Научная статья на тему 'Закономерности образования трещин при скалывании кромки образца и индентировании хрупких материалов'

Закономерности образования трещин при скалывании кромки образца и индентировании хрупких материалов Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
69
13
Поделиться
Журнал
Физическая мезомеханика
ВАК
RSCI
Область наук
Ключевые слова
СКАЛЫВАНИЕ КРОМКИ ОБРАЗЦА / ИНДЕНТИРОВАНИЕ / КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / FINITE ELEMENT MODELING / КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА / CONTACT PROBLEM / НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ / STRESS-STRAIN STATE / ТЕХНИЧЕСКАЯ КЕРАМИКА / CERAMICS / СТЕКЛО / GLASS / EDGE CHIPPING / INDENTATION

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Батанова Ольга Алексеевна, Матвиенко Юрий Григорьевич

Изложены результаты конечно-элементного моделирования экспериментов по определению сопротивления разрушению хрупких материалов, проводимых на мезомасштабном размерном уровне, методом скалывания кромки образца. Моделирование выполнено с использованием программного комплекса ANSYS. Решена статическая пространственная нелинейная контактная задача о внедрении алмазного индентора Роквелла в деформируемое твердое тело. Анализируется контактное взаимодействие индентора с образцом как в зоне краевого эффекта (эксперимент скалывания кромки образца), так и в точках значительно удаленных от его кромки (соответствует эксперименту индентирования). На основании расчетного анализа трансформации полей перемещений, деформаций и напряжений в зависимости от параметров испытаний установлены закономерности образования первичных и вторичных поверхностных трещин, а также конуса Герца.

Crack initiation in edge chipping and indentation of brittle materials

This paper reports the results of finite element modeling of fracture resistance tests on brittle materials using the edge chipping method and taking into account the mesoscale structural level. The ANSYS finite element modeling has been employed. A three-dimensional static nonlinear contact problem for a Rockwell indenter impressed into a deformable solid is solved. The contact interaction of the indenter with the specimen is analyzed for the cases of edge chipping and indentation. The initiation mechanism of primary, secondary cracks and Hertz cone cracks is explained based on an analysis of the transformation of displacement, strain and stress fields.

Текст научной работы на тему «Закономерности образования трещин при скалывании кромки образца и индентировании хрупких материалов»

УДК 539.3, 539.4

Закономерности образования трещин при скалывании кромки образца и индентировании хрупких материалов

О.А. Батанова, Ю.Г. Матвиенко

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва, 101990, Россия

Изложены результаты конечно-элементного моделирования экспериментов по определению сопротивления разрушению хрупких материалов, проводимых на мезомасштабном размерном уровне, методом скалывания кромки образца. Моделирование выполнено с использованием программного комплекса ANSYS. Решена статическая пространственная нелинейная контактная задача о внедрении алмазного индентора Роквелла в деформируемое твердое тело. Анализируется контактное взаимодействие индентора с образцом как в зоне краевого эффекта (эксперимент скалывания кромки образца), так и в точках значительно удаленных от его кромки (соответствует эксперименту индентирования). На основании расчетного анализа трансформации полей перемещений, деформаций и напряжений в зависимости от параметров испытаний установлены закономерности образования первичных и вторичных поверхностных трещин, а также конуса Герца.

Ключевые слова: скалывание кромки образца, индентирование, конечно-элементное моделирование, контактная задача, напряженно-деформированное состояние, техническая керамика, стекло

Crack initiation in edge chipping and indentation of brittle materials

O.A. Batanova and Yu.G. Matvienko A.A. Blagonravov Institute of Machine Science, RAS, Moscow, 101990, Russia

This paper reports the results of finite element modeling of fracture resistance tests on brittle materials using the edge chipping method and taking into account the mesoscale structural level. The ANSYS finite element modeling has been employed. A three-dimensional static nonlinear contact problem for a Rockwell indenter impressed into a deformable solid is solved. The contact interaction of the indenter with the specimen is analyzed for the cases of edge chipping and indentation. The initiation mechanism of primary, secondary cracks and Hertz cone cracks is explained based on an analysis of the transformation of displacement, strain and stress fields.

Keywords: edge chipping, indentation, finite element modeling, contact problem, stress-strain state, ceramics, glass

1. Введение

В настоящее время в качестве экспериментального метода определения сопротивления разрушению конструкционной, функциональной, биомедицинской керамики, стекол и других хрупких материалов на мезомас-штабном размерном уровне привлекает внимание метод скалывания прямоугольной кромки образца с помощью конического индентора со сферическим разрушающим кончиком [1-9]. Предлагаемая методология позволяет оценивать сопротивление разрушению по результатам скалывания кромок малогабаритных образцов и является альтернативой традиционным методам испытаний, предусматривающим использование сравнительно круп-

ногабаритных образцов с трещиной, создание которой является проблематичным для хрупких материалов. Это особенно актуально при поисковых материаловедчес-ких исследованиях, при изучении уникальных дорогостоящих материалов и тогда, когда изделие значительно меньше стандартного образца. В исследованиях по методу скалывания кромки образца, проводимых в ряде зарубежных организаций, согласно публикациям, например [5-9], применяются только экспериментальные методы. Для более эффективного решения фундаментальной задачи по созданию методологии исследования сопротивления деформированию и разрушению хрупких материалов, в частности технической керамики, на

© Батанова O.A., Матвиенко Ю.Г., 2015

мезомасштабном размерном уровне авторами применен комбинированный подход, сочетающий экспериментальные методы с методами численного моделирования рассматриваемых процессов [10, 11]. Численное исследование контактного взаимодействия индентора с образцом, проведенное с целью анализа и оптимизации экспериментов на базе программного комплекса ANSYS, для образцов из мелкозернистой изотропной плотной нитрид-кремневой (Y2O3, Al2O3)-SN, оксид-алюминиевой А999 керамики, а также стекла, взятого в качестве модельного хрупкого материала, позволило выявить ряд закономерностей деформирования и разрушения материалов в процессе испытаний. В частности, установлено, что по мере удаления центра контакта индентора с поверхностью образца от его кромки поля перемещений, деформаций и напряжений претерпевают трансформацию от локализации вблизи кромки и асимметрии в направлении перпендикулярном кромке (зона действия краевого эффекта) до полного дистанцирования от нее и до симметрии в этом направлении при значительном удалении. Наиболее показательными в анализе процесса трансформации полей является трансформация поля вектора перемещений U и его компонент, особенно компоненты Uz, направленной перпендикулярно кромке образца. Установлено, что корректные результаты данных экспериментов возможно получать при воздействии индентора на образец в зоне действия краевого эффекта. В случае применения конического алмазного индентора с радиусом скругления 200 мкм значение параметра d (расстояние от центра индентора до кромки образца), ограничивающего зону активного влияния краевого эффекта для образцов из исследованных материалов, предложено принять равным 300 мкм. Настоящая работа посвящена исследованию закономерностей образования трещин в хрупких материалах при контактном взаимодействии индентора с образцом в зоне краевого эффекта (соответствует эксперименту на скалывание кромки образца) и в точках значительно удаленных от кромки (соответствует эксперименту классического индентирования).

2. Методика эксперимента и материалы

Основные эксперименты настоящей работы выпол-

нялись с использованием метода скалывания кромки

образца [1-4]. Они заключались в скалывании прямоугольных кромок полированных до зеркального блеска

образцов сечением 3x4 мм2 (радиус скругления кро-

мок — не более 10 мкм) с помощью стандартного ко-

нического алмазного индентора Роквелла с радиусом закругления разрушающего кончика 200 мкм (Gilmore

Diamond Tools, USA). При испытаниях применялся

смонтированный на универсальной испытательной машине [4] автономный блок Ceram Test (Gobor Ltd.), в зажимах двухкоординатного столика которого кре-

пились фотографические стекла с приклеенными к ним образцами. Скорость перемещения индентора постоянна и равна 5 мм/мин. Усилие при испытаниях прилагается в направлении перпендикулярном поверхности образцов шириной 3 мм на небольшом расстоянии от их кромок. Диапазон расстояний от центра индентора до кромки образца находится в пределах от 100 до 400 мкм. Индентором скалывается прямоугольная кромка образца, а разрушающее усилие Pf регистрируется компьютером. Затем с помощью измерительного бинокулярного микроскопа BX51M Olympus (х50-1000) определяется расстояние L от кромки образца до крайней точки скола на его поверхности (рис. 1, б). Сопротивление материала разрушению FR оценивается как отношение разрушающего усилия Pf к расстоянию L. На основании этой информации с использованием 50 и более экспериментальных точек строятся кривые сопротивления разрушению в виде зависимостей FR-L [1]. В качестве экспериментальных материалов использовались мелкозернистая изотропная плотная керамика на основе нитрида кремния (Y2O3, Al2O3)-SN (Е = = 2.5• 1011 Па, ц = 0.24) и стекло (Е = 7.34-1010 Па, ц = = 0.23), взятое в качестве модельного хрупкого материала. На рис. 2 [11] приведен график экспериментальной зависимости разрушающей нагрузки Pf от

0

Вид сверху

100 мкм

Рис. 1. Испытанный образец нитрид-кремниевой керамики (а), скол в стадии формирования (б) [11]

200Н

X

tin

йч

loo Н

10.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

L • Ю-3, м

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

L • Ю-3, м

Рис. 2. Зависимость разрушающей нагрузки от расстояния L (а) и кривая сопротивления разрушению (б) для керамики на основе нитрида кремния

расстояния L и построенная на его основе линия сопротивления разрушению FR-L для нитрид-кремниевой керамики.

3. Численное моделирование

Для проведения численного моделирования и расчетного анализа результатов экспериментов по скалыванию кромок образцов хрупких материалов решали статическую пространственную нелинейную контактную задачу о внедрении в деформируемое твердое тело конического алмазного индентора Роквелла с радиусом закругления разрушающего кончика 200 мкм. Задачу решали методом конечных элементов с использованием программного комплекса ANSYS 13. В процессе расчетов варьировали расстояние d от центра внедрения ин-дентора в поверхность образца до кромки образца и соответствующее ему экспериментальное значение разрушающего усилия Pf. Расстояние d изменяли в широком диапазоне от точек вблизи кромки образца, что соответствует эксперименту скалывания, до точек значительно удаленных от кромки, что соответствует эксперименту классического индентирования. Модель строили для активной части индентора и выделенного из образца фрагмента. Размеры расчетной области изначально выбирались таким образом, чтобы они превышали размеры области скола для всех рассчитываемых вариантов и ограничивались такими значениями параметров, когда дальнейшее увеличение размеров фрагмента не влияет на результаты расчета. На рис. 3 представлена конечно-элементная модель, принятая для расчета. По условиям симметрии относительно плоскости YZ анализировали половину модели. Деформируемое тело (образец) разбивали на конечные элементы типа SOLID 185. Скалярные параметры, задаваемые при решении задачи, варьировали таким образом, чтобы при

расчете различных вариантов создавалось сгущение конечно-элементной сетки вблизи области контакта. По нижнему торцу деформируемого тела было принято условие жесткого закрепления. Для изучавшихся ма-

Рис. 3. Конечно-элементная модель задачи о вдавливании жесткого индентора в деформируемый образец (а), увеличенный фрагмент модели (б)

Кромка образца

___:оскость симметрии

образца

Кромка образца

Центр индентора

териалов (стекла и керамики иа основе нитрида кремния) рассматривалась модель упругодеформирующего-ся тела, модули упругости при растяжении и сжатии одинаковы, что соответствует их реальным свойствам. Задачу решали с помощью встроенного в программный комплекс ANSYS модуля Contact Wizard, предназначенного для решения контактных задач. Рассматривали жестко-податливый контакт «поверхность - поверхность». Целевую поверхность (индентор) рассматривали как жесткую с наличием пилотного (ведущего) узла, посредством которого осуществляется управление граничными условиями и движением целевой поверхности. К пилотному узлу прикладывались граничные условия (перемещения и нагрузки). Взаимодействующие части модели покрывались контактными элементами. Для целевой поверхности выбирали 3D конечный элемент TARGE 170. На поверхности образца выделяли контактную поверхность с типом 3D контактного элемента CONTA 174. Затем создавали жестко-податливую контактную пару. Влияние трения при решении контактной задачи не учитывали. Задача решалась в два этапа. На первом этапе задавалось первоначальное перемещение Uy, которое прикладывалось к пилотному узлу. Задача запускалась на счет. Осуществлялся нелинейный расчет, т.к. контактная задача, рассматриваемая в данном случае относится к подмножеству задач нелиней-ностей, связанных с изменением состояния системы. По окончании счета, не выходя из решателя, заданное перемещение удалялось и к пилотному узлу прикладывалась нагрузка Pf. Задача вновь запускалась на счет. По окончании этого счета осуществлялся выход в постпроцессор для анализа полученных результатов. Для более детального исследования в постпроцессоре используется пункт меню Path Operations, предназначенный для анализа изменения функций вдоль выбранных траекторий. В рамках этой операции строились различные траектории (PATH Xt, PATH Z, PATH 5), вдоль которых исследовались изменения компонент вектора перемещений и тензоров деформаций и напряжений.

4. Трансформация компонент тензоров напряжений, деформаций и вектора перемещений в экспериментах по скалыванию кромок образцов из стекла и технической керамики

В расчетном анализе в первую очередь представляет интерес трансформация поля вектора перемещений и его компонент, полей главных напряжений, главных деформаций и выбранных компонент тензоров напряжений и деформаций в зависимости от параметров эксперимента: от параметра d (расстояние от центра внедрения индентора в поверхность образца до его кромки) и от соответствующего ему разрушающего усилия Pf. В результате расчетного анализа трансфор-

мации полей в образцах из стекла [10] и керамических материалов [11] установлено, что в этом процессе доминируют два основных фактора: локализация полей в объеме образца и степень их асимметрии. Анализ полей главных напряжений Ст], ст2 , ст3 и главных деформаций Е], е2, Е3, возникающих в образцах из хрупких материалов, показал, что при возрастании параметров d и Pf, т.е. при удалении центра индентора от кромки образца, эти поля претерпевают трансформацию от асимметрии в направлении оси Z к симметрии в этом направлении. В точках удаленных от кромки они осесиммет-ричны относительно вертикали, проходящей через центр индентора. Анализ трансформации поля вектора перемещений и и его компонент их, Vу, и2 в зависимости от изменения параметров d и Pf продемонстрировал, что при малых значениях d поле вектора перемещений и и его компонент несимметрично в направлении оси Z и локализовано вблизи кромки образца. По мере увеличения параметра d асимметрия поля вектора перемещений и и его компонент в направлении оси Z уменьшается, а само поле постепенно смещается от кромки образца. Расчет для точек удаленных от кромки образца, в которых сколы не образуются, демонстрирует, что в этих случаях поля вектора перемещений и и его компонент их, иу, и2 дистанцированы от кромки образца, поля вектора перемещений и и его компоненты Vу осесимметричны относительно вертикали, проходящей через центр индентора, поле компоненты вектора перемещений V2 симметрично в плоскости YZ. Поля главных напряжений имеют большой градиент, поэтому в визуальном представлении программного комплекса ANSYS они дистанцируются от кромки образца и становятся симметричными при меньших значениях параметра d, чем соответствующие им поля перемещений.

Анализ расчетов позволяет сделать вывод о том, что наиболее показательными для описания процесса трансформации являются изменения поля вектора перемещения и и его компонент, особенно компоненты V2, направленной перпендикулярно кромке образца. На рис. 4 в качестве примера представлены трансформация поля вектора перемещений и и трансформация компоненты и2 вектора перемещений в плоскости симметрии YZ образца из нитрид-кремниевой керамики в зависимости от изменения параметра d.

На основании результатов анализа трансформации полей перемещений, главных напряжений и главных деформаций в процессе экспериментов по скалыванию кромок образцов исследованных материалов сделано заключение, что корректные экспериментальные результаты возможно получать в зоне действия краевого эффекта. Характер распределения всех полей в точках удаленных от кромки соответствует эксперименту ин-дентирования, а не скалывания кромки образца. Значение параметра d, ограничивающего зону активного вли-

Пилотный узел

0 б

0 0.114 0.229 0.343 0.457 0.571 0.686 0.800 0.914 1.030

х|0

0 0.258 0.516 0.774 1.030 1.290 1.550 1.810 2.060 2.320 х10

0

0

Рис. 4. Трансформация поля вектора перемещений и (м) (а, б) и его компоненты V2 (м) (в, г) в плоскости симметрии YZ образца из нитрид-кремниевой керамики в зависимости от параметра d = 125 (а, в), 1000 мкм (б, г)

яния краевого эффекта, в случае применения конического алмазного индентора с радиусом закругления 200 мкм для стекла [10], нитрид-кремниевой ^203, Al2Oз)-SN и оксид-алюминиевой А999 керамики [11] предложено принять равным 300 мкм. Полученные результаты согласуются с результатами экспериментов, т.к. в этом диапазоне наблюдается наименьший разброс экспериментальных точек.

Важной особенностью испытаний на скалывание кромки образца является то, что они включают три стадии процесса разрушения материала. На первой стадии образуется поверхностная трещина, близкая по форме к полукольцу (назовем ее полукруглой), на второй стадии образуются две вторичные поверхностные трещины (рис. 1, б). На третьей стадии происходит дальнейшее развитие трещин, приводящее к образованию скола. Отмеченная стадийность процесса разрушения

материала наблюдается непосредственно в экспериментах по скалыванию кромки образца [1-4, 6], а также находит подтверждение у авторов [12, 13], занимающихся механикой контактного разрушения. Основываясь на результатах расчетов, можно констатировать наличие четкой корреляции между картинами полей главных напряжений и первой стадией разрушения (первичной полукруглой трещиной) и между картинами полей перемещений и поверхностью скола образца соответственно (рис. 4, а). Корреляция наблюдается как по их конфигурации, так и по геометрическим параметрам локализации полей в объеме образца. Следует также отметить, что получаемые в расчетах количественные значения напряжений, деформаций и перемещений несколько завышены. Это обусловлено тем, что в эксперименте нагрузка фиксируется в момент начала разрушения кромки образца, а не в момент образования

первичной трещины. Однако при численном моделировании анализируемых испытаний нас интересуют оценочные значения и качественная картина трансформации полей напряжений, деформаций и перемещений в процессе экспериментов.

5. Кинетика разрушения при индентировании и скалывании кромок образцов из стекла

Проведем численное исследование контактного взаимодействия индентора с образцом из стекла как модельного хрупкого материала в широком диапазоне изменения параметра d. Вначале рассмотрим случай воздействия индентора в области значительно удаленной от кромки образца, который соответствует эксперименту классического индентирования. При внедрении активной сферической части индентора в образец из хрупкого материала на поверхности около контактной зоны появляется первичная трещина в виде окружности. По данным [12, 14] первичная кольцевая трещина может образовываться на расстоянии Rcr/а = 1-2 от центра контакта, где Rcr — радиус трещины; а — радиус площадки контакта (рис. 5). Данный широко известный факт образования кольцевой трещины не на границе площадки контакта, а в непосредственной близости от нее, но за ее пределами и на различных расстояниях от центра индентора объясняется в [12] тем, что радиус кольцевой трещины определяется функцией распределения микротрещин вокруг площадки контакта. По мере увеличения нагрузки на индентор кольцевая трещина движется вглубь материала с образованием пространственной трещины в форме близкой к усеченному конусу, получившей название конус Герца [6, 12, 15].

Проводя исследование в рамках феноменологического подхода, авторы настоящей работы объясняют образование первичной трещины с траекторией близкой к окружности достижением напряжениями на этой траектории значений, соответствующих предельному напряженному состоянию, определяемому по критерию прочности. По нашему мнению, наблюдаемый в экспериментах факт образования кольцевой трещины за пределами границы контактной площадки на различных расстояниях от нее обусловлен различием у хрупких материалов пределов прочности при растяжении и сжа-

тии [16-18]. Условие прочности, применяемое при оценке предельного напряженного состояния, должно учитывать этот факт. В качестве одного из возможных условий прочности, учитывающих различное сопротивление хрупких материалов растяжению и сжатию, может быть принято условие прочности Боткина-Миро-любова [18], которое можно представить в виде

(1)

где интенсивность напряжений

Ъ = ^\/(а1 - а2 )2 + (а2 - а3 )2 + (а3 - а1)2;

среднее нормальное напряжение а 0 = (а1 + а 2 + а3 )/3;

A = 1 acom + aten ; B = 3 _acom — аten

Aaf + B a 0 = 1,

2 an

2 an

Рис. 5. Схематическое изображение внедрения сферической части индентора в образец

com ten com ten

аcom, аten — пределы прочности при сжатии и растяжении.

Согласно [18], критерий Боткина-Миролюбова находится в лучшем соответствии с опытом, по сравнению с другими критериями, для материалов с соотношением предельных напряжений при растяжении и сжатии 0 < aten/acom < 0.4, что соответствует рассматриваемому случаю. Пределы прочности стекла при растяжении а com = 22 • 108 Па и сжатии а ten = 0.5 • 108 Па приведены в [17].

Проведем численное моделирование и анализ эксперимента, представленного в [19], при котором на образец из стекла в точке значительно удаленной от края образца воздействует стандартный алмазный индентор Роквелла с радиусом закругления кончика R = 200 мкм, значение силы Pf = 60.1 Н. На рис. 6, а представлена фотография полученного отпечатка, на которой можно видеть границы площадки контакта и образовавшуюся на некотором небольшом расстоянии от нее кольцевую трещину. По анализу фотографии мы получили для радиуса площадки контакта a значение равным примерно 58 мкм, для внутреннего радиуса трещины Rcr значение примерно 66 мкм. Определим радиус площадки контакта и внутренний радиус трещины на основании расчета. На рис. 6, б представлены растровые изолинии главного напряжения а1, на рис. 6, в — графики изменения главных напряжений а1, а2, а3 на поверхности образца вдоль пути PATH X, проходящего через центр индентора параллельно оси X (0 < X < 2 х х 10-4 м, Y = 0, Z= d, где d — расстояние от центра индентора до края образца).

Численный расчет дает следующие результаты. В области под площадкой контакта главные напряжения отрицательны. За пределами контактной площадки главное напряжение а1 принимает положительное значение и сначала возрастает, затем убывает, главное напряжение а2 вблизи площадки контакта отрицательно, затем становится равным нулю, главное напряжение а3 отри-

0

-13.63

100 мкм I I

х10

-0.821 -0.605 -0.390 -0.174 0.042

-0.713 -0.498 -0.282 -0.066 0.150

6.403

-4.766-

10

£ -15.935 \

& -27.104

-38.273

-49.442

Х-ЮЛ м

0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70

Х- юЛ м

Рис. 6. Круговая трещина, образовавшаяся при внедрении индентора Роквелла в поверхность стекла (а), растровые изолинии главного напряжения а1 (Па) (б), графики изменения главных напряжений а1? a2, а3 на поверхности образца вдоль пути PATH X (в), график значений функции Aat + Ва0 на участке пути PATH X (г). Pf = 60.1 Н

цательно. По мере удаления от площадки контакта все три напряжения убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю. На границе площадки контакта главное напряжение а1, переходя из области отрицательных значений в область положительных значений, проходит через ноль. По этому значению определяется расчетный радиус площадки контакта. Приближенно эту величину можно оценить по графику (рис. 6, в), более точное значение находится по листингу. Результаты расчета дают значение для радиуса площадки контакта a = 57 мкм. Внутренний радиус круговой трещины определяли по условию прочности Боткина-Миролюбова (1). На рис. 6, г приведен график значений функции Aaf + Ва0 (1) вдоль пути PATH X. Равенство значения этой функции единице, согласно (1), соответствует достижению предельного напряженного состояния и, как следствие, появлению трещины. Учитывая осевую симметрию напряжений относительно центра индентора, по этому значению определяли внутренний радиус трещины Rcr. Приближенно Rcr можно оценить по рис. 6, г, более точное значение определено по листингу, расчет дает значение Rcr = 68 мкм.

Далее с тех же позиций рассмотрим образование конуса Герца. Анализируем эксперимент для значения силы Pf = 60.1 Н. Для этого, применяя возможности постпроцессора программного комплекса ANSYS, в плоскости симметрии YZ образца построим пути PATH

Z, i = 1-4. Вдоль этих путейX = 0, d + 0.6 • 104 м < Z < < d + 3 • 104 м, Y = -0.1 • 10 4 м, Y2 = -0.2 • 104 м, Y3 = -0.3 • 10-4 м, Y4 = -0.4 • 10-4 м. Применяя критерий Боткина-Миролюбова (1), вычисляем значения функции Aaf + Ва0 вдоль путей PATH Zt и находим значения координат Zt, в которых выполняется условие прочности (1). Значения этих координат, которые в данном случае отсчитываются от центра индентора, представлены в табл. 1. Вдоль пути PATH Z4 при значении силы Pf = 60.1 Н предельное напряженное состояние не достигается. Соединяя точки, представленные в табл. 1, линией и учитывая осевую симметрию главных напряжений относительно оси, проходящей через центр индентора, получаем некую поверхность вращения, близкую по форме к усеченному конусу. Эта поверхность является поверхностью пространственной трещины, получившей название конуса Герца (рис. 5).

Таблица 1

Координаты точек в плоскости симметрии (X = 0) образца из стекла, в которых достигается предельное напряженное состояние. Pf = 60.1 Н

№ точки 1 2 3 4

Y-10 4, м -0.1 -0.2 -0.3 -0.4

Z-10 4, м 0.9 1.4 2.5 -

Рис. 7. Круговая трещина и распространяющиеся от нее радиальные трещины, образовавшиеся при внедрении индентора Роквелла в поверхность образца из стекла вдалеке от кромки (а), растровые изолинии главных напряжений ^ (б), с2 (в), с3 (Па) (г) в плоскости XZ (У = 0). Р{ = 103.6 Н

Помимо первичной круговой трещины в экспериментах, когда образец из стекла находится в условиях контактного взаимодействия с коническим алмазным индентором со сферическим концом в точках удаленных от его кромки, при возрастании силы появляются вторичные радиальные трещин, распространяющиеся от первичной круговой. Проанализируем причины их возникновения. Продемонстрируем это на примере варианта эксперимента [19] — воздействия на образец из стекла индентора Роквелла с радиусом скругления 200 мкм, Р = 103.6 Н. На рис. 7 приведена фотография полученного отпечатка и распределение растровых изолиний главных напряжений , ст2, ст3 на поверхности образца в плоскости Х2 (У = 0). Поля главных напряжений осесимметричны относительно оси, проходящей через центр индентора. За пределами границы площадки контакта напряжения убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю. Объяснить образование вторичных поверхностных радиальных трещин в осесимметрич-ном поле напряжений с точки зрения наступления предельного напряженного состояния не представляется возможным.

Для выяснения причин образования вторичных радиальных трещин был выполнен анализ изменения компонент вектора перемещений и компонент тензоров напряжений и деформаций в плоскости Х2 (У = 0). При

этом исследовалось их изменение вдоль дополнительных траекторий PATH Xt, которые проходили через выбранные точки с постоянной координатой Xt = const,

1 = 1, 2, 3 и координатой Z, меняющейся в диапазоне d -2 • 10-4 м < Z < d + 2 • 10-4 м. Анализ проводился для точек, находящихся за пределами площадки контакта. На рис. 8, а нанесены траектории PATH Xt в плоскости XZ образца на фоне изолиний компоненты Uz вектора перемещений, расстояние от кромки образца до центра индентора d = 9-10-4 м, Pf = 103.6 Н. Выполненный расчетный анализ позволил выявить следующую закономерность: в точках траекторий PATH Xt с координатой Z = d при изменяющихся значениях координаты X частная производная dUz/dz имеет локальный экстремум (минимум в области отрицательных значений). Следует отметить, что частная производная dUz/ dz — это компонента деформации ez. Согласно расчетам в этих же точках локальный минимум имеет и компонента напряжений аz. На рис. 8, б приведены графики изменения деформации ez в зависимости от Z для траекторий PATH Xi, проходящих через точки 1 (X1 = 10-4м),

2 (X2 = 2-10-4 м), 3 (X3 = 3 • 10-4 м). Таким образом, вдоль траектории с координатой Z = d в плоскости XZ (Y = 0), которая начинается за пределами площадки контакта, но в непосредственной близости от нее, и идет параллельно кромке образца, имеем локальные экстре-

-2.829

z-юЛм

х10-5 A=-0.323 B=-0.242 C=-0.161 D=-0.081 E = 0 F =0.081 G=0.161 H= 0.242 I=0.323

9.4 10.2 11.0

Рис. 8. Траектории PATH Xi в плоскостиXZ образца из стекла на фоне изолиний компоненты Uz (м) вектора перемещений (а). Графики изменения деформации 8 z в зависимости от Z для траекторий PATH Xi, проходящих через точки 3 (б), 2 (в), 1 (г). d = 900 мкм, Pf = 103.6 Н

мумы компоненты 8^ тензора деформаций и компоненты а^ тензора напряжений.

Исследовалось также изменение деформации 8 х и напряжения а„ в плоскости XZ (У = 0) вдоль дополни-

х10

A=-0.342 B=- 0.300 C=- 0.258 D=- 0.216 E=- 0.173 F = - 0.131 G=- 0.089 H=- 0.047 I=- 0.005

-384.48

1-1-1-1-1-1-1-1-r

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 I-IO^m

Рис. 9. Траектории PATH Zt в плоскости XZ образца из стекла на фоне изолиний компоненты Ux (м) вектора перемещений (а). Графики изменения деформации 8x (б) и напряжения аx (в) для траектории PATHZ1. d = 900 мкм, Pf = 103.6 Н

тельных траекторий PATH Zt, находящихся за пределами площадки контакта, которые проходили через выбранные точки с координатой X, меняющейся в диапазоне 0 < X < 2 • 104 м, и координатами Zt = const, i = 1, 2, 3, 4. На рис. 9, а нанесены траектории PATH Zt в плоскости XZ образца из стекла на фоне изолиний компоненты Ux вектора перемещений (d = 9 • 10 4 м, Pf = = 103.6 Н), проходящие через точки с координатами

Z1 = d - 2^10 4 м, Z2 = d - 10 4 м и через симметричные им относительно центра индентора точки с коор-

динатами Zo

! + 10-4 м, Z,

! + 2 10 4 м. На этом

же рисунке приведены графики изменения деформации 8x и напряжения ах в зависимости отXдля траектории PATH Z1. Согласно расчетам локальный экстремум (минимум в области отрицательных значений) деформа-

\а\

100 мкм I-1

Рис. 10. Развитие трещин в стекле при приближении точки индентирования к краю образца

ции 8х и напряжения ах в случае воздействия инден-тора вдали от кромки образца наблюдается в точках с координатой X = 0 при изменяющихся значениях координаты Z, т.е. вдоль траектории в плоскости XZ (Y= 0) с координатой X = 0, которая начинается за пределами площадки контакта, но вблизи от нее, и идет вдоль осевой линии образца, имеем локальный экстремум (минимум в области отрицательных значений) компоненты 8х тензора деформаций и компоненты ах тензора напряжений.

Согласно публикации [19], представляющей экспериментальные результаты по скалыванию кромок образцов стекла, в экспериментах наблюдается возникновение радиальных трещин, начинающихся в диаметрально расположенных точках кольцевой трещины. Эти вторичные трещины в точках удаленных от кромки распространяются параллельно кромке образца, затем при перемещении индентора к кромке вторичные трещины разворачиваются в направлении кромки (рис. 10, а), а затем выходят на его боковую поверхность (рис. 10, б).

Проанализируем эксперимент контактного взаимодействия конического алмазного индентора с радиусом скругления 200 мкм с образцом из стекла в зоне краевого эффекта (рис. 10, б), d = 230 мкм, Pf = 50.21 Н. В данном случае вначале образуется первичная поверхностная трещина, близкая по форме к полукольцу, затем две вторичные поверхностные трещины. Для установления закономерностей процесса образования поверхностных трещин первичной полукруглой и двух вторичных в постпроцессоре программного комплекса ANSYS построим на плоскости XZ (Y = 0) образца траекторию PATH S, соответствующую границе скола. Траектория PATH S (рис. 11, б) состоит из двух участков: PATH S1 (точки 1-4), соответствующего первичной трещине, и PATH S2 (точки 4-11), соответствующего вторичной

х10

10

-0.756 -0.554 -0.353 -0.152 0.050

-0.655 -0.454 -0.252 -0.051 0.151

1.021 0.509 Н

1 -0.004 -

m

ь

b -0.517 ь

-1.029 H -1.543

у 1*

а2* - PATH S2

/ /'

Лз

1.164 2.328 S-10

3.492 4.656 5.821

Рис. 11. Первичная полукруглая трещина и развивающаяся от нее вторичная трещина, образовавшиеся при внедрении индентора в образец из стекла в зоне краевого эффекта (а), растровые изолинии главного напряжения а1 (Па) с нанесенной траекторией PATH S (б), графики изменения главных напряжений а1, а2, а3 на поверхности образца вдоль траектории PATH S2 (в). d = 230 мкм, Pf = 50.21 Н

поверхностной трещине. Точка 4 принадлежит обоим участкам и является переходной между ними. Как рассматривалось выше, образование первичной поверхностной полукруглой трещины обусловлено возникающими в образце под воздействием индентора напряжениями. Она появляется при достижении этими напряжениями предельных значений (1). В рассматриваемом случае траектория первичной полукруглой трещины PATH S1 также проходит немного дальше по отношению к центру площадки контакта, чем ее граница. В зоне действия краевого эффекта изолинии главных напряжений а1, а2, а3 имеют концентрический вид с

большим или меньшим отклонением от осевой симметрии в зависимости от параметра d. Анализ изменений напряжений вдоль траектории PATH S2 демонстрирует их заметное убывание (рис. 11, в). Объяснить образование на этом участке вторичной поверхностной трещины с точки зрения наступления предельного напряженного состояния не представляется возможным. Более того, в известной авторам литературе отсутствуют какое-либо объяснение наблюдаемого явления, а также критерий образования вторичных трещин и их траектории.

Для выяснения закономерностей образования вторичных поверхностных трещин были проанализированы изменения компонент 8z тензора деформаций и аz тензора напряжений вдоль дополнительных траекторий PATH Xf, проходящих через точки траектории PATH S2 с координатами Xf = const, i = 4, 5, ..., 11 (рис. 12, б) и координатой Z, меняющейся в диапазоне 0 < Z < < 3 • 10-4 м. Сопоставление значений координат Z траектории PATH S2 (траектории вторичной поверхностной трещины), приведенных в табл. 2, и значений координат Z, в которых компонента деформаций 8z и компонента напряжений аz имеют локальный экстремум (минимум в области отрицательных значений) свидетельствует об их близких значениях. Графики изменения деформации 8z в зависимости от Zдля траекторий PATH X, проходящих через выборочные точки 4, 6,8 траектории PATH S2, приведены на рис. 12, в. Как демонстрирует расчет, точки локальных экстремумов компоненты 8z тензора деформаций и компоненты аz тензора напряжений по мере возрастания координаты X сдвигаются в направлении к кромке образца.

Переход от первичной полукруглой трещины к вторичным трещинам можно интерпретировать следующим образом. Предполагаем, что в точках траектории PATH S2 имеем неравновесное состояние, обусловленное наличием локального экстремума. В этих точках убывание компонент тензоров деформаций и напряжений 8 z и а z, направленных перпендикулярно кромке образца, сменяется возрастанием. Дефект, в данном случае вторичная поверхностная трещина, развивается вдоль траектории этого неравновесного состояния [20]. Таким образом, можно констатировать, что образование поверхностных трещин (первичной полукруглой и двух вторичных) связано с разными причинами возникновения дефектов. Объяснение наблюдаемого явления можно было бы дать с позиций синергетических принципов [21, 22]. Точка, которая относится к первичной полукруглой трещине (PATH S1) и к вторичной поверхностной трещине (PATH S2), может быть признана точкой бифуркации, обуславливающей переход системы от одного состояния к другому. После образования первичной полукруглой и вторичных поверхностных трещин скол начинает распространяться в пространстве образца до полного отделения от него.

PATH S2

х10

>-5

Рис. 12. Фотография скола (вид сверху) образца из стекла (а). Траектория скола PATH S2 в плоскости XZ образца на фоне изолиний компоненты Uz (м) вектора перемещений (б). Графики изменения 8z в зависимости от Z для траекторий PATH Xi, проходящих через точки 4, 6, 8 траектории PATH S2 (в). d = 230 мкм, Pf = 50.21 Н

Таблица 2

Координаты точек, принадлежащих траекториям PATH S1 (точки 1-4) и PATH S2 (точки 4-11),

стекло, d = 230 мкм, Pf = 50.21 Н

№ точки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Х-10-4, м 0.00 0.40 0.60 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 6.00

Z-10-4, м 3.00 2.90 2.80 2.40 2.30 2.10 1.70 1.30 0.85 0.40 0.00

Возвращаясь к экспериментам воздействия инден-тора вдали от кромки образца на основании проведенного анализа можно утверждать, что четыре взаимно перпендикулярные радиальные трещины распространяются от круговой трещины вдоль траекторий неравновесного состояния, соответствующих локальным экстремумам деформаций ех (х) и напряжений стх (х) (трещины в направлении оси Т) и е2 (2), ст2 (2) (трещины в направлении оси X).

Возникновение четырех взаимно перпендикулярных трещин стабильно наблюдается в экспериментах по индентированию стекла. На рис. 13 приведены снимки, на которых различаются четыре взаимно перпендикулярные трещины. В ряде случаев помимо четырех взаимно перпендикулярных трещин в экспериментах наблюдаются и другие радиальные трещины (рис. 7, а, 13, б), появление которых можно объяснить наличием дополнительных дефектов в материале образца.

6. Кинетика разрушения при скалывании кромок образцов из технической керамики

Проведем аналогичный анализ на примере эксперимента контактного взаимодействия алмазного инденто-ра с радиусом скругления 200 мкм с образцом из керамики на основе нитрида кремния в зоне краевого эффек-

та (скалывание кромки образца), d = 140 мкм, Pf = = 113.7Н. В данном случае вначале также образуется первичная поверхностная трещина, близкая по форме к полукольцу, затем две вторичные поверхностные трещины. После проведения численного расчета в постпроцессоре программного комплекса ANSYS построим траекторию PATH S на плоскости XZ образца (Y =0), соответствующую границе скола. Траектория PATH S состоит из двух участков: PATH S1 (точки 1-4), соответствующего первичной трещине, и PATH S2 (точки 4-12), соответствующего вторичной поверхностной трещине. Точка 4 принадлежит обоим участкам и является переходной между ними. Координаты точек траектории PATH S приведены в табл. 3.

На рис. 14 представлены: фотография первичной полукруглой трещины и развивающейся от нее вторичной трещины, растровые изолинии главного напряжения а1 с нанесенной траекторией PATH S, графики изменения главных напряжений а1, а2, а3 на поверхности образца в плоскости XZ (Y = 0) вдоль траектории PATH S2. В данном случае первичная поверхностная полукруглая трещина также образуется при достижении напряжениями предельных значений. Изолинии главных напряжений а1, а2, а3 имеют концентрический вид с отклонением от осевой симметрии, поскольку

| а

'7 v * j *

1

ЯГ А.

V

*

Рис. 13. Радиальные трещины, наблюдаемые в экспериментах по индентированию стекла

Таблица 3

Координаты точек, принадлежащих траекториям PATH S1 (точки 1-4) и PATH S2 (точки 4-12), керамика на основе нитрида кремния, d = 140 мкм, Pf = 113.7 Н

№ точки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X 10"4, м 0.00 0.40 0.60 0.80 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00

Z40"4, м 2.10 2.00 1.80 1.45 1.25 1.10 0.85 0.60 0.40 0.20 0.10 0.00

индентор воздействует на образец в зоне краевого эффекта. Анализ изменений напряжений вдоль траектории PATH S2 демонстрирует их заметное убывание (рис. 14, в).

-2.19 -1.59 -1.00 -0.41 0.18

х10

10

-1.89 -1.30 -0.71 -0.12 0.48

2.29-

1.25-

св

С -

0.22-

¿г -

СЧ ь -0.82-

¿г -

-1.86-

2.89-

/

0 ' 0.892 ' 1.784 ' 2.676 ' 3.568 "4.461 5-10Л м

Рис. 14. Фотография скола (вид сверху) образца из нитрид-кремниевой керамики (а); растровые изолинии главного напряжения а1 (Па) с нанесенной траекторией PATH S (б); графики изменения главных напряжений а1, а2, а3 на поверхности образца вдоль траектории PATH S2 (в). d = 140 мкм, Pf = 113.7 Н

Сопоставление значений координат Z траектории PATH S2 (траектории вторичной поверхностной трещины), приведенных в табл. 3, и значений, полученных в расчете, в которых компонента деформаций 8z и компонента напряжений аz имеют локальный экстремум (минимум в области отрицательных значений) в диапазоне 0 < Z < 210^ м, свидетельствует об их близких значениях. Точки локальных экстремумов компоненты 8z тензора деформаций и компоненты az тензора напряжений по мере возрастания координаты X сдвигаются в направлении к кромке образца. На рис. 15 приведены графики изменения компоненты напряжения az в зависимости от Z для траекторий PATH Xf, проходящих через выборочные точки 4, 6, 10 траектории PATH S2.

Согласно расчету вторичная поверхностная трещина развивается от точки бифуркации вдоль траектории неравновесного состояния, обусловленного наличием локального экстремума компонент тензоров деформации 8 z и напряжения а z, направленных перпендикулярно кромке образца. Данная закономерность образования вторичной поверхностной трещины наблюдается и в других вариантах, рассчитанных для нитрид-кремниевой и оксид-алюминиевой керамики [11].

7. Заключение

Для определения сопротивления разрушению хрупких материалов методом скалывания кромки образца эффективно использование комбинированного подхода, сочетающего экспериментальный метод с методом численного моделирования напряженно-деформированного состояния в зоне контакта индентора с испытываемым образцом.

Численное моделирование и расчетный анализ позволили выявить ряд закономерностей экспериментов по скалыванию кромок образцов и индентированию хрупких материалов (технической керамики и стекла).

По мере удаления центра контакта индентора с поверхностью образца от его кромки поля перемещений, деформаций и напряжений претерпевают трансформацию от локализации вблизи кромки и асимметрии в направлении перпендикулярном кромке (зона действия краевого эффекта) до полного дистанцирования от нее и до симметрии в этом направлении при значительном

PATH 52

B=- 0.240

D=- 0.170 F= -0.099

H= -0.029

0

Рис. 15. Фотография скола (вид сверху) образца из нитрид-кремниевой керамики (а); траектория вторичной трещины PATH S2 в плоскости XZ образца на фоне изолиний компоненты Uz (м) вектора перемещений (б); графики изменения напряжения аz в зависимости от Z для траекторий PATH Xi, проходящих через точки 4, 6, 10 траектории PATH S2 (в). d = = 140 мкм, Pf = 113.7 Н

удалении. Наиболее показательными в анализе процесса трансформации полей является трансформация поля вектора перемещений и и его компонент, особенно компоненты и2, направленной перпендикулярно кромке образца. Корректные результаты данных экспериментов возможно получать при воздействии индентора на образец в зоне действия краевого эффекта. В случае применения конического алмазного индентора с радиусом скругления 200 мкм значение параметра d, ограничивающего зону активного влияния краевого эффекта для образцов из исследованных материалов, предложено принять равным 300 мкм.

Расчетный анализ контактного взаимодействия ин-дентора с образцом из стекла в точках значительно удаленных от кромки (соответствует эксперименту классического индентирования) позволил установить, что первичная трещина с траекторией близкой к окружности образуется при достижении напряжениями на этой траектории значений, соответствующих предельному напряженному состоянию, определяемому по критерию прочности, учитывающему различное сопротивление материала растяжению и сжатию. Наблюдаемый в экспериментах факт образования кольцевой трещины за пределами границы контактной площадки на различных расстояниях от нее обусловлен различием у хрупких материалов пределов прочности при растяжении и сжатии. С этих же позиций объясняется дальнейшее развитие кольцевой трещины вглубь (образование конуса Герца). Согласно расчетам предельное напряженное состояние, определяемое по критерию прочности, учитывающему различное сопротивление растяжению и сжатию, достигается в точках поверхности вращения, близкой к конической, распространяющейся вглубь образца.

В случае воздействия индентора на образцы из стекла вдали от кромки анализ изменения компонент перемещений, деформаций и напряжений в окрестности площадки контакта позволил установить, что четыре взаимно перпендикулярные радиальные трещины распространяются от круговой трещины вдоль траекторий локального неравновесного состояния, соответствующих локальным экстремумам функций 8 х (х), ах (х) (трещины в направлении оси Z) и 8^ (z), а^ (z) (трещины в направлении оси X). Точки, от которых начинают распространяться радиальные трещины, в соответствии с синергетическими принципами, могут быть названы точками бифуркации, обуславливающими переход системы от состояния, соответствующего появлению первичной круговой трещины, к состоянию, соответствующему появлению четырех взаимно перпендикулярных радиальных поверхностных трещин.

На основе численного моделирования контактного взаимодействия индентора с образцом в зоне краевого эффекта (соответствует эксперименту скалывания кромки образца) также выявлено существование точек би-

фуркации, обуславливающих переход системы от состояния, соответствующего появлению первичной полукруглой трещины, к состоянию, соответствующему появлению двух поверхностных трещин. Две вторичные поверхностные трещины начинают распространяться от точек бифуркации и идут вдоль траектории локального неравновесного состояния, соответствующего локальному экстремуму (минимуму в области отрицательных значений) компоненты еz тензора деформаций и компоненты а2 тензора напряжений.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-19-00383). Авторы благодарят д.т.н., проф. Г.А. Гогоци за предоставленные фотографии для рис. 13.

Литература

1. Гогоци Г.А. Сопротивление керамики разрушению: базовая диаграмма и R-линия // Проблемы прочности. - 2006. - № 3. - С. 6074.

2. Гогоци Г.А., Галенко В.И., Озерский Б.И., Христевич Т.А., Кар-бань В.И. Прямое определение сопротивления керамики разрушению по методу краевого скалывания // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2007. - Т. 73. - № 3. - С. 49-53.

3. Gogotsi G.A. Criteria of ceramics fracture (edge chipping and fracture toughness tests) // Ceram. Int. - 2013. - V. 39. - P. 3293-3300.

4. Gogotsi G.A. Deformation, fracture resistance and heat resistance // Strength Mater. - 2013. - V. 45. - No. 2. - P. 248-255.

5. CEN/TS 834-9. Advanced Technical Ceramics — Mechanical Properties of Monolith Ceramics at Room Temperature. Part 9: Method of Test for Edge-Chip Resistance. - Brussels: CEN, 2010. - 12 p.

6. Mohajerani A., Spelt J.K. Edge chipping of borosilicate glass by blunt

indentation // Mech. Mater. - 2010. - V. 42. - P. 1064-1080.

7. Chai H. On the mechanics of edge chipping from spherial indentation // Int. J. Fracture. - 2011. - V. 169. - P. 85-95.

8. Quinn G.D. Edge chip testing of ceramics // Am. Ceram. Soc. Bull. -2013. - V. 92. - No. 1. - P. 24-28.

9. Quinn G.D., Melandri C., de Portu C. Edge chipping resistance of alumina/zirconia laminates // J. Am. Ceram. Soc. - 2013. - V. 96. -P. 1-9.

10. Батанова О.А., Гогоци Г.А., Матвиенко Ю.Г. Численный анализ результатов эксперимента по скалыванию кромок образца // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2011. - Т. 77. -№ 7. - С. 53-56.

11. Batanova O.A., Gogotsi G.A., Matvienko Yu.G. Numerical modeling edge chipping tests of ceramics // Eng. Fract. Mech. - 2014. - V. 132. -P. 38-47.

12. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. - М.: Наука, 1988. - 224 с.

13. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. -М.: Физматлит, 2006. - 328 с.

14. Argon A.S., Hori Y., Orowan E. Indentation strength of glass // J. Am. Ceram. Soc. - 1960. - V. 43. - No. 2. - P. 86-96.

15. Frank F.C., Lawn B.R. On the theory of Hertzian fracture // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1967. - V. 299. - No. 1458. - P. 291-306.

16. Андриевский Р.А., Спивак И.И. Прочность тугоплавких соединений и материалов на их основе: Справочник. - Челябинск: Металлургия, 1989. - 367 с.

17. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях: В 2 т. / Под ред. Г.С. Писаренко. - Киев: Наукова думка, 1980. - Т. 2. - 772 с.

18. ПисаренкоГ.С., ЛебедевА.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наукова думка, 1976. - 415 с.

19. Гогоци Г.А., Мудрик С.П. Трещиностойкость технического и оптического стекол: скалывание кромок образцов // Проблемы прочности. - 2010. - № 3. - С. 57-65.

20. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 7-26.

21. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеха-ники // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.

22. Егорушкин В.Е. Физика неравновесных явлений. - Томск: Изд-во научно-технической литературы, 2010. - 203 с.

Поступила в редакцию 22.01.2015 г., после переработки 27.03.2015 г.

Сведения об авторах

Батанова Ольга Алексеевна, к.т.н., снс ИМАШ РАН, olalgor@list.ru

Матвиенко Юрий Григорьевич, д.т.н., проф., зам. дир. ИМАШ РАН, ygmatvienko@gmail.com