Зависимость потенциала электрического поля горных пород от экспоненциально изменяющегося напряжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА ГОРНЫХ ПОРОД

УДК 622.235(088.8): 519.21

Д.Ю. Сирота

ЗАВИСИМОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГОРНЫХ ПОРОД ОТ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ НАПРЯЖЕНИЯ

В данной заметке продолжаются исследования зависимости величины потенциала ЭП от механического напряжения в образце горной породы. В работах [1 - 4] Б.Г. Тарасов, В.В. Дырдин, В.В. Иванов, Д.В. Алексеев эта зависимость исследовалась при постоянном во времени давлении; в работе [5] полученная зависимость была обобщена на случай периодического давления. Настоящая заметка посвящена обобщению первоначальной зависимости на случай экспоненциально изменяющегося давления.

Напомним, что основой для получения зависимостей служит система дифференциальных уравнений (непрерывности тока, амбиполярной диффузии, Пуассона):

дп ± ді

= -йі\ і

(1)

-? ^дп±Б±^ -_±_ ± Б±п±П±УР

і ± = ±------Е- Б±Уп±--------------—-,(2)

кТ

кТ

йі\Е =

д(п+ - п )

єє0

(3)

где д - заряд точечных дефектов (катионных и анионных вакансий), Кл; п±, О1 - соответственно концентрация и дилатация для каждого типа

носителей, м-3, м3; Б± - коэффициент самодиф-фузии дефектов положительного и отрицательно-

(4)

по координатам х, у, г. Тогда с учетом дефектов структуры образца по 8сИойку и Френкелю системы дифференциальных уравнений будут иметь вид:

для дефектов структуры по 8сИойку:

(Ж X = -(А2 + Бю2)Ж - РБф2 N +

+ рЛ3а> 2 Р ехр(-А • і);

(Ы)\ = -Р(Л2 + Бф2)Ж -

- Бф 2 N + Л3ф2 Р ехр(-А • і),

для дефектов структуры по Френкелю:

'(Ж); = -(Л2 + Бю2)Ж - РБф2N -

- Л3ф 2Р ехр(-Л^і);

(N)і = -Р(Л2 + Бю2)Ж - Б2N -

- РЛ3ф 2 Р ехр(-А • і),

где Л2 = 2/(рбє0), Л3 = 20/(р д2),

1/ р = д2 пБ ¡(кТ),

Р = [Б+- Б-]/[Б ++ Б-],

Б = (Б + + Б-)/2 ,

2 2 2 2 2 =2 +ф2 +23 - параметр Роипег-

преобразования Фурье,

Для решения системы (4) преобразуем ее к обыкновенному дифференциальному уравнению

(5)

го знака, м2/с; Е - напряженность поля проводи- вт°р°го порядка.

мости, В/м; Р - среднее давление в каждой точке кристалла, Па; 550 - диэлектрическая проницаемость кристалла, Ф/м; 1± - вектор потока точечных дефектов положительного и отрицательного знаков.

Далее будем полагать, что в уравнениях (1 -3) напряжение изменяется во времени по закону Р = Р • ехр(-Я/), где сомножитель X 1/с характеризует скорость затухания напряжения. При X =0 напряжение переходит в стационарный режим.

По аналогии с [4] введем в (1 - 3) новые переменные N = п ++ п , Ж = п+ - п и выполним преобразование Фурье полученных систем

(Ж)" + ¿и(Ж)" + ц^Ж = -ЯрЛ3а> Рехр(-10

(6)

где

]и = Л2 + 1Ба>2 ,ц = (1 - р2)Ба>2(Л2 + Ба>2)

Произведем порядковые оценки для значений выражения ¡1. Величину Б оценим из выражения [6]:

Б = Бо ехр(-ио / квГ), (7)

где Б0 « 2,0 •Ю-4, м2/с; ио - энергия активации,

Дж; кв «1,3805 40-23 - постоянная Больцмана,

Дж/0К; Т = 293 - температура, 0К.

Энергия активации по данным работы [6] для ОБ, ЫС1, ЫВг варьируется в пределах

4

Д.Ю. Сирота

и0 « (0,496 ~ 1,5) • 10-19 Дж. Тогда величина Б «[10-11 ~ 10-22], м2/с. Далее, если значимыми являются первые сотни гармоник, то со2 = 104 и Б • со2 « [10 7 ~ 10 18]. Так как ее0 « 8,85440 12 Ф/м, то при р = 102 ~ 1010 Ом^м величина

2 ~ ~ , ^9Ч Л ^-гл ^.2

Л, =-

рее0

2,3 • (10 ~ 109). Т.о. величиной Б • о

при указанных предположениях в выражениях для 1 и щ можно пренебречь. Следовательно, Ц~ Л2,

Г « (1 - р2)БО .

Запишем общее решение уравнения (6) в виде суммы решения однородного уравнения и частного решения, соответствующего правой части уравнения (6).

Ж(Х,о) = с1 ехр(к/) + с2 ехр(к2Х) + (Ж)*, (8) где

к1,2 = 0,5 '

- Л2 - 2 Б о2 ±

± [ Л22 + 4р2 Бо2( Л2 +о2 Б)]

Л

1/2

с1 , с2 - константы интегрирования.

Выражение для (Ж) в случае дефектов структуры по 8сИойку будет иметь вид:

(Ж )* =

-Р^ Ло2 • Л3 Л2 - [л • Л + г

Р ехр(-Х •Х). (9)

Решим систему (5). Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка будет в этом случае имеет вид:

(Ж)" + л (Ж)" + гЖ =

2 4 2 .(Ю)

= [(Р2 -1) Б о4 Л3 +ЛЛ3О ]Р ехр(-Л •Х) Отличие (10) от (6) заключается только лишь в правой части, а, следовательно, в частном решении (ЖУ) , которое в случае дефектов структуры по Френкелю будет иметь вид:

(Ж). =(Р - 1)БО Л + о Л'Л Рехр(-Х/)

Л - л • Л + г

. (11)

Аналогично [4] рассмотрим два частных случая: 1) Б + « Б- и 2) Б+ >> Б , Б + << Б или Р « 0 и Р « ±1.

Пусть Р ~ 0. В этом случае выражение (9) обратится в нуль, что будет означать независимость величины потенциала ЭП от давления в случае дефектов структуры по 8сИойку. Отметим,

что в рассматриваемом случае выражение (ЖУ) обращается в ноль и для постоянного и для периодического давления [5]. Таким образом, можно выдвинуть гипотезу, что для дефектов структуры по 8сИойку в случае равенства коэффициентов самодиффузии величина ЭП не зависит от давления.

Выражение (11) преобразуется к виду:

(Ж )* =

со2 •(Л-Бо2)• Л3 Л2 -Л2 •(Л-БО)

Р ехр(-ЛХ). (12)

Сделаем порядковые оценки величин, входящих в выражение (12). Так как

Б • со2 « [107 ~ 1018], то при Л > 10 2 вкладом

в общую разность произведения Б •о2 можно пренебречь. Выражение (12) примет вид:

со • Л3

(Ж )* =

Л-Л

-Р ехр(-Л •Х). (13)

Подставляя полученное выражение в (3), получим уравнение для потенциала р :

V2р = -^-х

д Л3 • ехр(-Л • Х)

Л-Л2

х V2Р(x, у, г).

Простейшее решение этого уравнения имеет

вид:

а Л3 • ехр(-Л • Х) .

р = ——х—-----------—----- х Р( х, у, г ), (14)

880 Л - Л2

Ф, мВ

Рис. 2

и определяет зависимость между потенциалом ЭП и давлением в случае дефектов структуры по Френкелю.

Пусть теперь Р = ±1, тогда г = 0. Выражение (9) для дефектов структуры по 8сИойку и выражение (11) для дефектов структуры по Френкелю преобразуются к виду (13). Следовательно, и в этом случае зависимость потенциала ЭП от напряжения будет определяться выражением (14).

Произведем расчет зависимости (14) при различных значениях входящих параметров. Т. к.

Л2 = 2/(рее0), Л3 = 2О/(р q2) ,

-12 Ф/м, Q ~10-29 м3,

q ~ e - 1,602-10 19 Кл, P = 107 Па, то (14) преобразуется к виду:

р =

Q - exp(-X -t) х P

q -(0,5 -ss0 - р- X-1) exp(-X -1) 7,092 - [10-7 ~ 10] - X-1,602-103

(15)

Графики зависимости потенциала ф, мВ от времени Х, с при заданном начальном напряжении

Р = 10 , Па и различных значениях параметра X, 1/с приведены на рис. 1.

На рис. 2 приведены изолинии потенциала ф, мВ, как функции двух переменных Х, с и X при

начальном напряжении Р = 107 Па.

Аналогично можно получить зависимости между экспоненциально возрастающим до некоторого фиксированного значения механического напряжения и потенциалом ЕЭП.

Выводы.

1) Можно выдвинуть гипотезу, что для дефектов структуры по 8сИойку в случае равенства коэффициентов самодиффузии величина ЭП не зависит от давления.

2) Как для дефектов по 8сИойку, так и для дефектов по Френкелю зависимость между потенциалом ЭП и механическим напряжением определяется по одной и той же формуле не зависимо от соотношения между коэффициентами самодиффу-зии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасов, Б. Г. Применение метода электрометрии для контроля за состоянием горных выработок в условиях рудника «Октябрьский» [Текст] / Б. Г. Тарасов и др. - В сб. «Вопросы рудничной аэрологии». -Кемерово, изд-во КузПИ, 1976, вып 4. - с. 250 - 257.

2. Тарасов, Б. Г. Геотектонические процессы и аномалии квазистационарного электрического поля в земной коре [Текст] / Б. Г. Тарасов, В. В. Дырдин, В. В. Иванов // ДАН СССР 1990. Т. 312. №5. - с. 1092 - 1095.

3. Алексеев, Д. В. Баротоки в твердых телах с диффузионным механизмом проводимости [Текст] / Д. В. Алексеев // ФТТ 1991, т. 33, №10 -с. 1456 - 1476

4. Тарасов, Б. Г. Физический контроль массивов горных пород [Текст] / Б. Г. Тарасов, В. В. Дырдин, В. В. Иванов, А. Н. Фокин. - М.: Недра, 1994. - 238 с.

5. Сирота, Д. Ю. Зависимость потенциала электрического поля от периодически изменяемого давления [Текст] / Сирота Д. Ю., Иванов В. В.// Вестник КузГТУ 2010 № 5. С. 63 - 67.

6. Китель, Ч. Введение в физику твердого тела [Текст] / Ч. Китель. - М.: Наука, 1978. - 789 с.

□ Автор статьи:

Сирота Дмитрий Юрьевич - доцент каф. теоретической и горной механики КузГТУ.

E-mail: sirotadm@gmail.com