине полки на величину порядка 10 % от максимального напряжения (рис. 5, а), но в целом их зависимость от продольной координаты за пределами опорных площадок удовле-творительно совпадает с квадратичной параболой. Поперечные нормальные напряжения (рис. 5, б) слабо изменяются вдоль продольной оси балки и не превышают 20 % от продольных. На-

пряжения внутрислоевого сдвига (рисунок 5, в) обнаруживают сложную зависимость от продольной и поперечной координаты, но их величина в 4-5 раз меньше, чем поперечных нормальных напряжений. Такие же по порядку величины напряжения действуют в остальных конструктивных элементах.

Анализируя характер распределения и величины напряжений, можно констатировать, что продольные напряжения приближенно могут быть найдены с помощью упрощенной расчетной схемы типа тонкостенной балки, а поперечные нор-

ния: а

в

мальные напряжения и напряжения сдвига распределены более сложным образом. Поэтому балочная расчетная схема может быть использована для параметрического исследования только в той области варьирования параметров конструкции, в которой напряжения существенно меньше разрушающих.

Для построения упрощенной расчетной схемы, описывающей общий изгиб балки мостового покрытия, примем следующее предположение: плоские до деформации поперечные сечения балки остаются после деформации плоскими, но перестают быть ортогональными к изогнутой оси.

Дифференциальные соотношения между нагрузкой ду, перерезывающей силой Qy и изгибающим моментом Мх с учетом принятого правила знаков имеют вид:

о =-М

у 6г

Яу =--

О

(16)

Угу =

ди2 диу

ду дг

= -© Х + №' , к* = ©X

=©:ЕІ*, ©Х = м(4).

(21)

Учитывая заданные повороты на торцах балки, получим следующую краевую задачу:

(22)

©х =Е-, ©х (0)=©1, © х (/)=©2,

Е X

ее решением будет О,г2

Е1х ©X =\- + + О 2 2 + Е1х ©1 ,

6 2

0/2 + О2/ = Е1х (©2 -©1) - , (23)

2 6

где С1, С2 - произвольные постоянные.

Используя первые уравнения систем (19) и (20), с учетом краевых условий, получим краевую задачу:

№' = ©Х -

й*.

вГ,

■© * , м(0) = V!, = V2,

Согласно закону упругости имеем ОУ = вГу • Угу , М* = ЕІ* • К* , (17)

где к* - кривизна изогнутой оси балки в плоскости уОг, уу - деформация сдвига между осями Ог и Оу , вИу, Е1Х - жесткости на сдвиг и изгиб. Причем

(24)

Подставляя выражение для ©х (23) в (24), и интегрируя последнее, получим, с учетом краевых условий:

ЕІ „ ©, г -

24

ЕК

С1 г3 С2г2

+ —— + —2— +

вГ„

Яг 2

(25)

+ С. г

+ ЕІг№1

(18)

где V - линейное перемещение вдоль оси Оу, а ©х - угловое перемещение. Тогда сила и момент выражаются через перемещения следующим образом:

Оу = (-©X + п') • ОРу , Мх =©X • Е1х. (19)

Подставляя полученные выражения в уравнения равновесия (16), имеем систему дифференциальных уравнений:

Оу = -©"хЕ1х, Яу = -(-© х + п ")СРу. (20)

Продифференцируем по г оба уравнения системы. С учетом второго уравнения из системы (16), преобразуем систему (20) в систему:

Для определения неизвестных постоянных С1 и С2 получим еще одно уравнение:

(і3 ЕІ , 1— ±±і

1 6 вИ,

\

Яуі 4

24

у

—-------ЕІХ ©11 +

12

+ С2 у = ЕІХ (М2 - М1) -

. (26)

ЕІ, Яу12

ви,,

Решая систему линейных уравнений (25) и второе из (22), получим значения постоянных:

С =

1 і3 + ЕІ* 212

12 12вГ,

©1 +©2 Яуі

± + 2

12 12вГу,

С = Ек М2- М1 - Ек

2 212 + ЕІ* 41

12 12вГу

© +©, ЕІ„

Яу1‘

. (27)

Угу

ЕІ„ № - м, ЕІ

уг + - —і—1—=7— +

і3 і + _Е^ 2і2 X + , ЕІХ

12 11вР„

12 11вР„

ЕІ*

ЕІ * м - м, + ЕІ *

л

©, + ©2__________Яу[

* 2

12 12вГ„

2і2 ±_ + _Е^_

12 12вР„

+ Ек М2 - М1 - Ек ©1 +©2 +

212 І ЕІ* 41 І ЕІ*

12 12вГ„

12 12вГ„

+^(©2 -©1) + Яу-і 2 1 12

(28)

Вычислив деформации кривизны, находим максимальные продольные напряжения, действующие в полках:

Н

°"0 раст к* Е0

ст0„

- У

Н

= кЕ| -— - У

(29)

, ^ ' ^,2 + ^*(©2 -©1)+ ^-+ ЕІ* і 42 12

12 12вГ,

Это позволяет рассчитать максимальный прогиб по формуле (25).

Для вычисления напряжений в элементах сечения балки найдем деформации изгиба и сдвига.

Подставляем полученные значения постоянных (27) в выражения для линейного перемещения (25) и угла поворота (23), а затем в формулу для деформаций (18). Получим деформации поперечного сдвига и кривизну:

Расчеты по вышеописанным методикам позволили получить следующие основные результаты.

На рис. 6-8 представлена трехполостная балка с двумя наклонными стенками. На рис. 6 показана зависимость максимального прогиба от толщины полок и стенок. Видно, что прогиб существенно зависит от толщины верхней полки. При уменьшении толщины верхней полки до 0,7 прогиб превышает допустимого. На рис. 7 показана зависимость максимально допустимого по прогибу пролета от толщины полок и стенок. Максимально допустимая по жесткости длина пролета балки составляет не менее 5 м. На рис. 8 показана зависимость относительных (к предельным с учетом устойчивости) напряжений от толщины полок и стенок. Статические напряжения при изгибе в вертикальной плоскости не превышают в предложенном варианте 11 % от предельных. Зависимость напряжений от толщины полок существенна; от толщины стенок напряжения зависят меньше. Особенно заметно увеличение напряжений до предельных при уменьшении толщины верхней полки до 2 мм и менее.

Полученные результаты могут быть использованы для выбора рациональных конструктивных параметров коробчатой балки, обеспечивающих ее статическую прочность и жесткость.

Для подтверждения достоверности математического моделирования были проведены эксперименты по статическому на-

X

гружению экспериментальных образцов многополостных панелей.

Для изготовления панелей использовались треугольные тонкостенные профили, полученные методом пултрузии, и прессованные листы. Треугольные профили состоят из стеклопластика на основе поли-

Рис. 6. -Зависимость максимального прогиба от толщины: 1 - верхней полки, 2 - наклонных стенок, 3

- вертикальных стенок, 4 - нижней полки

эфирной смолы, продольного стеклоровинга (внутренний

слой) и по одному слою стеклоткани НІ II -210 по наружной и внутренней поверхностям профиля. Соединение профилей между собой и с прессованными листами осуществлялось при помощи эпоксидного компаунда «Этал-153» ТУ 2225153-18826195-99 с отвердите-лем «Этал-45».

Рассматривались следующие варианты нагрузок:

- нормальное давление 400 кг/м2 - нагрузка по СНиП «Мосты и трубы» для пешеходных мостов;

- локальная нагрузка («человек с мешком»);

- локальная нагрузка от колеса легкого автомобиля («аварийный проезд»).

Для проведения экспериментальных исследований было изготовлено пять панелей различной геометрии. Было изготовлено приспособление, состоящее из двух продольных швеллеров №18, длиной 1900 мм, на которых крепились два поперечных швеллера, на которые опирались панели при испытаниях.

Рис. 7. Допустимый пролет в зависимости от толщины: 1 -

верхней полки, 2 - наклонных стенок, 3 - вертикальных стенок, 4 -нижней полки

■ . - чр ^ ,у:.у

Продольные швеллера устанавливались на опорную раму испытательной машины І^ШОК Диаграммы деформирования записывались самописцем испытательной машины.

На рис. 9 показана типичная диаграмма деформирования панели при нагружении силой,

Рис. 9. Диаграмма

нагружения балки:

тонкая линия - машинограмма, жир-

ная прямая - расчет. Горизонтальная ось - нагрузка, вертикальная - прогиб

распределенной

Рис. 8. Отношение действующих напряжений к предельным в зависимости от толщины: 1 - верхней полки, 2 - наклонных стенок, 3

- вертикальных стенок, 4 - нижней полки

вдоль продольной оси панели. Для сравнения на этом же рисунке жирной прямой показана расчетная диаграмма, полученная по упрощенной балочной модели. Как видно из сопоставления расчетных и экспериментальных результатов, математическая модель дает достаточно точную величину жесткости панели и реалистичную оценку прочности (полученную с помощью конечноэлементной модели). Зубцы на экспериментальной диаграмме соответствуют начальным разрушениям клеевых соединений, после которых панель еще имеет запас несущей способности. При максимальной нагрузке произошло разрушение клеевого соединения центрального треугольного профиля с нижней полкой панели, что сопровождалось треском и резким ростом перемещений при снижающейся нагрузке. У одного, соседнего с центральным, профиля разрушилась стенка в нижней точке по образующей (рис. 10, а). При нагружении силой, распределенной по пятну в центре панели, разрушение сопровождалось потерей устойчивости стенок (рис. 10, б).

В результате испытаний выявлено, что прочность испытанных панелей превысила требуемую СНИПом не менее чем в 12 раз, а при нагружении распределенной нагрузкой - в 30 раз. Это подтверждает сделанный при математическом моделировании вывод о том, что лимитирующим фактором является жесткость панели.

Рис. 10. Разрушение экспериментальных панелей: а - отслоение нижней полки; б - потеря устойчивости стенки

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. - М.: Строй-издат, 1983. - 488 с.

технике. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

1. Боначчи Дж., Елшина Л.И., Волков Ю.С. Материалы и технологии [электронный ресурс, www.stroinauka.ru]. - Строительный эксперт, № 16, 13.09.2002 г.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------------------

Каледин В.О. - доктор технических наук, декан Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета,

Суханов А.В. - кандидат технических наук, главный научный сотрудник, ООО «Фирма Армопро-ект»,

Сисаури В.И. - кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ООО «Фирма Армо-проект»,

Левина Е.А. - аспирантка Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета.