ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ СУДОВОЙ БЕЗОПАСНОЙ ОБЛАСТИ ОТ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОЗИЦИОННЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

! !■

24 Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #4(44), 2019 SMI

Aleksyshyn V.G. PhD, professor,

National university "Odessa Maritime Academy",

Aleksyshyn A. V.

PhD, associate professor, National university "Odessa Maritime Academy "

DEPENDENCE OF PARAMETERS OF SHIP SAFE REGION ON STOCHASTIC POSITION ERRORS

Алексишин Виктор Григорьевич

кандидат технических наук, профессор, зав. кафедрой Судовождения, Национальный университет "Одесская морская академия",

Алексишин Андрей Викторович кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры ЭКС, Национальный университет "Одесская морская академия "

ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ СУДОВОЙ БЕЗОПАСНОЙ ОБЛАСТИ ОТ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОЗИЦИОННЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Summary: Analytical expressions for the calculation of parameters of safe stochastic region for the case of normal distribution of errors of the navigation measuring are got.

For a concrete example by the computer program the graphic reflection of the considered region is shown. Possibility of forming of total safe region of ship, which besides position errors takes into account the sizes of ship, is shown.

Аннотация: Получены аналитические выражения расчета параметров безопасной стохастической области для случая нормального распределения погрешностей навигационных измерений.

Для конкретного примера с помощью компьютерной программы получено графическое отображение рассмотренной области. Показана возможность формирования суммарной безопасной области судна, которая помимо позиционных погрешностей учитывает габариты судна.

Keywords: safety of navigation, ship domain, safe stochastic region, normal distribution. Ключевые слова: безопасность судовождения, судовой домен, безопасная стохастическая область, нормальное распределение.

Постановка проблемы.

В течение нескольких последних десятков лет активно обсуждается и интенсивно исследуется вопрос формирования и использования судовой безопасной зоны (домена), обеспечивающей безаварийное плавание судна в стесненных водах. Исследованиями выявлены основные факторы, влияющие на форму и размеры безопасной области, однако степень их влияния в разных математических моделях, представлена по-разному. Дальнейшая работа по этой тематике является актуальной, так как разработка и использование способов построения безопасной зоны способствуют снижению уровня аварийности судов.

Анализ последних достижений и публикаций.

Вопросы построения безопасных зон судна рассмотрены в работах [1-8], в которых основным является вопрос описания формы и размеров таких зон. В работах отмечается, что для описания зон безопасности судна используются круг, центр которого совпадает с судном, эллипс, со смещенным относительно судна центром, ряд авторов указывают только размеры зоны, без указания формы.

Методы расчета формы зон безопасности судов описаны в работах [1, 2], домены Гудвина и Дэ-виса описываются в публикации [1], а метод расчета безопасной зоны в ситуациях обгона при хорошей и ограниченной видимости предложен в статье

[2]. Статистическая оценка продольных и поперечных размеров зоны безопасности судов, выполненная по натурным наблюдениям, приведена в работе

[3].

В работе [4] описана судовая безопасная зона в виде эллипса, которая используется в автоматизированной радиолокационной системе причем полуоси эллипса зависят от скорости судна, его длины и курсового угла. В работе [5] предложена процедура расчета большой и малой осей эллипса зоны навигационной безопасности для плавания судов в портовых водах. Обе полуоси зависят как габаритов судна, его скорости, так и от протяженности тормозного пути.

В работах [6, 7], как критерий безопасности предлагается «область столкновения», ее радиус зависит от длин и скоростей судна и цели, тормозного пути судна, дистанции кратчайшего сближения, задержки времени при обработке информации, а также радиуса циркуляции судна. В работе [8] показано, что параметры судовой безопасной области зависят от точности определения места судна, его габаритов и инерционных характеристик.

Выделение нерешенных ранее частей общей проблемы.

Анализ рассмотренных работ показывает, что при формировании судовой безопасной области учитывается ряд существенных факторов, исследо-

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientiflc Joumal) #4(44), 2019

25

вание влияния которых на форму и размеры судовой безопасной области требует дополнительного исследования. Одним из наиболее существенных факторов, влияющих на характеристики безопасной области, являются случайные позиционные погрешности, поэтому в данной статье более подробно рассмотрим этот вопрос.

Цель статьи.

Целью статьи является разработка способа формирования параметров безопасной судовой зоны, зависящих от стохастических факторов.

Изложение основного материала.

Так как положение истинного места судна относительно обсервованного характеризуется двумерной плотностью распределения I(X, у), то

геометрическое представление стохастического фактора заключается в поиске двумерной области

z

1

симметричной относительно обсервованного

места судна, которая с заданной вероятностью

р

, близкой к единице, содержала бы (накрывала) истинное место судна. Как показано в работе [8], для

поиска двумерной области следует воспользоваться следующим уравнением:

Я I (х у) =рл

1

1

Причем необходимо учитывать требование симметричности относительно обсервованной точки потому, что с учетом унимодальности используемых маргинальных законов распределения

погрешностей измерения область 1 будет иметь

минимальные размеры.

Распределение Гаусса, которое нашло широкое применение для описания случайных погрешностей навигационных измерений, относится к устойчивым распределениям, а его двумерная плотность для нашего случая имеет вид:

I (х, У) =

1

2па а

х у

2 2 ехр[-(— + + 2-ху-)]

22 а а

х У

а

ху

где а и а - средние ква

х У

ответственно по осям x и у, причем:

а =Ж а = ¡Л и а = /Я

х V х ' У Ду хУ V ху

С другой стороны ковариационная матрица К(х, У)т'п выражается через центральные и шанные моменты второго порядка следующим образом:

сме-

К (х, у) . =

4 у у Ш1П

О О

х ху

О О

ух у

Величина угла поворота у относительно опорной системы координат, которая определяет ориентацию

7 П

области , находится из условия исключения недиагонального элемента Л ковариационной мат-1 ху

Л О и Л , аналитически выра-х у ху

К (х, у) .

жается следующим образом [9]:

рицы К( х, у) , которое, с учетом известных элементов

2Л

tg 2у =

ху

Лх - Оу

откуда находим выражение для угла у:

1

2О

ху

у = 2 агс*Ъх - Оу

26 Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #4(44), 2019

При этом изменяются значения дисперсий Ох и О , характеризующие диагональную ковариаци-

, а новые значения дисперсий - Ох1 и Оу1, т.е.:

онную матрицу, которую обозначим К (х уК

К (х, у) . , =

Матрицу К(х, у) и, следовательно, ее элементы Ох1 и -Оу! находятся с помощью соотношения [9]:

D 0

x1

0 D

У1

K (x = G K (x G

T

Ш1П

где О - матрица преобразования, элементы которой, как показано в [10], определяются следующими формулами:

1 (Ох - О)

^ = ^Щ1+ , ( х у = ]}1/2,

41 Ö22^Y4Dl + (Dx - Dy )2

1

xy y,

(Dx - Dy)

J}1'2.

g 21 gl2 {9[1 I

2 .¡О + О - Б у

Следовательно, ковариационная матрица некоррелированных случайных величин

К (х, у).

определяется следующим образом:

mini

K(x, y) . 1 =

D 0

x1

0 D,

у1

g11 g12 g 21 g 22

D D

x xy

DD

yx y

g11 g21 g12 g22

1

D = 1[Dx + Dy + 14D 2 + (D -D )2]:

x1 2 \ xy x y

О = -[Ох + О у - ¡4П 2 + (О - О )2 ].

у1 2 \ ху х у

После указанных преобразований выражение двумерной плотности I(х, у) принимает следующий вид:

1

f (x, У) =

2па а

x1 y1

2 2 exp[+ )],

22 а 2 а 2

x1 y1

причем полуоси эллипса являются функциями дисперсий О и О , а также вероятности р

попадания истинного места судна в заданный эллипс.

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #4(44), 2019 27 Обозначая s _ , получим U — aS и записываем выражение для поиска полуоси

a

обла-

Z

сти ^ :

1 a as 2 ,.2

1 Г Г г /■ X

J J exp[ -(-^ + ydydx = P

2п< У У 2 < 2 а (1)

х1 у1 - а - ав х1 у1

Используя геометрическую аналогию получения двумерного интеграла, решение уравнения (1) возможно следующим образом. Прежде всего, найдем максимальное значение плотности У (х, у), которое достигается в точке с координатами (0,0), т.е. в начале координат.

Максимальное значение плотности У(х, у) обозначим h и находим из выражения:

1 о2 о2 1

к = У (0,0) = —-1-ехр к-°т+-0-2)] = —-1-.

2<1Уу1 <1 <у1 2<1%

Область двумерной плотности, которая отсекается плоскостью 1-1, как показано на рис., и равна по величине предельно допустимой вероятности Р^ , может быть представлена набором составляющих,

ЛР

имеющих форму эллипса, толщиной Л/. Если каждую составляющую обозначить ЛР а, то можно записать:

Р = и ^

г

Начиная с первой, верхней, эллиптической составляющей ЛРа1 с минимальными полуосями, до-

ЛР

бавляются последующие составляющие , причем ведется контроль за суммой составляющих. Ко-

ЛР Р

гда сумма составляющих ^ сопоставима со значением Р , то полуоси последней составляющей являются искомыми параметрами стохастической области . Рассмотрим более подробно процедуру

ЛР

расчета и большей полуоси эллипса.

ЛР

Объем составляющей ЛР представляет собой произведение площади эллипса с полуосями

а и

ав на величину Л/г, т.е.:

Ар. = па2А^.

В полученном выражении неизвестной является большая полуось эллипса а . Для ее поиска обращаем внимание на то, что величина полуоси а зависит, на каком расстоянии от точки A (рис. 1) производится сечение фигуры двумерной плотности плоскостью, параллельной XOY , в результате чего образуется эллипс с полуосью а . В этом случае, как показано на рис., можно записать следующее соотношение:

1 Х 2 V2

У (X, у) = --ехр[-(-2 +)] = а,

2ж у У, Ул,л

х1 у1 х1 у1

которое можно представить в следующем виде:

I II

28 Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #4(44), 2019 SMS

2 2

eXP[-)] = d2nax\ay\

ax1 ay1

Логарифмируем полученное уравнение:

-2 ,,2

- (-x~2 = ln(d2п°х\ау1)

ax1 ау1

или

+ = 1п(-1-)

а алЛ ё2па а

х1 у1 х1 у1

.__Р— 1П< ^Ь—-

х1 у1

ние принимает вид:

2 2

-1

2 + 2 1. Рах1 Рау1

Обращаем внимание на последнее уравнение, которое является уравнением эллипса с полуосями:

большей а — рах1 и меньшей Ь — рау1 . Следовательно, большая полуось эллипса а , может быть рассчитана по формуле:

а — ах1лТр ,

или подставляя значение Р :

a=ax4|ln(d2л"<т а,)

x1 y1

Рис. 1. Разбиение области Р^ на составляющие

I IB

ШШ5 Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #4(44), 2019 29 Процедура определения области Z' с учетом полученных соотношений реализуется следующим

образом. Для первой составляющей APd1 (рис ) величина d равна — h Ah / 2. По значению d производится вычисление полуоси а^ эллипса первой составляющей:

а1 — / ln[2(h - Ah /2)^7^ ]

Затем

следует рассчитать площадь эллипса ^^ £ и объем первой составляющей, который

AP

соответствует вероятности d1 , т.е.:

2 1

AP- — S Ah — лал2sAh — nsAhax1 ln[—-——-]

d1 1 1 x1 2(h - Ah/2)naxlayli

или

2, r 1

Лра1 =ж£АИух1 1п[2(к - Ак /2)<</

Вероятности каждой составляющей при вычислении по предлагаемой процедуре следует складывать

Р Р

и сравнивать с предельно-допустимой 1 $ . Поэтому суммарную вероятность обозначаем 1 ^^ . После

Р ЛР Р Р

первого этапа процедуры 1 = ■ Если 1 < $ , то рассчитываем следующую, т.е. вторую

составляющую.

Вторая составляющая ЛР$2 определяется значением плотности равным $ — к 3Аh /2, по которому рассчитывается значение полуоси а эллипса второй составляющей. Причем:

а — Дп[ 1

2 ^2(И - 3АИ/2)п<х1Уу/

ЛР

Аналогично вычисляется вероятность второй составляющей а 2 :

2 1

ЛPЯ1=п£АhyxЛ 1п[——^ -]

а 2 х1 2(к - 3Аh /2)«^

Р ЛР ЛР ЛР

Суммарная вероятность 1 = $1+ ^^ $2. В общем случае для i-й составляющей

величина находится из следующего выражения й. = к - (21 -1) Аh/2 . Полуось соответствующего эллипса а определяется выражением:

г

30

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East Еигореап Scientiflc Joumal) #4(44), 2019

а —а

х1

м

1

2(И - (2! -1) Ah / 2)пахХауХ

]

АР

а объем и, следовательно, вероятность Ар аг вычисляются по формуле:

2 1

АРаг —к^аХ1 1п[,

2(Н - (2! -1) Ah /2)пахХа

х1^ у1

Суммарная вероятность представляет сумму всех i составляющих, т.е.:

Р

йЕ

I АР

аг .

р

Процедура повторяется до тех пор, пока величина суммарной вероятности 1 а^ первый раз не превзойдет предельно-допустимую Ра , т.е. Р0£, ~ Рй . Процедура завершается, и последнее значение

полуосей эллипса а. и Ь — Ба является полуосями области стохастического фактора 1^ в случае, если векториальные позиционные погрешности починены распределению Гаусса.

Если границы области 1^ отодвинуть от ее центра на расстояние, равное проекции габаритов судна, то получим суммарную безопасную область судна, которая помимо позиционных погрешностей учитывает габариты судна. С помощью компьютерной программы были рассчитаны границы области 1 и суммарной безопасной области судна, которые показаны на рис. 2, причем внутри изображена область 1.

Рис. 2. Суммарная безопасная область судна

]

1

Ш9 Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #4(44), 2019 31

Выводы и предложения.

1. Получены аналитические выражения для определения параметров безопасной стохастической области для случая, когда погрешности навигационных измерений распределены по нормальному закону.

2. С помощью компьютерной программы показано графическое отображение рассмотренной области для конкретного примера.

3. Показана возможность формирования суммарной безопасной области судна, которая помимо позиционных погрешностей учитывает габариты судна.

Список литературы:

1. Мальцев А.С. Учет маневренных характеристик для обеспечения безопасности плавания / Мальцев А. С. // Судостроение и ремонт. - 1989. -№ 9. - С. 29 - 31.

2. Lamb W. G. Р. Calculation of the geometry of ship collision zones/ Lamb W. G. Р.// The Journal of Navigation. - 1989. - 42, № 2. - Р. 298 - 305.

3. Goodwin E. M. A Statistical Study of Ship Domains/ Goodwin E. M. // The Journal of Navigation. -1975. - 28, № З. - P. 328 - 341.

4. Баскин А.С. Береговые системы управления движением судов/ Баскин А.С., Москвин Г.И. - М.: Транспорт, 1986. - 150 с.

5. Погосов С.Г. Береговые системы управления движением судов/ Погосов С.Г., Москвин Г.И. - М.: Судовождение и связь, 1976. - 54 с.

6. Демин С.И. Вопросы управления морскими судами/Демин С.И. - М.: Рекламин-формбюро ММФ, 1975. - 75 с.

7. Taha M.Y. Vessel Traffic Services in Egypt/ Taha M.Y., Hafez M.A. - Egypt, 2002.- 78 p.

8. Алексишин А.В. Использование зоны безопасности судна для снижения аварийности/ Алек-сишин А.В. // Судовождение. - 2005. - № 10. - С. 3 - 8.

9. Крамер Г. Математические методы статистики/ Крамер Г. - М.: Мир, 1975.- 648 с.

10. Широков В.М. Распределение погрешностей обсервации при использовании методов корреляционной навигации/ Широков В.М.// Судовождение . - 2003. - № 6 .-С. 154-158.

Petrichenko E.A.

PhD, associate professor,

National University «Odessa Maritime Academy»,

Kalyuzhniy V. V.

assistant,

National University «Odessa Maritime Academy»

DIFFICULT MANOEUVRE OF OUTPUT OF SHIP ON PROGRAMMATIC TRAJECTORY AFTER

DEVIATION FROM DANGEROUS PURPOSE

Петриченко Евгений Анатолиевич

кандидат технических наук, доцент Национальный университет "Одесская морская академия",

Калюжный Вадим Витальевич ассистент кафедры УС, Национальный университет "Одесская морская академия "

СЛОЖНЫЙ МАНЕВР ВЫХОДА СУДНА НА ПРОГРАММНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ПОСЛЕ

УКЛОНЕНИЯ ОТ ОПАСНОЙ ЦЕЛИ

Summary: Difficult strategy of divergence of ship is offered with the dangerously drawn together purpose in instance where there is the distributed linear navigation danger in the district of maneuvering, thus difficult strategy contains two parts of output on the set trajectory. The analytical condition of determination of necessity of application of strategy of divergence with one or two areas of output of ship on the set trajectory is resulted.

Formulas for the calculation of moments of time of turn of ship on the first and second parts of output on the set trajectory in the situation of divergence of ship with a dangerous target at presence of maneuvering of the linear distributed navigation danger in a district are got.

Аннотация: Предложена сложная стратегия расхождения судна с опасно сближающейся целью в ситуации, когда в районе маневрирования находится распределенная линейная навигационная опасность, причем сложная стратегия содержит два участка выхода на заданную траекторию. Приведено аналитическое условие определения необходимости применения стратегии расхождения с одним или двумя участками выхода судна на заданную траекторию.

Получены формулы для расчета моментов времени поворота судна на первый и второй участки выхода на заданную траекторию в ситуации расхождения судна с опасной целью при наличии в районе маневрирования линейной распределенной навигационной опасности.

Keywords: safety of navigation, warning of collision of vessels, navigation danger, difficult strategy of divergence.