Замедляющие системы миллиметрового диапазона Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МИЛЛИМЕТРОВОГО

ДИАПАЗОНА

Кравченко Наталья Павловна,

доцент, к.т.н., Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" (НИУ ВШЭ), Москва, Россия, [email protected]

Мухин Сергей Владимирович,

профессор, д.т.н., Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" (НИУ ВШЭ), Москва, Россия, [email protected]

Пресняков Семен Андреевич,

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" (НИУ ВШЭ), Москва, Россия, [email protected]

Ключевые слова: замедляющие системы, волноводно-резонаторная модель, электродинамические характеристики, лампа бегущей волны, программа HFSS, миллиметровый диапазон волн.

Рассматривается модель усиления электромагнитных волн миллиметрового диапазона нерелятивистскими электронными потоками в одномерно периодических электродинамических системах. В качестве замедляющих систем исследуются системы типа "петляющий волновод" и типа "встречные штыри", пригодные для работы в миллиметровом диапазоне. Основными направлениями исследования являются:

- разработка модели лампы бегущей волны на основе разностной теории возбуждения электродинамических систем токами;

- моделирование и расчет по упрощённым волноводно-резонаторным моделям электродинамических свойств замедляющих систем типа "петляющий волновод" в миллиметровом диапазоне;

- представление волноводно-резонаторной модели замедляющей системы типа "петляющий волновод", составленной из отрезков прямоугольного и П-образного волновода;

- получение с помощью волноводно-резонаторной модели коэффициентов матрицы передачи, позволяющей провести анализ дисперсии и сопротивления связи в полосе усиливаемых частот;

- исследование замедляющей системы типа "петляющий волновод" с учетом геометрического поворота фазы поля в соседних зазорах с помощью линейной волноводно-резонаторной модели, представляемой цепочкой четырехполюсников, путем противоположного включения наведенного тока в соседних зазорах взаимодействия и с учетом первой пространственной гармоники, используемой в лампах бегущей волны при расчете дисперсии;

- расчет ряда вариантов, характеризующих основные закономерности изменения свойств замедляющей системы "петляющий волновод";

- моделирование свойств замедляющих систем типа "петляющий волновод" с использованием ЭО-кодов;

- применение результатов, полученных с использованием ЭО кодов, в качестве численного эксперимента для настройки волноводно-резонаторной модели;

- построение моделей штыревых замедляющих систем с использованием волноводно-резонаторной модели, настраиваемой по экспериментальным опорным точкам.

Показано, что для моделирования замедляющих систем типа "петляющий волновод" и "встречные штыри" могут использоваться волноводно-резонаторные модели, настраиваемые по полученным экспериментально опорным точкам. В качестве опорных точек могут также использоваться значения замедления и сопротивления связи, полученные численным экспериментом с помощью программы ИРвв. Построенные таким образом волноводно-резонаторные модели достаточно точны и просты. Показано, что эти модели могут успешно применяться при расчете ламп бегущей волны, работающих в миллиметровом диапазоне.

Для цитирования:

Кравченко Н.П., Мухин С.В., Пресняков С.А. Замедляющие системы миллиметрового диапазона // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - Том 9. - №6. - С. 57-63.

For citation:

Kravchenko N.P., Mukhin S.V., Presnyakov S.A. Millimeter-band slow-wave structures. T-Comm. 2015. Vol 9. No.6, pp. 57-63. (in Russian).

f I л

У

1. Введение

В последние годы наблюдается быстрое расширение области применения электромагнитных полей миллиметрового диапазона, что стимулирует появление новых типов миллиметровых устройств, развитие компьютерных методов их расчета и проектирования. В свою очередь, появление новых микроволновых генераторов, усилителей, преобразователей, разработка новых материалов, линий передачи, фильтров и других устройств позволяет продвигать миллиметровые технологии в новые области науки и техники.

Для описания ЛБВ (ламп бегущей волны) с дискретным взаимодействием, в которых фаза поля в зазорах взаимодействия в продольном направлении остается постоянной, электродинамически обоснованным является использование разностного уравнения [1]:

Ч+!-(Ап+А::)Ук+Уы=-А[Л

(1)

Этому уравнению соответствует шесгиполюсник, у которого входы возбуждения полем и током объединены. Секция ЛБВ, возбуждаемая заданным током, в этом случае моделируется цепочкой таких шести пол юсников (рис. 1), что позволяет легко учитывать граничные условия на концах секции и отражения, возникающие при объединении в секцию неидентичных ячеек.

2. Расчет дисперсии и сопротивления связи замедляющих систем типа «петляющий волновод» и «встречные штыри» с помощью волноводно-резонаторной модели

Согласно предложенной в [2] волноводно-резонаторной модели (ВРМ) замедляющая система заменяется эквивалентной системой, составленной из отрезков волноводов. В отличие от [3], в ВРМ отрезки волноводов могут быть направлены вдоль и поперек оси ЗС, соответственно направлению потока энергии на данном участке ЗС. Опыт применения ВРМ для моделирования ЛБВ показал возможность хорошего качественного, а при надлежащем выборе размеров волноводов по опорным точкам и количественного описания свойств ЗС [4]. В данной работе дисперсионные свойства, а именно, импеданс связи и дисперсионные характеристики в полосах прозрачности и непрозрачности ЗС рассмотрены с помощью ВРМ для простейшего вида замедляющей системы типа «петляющий волновод», состоящего из трех отрезков волноводов (рис. 2} при учете в каждом из них только одной волны с волновым числом Ли волновым сопротивлением 2.

Рис. 1. Модель секции ЛБВ, составленная из шести пол юс ни ко в

Адекватность математической модели дискретного взаимодействия определяется точностью задания коэффициентов конечно-разностного уравнения, имеющих определенный электродинамический смысл и задаваемых через коэффициенты матрицы передачи четырехполюсника, который получается из шести полюсника при отсутствии возбуждающего тока. Этот четырехполюсник, в свою очередь, является математической моделью ячейки резонаторной ЗС. Его коэффициенты определяют точность восстановления электродинамических характеристик моделируемой резонаторной замедляющей системы. Таким образом, их правильный выбор обеспечивает одновременно адекватное описание процессов дискретного взаимодействия в ЛБВ и электродинамических процессов в замедляющей системе.

Поэтому разработка простых и точных моделей ЗС, используемых при моделировании приборов, является актуальной задачей.

При моделировании могут использоваться как вол-новодно-резонаторная модель, так и результаты трехмерного моделирования с помощью программы НРББ.

а!

а2

Ъ2

/

■в

4+1

Эл

О)«*»

\

ы

Рис. 2. Схематическое изображение замедляющей системы

типа «петляющий волновод» с электронным потоком: 1-о резок волновода длины II,шириной а1 и толщиной Ь1; 2 - отрезок волновода длиной 12, соответствующий половине щели связи, шириной а2 и толщиной Ь2; 3 - электронный пучок.

Проведено также исследование и расчет дисперсионных свойств замедляющей системы типа «встречные штыри», представленной на рис. 3,

Для моделирования этой ЗС также используется волноводно-резонаторная модель, но более сложная, составленная из большего числа отрезков волноводов.

Для прямоугольного волновода традиционным является представление волной типа Н10 с компонентами электрического поля:

Н_ =Ссо$к хехр(И1г\Н^ =-/ ' Съткхехр(гйг),

Кг

Еу = гС А яшкщхехр(йг),Ег =Е: =0,//, =0

(2)

где к = C0C,ZI) =

. Mo -

волновое число и импеданс в

свободном пространстве, ккр =п - критическое вол-

новое число волны Нщ волновода, к2 -к2„ • оси

кр

х,у,г направлены соответственно вдоль широкой стенки размером "а", узкой стенки размером "Ь" и продольной оси рассматриваемого отрезка волновода.

Г/////////}/////////////

й I i , 1

1 1 I г 11 a=w 1

| 0,3 0.1 Г" 11 в.на «.is 1

J

= Z,

bk

1ah

(3)

K-

--sinht^)

Z,

cosh(^)

(4)

а матрица передачи участка ЗС между серединами соседних зазоров взаимодействия (рис. 4) получается как произведение трех матриц А-А2А1АЗ. Второй и третий отрезки волноводов в нашем случае одинаковы, так что А2=АЗ, тогда получаем следующее выражение для компонент:

А< = Лц = сояЬ в, (Я) созй й (Я)~ -

z,w | ¿М)

Z2U) Zt(A)J

sinh^ (Л) sinh ft (Я) cosh 8Z(A)+sinh ft (Я)1 cosh ¿¡(Я)

z,ay.

A,2 ~-iZ2(——-smhty(4)cosliв2(Л)2 +^^ smh (Я) si nil ft {ЯГ +

Z2U)

+2 cosh в. (¿)cosh в,(Л) smh ft (Я))

A.«

sjnh 02 (Я)2 smh 9, ft2sirih ¿¡(Я)+

2,{Я) Z2(A) +2 sinh ft (Л) cosh 0, (Я) cosh ft (Я))

zm

(5)

Рис. 3. Замедляющая система типа «встречные штыри» и ее геометрические размеры

В общем случае для составления ВРМ можно использовать отрезки волноводов любого сечения, Н, П-образных или др. Такая волноводно-резонаторная модель приближенно описывает основные свойства замедляющих систем, по крайней мере, в двух полосах прозрачности и непрозрачности для ЗС типа «петляющий волновод», «встречные штыри», «цепочка связанных резонаторов» со щелями связи, повернутыми на 180°, а также для спирального скрученного волновода.

Используем определение волнового сопротивления прямоугольного волновода Z как отношение среднего по х напряжения U к поверхностному току J вдоль оси волновода [5]:

1 \Ebdx SJ J

Полученные с помощью ВРМ выражения (5) позволяют провести анализ дисперсии и сопротивления связи в полосе частот. Рассматривалась ЗС типа «петляющий волновод» с учетом геометрического поворота фазы поля в соседних зазорах, что в линейной ВРМ, представляемой цепочкой четырехполюсников, можно учесть путем противоположного включения наведенного тока в соседних зазорах. Расчет дисперсии проводился для обычно используемой в ЛБВ первой пространственной гармоники по формулам:

к

cos<ps = Ап,<PsA = (р, + 7Г \ = nf = ,

V,, к kD

(6)

где (р - набег фазы на шаге О, фгй = <ра - п < 0 - набег фазы основной пространственной гармоники с учетом геометрического поворота, (ра1 = <р^0 + 2тт - набег

фазы первой пространственной гармоники, /, 1 = ^ -

ее волновое число. Для вычисления сопротивления связи Zмoгyт использоваться выражения:

ReZ = А/_Re I—, ImZ = M Im.R^

(7)

рассчитанные с использованием формул (5) и формулы, определяющей коэффициент формы зазора

В пренебрежении потерями волновое сопротивление 2 является вещественным в полосе прозрачности волновода, когда к>ккр1 и мнимым вне полосы прозрачности, когда к<ккр. При этом оно имеет индуктивный

характер для затухающей волны А-/ к1 -к2 .

КР

Тогда матрица передачи/го отрезка волновода геометрической длины !1 и электрической длины 0,=/г,/; имеет вид:

созЬШ -£?,5тЬ((9,)

M„=RM

. <р d sin1-5— 2D (p/t

2D

(8)

T-Comm Vol.9. #6-201 5

Рассмотрим ряд вариантов расчетов, характеризующих основные закономерности изменения свойств замедляющей системы типа «петляющий волновод».

Свойства замедляющей системы типа «петляющий волновод» определяются её геометрией, и при определенных размерах такая система становится пригодной для миллиметрового диапазона. На следующих рисунках даны результаты расчета для этого случая.

7Тл

\

RN,

¡¿Л--------J---------1-1-

4.3 t.J (5 6 6 6.7

X

Рис. 4. Замедление jv и реактивное затухание rn

(пунктир) ЗС с размерами: 11=18.бмм; al= а2=а3=3.3 мм; 12=13=1.1мм; Ы=1мм; Ь2=ЬЗ=1.б мм для длин волн от 6.4 до 6.S мм

4Х103 3x1В3

ReZ ImZ

с

X

Рис. 5. Действительная ReZ и мнимая ImZ (пунктир) части сопротивления связи, рассчитанные с помощью ВРМ, для ЗС с указанными на рис. 4 размерами

Ni

DJ-

RNj

Рис. 6. Замедление и реактивное затухание д.у

(пунктиром) ЗС с геометрическими размерами: 11 = 1мм; 12=13=0,25мм; а1=а2=аЗ=0.5мм; Ы=0.25мм; Ь2=0.5мм

Рис. 7. Действительная \\c ~z и мнимая 1т1 (пунктир) части сопротивления связи петляющего волновода миллиметрового диапазона

3. Расчет опорных точек с помощью трехмерного моделирования

Теперь обратимся к моделированию и расчетам с использованием программы Н^Б. Программа позволяет осуществить трехмерное моделирование интересующих нас систем. Проведенные для данных моделей расчеты позволят впоследствии установить соответствие и выявить особенности по сравнению с результатами, полученными ранее с помощью волноводно-резонаторной модели.

Рассматриваемые в настоящей работе резонаторные замедляющие системы могут быть представлены четырехполюсниками, которые моделируются в НР5Б ячейками с двумя портами (рис. 7).

В качестве исходных данных могут быть использованы наборы s, Z и т матриц, полученных для заданного в HFSS набора частот.

Алгоритм обработки данных трехмерного моделирования включает:

1. Ввод исходных данных из файла.

2. Преобразование исходной S, Z или Т матрицы в А матрицу.

3. Определение собственных чисел А матрицы.

4. Определение собственных векторов А матрицы.

5. Расчет замедления и характеристического сопротивления ЗС.

6. Представление графических материалов.

В качестве программной среды используется MathCAD. Данный математический пакет обладает всеми необходимыми функциями для решения поставленной нами задачи, а именно: считывание данных из файловг операции с матрицами, расчет собственных значений и векторов матриц, построение графиков.

В случае рассмотрения ЗС с двумя портами матрица перехода к А матрице соответствует четырехполюснику [4,6]. После получения нужной А-матрицы рассчитываются ее собственные значения, используя функцию eigenvals [6] .

Собственные значения являются комплексными числами. В данном простейшем случае А-матрица имеет размерность 2x2, в результате чего мы получаем два собственных значения ea±iq>, причем они будут комплексно сопряженными. Мнимая часть логарифма собственного значения соответствует набегу фазы на

Рис. 7. Модель ЗС с двумя портами

T-Comm Том 9. #6-2015

У

ячейку. Действительная часть логарифма соответствует реактивному затуханию. Если мы возьмем логарифм от двух комплексно сопряженных собственных значений, то результат будет отличаться только знаком. Поэтому для удобства построения графиков, значения набега фазы и затухания берутся по модулю. После того, как мы получили значения фазы, мы можем приступить к расчету характеристического сопротивления. Для этого мы находим собственные вектора, соответствующие двум собственным значениям, каждому собственному значению соответствует один собственный вектор, определяющий напряжение и ток в сечении порта.

Отношение этих величин, соответственно для первого и второго собственного значения, дает значение характеристического сопротивления, которое так же является комплексным числом и имеет действительную и мнимую части. Следующий этап расчета - получение коэффициента замедления. Для этого нам требуется взять произведение фазы и длины волны, поделенное на 2лЦ где I - период системы. Результаты расчетов представлены на рис. 8-11.

н

т

Рис. 8. Замедление д. и реактивное затухание

(пунктир) ЗС с: 11 = 18.бмм; 12=13=1.1мм; а1=а2=аЗ=З.Змм; Ы=1мм; Ь2=1.6мм

Кег —

11112

1 • * 4

ч » ■I ч

4- А.......

6 6.: 6.4 6.6 б!

Рис. 9. Действительная Яег и мнимая (пунктир) части сопротивления связи петляющего волновода

Н,

---- 13

V-..... -------1- ......-\(

Рис. 10. Замедление дг и реактивное затухание дд/

(пунктир) ЗС с: 11=9.Змм; 12=13=1.1мм; а1=з2=а3=1.3мм; Ь1=1мм; Ь2=1.3мм

Иег

I тг

103

%

1 • ч [

1.

Рис. 11. Действительная Ке2 и мнимая 1гп2 (пунктир) части сопротивления связи петляющего волновода

Как видно из расчетов, результаты, полученные с помощью ВРМ, несколько отличаются от результатов, полученных с помощью НР5Б. Это отличие обусловлено тем, что ВРМ не учитывает изгибы ЗС в местах соединения отрезков волновода, а также наличие пролетного канала. Результаты расчетов по программе НР$5 можно считать более точными, так как они были получены более точным методом и, в свою очередь, могут использоваться в качестве численного эксперимента для настройки ВРМ.

Для настройки можно использовать три точки по значению замедления, соответствующие л-виду, 2я-виду и ж - виду, а также одну точку по сопротивлению связи, соответствующую середине полосы пропускания,

В соответствии с методом эквивалентных систем настройка, то есть выбор эквивалентных параметров ВРМ осуществляется по экспериментально заданным точкам дисперсионной характеристики (опорным точкам) в процессе решения задачи параметрической оптимизации.

Для выбора т эквивалентных параметров ВРМ

х° = (х®, х«, ...х^) требуется задать р опорных точек, к которым относятся замедление й° = и

сопротивление связи я" = .

Задача параметрической оптимизации в этом случае формулируется следующим образом:

ттр(х) = р(х°)/ при Х|дш <Х;<Х|тах.

Начальное значение варьируемого параметра ВРМ определяется непосредственно по геометрическим размерам замедляющей системы.

Выделим две аддитивные целевые функции, соответствующие электродинамическим характеристикам ЗС, а именно, замедлению и сопротивлению связи:

Ы ¡-I

где частные целевые функции и определяются следующим образом:

Р^Л.^МЬа, р ФлУФ,). п°(л) Щ)

7Т\

Заключение

Здесь n¡(x,/l;), Я,(хД) - замедление и сопротивление связи, рассчитанные по формулам для ВРМ; п®(лД R°(/Ü - замедление и сопротивление связи, полученные расчетным путем по программе HFSS либо экспериментально; X¡ - длина волны; co¡, g¡ - весовые коэффициенты.

Ввиду того, что в формулу для расчета сопротивления связи входит параметр RM, который сложно оценить по геометрии ЗС, ищется минимум результирующей целевой функции вида

F{x) = Flx) + FK(x)

Для этого используется метод последовательных уступок. При исследовании замедляющей системы типа «встречные штыри», в отличие от предыдущего примера ЗС, где использовались результаты численного эксперимента, для настройки ВРМ брались реальные экспериментальные опорные точки. Расчет проводился для указанных на рис. 3 геометрических размеров системы.

На рис. 12 представлены результаты расчета замедления и сопротивления связи (верхняя часть рисунка), а также реактивного затухания для рассматриваемой замедляющей системы.

Рис. 12. Дисперсионные характеристики ЗС типа «встречные штыри»

На графике отмечены опорные точки. Как видно, точки достаточно точно совпадают с замедлением

к- вида, 271-вида, М. - вида и сопротивлением связи в

2

середине полосы пропускания.

В работе показано, что замедляющие системы типа «петляющий волновод» и «встречные штыри» пригодны для использования в миллиметровом диапазоне. Для моделирования этих систем могут использоваться волноводно-резонаторные модели, настраиваемые по полученным экспериментально опорным точкам. При этом достаточно выбрать количество опорных точек, не превышающее трех, для расчета замедления, соответственно по границам и середине полосы пропускания, и одной, соответствующей сопротивлению связи в середине полосы.

В качестве опорных точек могут также использоваться значения замедления и сопротивления связи, полученные в результате численного эксперимента с помощью программы НР55. Построенные таким образом волноводно-резонаторные модели весьма просты и достаточно точны. В данной работе показано, что эти модели могут успешно применяться при расчете ламп бегущей волны, работающих в миллиметровом диапазоне.

1. Мухин C.B., Никонов Д.Ю., Солнцев В.А. Исследование полосовых свойств локального импеданса связи замедляющих систем //Радиотехника и электроника. - 2008. - Т.53, №10. -С. 1324-1332.

2. Мухин C.B., Ломакин O.E., Солнцев В.А. Волноводно-резонаторная модель замедляющей системы типа цепочка связанных резонаторов // Радиотехника и электроника. -1988. - Т.ЗЗ, №8. - С. 1637-1643.

3. Силин P.A., Чепурных И.П. Расчет замедляющих систем, ячейки которых можно представить в виде сочленения волноводов // Радиотехника и электроника. - 1990. -Т.35, №5. -С. 989-997.

4. Кравченко Н.П., Мухин C.B. Анализ дисперсионных характеристик замедляющих систем с пролетным каналом, заполненным плазмой, методом трехмерного моделирования // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал) http : //jre.cpli re. ru/jre/apr!4/7/text. html. - 2014,- №4. - C.l-22.

5. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. - М.: Высшая школа. - 1970, Т.1. - 375 с.

6. Мухин C.B. Анализ дисперсионных характеристик замедляющих систем типа ЦСР вблизи границ полосы пропускания // Радиотехника и электроника. - 2012. - Т.57, № 12. -С. 1301-1311.

Литература

ELECTRONICS. RADIO ENGINEERING

MILLIMETER-BAND SLOW-WAVE STRUCTURES

Natalja Kravchenko, Sergey Mukhin, Semen Presnyakov, Moscow, Russia

Abstract

This paper considers the model of amplification of electromagnetic millimeter waves by non-relativistic electron beams in one-dimensional periodic electrodynamic systems. As slow-wave structures systems such as "winding waveguide" and "counter-pins"-type suitable for use in the millimeter range are investigated. The main directions of research are:

- development of a traveling-wave tube model on the basis of the differential theory of excitation of electrodynamic systems by currents;

-modeling and calculation for simplified waveguide-resonator model of electrodynamic properties of slow-wave structures such as "winding waveguide" in the millimeter range;

- representation of a waveguide-resonator model of "winding waveguide"-type slow-wave structure, composed of segments of rectangular and U-shaped waveguide;

- obtaining by a waveguide-resonator model coefficients of the transmission matrix, which allows to analyze the dispersion and coupling impedance in the band of amplified frequencies;

- investigation of "winding waveguide"-type slow-wave structure taking into account the geometric phase rotation field in neighboring gaps by linear waveguide-resonator model represented by a chain of quadripoles by means of opposite switching of the induced current in the neighboring interaction gaps and also the first spatial harmonic used in traveling-wave tubes for the calculation of the dispersion;

- calculation of a number of options that characterize the basic laws of changes in the properties of "winding waveguide"-type slow-wave structure;

- modeling the properties of slow-wave structures such as "winding waveguide" using 3D-codes;

- application of the results obtained using the 3D-codes as the numerical experiment to adjust waveguide-resonator model;

- model building pin-type slow-wave structures using waveguide-resonator model, adjustable by experimental reference points. The paper shows that for modeling slow-wave structures such as "winding waveguide" and "counter-pins" waveguide-resonator model adjustable to the experimentally obtained reference points can be used. As the reference points can also be used the values of deceleration and the coupling impedance obtained by numerical experiment using HFSS. Waveguide resonator models constructed in such way are sufficiently accurate and simple. This paper shows that these models can be successfully used for the calculation of traveling-wave tubes operating in the millimeter range.

Keywords: slow-wave structures, waveguide-resonator model, electrodynamic characteristics, traveling wave tube, the program HFSS, millimeter-band.

References

1. Mukhin S.V., NikonovD.Y. and Solntsev V.A. (2008), Radiotekhnika i Electronika [J. Communication Technology and Electronics]. 2008. V.53. No. 10. P.1324-1332. [in Russian]

2. Lomakin O.E., Mukhin S.V. and Solntsev V.A. (1988), Radiotekhnika i Electronika [J. Communication Technology and Electronics], vol.33, no.8, pp. 1637-1643. [in Russian]

3. Silin R.A. and Chepurnykh I.P. (1990), Radiotekhnika i Electronika [J. Communication Technology and Electronics], vol.35, no.5, pp. 989-997. [in Russian]

4. Kravchenko N.P. and Mukhin S.V. (2014), J. Radioelectronics [Electronic], no. 4, pp.1- 22, available at: http://jre.cplire.ru/jre/apr14/7/text.html (accessed 14 Apr 2014). [in Russian]

5. Lebedev, I.V. Tekhnika i pribory SVCH [Techniques and High Frequency Devices], (1970), Higher School, Moscow, Russia, vol.1, 375 p. [in Russian]

6. Mukhin, S.V. (2012), Radiotekhnika i Electronika [J. Communication Technology and Electronics], vol.57, no.12, pp. 1301-1311. [in Russian]

Information about authors:

Natalja Kravchenko, Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, National Research University "Higher School of Economics" (NRU HSE), [email protected]

Sergey Mukhin, Professor, Doctor of Technical Sciences, National Research University "Higher School of Economics" (NRU HSE), [email protected]

Semen Presnyakov, student, National Research University "Higher School of Economics" (NRU HSE), [email protected]

7TT