Затухание нелинейных колебаний в ограниченном бассейне переменной глубины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Термогидродинамика океана

УДК 551.46: 532.59

А.Е. Букатов, Д.Д. Завьялов, Т.А. Соломаха

Затухание нелинейных колебаний в ограниченном бассейне переменной глубины

Выполнено исследование временного затухания сгонно-нагонных колебаний жидкости в мелководном круглом бассейне переменной глубины. Проведен анализ зависимости логарифмического декремента затухания от формы рельефа дна и скорости ветра. Дана оценка роли конвективного ускорения и придонного трения в формировании уровня вертикального смещения поверхности бассейна и поля скорости горизонтальных волновых течений.

Введение. Исследованию гидродинамических процессов в ограниченных бассейнах посвящено значительное количество публикаций. В частности, вызванные ветром возмущения воды в ограниченном бассейне малой постоянной глубины рассмотрены в [1], где построена численная модель, предназначенная для решения дифференциальных уравнений, определяющих неустановившийся приливной поток в мелких прибрежных районах и вызванную ветром циркуляцию воды в озерах и резервуарах. В приближении теории длинных волн сейшевые колебания в Черном и Азовском морях изучались в [2, 3]. На основе метода конечных элементов в работе [4] рассмотрено движение воды, вызванное касательными напряжениями ветра в круглом бассейне конечной глубины без учета придонного трения и конвективного ускорения.

В данной работе выполнено исследование временного затухания сгонно-нагонных колебаний жидкости в мелководном круглом бассейне переменной глубины. Проведен анализ зависимости логарифмического декремента затухания от формы рельефа дна и скорости ветра. Дана оценка роли конвективного ускорения и придонного трения в формировании уровня вертикального смещения поверхности бассейна и поля скорости горизонтальных волновых течений.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу о динамике воды в замкнутых водоемах переменной глубины. За основу математической модели примем проинтегрированные по вертикали уравнения движения мелкой воды, записанные через две компоненты горизонтального потока количества жидкости <71,2 и сумму Н отклонения свободной поверхности £ от невозмущенного уровня и глубины к бассейна [5]:

© А.Е. Букатов, Д.Д. Завьялов, Т.А. Соломаха, 2006 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. жури., 2006, №2

Э/ р дх , 1 5

З/1 р дх

*+.»а

Я ) рф

я

= 3.

л

Я

2 Л

Вх=/я2+у2ра1¥2со59-

В2 = -/?, +у2ра1¥2зтв-

я2 ах "а«

(О

¿ри^+^Г ^(н-и) ндРа

\С2) р Я2 Р§Н~ ду ду

Уравнение неразрывности будет иметь вид:

1 ддг | д(рН) _ в & . ^ 5/

(2)

Здесь я, ~ р | \\clz, ц2-р jv>1í/2 (уж, у,, — мгновенные скорости жидких час-

-Л -А

тиц), g — ускорение силы тяжести,/ — параметр Кориолиса, С — коэффициент трения (или коэффициент Шези), у — коэффициент ветрового напряжения, IV — скорость ветра, в — угол между осью х и направлением ветра, Р„ — атмосферное давление на поверхности воды, р и ра — плотность воды и воздуха соответственно. Для решения полученной системы дополним ее граничными и начальными условиями. На твердой границе зададим условие непротекания

<?„ = 0. (3)

Начальные условия могут быть записаны в виде

Н{х, у, / = 0) = Н0, Я\(х,у, / = 0) = <7о1 , Чг(х, у, / = 0) = • (4)

Сформулируем конечно-элементную постановку рассматриваемой задачи [4, 5, 6]. Если для <71,2 и Я применяются одни и те же интерполяционные функции ф, т. е.

= я2 = Фг<12> н = ФГн">

то уравнения движения для одного элемента А представляются в матричном виде:

¿я,

¿4

п,Т

Ы 1

ы

= 0,

О,

(5)

Ж

п,Т

м

. 5Н"

~дГ

где

М = ЦффГ4Л; М* = ЦрффГс/А, Р, = ||(ф5, -ФА,У А, = |Дф52

(6)

до дер

дх ду

М,

А] и А2 — конвективные части полных производных

4 =

р дх

я

1_д_ рду

Я\Я2 Н

а2 =

р дх

Н

+—— рду

(7)

&9и $<12, — вариации, удовлетворяющие граничным условиям для массового расхода и возвышения свободной поверхности. Знак Т означает транспонирование.

Для численного интегрирования по элементу А в слагаемых, описывающих придонное трение и конвективное ускорение, осуществлен переход в косоугольные координаты, позволяющий применить к уравнениям (6) метод трепеций.

Численная реализация сформулированной задачи выполнена для круглого бассейна, радиус которого составляет 1000 м, и различных форм рельефа дна. Расчетная область и варианты морфологии дна аналогичны представленным в работе [4]. Рассмотрены случаи плоского дна при А = 5 м (вариант 1), параболического выпуклого (вариант 2) и вогнутого (вариант 3) дна. В варианте 2 глубина в центре водоема Ац = 5 м, а по краям Лб = 10 м, в варианте 3 соответственно Лц = 10 м, Лб = 5 м. Шаг по времени принимался Д/ = 5 с в соответствии с критерием Д/<-^Дx(gh)~x/A. В связи с относительно небольшими линейными размерами рассматриваемого бассейна влияние вращения Земли не учитывалось. Величина атмосферного давления Ра принималась постоянной. Поле касательных напряжений ветра считалось однородным на всей поверхности бассейна при коэффициенте ветрового напряжения У = 0,0026 [7]. Скорость ветра и значение коэффициента трения (коэффициента Шези) изменялись в интервалах 1-12 м/с, 5-50 соответственно.

Анализ результатов численных экспериментов. Решение уравнений (1) ~ (4), представленных в конечно-элементной формулировке (5) - (7), позволяет оценить влияние придонного трения и конвективного ускорения на вызванные ветром колебания в ограниченном бассейне переменной глубины.

Расчеты, проведенные для вариантов 1-3, показали, что воздействие касательных напряжений ветра на водную поверхность приводит к периодическим колебаниям уровня воды. Периоды колебаний Т определяются геометрией бассейна и морфологией дна. Расчетные периоды волновых возмущений для вариантов 1 - 3 примерно равны 8,2; 7,5 и 6 мин соответственно. Амплитуда колебания свободной поверхности в каждой расчетной точке при учете придонного трения уменьшается с течением времени. При этом уровенная поверхность бассейна стремится занять квазистационарное положение, не совпадающее с невозмущенным. Относительное уменьшение амплитуды колебаний Q за период характеризует логарифмический декремент затухания

8 [8]. Количественная характеристика скорости затухания (8) — величина, обратная числу колебаний, после которых амплитуда убывает в е раз. Время выхода на такой режим колебаний равно т - Т/8. В табл. 1 представлены' логарифмические декременты затухания 8 и время г, рассчитанные у подветренного берега для трех вариантов морфологии дна и различных коэффициентов Шези при скорости ветра 5 м/с. Из таблицы видно, что эти декременты затухания существенно зависят от морфологии дна. При прочих равных условиях наибольшее затухание у берега наблюдается при вогнутом дне, а наименьшее — при ровном. Отметим, что увеличение скорости ветра приводит к возрастанию значения декремента затухания. Зависимость 8 от скорости ветра заметнее проявляется в случае варианта 1 (ровное дно), чем в случаях вариантов 2, 3 (переменная глубина). В частности, при h = const увеличение скорости ветра от 1 до 12 м/с приводит к росту логарифмического декремента затухания примерно на 20%. В то время как в рассматриваемых случаях неровного дна прирост 8 не превышает 10%. Чем больше коэффициент Шези, тем меньше 8 зависит от скорости ветра. Это иллюстрирует рис. 1. Здесь представлена зависимость значений логарифмического декремента затухания от скорости ветра. Сплошными линиями обозначены зависимости 8 (W) для значения коэффициента Шези С = 50, а штриховыми — при С = 30. Графики 1, а, б даны для вариантов 1, 2 соответственно. Зависимость 8 (W) для третьего варианта аналогична представленным на рис. 1.

Придонное трение также уменьшает значения горизонтальных волновых скоростей. Однако степень затухания С, и модуля волновых скоростей со временем не одинаковая. В частности, за характерное время t =г при С = 10 модуль волновой скорости в центральной точке бассейна уменьшается в 1,9; 6,9; 4 раза для вариантов 1 - 3 соответственно. Следовательно, максимальное затухание абсолютного значения волновой скорости наблюдается для выпуклого дна.

Таблица 1

Логарифмические декременты затухания колебаний уроненной поверхности

с Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

8 103 т <М03 т 5-Ю3 т

5 46,94 2 ч 50 мин 42,62 2 ч 40 мин 45,73 2 ч 20 мин

10 21,26 6 ч 25 мин 36,81 3 ч 10 мин 37,51 2 ч 40 мин

20 16,58 8 ч 10 мин 33,15 4ч 34,07 3 ч

30 15,37 8 ч 50 мин 32,34 4 ч 10 мин 33,8 3 ч 10 мин

40 14,96 9 ч 10 мин 31,45 4 ч 20 мин 33,7 3 ч 15 мин

50 14,9 9 ч 15 мин 31,33 4 ч 30 мин 33,48 3 ч 20 мин

По результатам численных расчетов проведен также и анализ влияния конвективного ускорения на характеристики сгонно-нагонных колебаний. Учет конвективных слагаемых в уравнениях мелкой воды может приводить к искажению формы волны в процессе ее распространения. На рис. 2 для варианта 2 и рис. 3 для варианта 3 представлены изменения со временем формы уровня свободной поверхности бассейна в точке, лежащей у подветренного берега, при скорости ветра 5 м/с. Штриховыми линиями на этих рисунках обозначены £ (/) без учета конвективных и диссипативных слагаемых. Сплошными линиями на рис. 2, а, г, рис. 3, а, г даны £ (/) при учете только придонного трения (С = 25). Аналогичными кривыми на рис. 2, б, д и рис. 3, б, д представлены £ (г) при учете конвективного ускорения без трения. Совместный учет конвективного ускорения и трения

Рис. 1. Зависимость логарифмического декремента затухания уровенной поверхности от скорости ветра при С = = 50 (сплошные линии) и С = 30 (штриховые): а — вариант 1 (плоское дно), б — вариант 2 (выпуклое дно)

(С = 25) иллюстрируют сплошные линии на рис. 2, в, е и рис. 3, в, е. Рис. 2, а, б, в и 3, а, б, в представляют временную зависимость^ (/) в интервале времени двадцатого периода колебания, а рис. 2, г, д, е и 3, г, д, е — в интервале времени шестидесятого периода. Степень влияния конвективного ускорения существенно зависит от неоднородности рельефа дна и усиливается со временем действия ветра. Отметим, что профиль волны в бассейне с ровным дном практически не искажается конвективным ускорением с течением времени. При одновременном учете конвективных и диссипативных слагаемых изменения волновых характеристик, вызванные трением, преобладают. При этом конвективное ускорение на диссипацию вынужденных колебаний практически не влияет, что позволяет не учитывать конвективные слагаемые в расчетах параметров затухания волновых возмущений.

Рассмотрим теперь затухание начального возмущения в замкнутом бассейне после прекращения действия ветра. В качестве начальных условий примем максимальное отклонение уровня и соответствующее поле горизонтальных волновых скоростей, сформировавшиеся под воздействием ветра. При таких условиях в бассейне установятся свободные колебания, затухающие со временем с тем же периодом, что и при постоянно действующем ветре. Уменьшение амплитуды свободных колебаний уровенной поверхности со временем происходит быстрее, чем вынужденных. Это иллюстрирует табл. 2, где представлены значения логарифмического декремента затухания 30 и время г0, за которое амплитуда £ (/) свободных колебаний уменьшается в е раз.

Табл ица 2

Логарифмические декременты затухания свободных колебаний уровенной поверхности

с Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

¿о-Ю3 ¿о-Ю3 Ч ¿„•ю3 го

5 12,3 50 мин 8,3 1 ч 40 мин 13,5 45 мин

10 9,5 1 ч 30 мин 4,6 3 ч 11,8 50 мин

20 7,4 1 ч 50 мин 3,4 3 ч 30 мин 10,7 1 ч

30 6,9 2ч 3,21 4 ч 10,5 1 ч 10 мин

40 6,8 2 ч 10 мин 3,15 4 ч 10 мин 10,3 1 ч 15 мин

50 6,8 2 ч 10 мин 3,1 4 ч 20 мин 10,2 1 ч 15 мин

в е

Рис. 2. Влияние придонного трения и конвективного ускорения на вертикальные смещения уровня поверхности £ (/) бассейна с выпуклым дном: штриховые линии — без учета конвективных и диссипативных слагаемых; сплошные линии: а, г — при учете только придонного трения (С = 25), 5, д — при учете только конвективного ускорения, в, е — при учете трения (С = 25) и конвективного ускорения

С-103, м

<;.1о3, м

/ \ / \ / ^

\ / \ /

Р и с. 3. Влияние придонного трения и конвективного ускорения на вертикальные смещения уровня поверхности ^ (/) бассейна с вогнутым дном (обозначения те же, что для рис. 2)

Выводы. Логарифмические декременты затухания сгонно-нагонных колебаний существенно зависят от морфологии дна. При прочих равных условиях наибольшее затухание у берега наблюдается при вогнутом дне, а наименьшее — при ровном. Увеличение скорости ветра приводит к возрастанию значения декремента затухания. Зависимость логарифмического декремента затухания от скорости ветра заметнее проявляется при ровном дне, чем в случае неоднородного рельефа. Чем больше коэффициент Шези, тем меньше декремент затухания зависит от скорости ветра. Влияние конвективного ускорения зависит от неоднородности рельефа дна и усиливается со временем действия ветра. Конвективное ускорение на диссипацию вынужденных колебаний практически не влияет, что позволяет не учитывать конвективные слагаемые в рассчетах параметров затухания волновых возмущений. Уменьшение амплитуды свободных колебаний уровенной поверхности со временем происходит существенно быстрее, чем вынужденных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Davis J.M. The finite element method: an alternative subdomain method for modelling unsteady flow in coastal waters and lakes // Proc. Int. Symp. Unsteady flow Open Channels, Newcastle-upon-Type, Granfield, 1976. — B4 41 - B4 53.

2. Архипкин B.C., Иванов B.A., Николаенко Е.Г. Моделирование баротропных сейш в южных морях // Моделирование гидрофизических процессов и полей в замкнутых водоемах и морях. — М. : Наука, 1989. — С. 104- 117.

3. Иванов В.А., Манилюк Ю.В., Черкесов JÎ.B. О сейшах Азовского моря // Метеорология и гидрология. 1994, № 6. — С. 105 - 110.

4. Букатов А.Е., Завьялов Д. Д. Вызванное ветром движение воды в мелководных замкнутых бассейнах // Морской гидрофизический журнал. — 2004. — № 5. — С. 35 - 44.

5. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. — JL: Судостроение, 1970. — 269 с.

6. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976. — 464 с.

7. Дронкерс Й. Расчеты приливов в реках и прибрежных водах. — JL: Гидрометеоиздат, 1967. —294 с.

8. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. — М.: Наука, 1986. — 432 с.

Морской гидрофизический институт HAH Украины, Материал поступил

Севастополь в редакцию 29.11.04

ABSTRACT The time-attenuation of the fluid serge oscillations in a shallow round basin of variable depth is studied. Dependence of logarithmic decrement of attenuation upon the bottom relief and wind speed is analyzed. The role of convection acceleration and near-bottom friction in formation of the basin surface vertical displacement and the velocity field of the horizontal wave currents is determined.