Замкнутое уравнение для параметра порядка в сверхпроводниковой нанопроволоке вблизи критического магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЗАМКНУТОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА В СВЕРХПРОВОДНИКОВОЙ НАНОПРОВОЛОКЕ ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ1

|А. В. Семенов, П. П. Ан, М. А. Тархов, А. А. Корнеев, Р. В. Ожегов, Д. В. Петренко, С. В. Селиверстов, Н. А. Титова, Г. М. Чулкова, Г. Н. Гольцман, И. А. Девятов

Аннотация. В рамках теории Узаделя получено замкнутое уравнение для параметра порядка типа нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау, описывающее состояние «грязной» сверхпроводниковой нанопроволоки вблизи критического магнитного поля.

Ключевые слова: сверхпроводимость, нанопроволока, уравнение Гинзбурга-Ландау.

Summary. Within the Usadel theory we derive a closed equation for the order parameter of Ginzburg-Landau nonlinear equation type, describing a state of "dirty" nanowire near critical magnetic field.

Keywords: superconductivity, nanowire, Ginzburg-Landau equation.

В ряде современных экспериментов [1; 2] исследуются одномерные сверхпроводниковые нанопроволоки (сверхпроводники, размер которых в сечении меньше или порядка длины когерентности 4), помещенные во внешнее магнитное поле. Наложение внешнего магнитного поля позволяет управлять сверхпроводниковыми свойствами нанопроволоки, например, изменять частоту проскальзываний фазы или время жизни квазичастиц, не меняя температуры нанопроволоки, что представляет интерес как для фундаментальных исследований, так и для применений в микроэлектронике.

При достижении магнитным полем некоторого критического значения нанопроволока испытывает фазовый переход второго рода, при котором параметр порядка обращается в ноль. Эти обстоятельство позволяет вблизи критического магнитного поля свести уравнения микроскопической теории, описывающие состояние нанопроволоки, (в случае «грязной» нанопроволоки - уравнения Узаделя) к замкнутому уравнению для параметра порядка, аналогичному уравнению Гинзбурга-Ландау. Линеаризованное уравнение Гинзбурга-Ландау для сверхпроводника второго рода вблизи второго критического поля было получено в [3]. В одномерном случае одновременно с обращением в ноль параме-

241

1 Научные исследования были проведены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России» на 2007-2013 гг.

2 / 2012 Преподаватель

!ЕК

242

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ_

тра порядка расходится характерный пространственный масштаб на котором происходят изменения параметра порядка, благодаря чему, как мы покажем в настоящей работе, оказывается возможным получить полный аналог уравнения Гинзбурга-Ландау, содержащий нелинейный член. В идейном отношении процедура производится так же, как при предельном переходе от уравнений Узаделя к уравнению Гинзбурга-Ландау вблизи критической температуры перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние [4].

Рассмотрим сначала пространственно-однородную ситуацию. Состояние нанопроволоки может быть описано уравнением Узаделя [5]

-ГвР + Ю^ + Ав = 0 , (1)

где С и F - функции Грина, связанные условием нормировки

О2 + ¥г = 1, (2)

Д - параметр порядка, ю - мацубаровская частота, а Г - т.н. энергия распаривания, описывающая влияние магнитного поля. В случае, когда нанопроволока представляет собой полоску шириной w, а поле Н ориентировано перпендикулярно поверхности полоски, Г = е ^Н2 w2/6 ^ - коэффициент диффузии). Параметр порядка выражается через функции Грина уравнением самосогласования

2пТ- Р)= А 1п(Тс/Г). (3)

ш

Будем искать решение уравнения (1) разложением Fв ряд по малому Д. В нулевом порядке по Д имеем, очевидно, С(0)=1, F(0)=0

1-й порядок. Уравнение Узаделя, записанное в первом порядке по Д

-(ГС(0} + (1) + АС(0) = 0 , (1.1)

имеет решением р(1) =——— . Из условия нормировки (2), записанного

Ю+Г

в первом порядке, О(оО(1 = 0 , следует О(1) = 0.

Подставив F^1) в уравнение самосогласования (3), имеем равенство

2пГ? Й - 5Гг) = ■ (2Л)

которое должно выполняться точно при критическом значении энергии распаривания Г = Гс. Взяв сумму по мацубаровским частотам,

/1 1 ^ ( Г 1 ^

' * в пределе Т << Гс получаем Гс = ^Д0.

2пТ ^

ю Ю + Г

- + —

= у + Ь 4

ч----. Ч2жТ 2.

Здесь использованы асимптотическое поведение дигамма-функции при больших значениях аргумента, у(х) и 1пх, и известное соотношение между критической температурой и модулем параметра порядка при нулевой температуре Т=(еУп)Д0.

Преподаватель

1ЕК

2 / 2012

Для дальнейшего удобно переписать уравнение самосогласования вблизи Гс в виде

— 2nT^F(высшш-поРядков) = д( — ГГ ) (2а)

m

Во втором порядке из уравнения Узаделя получается F(2)=0, а условие норми-

1 Л2

ровки 2G(0)G (2) + (F(1))2 = 0 G 2 =---2

2 (w + Г)

В третьем порядке решением уравнения Узаделя

-(ГС(0) + ®)F(3) - ГС(2F(1) + AG(2) = 0 , (1.3)

„(з) 1 А3Ю

является F =---. Подставив это в уравнение самосогласования в

2 (w + Г)

форме (2а) и взяв сумму по мацубаровским частотам (которую в пределе T << T естественно заменить интегралом), получаем формулу, дающую закон обращения в нуль Д вблизи Г :

А2 = ЗА2 (1 -Г/Г). (3)

В пространственно-неоднородной ситуации в левую часть уравнения Узаде-ля (1) добавляется слагаемое

+ }D(GV2F - F V2G)

(V означает дифференцирование по координате вдоль нанопроволоки). В силу упомянутой выше малости градиентов, оно даст вклад лишь в третьем порядке по Д. Теперь вместо (1.3) будем иметь

-(rG(0) + ffl)F(3) + {DG(0V2F(1)-rG(2)F(l) + AG(2) = 0 , (1.3а)

„(3) 1 А3ю D V 2А

откуда F V' =----1----Подставив это в (2а), приходим к уравне- _.„

2 (ю + Г)4 2 (ю + Г)2 243

нию для параметра порядка

ADV2A-J-а3 + (1 -Г/Г„)А = 0 , (4)

А0 3А0

вполне аналогичному уравнению Гинзбурга-Ландау.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Anthore A., Pothier H., Esteve D. Density of states in a superconductor carrying a super current // Phys. Rev. Lett. 90. 127001. 2003.

2. Arutyunov K. Yu., Golubev D. S., Zaikin A. D. Superconductivity in one dimension // Phys. Rep. 464. 1. 2008.

3. Maki K. Type II superconductors containing magnetic impurities // Superconductivity / Ed. by R. D. Parks. - New York: Marcel Dekker, 1969. - P. 1035.

4. Свидзинский А. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости. - М., Наука, 1982.

5. Usadel K. D. Generalized diffusion equation for superconducting alloys // Phys. Rev. Lett. 25. 507. 1970. Щ

2 / 2012 Преподаватель

!EK