CC BY
18
ФИЗИКА
PHYSICS
УДК 539.143
doi:10.21685/2072-3040-2022-1-6
Зарядовые радиусы атомных ядер и оболочечные эффекты
М. В. Чушнякова1, И. И. Гончар2, Е. В. Кулик3
1,3Омский государственный технический университет, Омск, Россия 2Омский государственный университет путей сообщения, Омск, Россия
1mvchushnyakova@omgtu.tech, 2vigichar@hotmail.com, 3crispus.puella.0808@gmail.com
Аннотация. Актуальность и цели. Среднеквадратичный зарядовый радиус является важной характеристикой атомного ядра, которая измеряется экспериментально. В настоящей работе мы анализируем экспериментальные данные по среднеквадратичным зарядовым радиусам сферических ядер, имеющиеся в литературе. Цель анализа - установить, как проявляют себя нейтронные оболочки в зарядовых радиусах, в том числе найти закономерности в поведении этих радиусов при пересечении нейтронной оболочки. Материалы и методы. Анализ производился путем расчета относительного зарядового радиуса данного элемента x = x(N, Nsh,Z), который равен отношению зарядового радиуса изотопа с числом нейтронов N к зарядовому радиусу изотопа с замкнутой нейтронной оболочкой N = Nsh . Результаты. В результате найдено проявление оболочек Nsh = 8, 28, 50 и 82. Оказалось, что хорошо известные нейтронные оболочки с числом нейтронов 20 и 126 никак себя не проявляют. Выводы. Показано, что значения относительного зарядового радиуса формируют группы, соответствующие разным Nsh. На основе обнаруженной закономерности
30
предсказан зарядовый радиус изотопа S, для которого экспериментальное значение отсутствует.
Ключевые слова: зарядовые радиусы ядер, нейтронные оболочки, магические числа, оболочечные эффекты, сферические ядра, оболочечная структура одночастичного спектра
Финансирование: работа была поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС».
Для цитирования: Чушнякова М. В., Гончар И. И., Кулик Е. В. Зарядовые радиусы атомных ядер и оболочечные эффекты // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 56-65. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-6
Charge radii of atomic nuclei and shell effects
M.V. Chushnyakova1, I.I. Gonchar2, E.V. Kulik3
1,3Omsk State Technical University, Omsk, Russia 2Omsk State Transport University, Omsk, Russia 1mvchushnyakova@omgtu.tech, 2vigichar@hotmail.com, 3crispus.puella.0808@gmail.com
© Чушнякова М. В., Гончар И. И., Кулик Е. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Abstract. Background. The root-mean-square charge radii are the important characteristics of atomic nuclei which might be measured experimentally. In this research, we study the experimental data on the root-mean-square charge radii of the spherical nuclei available in the literature. The purpose of this analysis is to establish what is the manifestation of the neutron shells in the considered observable and to find regularities in the behavior of the charge radii when a shell is crossed. Materials and methods. The present analysis is performed by means of calculation of the relative charge radius for a given element x = x (N, Nsh, Z). This value is equal to the charge radius of an isotope with neutron number N over the charge radius of the isotope t with the closed neutron shell N = Nsh . Results. As the result, we have found manifestation of the shells Nsh = 8, 28, 50 and 82. It turns out that the well-known shells with the neutron numbers 20 and 126 do not show up. Conclusions. It is shown that the values of relative charge radius form groups corresponding to different values of Nsh. On the basis of the revealed regularity, the charge ra-
30
dius is predicted for isotope S which is absent among the experimental data. Keywords: nuclear charge radii, neutron shells, magic numbers, shell effects, spherical nuclei, shell structure of single-particle spectrum
Acknowledgments: the research was supported by the grant of Theoretical Physics and Mathematics Advancement Foundation «BASIS».
For citation: Chushnyakova M.V., Gonchar I.I., Kulik E.V. Charge radii of atomic nuclei and shell effects. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):56-65. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-1-6
Введение
Эффекты оболочечной структуры одночастичного спектра нейтронных и протонных энергетических уровней в атомных ядрах обсуждаются с 1930-х гг. [1-3]. Эта структура проявляет себя в энергиях связи ядер и их формах [4]. Твердо установлено, что при значениях зарядового числа Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82 (так называемые «магические числа») возникают замкнутые протонные оболочки. В результате ядра с такими зарядовыми числами имеют максимальную по модулю энергию связи на нуклон [5]. Замкнутые оболочки нейтронов формируются при тех же магических числах плюс число N = 126 .
Разумеется, оболочечная структура одночастичного спектра должна проявлять себя и в других свойствах ядер, например, влиять на их форму. Действительно, твердо установлено, что ядра, у которых и Z, и N являются магическими, имеют сферическую форму [5]. Классическими примерами таких дважды магических ядер являются 16 O, 40 Ca, 48 Ca, 208 Pb . Это в основном подтверждается теорией [6], хотя есть и расхождения. Например, теория [6] предсказывает для ядра 16 O ненулевые значения параметров квадруполь-ной Р2, октупольной Р3 и гексадекапольной Р4 деформации: соответственно, -0,010, -0,258 и -0,122. Таким образом, доверяться теории [6] в отношении формы ядер нужно с осторожностью.
Что касается замкнутой протонной оболочки при Z > 100 («сверхтяжелые ядра»), то здесь ситуация пока еще неопределенная: экспериментальные данные о форме таких ядер бедны, а теория [6] предсказывает почти сферическую форму для ядер с Z от 114 до 118.
Какие же экспериментальные данные несут в себе информацию о форме ядра? Это, во-первых, результаты измерения электрических квадруполь-ных моментов [3, 7] по сверхтонкой структуре атомных спектров [5]. Во-вторых, это структура «низколежащих» возбужденных уровней ядра. У деформированных четно-четных ядер возникают вращательные уровни 2+, 4+, 6+, энергии которых приблизительно относятся как 1:3:6, а у сферических ядер вращательная степень свободы отсутствует [5, 8]. При этом у соседних ядер с разным типом симметрии первое возбужденное состояние 2+ у сферического ядра лежит гораздо выше, чем у деформированного [9].
Как ни странно, в научной литературе отсутствует систематика экспериментальных данных о деформациях ядер в их основном состоянии, которую можно было бы количественно проанализировать на предмет закономерностей, связанных с оболочечными эффектами. Зато имеется прекрасный обзор [10], в котором систематизированы среднеквадратичные зарядовые радиусы ядер. Целью настоящей работы является количественный анализ этих данных на предмет закономерностей, связанных с оболочечными эффектами.
2. Анализ экспериментальных зарядовых радиусов четно-четных ядер
Количественный анализ любых данных об атомных ядрах, имеющий целью вычленение оболочечных эффектов, представляет определенную трудность. Во-первых, почти все характеристики ядер подвержены флуктуа-циям, связанным с четностью количества протонов и нейтронов (четно-нечетные эффекты). Чтобы исключить эти флуктуации, мы в данной работе рассматриваем только четно-четные ядра. Подобный подход использовался в литературе и раньше [11, 12].
Во-вторых, многие ядерные характеристики (например, масса или объем) в первом приближении растут монотонно вдоль линии бета-стабильности с увеличением зарядового числа, а оболочечные эффекты лишь слегка модулируют этот рост. Пример, иллюстрирующий это утверждение, приведен на рис. 1. Сплошная линия на рис. 1 для зарядового радиуса построена по формуле [10]:
=(*+А/з+А4/3)х а1/3, (1)
в которой А - массовое число, Го = 0,9071т, г = 1,105£т , Г2 = -0,548 1т . Символами показаны экспериментальные значения [10].
Чтобы сделать проявления оболочечных эффектов более яркими, надо каким-то образом исключить из рассмотрения монотонную составляющую изучаемой ядерной характеристики. Мы для этого разработали следующий алгоритм. Из всех ядер с четными X мы отобрали те, у которых:
1) известен хотя бы один изотоп с замкнутой нейтронной оболочкой;
2) есть экспериментальное значение зарядового радиуса этого изотопа.
Соответствующая информация приведена в табл. 1 (значения Гуехр и их
погрешности взяты из обзора [10]). Иногда эти ядра радиоактивны, так что в табл. 1 приведен период полураспада.
2,0 ....................
0 20 40 60 80
z
Рис. 1. Экспериментальные и аналитические (см. формулу (1)) значения среднеквадратичных зарядовых радиусов ядер как функции порядкового номера
Таблица 1
Изотопы, используемые в анализе, их экспериментальный зарядовый радиус с погрешностью [10] и время их жизни [9]
Элемент Z A N rqexp , фм ^rqexp , фм Время жизни
C 6 14 8 2,5025 0,0087 5,7 • 103 лет
O 8 16 8 2,6991 0,0052 Стабилен
Ne 10 18 8 2,9714 0,0076 1,67 с
S 16 36 20 3,2985 0,0024 Стабилен
Ar 18 38 20 3,4028 0,0019 Стабилен
Ca 20 40 20 3,4776 0,0019 Стабилен
Ti 22 50 28 3,5704 0,0022 Стабилен
Cr 24 52 28 3,6452 0,0042 Стабилен
Fe 26 54 28 3,6933 0,0019 Стабилен
Kr 36 86 50 4,1835 0,0021 Стабилен
Sr 38 88 50 4,2240 0,0018 Стабилен
Zr 40 90 50 4,2694 0,0010 Стабилен
Mo 42 92 52 4,3151 0,0012 Стабилен
Sn 50 132 82 4,7093 0,0076 39,7 с
Te 52 134 82 4,7569 0,0041 41,80 мин
Xe 54 136 82 4,7964 0,0047 >3,60 • 1020 лет
Ba 56 138 82 4,8378 0,0046 Стабилен
Ce 58 140 82 4,8771 0,0018 Стабилен
Nd 60 142 82 4,9123 0,0025 Стабилен
Sm 62 144 82 4,9524 0,0034 Стабилен
Gd 64 146 82 4,9801 0,0140 48,27 дней
Dy 66 148 82 5,0455 0,2389 3,30 мин
Er 68 150 82 5,0548 0,0254 18,50 с
Yb 70 152 82 5,0423 0,0146 3,03 с
G 80 206 126 5,4837 0,0040 8,32 мин
Pb 82 208 126 5,5012 0,0013 Стабилен
Po 84 210 126 5,5704 0,0176 138,38 дней
Rn 86 212 126 5,5915 0,0176 23,90 мин
Ra 88 214 126 5,6079 0,0177 2,46 с
Заметим, что информация об электрических квадрупольных моментах этих ядер отсутствует в обзоре [7], из чего мы делаем вывод, что они имеют сферическую форму.
Далее на рис. 2 показано отношение
x = rqexp / rqexpsh •
зарядового радиуса изотопа одного из элементов табл. 1 к зарядовому радиусу изотопа этого элемента с замкнутой оболочкой N = Nsh (значения Nsh приведены на панелях этого рисунка, индекс соответствует термину «shell»). Значения x показаны на рис. 2 как функции N — Nsh .
1,04
Са, Nih=20
Fe, Nsh=28
10 -2 0 2 4 S 8 10-2 б)
2 4
в)
Sm, N h=82
У
РЬ, N ¡=126
-12 -8 -4 0 4 8 12 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 -16 -12 -8 ^04
N-NI h
N-Nsh N-Nsh
е)
г) д)
Рис. 2. Значения величины х (см. формулу (2)) как функции N -для шести элементов №, Са, Fe, Sr, Sm, РЬ (число нейтронов в замкнутой оболочке указано на рисунке)
Увидеть какие-либо закономерности на рис. 2 нам не удалось. В самом деле, из рис. 2,г и 2,е хочется сделать вывод, что замкнутая нейтронная оболочка приводит к минимальному зарядовому радиусу: рис. 2,б тоже, как будто, не противоречит такому утверждению. Однако данные рис. 2,а и 2,е очевидным образом такому выводу противоречат.
Попытаемся проанализировать ту же величину в том же представлении, но для элементов с X, на 2 большим, чем на рис. 2. Такие данные представлены на рис. 3. Панелей получилось на 2 меньше, так как четных элементов с числом четных изотопов 3 и более для оболочек N = 8 и 20 не нашлось. Для удобства сравнения буквы, обозначающие панели на рис. 2 и 3 сохранены одинаковыми (т.е. сравнивать надо панели с одинаковыми буквами). Кривые на панелях 2,в-3,в и 2,д-3,д не противоречат друг другу, хотя и не похожи внешне: создается впечатление, что это куски одной и той же кривой (или ломаной), дополняющие друг друга. Кривые на панелях 2,г-3,г и 2,е-3,е попарно выглядят очень похоже.
1,08 1,06 1,04 1,02 1,00 0,98
Ti, Nsh=28
1,08 1,06 1,04 1,02 1,00 0,98
-3 -2
-1 0 1 -12 -8
Gd, Nsh=82
Po, Nsh=126
-4 0
4 8 12
N-N
16
д)
■sh
-16 -12 -8 -4 0
N"Nsh е)
Рис. 3. Значения величины х как функции N - для элементов Zг, Gd, Po
Соберем теперь на рис. 4 все значения х в зависимости от полного числа нейтронов для всех четных элементов из табл. 1.
Рис. 4. Значения х в зависимости от полного числа нейтронов для всех четных элементов из табл. 1
Хорошо видно, что данные, отвечающие разным нейтронным оболочкам, сгруппировались в разные то ли кривые, то ли части одной кривой. Эта
гипотетическая кривая очень напоминает известную зависимость энергии (потенциала) ионизации атома от порядкового номера [13], с помощью которой иллюстрируют Периодический закон. Интересно, что замкнутым нейтронным оболочкам = 28, 50, 82 соответствуют ярко выраженные минимумы, а вот для оболочек = 20,126 ничего подобного не наблюдается. Зато четко видна «квазиоболочка» N = 14, наличие которой отмечается и в обзоре [10].
Попытаемся теперь с помощью обнаруженной закономерности предсказать среднеквадратичный зарядовый радиус для изотопа, о котором экспериментальных данных нет. Результаты такой попытки показаны на рис. 5.
Рис. 5. Значения x в зависимости от N — Nsh • экспериментальные для аргона и кремния, предсказываемые для серы (в скобках указаны предсказываемые значения среднеквадратичных зарядовых радиусов, фм)
Представление данных здесь такое же, как и на рис. 2 и 3. Для облегчения понимания данные, использованные для построения рис. 5, собраны в табл. 2. Видно, что при использовании квазиоболочки N = 14 значения x для кремния и аргона оказываются известны.
А вот данных о зарядовом радиусе серы-30 нет, хотя это известный изотоп с периодом полураспада 1,18 с [9]. Для некоторых изотопов с подоб-
18
ным периодом полураспада зарядовые радиусы измерены: Ne только один пример [9, 10]. Согласно установленной нами закономерности кривые x как функции (N —14) для кремния, аргона и серы должны совпасть. Поэтому мы варьируем предполагаемый зарядовый радиус rqpresh («predicted shell») изотопа 30 S, добиваясь такого совпадения. Видно, что значения xpre = rqexp / rqpresh при rqpresh = 3,27 фм и 3,22 фм заметно отклоняются от кривой xexp = rqexp / rqexpsh для аргона и кремния, а вот значение rqpresh = 3,24 фм позволяет добиться совпадения. Таким образом, основыва-
ясь на найденной нами закономерности, мы предсказываем, что измеренный
30
зарядовый радиус S будет равен = 3,240 ± 0,015 фм.
Таблица 2
Изотопы, используемые в анализе на рис. 5, экспериментальные
значения их среднеквадратичных зарядовых радиусов с погрешностями [10] и величина х, определяемая формулой (2)
Изотоп N rqexp , фм ^Tqexp , фм x
28Si 14 3,1223 0,0024 1
30Si 16 3,1332 0,0040 1,00349
32Ar 14 3,3462 0,0103 1
34Ar 16 3,3649 0,0043 1,00559
36Ar 18 3,3902 0,002 1,01315
38Ar 20 3,402 0,0017 1,01668
40Ar 22 3,4269 0,0017 1,02412
30S 14 -- -- --
32S 16 3,2608 0,0021 1,00642
34S 18 3,2845 0,0021 1,01373
36S 20 3,2982 0,0021 1,01796
30
Заметим, что зарядовый радиус 8, вычисленный по формуле (1), составляет ^0 = 3,156 фм . Таким образом, разность Тр^ —^0 = 0,084 фм превосходит доверительный интервал 0,015 фм более чем в 5 раз. Ничего удивительного в этом нет: формула (1) вообще дает погрешности, заметно превосходящие экспериментальные. Например, для 36 8 экспериментальный зарядовый радиус гдехр = 3,2982±0,0021 фм, а ^ = 3,2857 фм, т.е. гдеХр — *0 = 0,0125 фм, что превосходит экспериментальную погрешность
в 6 раз. Однако формула (1) является наилучшей глобальной аппроксимацией экспериментальных данных, которая известна в научной литературе.
Заключение
В данной работе мы сделали попытку найти закономерности поведения ядерных зарядовых радиусов вблизи нейтронных оболочек. Для анализа мы сконструировали относительный зарядовый радиус х (см. формулу (2)). Оказалось, что оболочки = 8, 28,50 и 82 ярко проявляют себя, а вот нейтронные оболочки с числом нейтронов 20 и 126 в зарядовых радиусах не видны. Зато проявляет себя квазиоболочка с числом нейтронов 14, которая ранее обсуждалась в литературе. Основной результат работы состоит в том, что значения х формируют группы, соответствующие разным Ы^ . В пределах одной группы зависимости х от числа нейтронов, соответствующие разным Z, почти неразличимы. В целом «кривая» х (Ы) напоминает хорошо известную зависимость потенциала ионизации атома от порядкового номера химического элемента. Чего-то подобного мы и ожидали, приступая к этой работе: ведь в обоих случаях речь идет о проявлении оболочечной структуры
одночастичного спектра. На основе обнаруженной закономерности предска-
30
зан зарядовый радиус изотопа S, для которого экспериментальное значение отсутствует.
Список литературы
1. Inglis D. R. On Nuclear Moments // Physical Review. American Physical Society. 1935. Vol. 47, № 1. P. 84-88.
2. Wigner E. On the Structure of Nuclei Beyond Oxygen // Physical Review. American Physical Society. 1937. Vol. 51, № 11. P. 947-958.
3. Schmidt T. Eine Bemerkung zu den Quadrupolmomenten der Atomkerne // Die Naturwissenschaften. 1940. Vol. 28, № 35. P. 565-566.
4. Myers W. D., Swiatecki W. J. Nuclear masses and deformations // Nuclear Physics. 1966. Vol. 81, № 2. P. 1-60.
5. Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. М. : Наука, 1980.
6. Möller P. [et al.]. Nuclear ground-state masses and deformations: FRDM (2012) // Atomic Data and Nuclear Data Tables. 2016. Vol. 109-110. P. 1-204.
7. Stone N. J. Table of nuclear electric quadrupole moments // Atomic Data and Nuclear Data Tables. Academic Press Inc. 2016. Vol. 111-112. P. 1-28.
8. Bohr A. Rotational motion in nuclei // Reviews of Modern Physics. American Physical Society. 1976. Vol. 48, № 3. P. 365-374.
9. Karpov A. V. [et al.]. {NRV} web knowledge base on low-energy nuclear physics // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2017. Vol. 859. P. 112-124.
10. Angeli I. A consistent set of nuclear rms charge radii: properties of the radius surface R(N,Z) // Atomic Data and Nuclear Data Tables. 2004. Vol. 87, № 2. P. 185-206.
11. Загребаев В. И., Карпов А. В., Аритомо Я., Науменко М. А., Грайнер В. Потенциальная энергия двойной ядерной системы в процессах слияния-деления // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2007. № 4 (38). С. 469-491.
12. Sargsyan V. V. [et al.]. Capture cross section with quantum diffusion approach // Computer Physics Communications. 2018. Vol. 233. P. 145-155.
13. Вихманн Э. Х. Квантовая физика. Сер.: «Берклеевский курс физики». М. : Наука, 1986. С. 67.
References
1. Inglis D.R. On Nuclear Moments. Physical Review. American Physical Society. 1935;47(1):84-88.
2. Wigner E. On the Structure of Nuclei Beyond Oxygen. Physical Review. American Physical Society. 1937;51(11):947-958.
3. Schmidt T. Eine Bemerkung zu den Quadrupolmomenten der Atomkerne. Die Naturwissenschaften. 1940;28(35):565-566.
4. Myers W.D., Swiatecki W.J. Nuclear masses and deformations. Nuclear Physics. 1966;81(2):1-60.
5. Shirokov Yu.M., Yudin N.P. Yadernaya fizika = Nuclear physics. Moscow: Nauka, 1980. (In Russ.)
6. Möller P. [et al.]. Nuclear ground-state masses and deformations: FRDM (2012). Atomic Data and Nuclear Data Tables. 2016;109-110:1-204.
7. Stone N.J. Table of nuclear electric quadrupole moments. Atomic Data and Nuclear Data Tables. Academic Press Inc. 2016;111-112:1-28.
8. Bohr A. Rotational motion in nuclei. Reviews of Modern Physics. American Physical Society. 1976;48(3):365-374.
9. Karpov A.V. [et al.]. {NRV} web knowledge base on low-energy nuclear physics. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2017;859:112-124.
10. Angeli I. A consistent set of nuclear rms charge radii: properties of the radius surface R(N,Z). Atomic Data and Nuclear Data Tables. 2004;87(2):185-206.
11. Zagrebaev V.I., Karpov A.V., Aritomo Ya., Naumenko M.A., Grayner V. Potential energy of a binary nuclear system in fusion-fission processes. Fizika elementarnykh chas-tits i atomnogo yadra = Physics of elementary particles and the atomic nucleus. 2007;(4):469-491. (In Russ.)
12. Sargsyan V.V. [et al.]. Capture cross section with quantum diffusion approach. Computer Physics Communications. 2018;233:145-155.
13. Vikhmann E.Kh. Kvantovaya fizika. Ser.: «Berkleevskiy kurs fiziki» = Quantum physics. Series: "Berkeley course of physics". Moscow: Nauka, 1986:67. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Мария Владимировна Чушнякова
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, Омский государственный технический университет (Россия, г. Омск, проспект Мира, 11)
Mariya V. Chushnyakova Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the sub-department of physics, Omsk State Technical University (11 Mira avenue, Omsk, Russia)
E-mail: mvchushnyakova@omgtu.tech
Игорь Иванович Гончар
доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры физики и химии, Омский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Омск, проспект Маркса, 35)
E-mail: vigichar@hotmail.com
Igor'I. Gonchar
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department of physics and chemistry, Omsk State Transport University (35 Marksa avenue, Omsk, Russia)
Екатерина Владимировна Кулик магистрант, Омский государственный технический университет (Россия, г. Омск, проспект Мира, 11)
E-mail: crispus.puella.0808@gmail.com
Ekaterina V. Kulik
Master's degree student, Omsk State Technical University (11 Mira avenue, Omsk, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 04.10.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 08.12.2021 Принята к публикации / Accepted 15.01.2022
