CC BY
60
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Бистрянцева А.М. Застосування методу площ до розв'язування геометричних задач в контекстi Ыдготовки до державно¡'пдсумковоiатестацИ. Ф'!зико-математичнаосв'та. 2018. Випуск 1(15). С. 142-145.
Bystriantseva A. Applying Of The Method Of The Areas To Solving Geometric Tasks In The Context Of Preparation To The State Final Attestation. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 1(15). Р. 142-145.
Анотаця. Анал'!з результат'!в державноI п/'дсумково/ атестацИ показуе, що основн труднощ в учн'ш виникають саме при розв'язуванш геометричних задач. 1снуе велика к'льк'!сть досл'джень, в яких автори намагаються знайти найбльш ра^ональний шлях навчання розв'язуванню задач загалом i за допомогою конкретних метод/в зокрема. В методичнй та науково-популярнй лiтературiрозглядаеться практичне застосування кожного з в'домих метод'!в, однак в /'снуючих статтяхзазвичай показано як розв'язувати лише окремi задач'1. У шкльному кура геометрИ б'льш'!сть з метод/'в розв'язування задач займають не надто значне м'!сце, хоча ¡х ефективнсть при цьому безумовно не викликае сумнiвiв. Що ж стосуеться методу площ, то вiн довол'1 р'дко згадуеться в методичнш та навчальнй лiтературi, хоча в ол'тп'шдшй та конкурсн'й практиц часто зустр'чаються задач'1, як розв'язуються саме цим методом.
В ход'1 проведення досл'дження були проанал'зоваш завдання, ям пропонуються для проведення державноI пдсумковоI атестацИ' з математики в 9-му клаа. Для цього були розглянутi збiрники завдань авторського колективу А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Як'р за редак^ею М.1. Бурди, рекомендований М'ш'стерством освти i науки Украни та авторського колективу В.Г. Бевз, Д.В. Васильева схвалений комiсiею з математики Науково-методично¡' ради з питань осв'ти М'н'стерства осв'ти i науки Украни.
У вiдповiдностi до типiв задач та прийом'в, як застосовуються до ¡х розв'язування, можна розподлити завдання таким чином: використання прийому, основаному на знаходженн площi фгури двома способами; прийому, основаному на використанн властивост'1 адитивност'1 площi; прийому, основаному на використанн властивостей в'дношень площ / в'дпов'дних вiдрiзкiв. В статт/' наведен приклади завдань /'з державноI пдсумково¡' атестацИ, для розв'язування яких доцльно користуватись саме цими прийомами. Наявнсть достатньо велико¡' к'лькост'1 завдань, як потребують для розв'язування використовувати метод площ, даеможлив'!сть стверджувати про доцльнкть та необх'дн'сть спец'ального вивчення методу площ в шкльному курс геометрИ.
Нажаль, лише в деклькох пдручниках з геометрИ його видляють як окрему тему та метод, який може бути використаний до чтко окреслених класв задач. Одним з шлях'!в розв'язання зазначено¡' проблеми е доповнення шкльного курсу математики геометричними методами розв'язування задач, зокрема методом площ, як дають можлив'!сть учням виршити проблему пошуку / правильного вибору найбльш ра^онального шляху розв'язування задач'1.
Кпючовi слова: метод, розв'язування геометричноI задач'1, метод площ, державна пдсумкова атеста^я.
Постановка проблеми. Одним iз основних завдань навчання математики е формування в учыв умшь розв'язувати задачк А головним в процес розв'язування задачi е використання набутих умшь вести пошук розв'язку, тому надзвичайно важливо навчити учыв виконувати, в першу чергу, алгоритмiчнi дм, ям найкоротшим шляхом приведуть '¡х до результату - розв'язку задачк
Шктьна практика традицмно свщчить про низький рiвень умшня школярiв розв'язувати задачу розв'язування яких виходить за рамки конкретного алгоритму, простежуеться формалiзм знань, прагнення школярiв лише запам'ятати наведен мiркування. Бтьшмсть учыв, навпъ фiзико-математичних шкт i клаав, вщчувають труднош^ при необхщност знаходити розв'язки, ям потребують евристичних мiркувань. Саме при розв'язуванн геометричних задач, як правило, алгоритмiв немае, а розв'язок задачi зводиться в першу чергу до вщшукання найбтьш доцтьно' теореми iз ¡х велико'' ктькосп, що безумовно для багатьох учыв е складним завданням.
УДК 372.851
А.М. Бистрянцева
Херсонський державний yHieepcumem, Украна [email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-015-1-025
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПЛОЩ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ В КОНТЕКСТ1 П1ДГОТОВКИ ДО ДЕРЖАВНОТ ПЩСУМКОВОТ АТЕСТАЦИ
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА (ФМО)
випуск 1(15), 2018
Аналiз результатiв державно! пщсумково'' атестацГ' показуе, що 0CH0BHi труднощi в учыв виникають саме при розв'язуваннГ геометричних задач. Це спостерiгаeться, осктьки в алгебрi, початках математичного аналiзу наявна низка чiтких алгоритмiв та методiв розв'язування типових задач. Осктьки найскладншим е в розв'язуваннi будь-яко'' задачi планування власних дiй, то при наявносп визначеного методу труднощГ можуть носити х^ба що техычний характер.
Аналiз актуальних дослiджень. 1снуе велика кiлькiсть дослiджень, в яких автори намагаються знайти найбiльш рацюнальний шлях навчання розв'язуванню задач загалом i за допомогою конкретних методiв зокрема. В методичнiй та науково-популярнш лiтературi розглядаеться практичне застосування кожного з вщомих методiв, однак в Гснуючих статтях зазвичай показано як розв'язувати окремi задачi. Що ж стосуеться шкГльного курсу геометрГ', то бтьшмсть з методiв розв'язування задач займають не надто значне мкце, хоча 'х ефективнiсть при цьому безумовно не викликае сумнiвiв.
Проблемi навчання учнiв розв'язуванню геометричних задач, формуванню рацiональних прийомiв навчально'' роботи при розв'язуваннГ задач присвяченi роботи Б.П. БГлоцерковського, В.Г. Болотянського, В.О. Гусева, Ю.М. Колягiна, Ф.Ф. НапбЫа, З.А. Скопеца, Д. Пойа, Кушыра I.A. та iнших.
1.Ф. Шарипн вважае, що зi всiх методiв загальних i частинних, зовнiшнiх i внутрiшнiх по вiдношенню до геометрГ'', в змiст курсу загальноосвiтньоí шктьно'' геометрГ'' необхiдно включати не ттьки загальнi методи, але й методи внутршы, тi, що використовують апарат само'' геометрп, i частиннi, ям дозволяють знаходити красивi геометричнi розв'язки [1].
Вщ умiння розв'язувати задачi значною мiрою залежить рiвень математично'' культури вважае I.A. Кушнiр [2; 3]. Бажання розв'язати задачу багатьма способами е явищем далеко не порожым. Метою автора е зробити пошук не випадковим явищем, а регулярним. Здобути таке умЫня, на думку науковця, допомагае знання прийомiв i методiв розв'язування задач, засвоення яких е найважлившою частиною математично'' пiдготовки учнiв, абiтурiентiв, а також уах, хто цiкавиться математикою.
В Гснуючих нинi роботах зазвичай не розглядаеться вивчення питань, пов'язаних з площами в едносп теорГ'' i практики, не простежуеться зв'язок теорГ' з системою задач.
Що ж стосуеться методу площ, то вы доволг ргдко згадуеться в методична та навчальнiй лiтературi, хоча в олГмтаднш та конкурснГй практицГ часто зустрГчаються задачГ, якГ розв'язуються саме цим методом. Також значну ктьккть становлять задачГ, що включен до матерГалГв державно'' пщсумково'' атестацГ', розв'язування яких значно спрощуеться при використаннГ саме методу площ.
В навчально-методичнГй лГтературГ е достатньо велика ктьккть робГт, якГ пов'язанГ з методом площ. ЦГ статтГ в сво'й бГльшостГ присвяченГ порГвнянню площ, використанню властивостей рГвновеликих фГгур. Зокрема, роботи 1.Ф. ШаригГна [1], 1.Д. Новтова [4], Е.Г. Готмана [5], В.В. Прасолова [6] присвяченГ практичним питанням використання методу площ. Автори демонструють розв'язування деяких видГв задач з використанням методу площ, але сам метод в статтях практично не описуеться, також вщсутньою е система навчання розв'язуванню задач за допомогою методу площ.
Мета статп. Метою даного дослщження е здшснення аналГзу матерГалГв, що пропонуються для проведення державно' пщсумково'' атестаци з математики, щодо визначення ролГ, можливостей застосування та необхщносп вивчення методу площ в процес отримання загально'' освГти та пГдготовки до складання випускних екзаменГв.
Виклад основного матерiалу. Майже кожна геометрична задача, з якою стикаються учн пщ час державно'' пщсумково'' атестацГ' або зовнГшнього незалежного оцшювання, викликае труднощГ. Для того аби цього уникнути, варто враховувати той факт, що учень буде почувати себе бтьш впевнено, якщо буде озброений простими та ефективними методами розв'язування задач.
Далеко не кожна задача в геометрп може бути розв'язана за допомогою певно'' формули. При розв'язуваннГ бГльшосп з них не уникнути залучення рГзномантних фактГв теорГ', доведення тих чи шших тверджень, справедливих лише при певному розташуваннГ елементГв фГгур. Але i при достатньому знаннГ теорГ' оволодГти навичками в розв'язуваннГ задач можна лише розв'язавши достатньо багато задач, починаючи з простих i переходячи до бГльш складних, а найголовнГше володГючи рГзними методами ''х розв'язування. КрГм того, в багатьох випадках необхщно знайти ще й правильну далеко не завжди очевидну щею розв'язання, часто такою щеею виступае саме застосування методу площ [7].
Говорячи про метод площ, варто вщмГтити, що при складаннГ завдань державно'' пщсумково'' атестацГ' та зовнГшнього незалежного оцГнювання зустрГчаються задачГ, для знаходження розв'язку яких передбачаеться достатньо активна робота з площами, розв'язування деяких з них значною мГрою спрощуеться за умови застосування цього методу, що передбачае вщчутну економГю часу. 1нодГ ж зустрГчаються задачГ, якГ можна розв'язати лише за умови використання методу площ.
В ходГ проведення дослщження були проаналГзованГ завдання, якГ пропонуються для проведення державно'' пщсумково'' атестацГ' з математики в 9-му класГ Для цього були розглянут збГрники завдань авторського колективу А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. ЯкГр за редакцГею M.I. Бурди, рекомендований МГнГстерством освгги i науки Укра'ни [8] та авторського колективу В.Г. Бевз, Д.В. Васильева схвалений комГаею з математики Науково-методично'' ради з питань освгги Мастерства освгги i науки Укра'ни [9].
ЗмГст завдань кожного Гз зазначених збГрникГв повнГстю вГдповГдае чиннш програмГ з математики для загальноосвГтых навчальних закладГв, а також програмГ для шкт, лще''в та пмназш з поглибленим вивченням математики. ЗбГрники призначено для проведення державно'' пщсумково'' атестацГ' з математики в дев'ятих класах загальноосвГтнГх навчальних закладГв.
МатерГали кожного зГ збГрникГв на третину складаються Гз геометричних задач. З 640 запропонованих завдань Гз геометрГ' збГрника [8], 116 завдань так чи шакше пов'язанГ Гз площами. Причому в 48 Гз них використання методу площ надае можливкть швидко i доволГ просто отримати розв'язок. ЗбГрник [9] пропонуе до розв'язування 118 геометричних задач, з яких 30 включають необхщысть використання поняття площГ та формул знаходження площ фГгур; 12 задач розв'язуються Гз застосуванням методу площ, що значно скорочуе витрачений на ''х опрацювання час.
Розглянемо декГлька прикладГв таких задач:
Задача 1. У скГльки разГв площа квадрата, побудованого на дГагоналГ даного квадрата, бГльше площГ даного квадрата? [8]
Задача 2. Через середину дiагоналi АС прямокутника ABCD проведена пряма, яка перетинае сторони ВС i AD прямокутника в точках М i K в|дпов|дно, АС = 15 см, AK = 4 см, KD = 8 см. Знайти площу чотирикутника AMCK [8].
Задача 3. В трикутнику АВС В|домо, що АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. До кола, вписаного в цей трикутник, проведена дотична, яка паралельна основ1 АС | перетинае сторони АВ i ВС в точках М i K вщповщно. Обчислити площу трикутника MBK [8].
Задача 4. Висота рГвнобедреного трикутника, проведена до основи дорГвнюе 20 см, а висота, проведена до б1чно'' сторони, - 24 см. Знайти площу цього трикутника [8].
Задача 5. Визначити висоту рГвностороннього трикутника 3i стороною а [9].
Задача 6. Перпендикуляр, опущений з вершини прямокутника та його дГагональ, подГляе ÏÏ на в1др1зки 25 см i 16 см. Знайти площу прямокутника [9].
Задача 7. Знайти площу трикутника ABC , якщо МН - його середня лшт, а площа трикутника МВН дор1внюе 6 см2 [9].
У вщповщносп до видГлених у [10] титв задач та прийомГв, як застосовуються до Ïx розв'язування, можна зазначити, що за допомогою прийому, основаному на знаходженн площ1 ф1гури двома способами можна розв'язати задач! 3, 4, 5; прийому, основаному на використанн властивосп адитивносп площ1 задачi 2, 6; прийому, основаному на використанн властивостей вщношень площ i вщповщних в1др1зкГв задачi 1, 7.
Висновки. Наявнiсть тако'' кГлькосп завдань, як потребують для розв'язування використовувати метод площ, дае можливГсть стверджувати про доцГльшсть та необхщнкть спецiального вивчення методу площ в шкГльному курс геометрГ''. Безумовно, не можна стверджувати, що метод площ виступае единим можливим способом розв'язування проаналiзованиx задач, однак його використання значною м1рою спрощуе процес розв'язування та заощаджуе час на екзаменах. Нажаль, лише в декГлькох пщручниках з геометрГ' його видГляють як окрему тему та метод, який може бути використаний до певних чггко окреслених клаав задач. Одним з шлях1в розв'язання зазначено'' проблеми е доповнення шкГльного курсу математики геометричними методами розв'язування задач, зокрема методом площ, як дають можливГсть учням виршити проблему пошуку i правильного вибору найбiльш рацюнального шляху розв'язування задачi.
Список використаних джерел
1. Шарыгин И. Ф. 2002 задачи по геометрии. М. : Дрофа, 1999. 210 с.
2. Кушыр I. А. Методи розв'язання задач з геометри : кн. для вчителя. К. : Абрис, 1994. 464 с.: Гл.
3. Кушнир И. А. Метод вспомогательного элемента. Квант. 1974. №2. С. 46-51.
4. Новиков И. Д. Метод площадей. Квант. 1971. №12. С. 41-46.
5. Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения : пособие для учащихся. М. : Просвещение : АО «Учеб. лит.», 1996. 240 с. : ил.
6. Прасолов В. В. Используя площадь. Квант. 1986. №5. С. 16-19, 43
7. Гусев В. А. Теоретические основы обучения математике в средней школе : учеб. пособие для вузов. М. : Дрофа, 2010. 473 с.
8. ЗбГрник завдань для державно'' пщсумково'' атестацГ'' з математики : 9 кл. / А.Г. Мерзляк та ш.; за ред. М.1. Бурди. К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2014. 256 с.
9. Бевз В. Г., Васильева Д. В. ЗбГрник завдань з математики для пщготовки до державно' пщсумково'' атестацГ'. К.: Вид. д1м. «Освгга», 2017. 82 с.
10. Бистрянцева А. М., Дубенюк О. О. Використання методу площ при розв'язуваннГ геометричних задач. Проблеми та перспективи розвитку осв1ти. МатерГали III М1жнародно'' науково-практично' конференцГ' (м. Льв1в, 30-31 березня 2017 року). Херсон : Вид. д1м «Гельветика», 2017. С. 33-36.
References
1. Sharyigin I. F. 2002 geometry tasks / I. F. Sharyigin. M. : Drofa, 1999. 210 p.
2. Kushnir I. A. Methods of solving geometry tasks : teacher's book / I. A. Kushnir. K. : Abrys, 1994. 464 p.: pic.
3. Kushnir I. A. The method of the auxiliary element / I. A. Kushnir // Kvant. 1974. №2. P. 46-51.
4. Novikov I. D. The method of the areas / I. D. Novikov // Kvant. 1971. №12. P. 41-46.
5. Gotman E. G. Planimetry tasks and methods for their solving: a book for students / E. G. Gotman : М. : Prosveshcheniye : AO «Ucheb. lit.», 1996. 240 p. : pic.
6. Prasolov V. V. Using an area / V. V. Prasolov // Kvant. 1986. №5. P. 16-19, 43
7. Gusev V. A. Theoretical foundations of teaching mathematics in secondary school : book for universities / V. A. Gusev. М. : Drofa, 2010. 473 p.
8. Collection of tasks for the state final attestation in mathematics: 9 form. / A. G. Merzlyak and others; for ed. M. I. Burda. K.: Tsentr navch.-metod. l-ry, 2014. 256 p.
9. Bevz V. H. Collection of mathematical tasks for the state final attestation / V. H. Bevz, D. V. Vasyl'yeva. K.: Vyd. dim. «Osvita», 2017. 82 p.
10. Bystriantseva A. M. Використання методу площ при розв'язуваннГ геометричних задач / A. M. Bystriantseva , О. О. Dubenjuk // Problemy ta perspektyvy rozvytku osvity. Materialy III Mizhnarodnoyi naukovo-praktychnoyi konferentsiyi (m. L'viv, 30-31 bereznya 2017 roku). Kherson : Vyd. dim «Hel'vetyka», 2017. P. 33-36
W3MK0-MATEMATMHHA OCBITA ($MO)
BunycK 1(15), 2018
APPLYING OF THE METHOD OF THE AREAS TO SOLVING GEOMETRIC TASKS IN THE CONTEXT OF PREPARATION
TO THE STATE FINAL ATTESTATION Anastasiia Bystriantseva
Kherson State University, Ukraine
Abstract. The analysis of the results of state final attestation shows that the main difficulties for students arise during the solving of geometric tasks. There are many studies in which authors try to find the most rational way of teaching to solve tasks in general and with the help of specific methods in particular. Practical application of each of the known methods is considered in the methodical and scientific-popular literature, but in the existing articles it is shown how to solve only separate tasks. In the school geometry course, most of the methods for solving tasks are not very significant, although their effectiveness certainly is beyond doubts. As for the method of the areas, it is quite rarely mentioned in the methodological and educational literature, although in competition practice, problems that are solved by this method are often encountered.
During the study, the tasks that were proposed for the state final math attestation in the 9th form were analyzed. For this purpose, collections of tasks of the author's collective A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir under the editorship of M.I. Burda, recommended by the Ministry of Education and Science of Ukraine and the author's team V.H. Bevz, D.V. Vasyl'yeva was recommended by the Commission on Mathematics of the Scientific and Methodological Council for Education of the Ministry of Education and Science of Ukraine were considered.
In accordance with the types of tasks and techniques used to solve them, we can distribute the tasks in the following way: using the method based on finding the area of the figure in two ways; method, based on the use of the property of the additivity of the area; method, based on the use of properties of relations of areas and corresponding segments. The examples of tasks from the state final attestation are presented in the article, which solving involves the use of these methods. The presence of a sufficiently large number of tasks that require the use of the method of the areas for solving, makes it possible to argue the feasibility and necessity of a special study of the method of the areas in the school geometry course.
Unfortunately, it is distinguished as a separate topic and a method, that can be used for certain clearly defined task classes, only in a few geometry textbooks. One of the ways of solving this problem is to supplement the school course of mathematics with geometric methods of solving tasks, in particular by the method of the areas, which enable students to solve the problem of finding and correct choosing the most rational way of solving a task.
Key words: method, solving geometric task, method of the areas, state final attestation.
