CC BY
48
показали результаты решения нестационарных задач теплопроводности [4], S-функции полностью устранили эти серьёзные недостатки, так как впервые позволили получать гладкие решения обратных задач аналитиче-
ской и дифференциальной геометрии. Максимальные погрешности при решении нестационарных задач теплопроводности с использованием S-функций не превосходили 0.16 % для относительной погрешности.
Литература
1. Мацевитый, Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т.2. приложения [Текст] / Ю. М. Мацевитый. - Киев: Наук думка, 2002. - 391 с.
2. Маляренко, В. А. Техническая теплофизика ограждающих конструкций, зданий и сооружений [Текст] / В. А. Маляренко, А. Ф. Редько, Ю. И. Чайка, В. Б. Поволочко. - Харьков: Рубикон, 2001. - 279 с.
3. Вигак, В. М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами [Текст] / В. М. Вигак. - Киев: Наук думка, 1979. - 359 с.
4. Слесаренко, А. П. Структурно-разностный подход математическому моделированию высокоскоростных тепловых процессов с нестационарным теплообменом на поверхности конструктивных элементов [Текст] / А. П. Слесаренко, Ю. О. Кобри-нович // Проблемы машиностроения. - 2011. - Т. 14, № 3. - С. 66-75.
5. Слесаренко, А. П. 8-функции в обратных задачах аналитической геометрии и моделирования тепловых процессов [Текст] / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2011. - Т. 3, 4 (51). - С. 41-46.
6. Слесаренко, А. П. 8-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм [Текст] / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский Журнал передовых технологий. - 2012. - Т. 1, № 4 (55). - С. 4-10.
7. Самарский, А. А. Теория разностных схем [Текст] / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
8. Болтянский, В. Г. Оптимальное управление дискретными параметрами [Текст] / В. Г Болтянский. - М.: Наука, 1973. - 446 с.
9. Богословский, В. Н. Строительная теплофизика [Текст] / В. Н. Богословский. - М.: Высш. школа, 1985. - 367 с.
10. Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределёнными параметрами [Текст] / А. Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.
-г0 п-з—:—:-—
Запропоновано сем^параметричний nidxid до eupi-
шення задач ймовipнiсноï дiагностuкu, заснований на anapami розкладу у пpостоpi з поридним елементом. Синтезовано адаптивш процедури nолiномiaльноïузгод-женоï фтьтрацп, призначет на виявлення та и)ен-тифтацп титв розладки негаусових випадкових про-цеЫв при ïx моментно-кумулянтному опиы. Проведено статистичне моделювання на npuклaдi послидовного виявлення розкладки по середньому та дисперсй
Ключовi слова: розладка, узгоджетсть, стохастич-ний полтом, негaусовi процеси, статистики вищих порядтв
□-□
Предложен семи-параметрический подход к решению задач вероятностной диагностики, основанный на аппарате разложения в пространстве с порождающим элементом. Синтезированы адаптивные процедуры полиномиальной согласованной фильтрации, предназначенные для обнаружения и идентификации типов разладки случайных негауссовских процессов при их моментно-кумулянтном описании. Проведено статистическое моделирование на примере последовательного обнаружения разладки по среднему и дисперсии
Ключевые слова: разладка, согласование, стохастический полином, негауссовские процессы, статистики высших порядков___
УДК 519.218
ЗАСТОСУВАННЯ РОЗКЛАДУ В ПРОС-ТОР1 З ПОР1ДНИМ ЕЛЕМЕНТОМ ДЛЯ ВИР1ШЕННЯ ЗАДАЧ ЙМОВ1РН1СНО1 Д1АГНОСТИКИ
С. В. Заболотн^й
Кандидат техычних наук, доцент Кафедра радютехнки Черкаський державний технолопчний уыверситет бул. Шевченко, 460, м. Черкассы, УкраТна, 18000 E-mail: zabolotni@ukr.net
1. Вступ одтею i3 найважливших проблем сучасно! шженерп.
Осюльки значна частина шформацшних процеив за Виявлення та вдентифжащя несправностей (FDI - своею природою мае стохастичний характер, а на де-Fault Detection & Identification) техшчних систем е термшоваш сигнали зазвичай дтть зовтшт випад-
©
KOBi завади та внутршш шуми, то для коректного прийняття ршень е необхiдним застосування ймовiр-нiсного тдходу для ix опрацювання. Однiею з клю-чових проблем ймовiрнiсноi дiагностики е так звана «розладка» (change point problem), тд якою розумжть рiзку непередбачувану змiну ймовiрнiсниx власти-востей випадкових процесiв. Необxiдно зазначити, що задачi, в математичнiй постановщ яких фiгуруе поняття «розладка», не е специфiчними виключно для дiагностики та контролю стану теxнiчниx систем. Мониторинг геофiзичниx, економiчниx, екологiчниx процеав, аналiз бiомедичниx та соцiологiчниx даних -це далеко не повний перелж проблемних галузей ймо-вiрнiсноi дiагностики. Широке коло прикладних задач, яке постшно розширюеться, вимагае розробки нових моделей та методiв статистичного опрацювання, що i обумовлюе актуальнiсть даноi роботи.
2. Аналiз лiтературних джерел та постановка проблеми
Iсторiя ймовiрнiсноi дiагностики розпочинаеться iз винайдення у 1924 р. Шухартом iнструменту аналiзу мiнливостi випадкових процеив, який зазвичай нази-вають контрольними картами [1]. За майже столитя, що минуло з цього часу, теоретично обгрунтовано та дослвджено властивост достатньо великоi кiлькiсть дiагностичних методiв. Серед них найбiльш вагомими результатами можна вважати розробку на основi по-слiдовного аналiзу Вальда алгоритму кумулятивних сум (С^иМ) Пейджем [2], метода ретроспективного (апостерюрного) ощнювання моменту виникнення розладки, що базуеться на основi iдеi максимiзацii правдоподiбностi, запропонованого Хiнклi [3]. Зна-чний вклад в розвиток методiв прийняття ршень, зокрема, в байесовiй постановщ задач, вшс Ширяев, який першим застосував термш «розладка» у вггчиз-нянi лiтературi [4].
Достатньо повний аналiз проблем та методiв ймо-вiрнiсноi дiагностики, станом на кшець 20-го столiття можна знайти в оглядовш статтi [5]. Прикладами детального викладення теоретичних та прикладних аспекпв застосування статистичних методiв вияв-лення розладки, зокрема, iз застосуванням процедур адаптивноi фiльтрацii, i е роботи [6-8]. Аналiз цих джерел показуе, що характерною особливштю бшь-шост класичних методiв ймовiрнiсноi дiагностики е '¿х орiентацiя на гаусову (нормально-розпод^ену) модель статистичних даних. Вiдомо, що використання таких моделей суттево спрощуе процедури синтезу та аналiзу алгоритмiв опрацювання, будова яких засно-вана на параметричному апарат щiльностей розподiлу ймовiрностей.
Зазначимо, що в багатьох практичних випадках гаусова модель не завжди е адекватною, що призводить до попршення результатiв опрацювання. Врахування ж реального розпод^у статистичних даних пов'язане iз суттевим зростання обсягу апрiорноi iнформацii або необхiднiстю вирiшення апроксимацшних задач на основi апостерiорних даних для побудови адекватних ймовiрнiсних моделей. Крiм того, «негаусовшть» моделей, як правило, призводить до ускладнення реалiзацii оптимальних параметричних методiв, як в б^ьшо-стi випадкiв потребують нелiнiйного опрацювання.
Альтернативою в цш ситуацii е робастнi (стiйкi до неточност моделей) та непараметричнi (в^ьш вiд роз-подiлу) статистичнi методи [9]. Проте '¿х застосування загалом вже не е оптимальним з точки зору загаль-ноприйнятих критерпв ефективностi (максимiзацii потужностi статистик, мiнiмiзацii середнього часу на прийняття ршень, дисперсii оцiнок i т. д.).
Одним iз альтернативних пiдходiв до вирiшення задач, пов'язаних iз обробкою негаусових сигналiв i даних, е напрямок, що базуеться на застосуванш статистик вищих порядюв (моментiв, кумулянтiв та iхнiх функцш) або '¿х спектральних перетворень (полшпек-трiв). Прикладами використання даного описового апарату в рiзних прикладних задачах, пов'язаних iз розладкою, е: визначення моменту приходу сигналiв акустичноi емки [10], детектування вщеопотоюв [11], виявлення атак в телекомушкацшних мережах [12], виявлення дефекпв пiдшипникiв [13], дiагностування сигналiв електрокардiограм [14].
Оскiльки моментно-кумулянтний опис не е повним
[15], то кнуе лише асимптотична (з ростом юлькост параметрiв) можливiсть отримання оптимальних результат. В цьому контекст методи, що базуються на статистиках вищих порядюв, можна трактувати як семьпараметричш. 1х використання значно спрощуе процес синтезу адаптивних статистичних алгоритмiв, здатних на основi врахування ймовiрнiсних власти-востей даних покращувати точнiсть '¿х опрацювання. Прикладом такого тдходу до виршення статичних задач е застосування стохастичних полiномiв Кунченко
[16], як використовуються в данш роботi.
3. Мета i задачi дослiдження
Метою даноi роботи е аналiз особливостей за-стосування математичного апарату розкладу у про-сторi з порiдним елементом (просторi Кунченко) для виршення типових задач ймовiрнiсноi дiагностики: виявлення та iдентифiкацii титв розладки шляхом розпiзнавання негаусових випадкових процеив при '¿х частковому опии моделями на основi статистик вищих порядюв.
Практичним аспектом роботи е дослщження шляхом багаторазових випробувань ефективност синте-зованих семi-параметричних адаптивних алгоритмiв полiномiальноi узгоджено' фiльтрацii, призначених для виршення модельних задач, пов'язаних iз посль довним виявленням розладки параметрiв (середнього та дисперсп) негаусових випадкових послщовностей.
4. Теоретичнi основи розкладу у npocTopi з порщним елементом
Вiдомо, що ряди як математичний апарат були створеш для спрощення розрахункiв при роботi з детермшованими функцiями. Проте в процеа розвит-ку науки цей апарат став одним iз найпоширенiших шструментв при вирiшеннi багатьох статистичних задач, зокрема, пов'язаних iз проблемами ймовiрнiсноi дiагностики. Найбiльшого поширення набуло використання спектрального аналiзу iз застосуванням рядiв Фур'е та розклади на основi вейвлет-перетворень.
У данш робот застосовуються полiноми, cnoci6 формування яких принципово вiдрiзняeться ввд кла-сичних розкладiв. Вперше цей апарат, запропонований Кунченко [17], виник як специфiчне середньоквадра-тичне наближення (розклад) випадкових величин за допомогою стохастичних полiномiв i3 неортогональ-ним базисом, в якост якого використовуються певнi функцiональних перетворень вiд об'екту розкладу. Пiзнiше даний пiдхiд був узагальнений i на його основi розроблена теорiя нового абстрактного математичного простору - простору з порщним елементом (простору Кунченко), в якому можуть бути розкладет як детер-мшоваш функцп, так i випадковi сигнали з дискрет-ним i неперервним часом [18].
Одним iз ключових елементiв даного математичного апарату е поняття «узгодженостЬ» векторiв, практична користь якого обумовлена поширеною функ-цiонально-векторноï аналогiею, вiдповiдно до якоï випадковi величини та процеси можуть трактуватися як вектори у пльбертовому просторi [19]. Розглянемо дану властившть на прикладi наближення до вектора X = {x1,x2,...,xN}, що мктить N статистично незалеж-них однаково розпод^ених випадкових елементв.
Використовуючи апарат стохастичних полiномiв [16], отримаемо на основi вектора X шший вектор Y такоï ж розмiрностi N, складовi якого формуються шляхом полiномiальних перетворень S -го порядку fS (■) вщ вiдповiдних елементiв порiдного вектору
S
Уп = fs (xn ) = ko +Х к,ф, (xn ), n = 1,N,
(1)
де коефвденти полiному k0 та k;, i = 1,S - деяю по-стiйнi (незалежнi вiд n ) величини, а базисш функцп фi (■) е певним чином впорядковаш нелiнiйнi перетво-рення, таю, що шнують '¿х математичнi сподiвання
E{фi(■)} —V; <~, i = 1S .
(2)
Як базисш функцп можуть бути використаш сте-пеневi або тригонометричнi перетворення. У першому випадку для побудови стохастичних полiномiв необ-хiдним е моментно-кумулянтний опис, а у другому -характеристичш функцп [16, 20].
Представимо (1) у б^ьш компактнш матричнш формi
Y = ko + КФ5 (X),
(3)
де K - вектор коефвдентв розмiрностi S , а матриця Ф5 (X) мае розмiрнiсть N х S.
Полiномiальний вектор Y , сформований на основi (3), називають узгодженим iз порiдним вектором X, якщо скалярний добуток цих векторiв е рiвним квадрату норми узгодженого вектору, тобто
симанта Y пiдiбрана таким чином, що дае найменше вiдхилення, тобто коли вектор Z = X - Y мае наймен-шу норму. Подiбне можливо, коли апроксиманта е про-екцiею вектора на вiдповiдний тдпростр, i тодi буде справедлива теорема Шфагора
||z|| — ||x—xy II —11XI —I xY I
(6)
тобто iз (5) та (6) випливае, що Y — XY .
1з урахуванням зазначешл функщонально-вектор-ноï аналоги, розглянемо вщому властивiсть екстрему-му (мжмальност) дисперсiï довiльного вектора випадкових величин X , яка полягае у тому, що функщя
D —E {(X —
{(X—Vo )2}
(7)
досягае мiнiмуму, коли мае мiсце рiвнiсть E {XVo } = Vo2,
а це можливо, якщо Vo — E {X} . Тобто за аналопею до (4) математичне сподiвання vo е константою, значен-ня яко'1 лiнiйно узгоджене з X . В цш ситуацп мiнiмум в (7) дорiвнюе дисперсп gX випадковоï величини X , тобто
D — E {X2 } — E {X}2 — E {X2 } — V o2 — <
(8)
Вiдомо, що мiнiмiзацiя величини дисперсiï або середньоквадратичноï похибки (СКП) е дуже важли-вим фактором у математичнш статистицi, осюльки ця категорiя е однiею з основних характеристик, що визначае точшсть статистичного ощнювання та впли-вае на ймовiрнiсть помилкових рiшень при перевiрцi статистичних гiпотез.
Якщо розглядати Z як вектор, що мк;тить випад-ковi елементи zn — xn — y n, n — 1,N, то для забезпечення мтмуму дисперсiï gZ , що еквiвалентно мiнiмiза-цп квадрату похибки полiномiального наближення DS — IZI , необхвдно щоб вектор коефiцiентiв K знахо-
дився як розв'язок системи рiвнянь (ЛАР)
KF — B,
лшшних алгебраïчних
(9)
X ■ Y — Y
(4)
де F - квадратична матриця розмiрностi S х S, що мь стить центрованi корелянти
Fi,j — E{[ф,(х)—^][ф](х)—^]}, j,j—^,
а B - вектор-стовбець розмiрностi S , який складаеть-
ся з елементв B; —E {[X — vo ][ф; (X ) —Vi ]} , i — 1,S.
Для мiнiмiзацiï DS також необхiдно, щоб коефь цiент ko знаходився iз стввщношення
Очевидно, що умова (4) спричиняе нерiвнiсть ||X|| > IYII , адже
(X — Y)2 — I|X||2 — 2 (X ■ Y) +1|Y||2 — I(X2 — I|Y||2 — IZU2 > o .(5)
З теорп просторiв вiдомо [19], що для деякого вектору X найкраще наближення буде тод^ коли апрок-
ko — Vo —KV ,
(1o)
де у - вектор-стовбець розмiрностi S , який складаеть-ся iз вiдповiдних до (2) математичних сподiвань V; , i — 1S.
1з врахуванням (3) та (Ю) величину похибки на-ближення можна записати
^ = {[Х-¥о ]-К [ф (Х)-¥]}2.
(11)
Зiставлення (11) iз (7) тсля незначних перетворень дозволяе записати ствввдношення
Ds = D - КВ = D - ,15.
(12)
де величину Js , що в розгорнутому виглядi представ-ляеться як
Js = Х ¿ВД^ ¡=1 ]=1
(13)
називають шфоркуною стохастичного полiному [16]. Вона визначае стутнь наближення полiномiального узгодженого вектора Y до порiдного вектора X в залежност вiд степенi полшому S. Аз точки зору властивостей випадкових величин, значення шфор-куни характеризуе стутнь зменшення дисперсii випадково! величини, що формуеться як рiзниця мiж порiдною i полiномiальною узгодженою величинами, порiвняно iз дисперсiею о2х порiдноi випадково! ве-личини.
Зазначимо, що введене рашше обмеження на стати-стичну незалежнiсть мiж елементами порвдного вектору в загальному виглядi може бути скасовано, а даний апарат застосовано як для представлення корельова-них випадкових процеав iз дискретним часом [21], так i для розкладу випадкових процесiв iз неперервним часом [22]. Проте в цих ситуащях процедура наближення ускладнюеться, осюльки для забезпечення узгоджен-ня мiж порiдними випадковими процесами i стоха-стичними полiномами структура повинна мктити не постiйнi коефвденти, а функцii (ядра) розкладу. При цьому алгоритм формування оптимальних ядер та аналiз збiжностi таких рядiв вимагае переходу у частотну область та застосування ймовiрнiсного опису об'екпв розкладу у виглядi спектрiв вищих порядюв (полiспектрiв).
5. Системи виявлення та щентифжаци розладки на основ1 розкладу в простор! з порщним елементом
Осюльки дiагностування - це процес вщнесення (iдентифiкацii) стану системи або явища до одного з можливих дiагнозiв, то при ймовiрнiсному пiдходi такi задачi повиннi вирiшуватися методами стати-стичного виявлення та розтзнавання сигналiв чи образiв. Число можливих дiагнозiв (типових станiв) залежить вщ особливостей завдань i цiлей дослщ-ження. В найпростiшому випадку задача дiагносту-вання може бути зведена до вибору одного з двох можливих дiагнозiв. Наприклад, рiзка змiна (роз-ладка) характеристик процесу на виходi деяко! системи може вщповщати переходу вiд И «працездат-ного» стану до «непрацездатного». У бiльш складних задачах необхщно детальнiше охарактеризувати не-працездатний стан, який може належати одному iз клаив визначено! множини, тобто здшснити щен-тифiкацiю типу розладки шляхом статистичного розтзнавання.
Характерною особливктю б^ьшост задач ймовiр-нiсноi дiагностики е те, що вони орiентованi не на ста-
тистичну обробку вибiрок фiксованого обсягу, а на по-слiдовний аналiз випадкових процесiв, що надходять в режимi реального часу. В таких ситуащях процедуру опрацювання вхщних даних зазвичай називають ф^ь-трацiею.
Серед пiдходiв до виршення задач виявлення не-справностей динамiчних систем з подальшою iзоля-щею проблеми на основi iдентифiкацii сташв одним iз найбiльш популярних е напрямок, що базуеться на структурах у виглядi паралельного з'еднання фшы^в типу Калмана, Вшера та ш. [7]. Загальний принцип роботи базуеться на тому, що процеси, як контролю-ються, проходять через сукупшсть (набiр iз М банкiв) фшм^в, кожен iз яких налаштований на певну гшо-тезу. При цьому один iз фiльтрiв, як правило, ввд-повiдае налагодженому стану, а iншi - наявностi змiн (розладок) певного типу. Якщо певнi гшотези дiйсно виконуються, то сигнали на виходi вiдповiдних ф^ь-трiв повинш бути малими. Таким чином, виршальна функцiя базуеться на визначеннi того з набору ф^ь-трiв, реакщя якого е мiнiмальною [8].
Очевидно, що такий тдхщ якнайкращим чином корелюе iз принципами узгодженостi, яю закладенi в основу апарату розкладу у просторi з порiдним елементом. В якосп фiльтруючих систем (рис. 1), що за середньоквадратичним критерiем мiнiмiзують величину реакцп на своему виходi, при спостереженш на входi випадкового процесу з очжуваними ймовiрнiс-ними властивостями, можна дослщжувати рiзницю виду
zn = Хп - 4 (Хп ) ,
де 4 (хп) - узгоджене iз вхiдною послщовшстю поль номiальне перетворення, що для розглянутого прикладу статистично незалежних значень хп, мае форму (1).
Полiномiальнi фшьтри в рiзних каналах можуть мати однакову структуру, але будуть вiдрiзнятися параметрами (коефвдентами або ядрами розкладу), значення яких оптимiзуються за визначеним середньоквадратичним наближенням для кожного iз очжу-ваних клаив.
Рис. 1. Структурна схема системи виявлення та щентифкаци розладки на основi банку полiномiальних узгоджених фiльтрiв
У роботах [23, 24] на основi апарату розкладу у про-сторi з порiдним елементом та функщональних сте-
пеневих перетворень обгрунтоваш принципи синтезу та проаналiзованi властивост дискретних нелшш-них систем, яю названi полiномiальними узгоджени-ми фiльтрами. Шляхом статистичного моделювання дослщжена можливiсть застосування цих фшм^в для виявлення рiзноманiтних сигналiв та ощнювання моменту !х надходження. Отримаш експерименталь-нi результати пiдтверджують прогнозовану ефектив-нiсть !х використання саме у випадках негаусовост статистичних даних. Нижче розглянут особливостi вирiшення задач виявлення розладки негаусових ви-падкових послщовностей на основi полiномiальноi узгоджешл фiльтрацii.
6. Послiдовне виявлення розладки ¡з застосуванням полшом1альних узгоджених фшьтр1в
Розглянемо наступну постановку задачi. Нехай спостертеться послiдовнiсть х4,х2,...хп,... статис-тично незалежних випадкових величин, закон роз-под^ яких е невiдомим та загалом вiдрiзняеться вiд гаусовоi моделi. До деякого (апрюрно невiдомого) моменту дискретного часу т-1 значення параметрiв, що контролюються, а саме, математичного сподiван-ня (середнього) 80 та дисперсп о2 е незмiнним (гшо-теза Н0 ). Потiм, в момент часу т , величина середнього та/або дисперсii рiзко змшюеться (гiпотеза Н1), приймаючи вiдповiднi значення 81 i о2. Завдання полягае в тому, щоб шляхом послщовного аналiзу вхiдноi послiдовностi щонайшвидше виявити факт виникнення розладки при забезпеченш фiксованоi вiрогiдностi (середнього часу виникнення) помил-ковоi тривоги.
При вщсутност iнформацii про закон розподь лу шдльност ймовiрностей вхiдних сигналiв для виршення подiбних задачi можна застосовувати непараметричний тдхщ. Вiдомо [5], що шнуе чо-тири основних типи непараметричних методiв по-слiдовного виявлення розладки, яю базуються на статистиках типу С^иМ, GRSh (Пршика-Рубша-Ширяева), експоненцiйного згладження та ковзного в^на. Остання статистика, як окремий випадок, включае класичну карту Шухарта. Бшьшшть непараметричних методiв об'еднуе той факт, що вони орiентованi на виявлення розладки у виглядi «зсу-ву» середнього значення. Проте, як показано у [9], загальна задача виявлення змш довiльноi ймовiрнiс-ноi характеристики може бути зведена до виявлення змш середнього для деякоi iншоi послiдовностi, що сформована iз початковоi. Для введеноi постановки задачi такою трансформацiею може бути отримання нормованоi послiдовностi виду
4(Хп) = «1 + Ек. (хП-а,),
(15)
^ =
(хп -8о)2
(14)
Розглянемо особливостi вирiшення поставленого завдання iз застосуванням полiномiальноi узгодже-ноi ф^ьтрацп. Якщо в якостi базисних використати цiло-степеневi функцii ф, (х) = х1, то узгоджене поль номiальне перетворення загального виду (1) з ураху-ванням (10) набуде форми
де а, - почaтковi моменти 1 -го порядку вхщно1 ви-пaдковоi послiдовностi в налагодженому сташ (при гiпотезi Н0 ).
Таким чином, на основi перетворення (15), iз ура-хуванням, що при гiпотезi Н0 початковий момент а1 = 60, та по аналоги до (14), сформуемо нормовану полiномiaльну послщовшсть
^-е0к, (хП-а1) _1=2_
о2 (1 - ^)
(16)
де JS - шфоркуна виду (13).
Порiвняльний aнaлiз (16) з (14) вказуе на те, що по-слiдовнiсть (¿п можна розглядати як окремий випадок полiномiaльноl послiдовностi 5 = 1
вщсутност нелiнiйних перетворень.
В щлому, iдея збiльшення ефективностi оброб-ки шляхом застосування полiномiaльних перетворень базуеться на тому, що значення пaрaметрiв сто-хастичних полiномiв 5-го порядку формуються iз оптимальним (за критерiем середньоквадратичного наближення) урахуванням iмовiрнiсних властивостей випадкових величин, яю визначаються набором по-чаткових моментв до 25-го порядку. Нaявнiсть тако! iнформaцii дозволяе збiльшити селективнiсть опрацю-вання, оскiльки за нaявностi на входi сигналу iз узгод-женими властивостями, тсля вiдповiдноi нелiнiйноi (полiномiaльноi) обробки мае мiсце суттеве зменшен-ня дисперси послiдовностi, що формуеться як рiзниця мiж порiдною та узгодженою послщовностями. Саме ця рiзниця i використовуеться для подальшого aнaлiзу та прийняття рiшень, для чого може бути використана одна iз класичних непараметричних статистик. Важ-ливим позитивним наслщком зменшення дисперсП послвдовност, що aнaлiзуеться, е можливiсть суттево-го зниження порогу ухвалення ршень про розладку при зaбезпеченнi вщповщно! величини помилково! тривоги.
Таким чином, запропонований шдхщ поль номiaльноi узгодженоi ф^ьтрацп можна трактувати як семi-пaрaметричний вaрiaнт попереднього опра-цювання, який володiе влaстивiстю aдaптивностi до ймовiрнiсних характеристик процеав, що контролюються. На рис. 2 наведена структурна схема aдaптивноi системи виявлення розладки, побудована на основi полiномiaльного узгодженого фшьтру (ПУФ), непа-рaметричноi статистики (НС) типу «ковзного вжна», порогового пристрою (ПП) та тдсистеми забезпечен-ня адаптивности в структурi яко! можна видшити три склaдовi: блоку ощнювання моментв (БОМ), блоку визначення коефвдентв (БВК) та блоку визначення порогу (БВП).
Очевидно, що реaлiзaцiя aдaптивностi вимагае на-явностi «нaвчaльноi» послiдовностi, ймовiрнiснi характеристики яко! повинш вiдповiдaти налагодженому стану (гiпотезi Н0 ). При виршення постaновленоi задач на основi непараметричного пiдходу в якост «навчальних» характеристик використовуються оцiн-
о
ки перших двох моменпв, значення яких дозволяе здшснювати нормування вхвдного процесу. I хоча для коректного функцюнування ПУФ порядку 5 юль-юсть необхiдних моментiв а, зростае до 25 порядку, алгоритм знаходження '¿х оцiнок суттево не змшюеть-ся i може базуватися на достатньо простш з реалiза-цшно' точки зору рекурентнiй процедурi виду:
1
¡,п = -[(п - 1)а,,п-1 + ХП ] .
(17)
Рис. 2. Структурна схема адаптивноТ полiномiальноT системи виявлення розладки
В роботi [25] запропонована евристична методика визначення похибок формування коефвденпв систем ЛАР виду (9), яю застосовуються для адаптивного пошуку узгоджених параметрiв (оптимальних значень коефвденпв к, ) ПУФ. Дана методика базуеться на рекурентному статистичному оцшюванш виду (17) та дозволяе реалiзовувати поточний контроль необхщно-го обсягу навчальноi вибiрки за рахунок аналiзу точ-ностi отримуваних оцiнок у виглядi ковзного вжонно-го усереднення '¿х середньоквадратичних вiдхилень.
Оскiльки при апрюрно невiдомому негаусовому ха-рактерi дослiджуваних випадкових процесiв теоретично встановити вигляд закону та значення параметрiв розподтв статистик неможливо, то единим шляхом для визначення порогу прийняття ршень С , що забезпечуе прийнятну вiрогiднiсть хибних тривог, е процедура по-переднього навчання системи шляхом статистичного моделювання. В робоп [26] проаналiзованi основнi гс-нуючi пiдходи до вирiшення апроксимацiйноi задачi для статистик, що формуються на основi полiномiальноi уз-годжено' фiльтрацii. Отриманi результатiв показали, що апроксимащя емпiричного розподiлу на основi двох та трьохкомпонентних гаусових сумшей забезпечуе прий-нятнi результати для оцшювання ймовiрностей помил-кових ршень на рiвнi 10-3. Бiльш ефективним е споаб, що базуеться на апроксимацп лише «хвостових» значень статистик iз застосуванням узагальненого розподiлу Парето. Цей тдхвд надае можливiсть достатньо просто розраховувати пороги прийняття ршень та адекватно прогнозувати помилки iз ймовiрнiстю на рiвнi 10-6, проте вимагае велико' кiлькостi статистичних даних, осюльки при отриманнi оцiнок параметрiв моделi використову-ються лише частина «хвостових» значень.
7. Результати статистичного моделювання послщовного виявлення розладки та ¡х анаиз
На основi представлених вище результапв у середо-вишд Matlab/Simulink був розроблений комплекс iмiта-
цiйного статистичного моделювання, функцiонування якого дозволяе експериментальним шляхом оцшю-вати ефектившсть застосування ПУФ для виршення ряду типових задач ймовiрнiсноi дiагностики. Для по-будови моделi генератора процеав, що дослiджуються, застосовано оригшальний пiдхiд, який базуеться на двокомпонентнш (бiгаусовiй) сумiшi нормально-роз-подiлених випадкових величин. Застосування такого способу генерацп дозволяе задавати стутнь «негаусо-востЬ», фiксуючи значення кумулянтних коефiцiентiв асиметрп у3 та ексцесу у4 [27].
Кожен експеримент полягае у багаторазовому послiдовному виявленнi розладок, що перiодично виникають у процеи, який аналiзуеться на основi застосування непараметричноi статистики типу «ковзного вжна». Основним результатом такого статистичного дослщження е визначення усереднених значень часу Т(5 та Т(1), необхщних для прийняття рiшень тсля виникнення розладки (при забезпечен-ш певного рiвня хибно' тривоги), вщповщно, для ви-падкiв використаннi ПУФ степеш 5 та при вщсут-ностi додатковоi нелiнiйноi обробки. Вщзначимо, що в процесi реалiзацii експерименив величина та тип розладки вважаються апрiорi невiдомими, а iнфор-мащя про оптимальнi параметри ПУФ отримуеть-ся адаптивно, шляхом знаходження апостерюрних оцiнок початкових моментiв негаусових випадкових послщовностей.
Як приклад вiзуалiзацii результапв iмiтацiйно-го моделювання на рис. 3 представлено осцилограми функцiонування моделi, яка реалiзуе послiдовне виявлення розладки негаусових випадкових послщов-ностей хп (рис. 3, а) iз параметрами у3 = 1 та у3 = 5 при перюдичнш змiнi значень середнього на ввдносну величину q = (б1 -0о) /о2 = 1 та дисперсГ! на масштаб-ний коефiцiент g = о2/о42 = 2 . На рис. 3, б та рис. 3, в представлеш статистики, отримуванi iз застосуванням прямокутного «ковзного вжна» шириною N = 100 вщлтв, що згладжують послiдовностi, сформованi на основi перетворень (14) та (16). Нижче зображеш iм-пульси, тривалкть яких вiдповiдае часу на прийняття ршення про виникнення розладки у випадку вщсут-ностi (рис. 3, г) ^л^шно' обробки та iз застосуванням (рис. 3, д) ПУФ степеш 5 = 3 (за умови забезпеченш однаково' величини ймовiрностi хибно' тривоги на рiвнi 10-2 ).
Очевидно, що часовi затримки на прийняття рь шень про виявлення розладки для кожного iз перiодiв е рiзними, що обумовлено стохастичними властиво-стями процесiв, яю аналiзуються. Тому кiнцевим результатом кожного iз експериментiв е отримання усереднених (для достатньо велико' юлькосп перiодiв
3 (5) (1)
L = 10 ) часових значень Т ' i Т , якi i дозволяють здiйснювати порiвняльний аналiз ефективностi за-пропонованого полiномiального семi-параметричного та класичного непараметричного пiдходiв. На рис. 4 представленi отримаш шляхом багаторазових випро-бувань залежносп вiдношень Т(5УТ(1) вiд величини коефвденту асиметрГ' у3, побудоваш при рiзних зна-ченнях степеш стохастичного полшому 5 (рис. 4, а), величини вщносно' розладки по середньому q (рис. 4, б), вщносно' величини розладки по дисперсп g (рис.4, в)тапри рiзних значенняхкоефiцiента ексцесу у 4 (рис. 4, г).
результатв дозволяе зробити наступнi основнi висновки стосовно характеру змш величини ефективност (зменшення се-реднього часу на виявлення розладки), що забезпечуеться застосуванням процедур, заснованих на полiномiальнiй узгодженш фiльтрацii:
• величина виграшу зростае iз збшь-шенням степеня полшому S (порядку ПУФ), але в бшьшосп випадкiв стае значимою лише при S > 3 ;
• величина переваги застосування ПУФ порядку S суттево не залежить ввд вщносшл величини розладки (як серед-нього так i дисперсп);
• при будь-якому степенi S величина виграшу зростае iз зб^ьшенням ступеня негаусовостi (абсолютних значень куму-лянтних коефiцiентiв вищих порядкiв).
8. Висновки
7®
д
Рис. 3. Осцилограми моделювання послiдовного виявлення розладки
ц=0 4 /4=5
1
0.5
• • • 5=2 ■ ■-■ 5=3 . . • 5=4 \
Ч ' . \ 4 \ Ч' 1 N
д=0 /4=5
• • ■ ■ ♦» -8=2 ■ 8=4 е=ю
рт;/та>
q=0
0.5
уз
Рис. 4. Залежносп вiдношень середнiх значень затримок на прийняття ршень: а — при рiзних степенях полiному S; б — при величин розладки середнього q; в — при величш розладки дисперси q; г — при коефщieнтi ексцесу у 4
Аналiз наведених на рис. 4 графiкiв та iнших от-риманих в процес експериментальних дослiджень
Сукупшсть наведених результатiв те-оретичних i експериментальних дослiд-жень дозволяе зробити загальний висно-вок про потенцiйно високу ефективнiсть застосування апарату розкладу в просторi з порiдним елементом для виршення задач ймовiрнiсноi дiагностики.
Наукова новизна отриманих результатов полягае у тому, що на остж властивостi узгод-ження стохастичних поль номiальних перетворень над дослвджуваними негаусови-ми випадковими процесами, модель яких описуються статистиками вищих поряд-кiв, здiйснено теоретичне обгрунтування семьпараме-тричного пiдходу до вирь шення задач послщовного виявлення та щентифжацп тишв розладки. Запропоно-ваний шдхщ е компромкни-ми осьалыси результукга ме-тоди ана.гпзу мають меншу ана.гптичну та реа.изащйну складшсть пор1вняно ¿з па-раметричними шдходом та забезпечують шдвищення точност1 пор1вняно з непа-раметричними методами, У3 як1 не враховують реаль-ний характер ймов1ршсно-го розподшу статистичних даних.
Практичне значення ре-зультатiв базуеться на тому, що запропонований тдхщ дозволяе зменшити розрив мiж модельним, як правило, гаусовим, представленням про реальш процеси та iх фактичними характеристика-
б
8=4
• ♦ ■ ■ * * -»у4= 0 ■■/4=3 -+/4=5
— ■ V — Ч ч \
г
в
ми. Полiномiальнi обчислювальш процедури характе- для забезпечення властивост адаптивностi, важливо'! ризуються алгоритмiчною простотою та оптимiзованi для роботи в умовах апрюрно'! невизначеност1.
Литература
1. Shewhart, W. A. Economic Control of Quality of Manufactured Product. [Text] / W. A. Shewhart. - ASQ (republished), 1931/1980. - 501 p.
2. Page, E. S. Continuous inspection schemes [Text] / E. S. Page. // Biometrika. - 1954. - V. 1. - P. 100-115.
3. Hinkley, D. Inference about the change-point in a sequence of random variables [Text] / D. Hinkley // Biometrika. - 1970. -Vol. 57. №. 1. - P. 1-17.
4. Ширяев, А. Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке [Текст] / А. Н. Ширяев // Теория вероятностей и ее применения. - 1965. - T. 10. №. 2. - C. 380-385.
5. Бродский, Б. Е. Проблемы и методы вероятностной д1агностики [Текст] / Б. Е. Бродский, Б. С. Дарховский // Автоматика и телемехашка. - 1999. - № 8. - С. 3-50.
6. Basseville, M. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application [Text] / M. Basseville, I. V. Nikiforov. - Englewood Cliffs, N. J. : Prentice Hall, 1993.
7. Gustafsson, F. Adaptive Filtering and Change Detection [Text] / F. Gustafsson. - Wiley, 2000.
8. Бассвиль, М. Обнаружение изменения свойств сигналов в динамических системах [Текст] / М. Бассвиль. - М. : Мир, 1989. - 278 с.
9. Brodsky, B. Nonparametric Methods in Change-Point Problems [Text] / B. Brodsky, B. Darkhovsky. - Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 1993.
10. Lokajicek, T. A First Arrival Identification System of Acoustic Emission (AE) Signals by Means of a Higher-Order Statistics Approach [Text] / T. Lokajicek, K. Klima // Measurement Science and Technology. - 2006, - Vol. 17. - P. 2461-2466.
11. Yih-Ru, Wang The signal change-point detection using the high-order statistics of log-likelihood difference functions [Text] : IEEE inter. conf. / Wang Yih-Ru // Acoustics, Speech and Signal Processing. ICASSP. - 2008. - P. 4381-4384.
12. Constantinos, S. Change Point Detection in Time Series Using Higher-Order Statistics: A Heuristic Approach [Text] / S. Hilas Constantinos, T. Rekanos Ioannis, Paris Ast // Mastorocostas. Mathematical Problems in Engineering, , Article ID 317613. -2013. - Vol. 2013. - P. 10.
13. Yongjun, Shen Application of Higher-Order Cumulant in Fault Diagnosis of Rolling Bearing [Text] / Shen Yongjun. - J. Phys.: Conf. Ser. 448 012008, 2013.
14. Martis, R. J. Application of higher order cumulants to ECG signals for the cardiac health diagnosis [Text] / R. J. Martis, U. R. Acharya, A. K. Ray, C. Chakraborty // Engineering in Medicine and Biology Society, EMBC, 2011 Annual International Conference of the IEEE. - 2011. -P. 1697-1700.
15. Малахов, А. Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их преобразований [Текст] / А. Н. Малахов. -М. : Сов. радио, 1978. - 376 с.
16. Кунченко, Ю. П. Стохастические полиномы [Текст] / Ю. П. Кунченко. - К. : Наук. думка, 2006. - 275 с.
17. Кунченко, Ю. П. Неортогональное разложение случайных величин [Текст] / Ю. П. Кунченко // 1мов1ршсш модел1 та оброб-ка випадкових сигнашв i тошв: зб. наук. пр. -1993. - Т. 2, Ч. 1. - С. 45-49.
18. Кунченко, Ю. П. Полиномы приближения в пространстве с порождающим элементом [Текст] / Ю. П. Кунченко. - К.: Наук. думка, 2003. - 243 с.
19. ДраГан, Я. Енергетична теорiя лшшних моделей стохастичних сигнашв [Текст] / Я. ДраГан. - Львiв: Центр стратепчних дослщжень еко-бю-техшчних систем, 1997. - 333 с.
20. Заболотнш, С. В. Розклад випадкових величин у тригонометричш стохастичш ряди [Текст] / С. В. Заболотнш // Вiдбiр i обробка шформацй. - 2010. - № 32(108). - С. 44-49.
21. Заболотнш, С. В. Розклад корельованих дискретних випадкових процеав в стохастичш функщональш ряди з порщним елементом [Текст] / С. В. Заболотнш, О. С. Гавриш // Радюелектрошка та шформатика. - 2009. - № 1. - С. 19-22.
22. Заболотнш, С. В. Розклад гаусових випадкових процеав у степеневi стохастичш ряди засобами просторiв Кунченка [Текст] / С. В. Заболотнш // Вкник ЧДТУ. - 2012. - № 3. - С. 74-78.
23. Заболотнш, С. В. Нелшшш дискретш фшьтри оптимальш за критерieм мМмуму середньоквадратично!' похибки розкладу в просторi з порщним елементом [Текст] / С. В. Заболотнш // Вiдбiр i обробка шформацй. - 2008. - № 29 (105). - С. 21-28.
24. Заболотнш, С. В. Виявлення вщеосигнал1в iз застосуванням нелшшних дискретних фiльтрiв з постшними коефщентами [Текст] / С. В. Заболотнш, В. В. Коваль, С. В. Салипа // Електрошка та системи управлшня. - 2008. - № 3. - С. 77-83.
25. Заболотнш, С. В. Рекурентне оцшювання точност формування СЛАР для адаптацп параметрiв узгоджених полшом1альних фшы^в [Текст] / С. В. Заболотнш // Вюник НУ Львiвська пол^ехшка. Автоматика, вимiрювання та керування. - 2012. -№ 741. - С. 23-28.
26. Заболотнш, С. Анал1з властивостей емтричних розподшв степеневих полшом1альних узгоджених статистик [Текст] : XI мiжнар. конф. / С. Заболотнш // Контроль i управлшня в складних системах. - Вшниця: ВНТУ, 2012. - С. 20.
27. Заболотнш, С. В. Споаб генерацп випадкових величин. Декларацшний патент Украши на корисну модель МПК G06F7/58 [Текст] / С. В. Заболотнш, А. В. Чепинога, С. В. Салипа. - № 57092; заявл. 16.07.2010; опубл. 10.02.2011, Бюл. № 3.
.................................................................................................................................................................................................................................|з5
