Зависимость величины переходящего остатка от накопления смежных составов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Я. В. Кукушкина

ЗАВИСИМОСТЬ ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕХОДЯЩЕГО ОСТАТКА ОТ НАКОПЛЕНИЯ СМЕЖНЫХ СОСТАВОВ

Приведен анализ величины переходящего остатка вагонов после накопления смежных составов в зависимости от средней величины группы вагонов, поступающей на путь накопления, и отклонения от нормы состава.

величина переходящего остатка, процесс накопления, норма состава, сортировочная станция.

Введение

Один из признанных методов определения статистической связи -расчеты на базе многофакторного регрессионного анализа. Рассматривая причинно-следственные связи, необходимо из смешанного сочетания причин выявить действие существенных, освободившись от элемента случайности и действия второстепенных причин. Математическое решение сводится к получению функций регрессии. Регрессия используется для исследования и оценки зависимостей между явлениями, порожденными, как правило, действием комплекса причин.

1 Постановка задачи

Для построения модели накопления одногруппных поездов необходимо исследовать процесс поступления вагонов на пути сортировочного парка. На каждом пути сортировочного парка накапливаются вагоны соответствующего назначения. Каждое назначение можно охарактеризовать величиной суточного вагонопотока (U) и средней величиной группы вагонов, поступающей на путь сортировочного парка (тгр), а также величиной среднего остатка вагонов после накопления состава (то) [1]. Необходимо определить зависимость между величиной группы вагонов, поступающей на путь сортировочного парка, и возможностью отклонения от нормы составов (±Аш) вагонов при максимальной норме формируемых составов (mmax) 71 вагон.

2 Решение

Расчет произведем на примере конкретной станции Санкт-Петербург-Сортировочный-Московский. Путем моделирования были получены соответствующие значения среднего остатка вагонов после накопления состава то (рис. 1).

Для того чтобы установить зависимость величины переходящего остатка вагонов после накопления то от средней величины группы вагонов, поступающей на путь накопления тгр и отклонений от нормы состава ±Am вагонов, будем использовать полиноминальные регрессии [2].

В качестве зависимой переменной Z мы выбираем величину то, а объясняющих переменных X и Y соответственно тгр и Am. Переменная Z, таким образом, является функцией от переменных X и Y.

В качестве типа кривой регрессии рассмотрим полиноминальные регрессии вида:

z = b00+ bl0x + Ь01у + Ь20х2 + Ьпху + Ь02у2 - квадратный полином;

^ 2 2 3 2 2 3

z = b0Q+bwx + bQly + b2Qx +bnxy + b02y + b30x +b2lx y + buxy + b03y -кубический полином.

Полиноминальная регрессия второй степени преобразуется в

линейную регрессию с пятью факторами:

z = кq + kxtx + k2t2 + k3t3 + k4t4 + к-1-.

Полиноминальная регрессия третей степени преобразуется в

линейную регрессию с девятью факторами. В общем виде имеем:

т

j=1

где т - количество полученных при преобразовании полиноминальной регрессии факторов.

Для определения функции регрессии необходимо рассчитать коэффициенты ко, к\, к2, ..., к^ преобразованной линейной регрессии -параметры модели. В основе расчета параметров лежит метод наименьших квадратов: данные параметры выбираются такими, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических данных zi от значений, вычисленных по уравнению регрессии z., была минимальной, т. е.

п

К^)2 ->min,

/'=1

где n - число имеющихся в рассмотрении наблюдений.

т

Подставив выражение функции регрессии z. = к0 + '^kjtjj, получаем

j=1

S (к0, к1, к2,

п

к ) = У'(z.—kn— кЛ.л - кл.~ - ...-к t. )2 —» min. Здесь z,, /л,

т' / i V /01/12/2 т im J ^ /? /1?

/'-1

ti2, ..., tjm - известные эмпирические значения, или величины, полученные преобразованием исходных эмпирических значений, а к0, к1, ..., к^ -неизвестные параметры модели. Сумма квадратов отклонений является функцией от исходных параметров к0, к (i = 1, m), т. е. функцией от (т + 1)-й переменной. Таким образом, проблема определения уравнения регрессии при сформулированном выше требовании сводится к минимизации функции от (т + 1)-й переменной. Из математического анализа известно, что необходимым условием для этого служит обращение в нуль первых частных производных функции S по каждому из параметров ко, к (i = 1, m), а вторые частные производные должны быть

положительными.

Приравнивая первые частные производные функции S по ко, к (i = 1, т) к нулю, получаем систему нормальных уравнений (всего т + 1 уравнение):

aS(kQ,k,...,km)

п

= -21 Ог -к-V,| -k2ti2 -...-kjim) = 0,

/'=1 п

21 Ог- -к- к*а - V/2 - • • • - Кк» ) • ■к = 0, j = 1, т.

i-1

Можно показать, что условия, касающиеся вторых частных производных, выполняются и, таким образом, функция S(^, к) достигает минимума, если параметры ко, к (i = 1, т) определяются из данной системы нормальных уравнений. Производя соответствующие выкладки, получаем:

п

fl fl fl fl

/=i

/=1

m / j im

i-1 /'=1

z'=l

n

'C<>T.f<2

i=l

i=l

n

I

/=1

i—1

i—1

п У t.j / j г 2 п n . + к У11. — m / j im 11 n*

i-1 Z=1 z'=l

п Ж + . n .. + k V*t. t.0 m im 12 n

/'=1 z'=l Z=1

п Z = 1 J. 2 im n Z=1 n = У z.t. i im Z=1

n

n

2

0

n

n

Определив параметры модели ko, ki (i = 1, m), можно вычислить значения регрессии для заданной области значений объясняющих переменных ti(i = 1, m). Эти значения регрессии z. представляют собой наилучшее в смысле метода наименьших квадратов приближение (аппроксимацию) к эмпирическим значениям z, так как выбранная мера разброса сводится при этом к минимуму.

В результате были получены следующие зависимости (рис. 2 и 3).

Для определения величины переходящего остатка вагонов между накоплением смежных составов в зависимости от средней величины группы вагонов, поступающей на путь накопления тгр, и отклонений от нормы состава ±Am составлена матрица (см. табл.), которая дает представление о характере изменения этой величины.

Рис. 2. Зависимость величины переходящего остатка от Am и тгр, полином 2-й степени

Рис. 3. Зависимость величины переходящего остатка от Am и тгр, полином 3-й степени

ТАБЛИЦА. Значения переходящего остатка вагонов между накоплением смежных составов от средней величины группы вагонов, поступающей на путь накопления, и отклонений от нормы состава Am вагонов при mmax = 71 вагон

^\Am m^\ 0 2 4 6 8 10 12 14 16

5 2,45 0,78 0 0 0 0 0 0 0

5,5 4,12 2,37 0,93 0 0 0 0 0 0

6 5,65 3,83 2,32 1,13 0,25 0 0 0 0

6,5 7,06 5,16 3,58 2,31 1,36 0,72 0,39 0,37 0,67

7 8,34 6,37 4,71 3,37 2,34 1,63 1,22 1,14 1,36

7,5 9,48 7,44 5,71 4,30 3,19 2,40 1,93 1,77 1,92

8 10,50 8,38 6,58 5,09 3,92 3,05 2,50 2,27 2,35

8,5 11,38 9,19 7,32 5,76 4,51 3,57 2,95 2,64 2,65

9 12,14 9,88 7,93 6,29 4,97 3,96 3,27 2,88 2,82

9,5 12,76 10,43 8,41 6,70 5,30 4,22 3,45 3,00 2,85

10 13,26 10,85 8,76 6,97 5,50 4,35 3,51 2,98 2,76

10,5 13,63 11,14 8,98 7,12 5,58 4,35 3,43 2,83 2,54

11 13,86 11,31 9,06 7,14 5,52 4,22 3,23 2,55 2,19

11,5 13,97 11,34 9,02 7,02 5,33 3,96 2,89 2,14 1,71

12 13,94 11,24 8,85 6,78 5,01 3,56 2,43 1,61 1,10

12,5 13,79 11,01 8,55 6,40 4,57 3,04 1,83 0,94 0,36

13 13,51 10,66 8,12 5,90 3,99 2,39 1,11 0,14 0

На основе выполненных расчетов можно сделать вывод, что величина переходящего остатка увеличивается по мере возрастания средней величины группы вагонов, поступающей на путь накопления, но в то же время при конкретной величине тгр уменьшается по мере возрастания Am.

Вследствие ограниченности статистических данных не удалось получить четкой закономерности динамики исследуемых параметров в целом для всех случаев. Рассмотрим каждое назначение в отдельности. Для назначения Орехово-Зуево (рис. 4) была подобрана кривая аппроксимации, близкая к экспоненциальному распределению, величина достоверности аппроксимации составила R = 0,9096.

Рис. 4. Распределение величины остатка (назначение Орехово-Зуево)

Из анализа рис. 4 следует, что величина остатка уменьшается по мере увеличения Am. Так, например, при Am = 2 величина остатка то = 12 вагонов, а при Am = 8 то = 5 вагонов.

Для назначения Волховстрой-1 (рис. 5) также была подобрана кривая аппроксимации, которая оказалась близка к экспоненциальному распределению, величина достоверности аппроксимации в данном случае составила R2 = 0,9578.

Аналогичным способом были исследованы все назначения (рис. 6).

Для упрощения расчетов была определена общая зависимость, характеризующая величину переходящего остатка вагонов после накопления смежных составов в целом для всех назначений и не зависящая от тгр (рис. 7). В результате обобщающая кривая оказалась близка к полиноми-нальному распределению, величина достоверности аппроксимации составила R2 = 0,6576. Распределение величины остатка можно описать следующим уравнением: то = 0,039Am - 1,2546Am + 10,713.

Остаток, ваг.

Рис. 5. Распределение величины остатка, (назначение Волховстрой-1)

Am

—■—Свердловск-сорт., U=100 ваг., тгр=6 ваг.

—*—Инская, U=75 ваг., тгр=7 ваг.

—*—Пермь-сорт.,U=111 ваг., тгр=10 ваг.

—•—Орехово-Зуево, U=358 ваг., тгр=13 ваг.

♦ Волховстрой -1, U=398 ваг., тгр=13 ваг.

....Полиноминальное (Свердловск)

----Полиноминальное (Инская)

- • - Экспоненциальное (Пермь-сорт.)

----Полиноминальное (Орехово-Зуево)

----Экспоненциальное (Волховстрой-1)

Рис. 6. Распределение величины остатка для всех назначений

Рис. 7. Теоретическое распределение величины остатка

Заключение

На основе проведенных исследований можно сделать следующиие выводы:

1. Величина остатка зависит от величины группы вагонов, поступающей на путь накопления.

2. С увеличением отклонения от нормы составов ±Am величина остатка уменьшается.

3. Была получена общая зависимость, характеризующая распределение величины переходящего остатка после накопления смежных составов от отклонения от нормы составов ±Am. Данная

л

зависимость описана уравнением то = 0,039Am - 1,2546Am + 10,713. Определение величины остатка позволит уточнить затраты на накопление при расчете плана формирования. Данный способ расчета открывает возможность расчета при гибкой норме состава, что позволяет в дальнейшем перейти к задаче оптимизации нормы состава.

Библиографический список

1. Новый подход к расчету затрат вагоночасов на накопление / В. А. Кудрявцев, Я. В. Кукушкина, Ш. М. Суюнбаев // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2010. - Вып. 1 (22). - С. 5-10.

2. Учебник по MathCAD [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://detc. usu.ru/Assets/ aMATH0021/L7_2.htm#l7.2.

Статья поступила в редакцию 12.07.2010;

представлена к публикации членом редколлегии Вал. В. Сапожниковым

УДК 625.144.5