CC BY
19ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
75
2. Паршин Д.Е., Самсонов В.А. Качественный анализ в задаче о движении аэродинамического маятника. Отчет № 4194 НИИ механики МГУ. М., 1992.
3. Локшин Б.Я., Самсонов В.А. Расчетно-аналитическое исследование поведения аэродинамического маятника // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 6. 50-52.
4. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Тр. ЦАГИ. 1974. Вып. 1621. 79-93.
5. Зенкин А.Н., Самсонов В.А. Экспериментальное исследование тела, авторотирующего в потоке среды. Отчет № 3844 НИИ механики МГУ. М., 1989.
6. Klimina L.A., Lokshin B.Y., Samsonov V.A. Parametrical analysis of behavior of the aerodynamic pendulum with vertical axis of rotation // Proc. 9th Conf. on Dynamical Systems — Theory and Applications. Vol. 1. 2007. 219-226.
7. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.
Поступила в редакцию 16.06.2008
УДК 532.546+532.584
ЗАСОРЕНИЕ ПОРИСТОГО ПЛАСТА ПРИ ДВИЖЕНИИ ФРОНТОВ С КОНЕЧНЫМ СКАЧКОМ ПОРИСТОСТИ
Н. Е. Леонтьев1
Изучается засорение первоначально незагрязненного пористого пласта при движении в нем малоконцентрированной суспензии. В рамках односкоростной гиперболической модели, учитывающей большие изменения пористости, получены точные решения задачи с конечным скачком пористости на переднем фронте в случае течений с плоскими или цилиндрическими волнами. Дано объяснение отставания границы продвижения частиц от границы распространения несущей жидкости. Показано, что конечность скачка пористости на фронте волны засорения приводит к замедлению движения скачка, что может быть использовано для экспериментального нахождения определяющих параметров модели. Указана возможность существования решений с несколькими скачками.
Ключевые слова: пористая среда, суспензия, фронт засорения, скачок пористости, отставание фронта частиц.
The clogging of a porous bed in the course of particulate suspension flow is investigated. Within the framework of a hyperbolic model allowing for large variations of porosity, exact solutions are given to the problem with finite porosity jump at the leading edge of the clogging front in the case of flows with plane and cylindrical waves. The solutions explain the known fact of particle front retardation by comparison with the leading edge of carrier liquid. This retardation is connected with the finiteness of porosity jump at the front and can be used for experimental determining the governing parameters of the model. The existence of solutions with several jumps is demonstrated.
Key words: porous medium, particulate transport, suspension, clogging front, deep bed filtration, porosity jump, retardation.
1. Рассматривается течение малоконцентрированной суспензии в пористой среде с учетом оседания взвешенных частиц на скелет. При обычных предположениях [1] в пренебрежении конвективной диффузией движение суспензии описывается системой, содержащей уравнения баланса массы взвешенных частиц и всей суспензии, кинетическое уравнение и закон Дарси:
д , . л , . дт дт . .. к(т) п , .
— (та) + шу(сш) = —-, шуи = 0, —- = г (т, а, |и|), и =--graар. (1)
до до до
1 Леонтьев Николай Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: leontiev n@mail.ru.
76
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
Здесь а — объемная концентрация частиц; m — пористость; u и ß — скорость фильтрации и вязкость суспензии; p — давление; F и k — известные функции своих аргументов. Как правило, кинетическое уравнение выбирается в соответствии с экспериментальными данными [2] в виде
дт>
— = -7(ш) • \и\а, (2)
где j(m) — обычно линейная функция или константа.
В многих практически важных ситуациях изменение пористости в процессе засорения мало по сравнению с ее начальным значением mo, что позволяет перейти к широко используемой упрощенной системе уравнений [2, 3], отличающейся от (1) первым уравнением, которое записывается в виде
да л , . dm , .
т° ~dt ^ dlv(au) = ~dt~ )
В то же время возможны ситуации, например при относительно больших скоростях оседания частиц на скелет или при возникновении конечных скачков пористости, когда даже на коротких временных промежутках изменение пористости велико и необходимо применять полную систему (1).
2. Рассмотрим в рамках модели (1) одномерную задачу о распространении плоской волны засорения в конечном пористом пласте для случая кинетического уравнения
dm
— = -f(a)\u\, /(0) = 0, (4)
обобщающего (2).
Первоначально пласт не загрязнен (m = mo) и заполнен чистой жидкостью (а = 0); далее в момент времени t = 0 начинается закачка суспензии в пласт через сечение x = 0 (ось x направлена по течению), причем перепад давлений на концах пласта подбирается таким образом, что скорость фильтрации постоянна: |u| = uo = const. Это предположение соответствует условиям обычно проводимых лабораторных экспериментов с линейными образцами пористой среды; случай переменной скорости фильтрации u = u(t)
сводится к рассматриваемому заменой времени uot' = / u(r) dr, где uo — некоторая константа с размер-
o
ностью скорости. Во входном сечении поддерживается постоянная концентрация а(0, t) = ao (рост внешней осадочной корки не рассматривается), в выходном сечении условий на концентрацию не ставится.
Обычно предполагается, что волна засорения, которая распространяется по пласту после начала движения жидкости, отделяется от незагрязненной области скачком концентрации, тогда как пористость на переднем фронте волны считается непрерывной. В общем случае, однако, возможна ситуация, когда на передней границе волны засорения происходит конечный скачок пористости. Его физическая природа может быть связана с наличием двух или нескольких механизмов удержания частиц на скелете с различными характерными временами [1]. Далее будет предполагаться, что величина скачка пористости M ^ mo является заданной постоянной величиной, которая определяется из анализа микроскопических процессов (отметим, что в принципе возможна ситуация, когда M является переменной величиной, зависящей, например, от концентрации частиц за скачком).
Предположив, что концентрация за скачком не зависит от времени, легко найти в неявном виде ее пространственное распределение из уравнения неразрывности для взвешенных частиц:
ао
/ (1 -%(а)=Х> а<а°> (5)
а
после чего в силу условия баланса массы несущей жидкости на скачке
А[ш(1-а)]-ио[1-а]=0, Dt = (6)
где квадратными скобками обозначены скачки соответствующих величин при переходе через разрыв, а Xf(t) — координата фронта волны, уравнение движения фронта принимает вид
dxf _ u0a(xf) < Uo_ < up _
dt ~ M + (m0 -M)a(xf) ^ m0 ^ m0 -M' ' ~ ' U
откуда в неявном виде получаем закон движения фронта:
х{
/¿X
—— + (т0 - М)х^ = и0Ь. (8)
а(х)
о
Далее распределение пористости находится с помощью кинетического уравнения (4):
т(х^) = т0 — М — и0/(а(х))^ — tf(х)), t > tf(х); т(х^) = шо, (х), (9)
где tf(х) — зависимость времени от координаты (8) на фронте. Соотношения (5), (8) и (9) дают полное решение задачи. После того как фронт волны подошел к выходному сечению, зависимости (5) и (9) сохраняются до тех пор, пока течение не прекращается из-за обращения пористости в нуль в какой-либо точке пласта (при этом перепад внешнего давления обращается в бесконечность).
Обратим внимание на тот факт, что функции а(х, ^ и т(х, ^ фактически определяются с помощью гиперболической системы из двух уравнений, которая имеет следующий характеристический вид:
дт _ _ да ^иода _ (1 - а)и0/(а)
дЬ ' дЬ т дх т '
так что в силу неравенств (7) от разрыва распространяются две характеристики (в направлении областей впереди и позади скачка) и для эволюционности скачка на нем должны выполняться три соотношения между искомыми функциями: условие (6), равенство скачка пористости заданной величине М и равенство нулю концентрации частиц перед разрывом (последнее требование следует использовать в качестве первого условия на скачке в [1]; указанное в [1] условие сохранения массы взвеси на скачке выполняется автоматически).
Возможный механизм, обеспечивающий обращение в нуль концентрации перед скачком, состоит в том, что на пористом скелете имеются "вакантные места", которые после прихода в данную точку пласта загрязненной жидкости начинают заполняться взвешенными частицами, и поэтому частицы не могут оказаться перед фронтом (скачок такого типа может распространяться только по чистой жидкости, так как в противном случае вакантные места на скелете были бы уже заняты). Если каким-либо образом различать чистую жидкость, первоначально находившуюся в пласте, и вновь закачиваемую в пласт несущую жидкость (например, пометив жидкость в суспензии химической примесью), то в этой модели должно наблюдаться известное из литературы [4, 5] отставание передней границы распространения частиц от передней границы распространения помеченной жидкости. Действительно, когда частица подходит к вакантному месту, оно уже оказывается заполненным новой (помеченной) жидкостью, и при оседании частицы на скелет помеченная чистая (без частиц) жидкость вытесняется вперед по потоку. С математической точки зрения такое вытеснение соответствует переносу значения а = 0 вперед от скачка вдоль характеристики ¿х/вкЪ = ио/то, как это следует из второго уравнения (10). Подчеркнем, что, несмотря на различие границ распространения частиц и помеченной жидкости, в области с ненулевой концентрацией (за фронтом) взвешенные частицы движутся с той же скоростью, что и материальные частицы жидкости, как это и предполагалось при выводе уравнений (1). Отметим также, что существуют и другие модели, объясняющие отставание границы распространения частиц, например учитывающие конвективную диффузию в уравнении неразрывности для частиц и в кинетическом уравнении [5].
Структура скачков пористости рассматриваемого типа может быть описана в рамках модели двухпо-ристой среды [1], в которой учитываются конвективная диффузия, а также одновременно два различных механизма засорения пор с существенно различающимися характерными временами:
дт\ дт2 ,, ,
= —7оат1, —— = —}(а)и о, т = т\ + т2,
аГ (11)
дt 1 " дь
д . . да дт ^ д2 а , . , .
— (та) + щ = -т^- + -С ¿^2"' ггц(х,0)=М, т2(х, 0) = т0 - М,
где т1 и т2 — объемные доли пор первого и второго типа; О — коэффициент конвективной диффузии; 7о — кинетический коэффициент в уравнении, описывающем быстрое засорение пор первого типа. При О ^ 0, 70 ^ то ширина зоны, в которой преимущественно меняется т1, стремится к нулю и из (11) получаются указанные соотношения на скачке.
Рассмотрим в качестве примера функцию f (а) в кинетическом уравнении (4), описывающую пороговые эффекты:
{7(а — а*) при а ^ а*, п
0 при а < а*,
где а* — некоторая постоянная концентрация, ниже которой суспензия столь разбавлена, что засорение скелета прекращается; 7 — константа, определяющая скорость засорения. В этом случае распределение концентрации и закон движения фронта имеют вид
= а* , Ь{х) = Кехр(-71ж), К = ^——, 71 = (1 - а*)7, ж < ж^);
1 + о(х) 1 — ао
Л — аЛ М (1 — а*) а* + К ехр(—71 х1)
то — М- х^ Н--1п-—-— = щЬ.
а* ) 71 а* а* + К
При а* ^ 0 отсюда получаются соотношения для обычно используемой зависимости f (а) = 7а: а(х) = (1 + вехр(7х))_1 = а0 ехр(—7х) [1 + а0 (1 — ехр(—7х))| + О(а0), а0 ^ 0,
а 1 — а0 . оъ^ехр^) — 1 (12)
р =-; тоХ{ + рМ-=
а0 7
В случае а* =0 при больших временах концентрация примеси за фронтом остается конечной и стремится к а*. Поэтому из (7) следует, что скорость фронта при больших х{ стремится к конечной величине ща*/(М + (ш0 — М)а*) ^ П0/ш0, а при а* =0 вообще приближается к нулю. Встречающиеся на практике значения 7, по данным лабораторных [2] и полевых [3, 6] измерений, лежат в диапазоне 10-2-101 см-1, поэтому, как это видно из последнего соотношения в (12), существенное замедление фронта может при определенных условиях заметно проявляться в достаточно коротких образцах длиной порядка 10 см. Замедлению фронта можно дать простое объяснение: для продвижения фронта на некоторое малое расстояние необходимо, чтобы пористость на этом участке изменилась не менее чем на М, а для этого необходимо, чтобы через малый отрезок пористой среды протек достаточный объем взвеси; на больших расстояниях концентрация примеси убывает (при а* =0 — экспоненциально), и поэтому для накопления нужного объема осадка в рассматриваемом элементе требуется значительное время.
В отсутствие скачка пористости (при М = 0) замедления не происходит и фронт движется с постоянной скоростью %0/ш0, равной средней скорости движения частиц чистой жидкости в незагрязненном пласте. Отметим, что в известном точном решении [4] этой задачи, полученном при а* = 0, М = 0 для упрощенной модели с уравнением (3):
а(х) = а0 ехр(—7х), ш(х^) = т0 — 7а0(«0£ — т0х)ехр(—^х), х < х^(¿); х^ = п01/т0,
скачок концентрации распространяется с той же конечной скоростью, а распределение концентрации отличается от полученного для модели (1) только в членах второго порядка по а0 (см. первое соотношение в (12)).
Входящие в модель определяющие параметры в принципе можно найти с помощью экспериментов с линейными образцами. Например, если при а* =0 в экспериментах с одинаковыми %0 на двух образцах длиной ¿1 и ¿2 движение фронта происходит соответственно за времена ¿1 и ¿2, то из (12) получается алгебраическое уравнение для определения 7:
п011 — т0Ь1 ехр(7^) — 1 - тоЬ2 ехр(7Ь2) - 1'
и далее значение М находится из уравнения
то Ь1 + т^<Ь1)~1 = щи.
7
3. В случае осесимметричного течения с цилиндрическими волнами, представляющего интерес с точки зрения приложений, решение задачи о закачке суспензии в тонкий пласт через скважину радиусом Г0
строится аналогично и дается соотношениями
ао rf
[ da
г — го, а < ао, го < г <
J ( 1 — a)f(a) ' ' ' Ja
а го
m(r,t) = m0 - M -f(a(r))(t-tf(r)), t > if(r); m(r,t)=m0, t<tf(r), 2nr
где qo — постоянный объемный расход суспензии в расчете на единицу толщины пласта (случай переменного расхода q = q(t) приводится к рассматриваемому заменой qot' = / q(r) dr, где qo — некоторая
Jo
константа с размерностью расхода на единицу длины скважины); r — расстояние до оси скважины. В простейшем случае f (a) = ja это решение дает
a(r) = (1 +/3ехр(7(г - r0)))~\ r0 < г < rf(i); [(7rf - l)exp(7(rf - r0)) - 7r0 + 1] = -^—t.
moY2 nmo
Здесь, как и в случае решения с плоскими волнами, при любом конечном M = 0 на больших расстояниях от скважины происходит существенное отставание фронта в сравнении с этим же решением в отсутствие скачка пористости или с известным решением [6], полученным для M = 0 при помощи упрощенной модели с уравнением (3):
а(г) = ао exp(—j(r — го)), го < г < rf(i); r\ — rg = —^-t.
nmo
4. Естественным обобщением рассмотренных выше решений со скачком пористости, распространяющимся по незагрязненной пористой среде, являются разрывы, на которых помимо условия сохранения массы несущей жидкости выполняются (при [m] = 0) два дополнительных соотношения общего вида Fi(a+, a-,m+,m-) =0, i = 1, 2, где индексами " —" и " +" обозначаются соответственно параметры до и после скачка. Конкретный вид этих соотношений находится в общем случае из более полных моделей, учитывающих специфику механизмов засорения. В этом случае в задаче о закачке суспензии в пласт возможны решения с несколькими скачками. В качестве модельного примера укажем точное решение при f (a) = 7a, в котором за скачком x = uot/mo с дополнительным условием [m] = 0 движется второй сильный разрыв с дополнительными условиями m- — m+ = M = const, a- = xa+, к < 1, где константа к определяет долю частиц, проходящую через разрыв вперед по потоку (в решениях из предыдущих пунктов к = 0). Если считать изменение пористости в областях непрерывного течения малым по сравнению с M и принять упрощенные уравнения баланса массы частиц соответственно до и после второго скачка в виде
da da dm . „ ^ da da dm
то оба разрыва будут эволюционными, а закон движения Xf(t) второго скачка и распределение концентрации будут даваться соотношениями
M \ M exp(7xf) — 1
т0 - -- Xf H------= u0t;
1 — к/ ao(1 — к) 7
a(x,t) = ao exp(—7x), 0 ^ x < xf (t); a(x,t) = aoкexp(—yx), xf (t) < x < uot/mo; a(x,t) = 0, x > uot/mo.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (№ 08-01-00026, 08-01-00401) и программы "Ведущие научные школы РФ" (НШ-610.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев Н.Е. О структуре фронта пористости при движении суспензии в пористой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 5. 73-76.
2. Herzig J.P., Leclerc D.M., Le Goff P. Flow of suspensions through porous media. Application to deep filtration // Ind. and Eng. Chem. 1970. 62, N 5. 8-35.
3. Sharma M.M., Pang S, Wennberg K.E., et al. Injectivity decline in water injection wells: an offshore Gulf of Mexico case study // SPE European Formation Damage Conference. SPE 38180. The Hague, Netherlands. June 2-3, 1997.
4. Santos A., Bedrikovetsky P. Size exclusion during particle suspension transport in porous media: stochastic and averaged equations // Comput. and Appl. Math. 2004. 23, N 2-3. 259-284.
5. Altoe J.E., Bedrikovetsky P., Siqueira A.G., et al. Role of dispersion in injectivity impairment: mathematical and laboratory study // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. SPE 90083. Houston, Texas, USA. September 26-29, 2004.
6. Bedrikovetsky P., da Silva M.L., Fonseca D.R., et al. Well-history-based prediction of injectivity decline during seawater flooding // SPE European Formation Damage Conference. SPE 93886. Scheveningen, Netherlands. May 25-27, 2005.
Поступила в редакцию 15.12.2008
