CC BY
10Закономерности кластерного роста пористых структур
Каплий С.А.(sergium@yartelecom.ru )(1), Проказников А.В.(prokazmkov@maiLr•u )(1,2), Рудь Н.А.(1)
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Институт микроэлектроники и информатики РАН.
В работе исследованы компьютерные модели, относящиеся к классу моделей управляемого градиентом роста. Различные алгоритмы этого класса моделей позволяют получить широкий набор кластеров, характеризующихся разнообразными структурами, в том числе и фрактальными. Задача формирования неветвящихся, изолированных, вертикальных кластеров была решена посредством алгоритма, соответствующего потенциалу с большим градиентом.
Введение
Результаты исследования когерентных явлений в стохастических системах представляют интерес с точки зрения применения их в различных физических областях. Явления когерентности характеризуются образованием кластеров в стохастических системах при определенных условиях. Кластеризация возникает в рамках различных моделей, которые во многих аспектах аналогичны моделям, описывающим когерентные явления в динамических системах. Одна из задач данного класса явлений - кластеризация примеси в случайных полях скоростей. Принципиальной особенностью этой задачи является существование кластерной структуры поля концентрации примеси. Эта особенность проявляется в виде возникновения каустической структуры в результате фокусировок и дефокусировок в случайной среде [1].
Проблема, исследуемая в данной работе, тесным образом связана со следующей задачей. Частица в поле случайных скоростей в простейшем случае описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [1]:
Иг ^
— = и (г, I), г «о) = Го (1)
И
где и (г, I) = и0(г, I) + и (г, I), и0(г, I) - детерминированная составляющая поля скоростей, а и (г, I) - случайная составляющая. С формальной точки зрения, исходя из уравнения (1), каждая частица движется независимым образом. Однако если случайное поле и (г, I) имеет конечный пространственный радиус корреляции 1сог, то частицы, расстояние между которыми меньше 1сог, находятся в общей зоне влияния случайного поля и (г, I), и в динамике такой системы частиц могут появляться новые коллективные особенности. Например, для случая потенциального поля скоростей (где и (г, I) = У щ(г, I)) частицы, равномерно расположенные в квадрате в начальный момент времени, в процессе временной эволюции образуют кластерные области [1].
Другим классом проблем, связанных с образованием кластеров, является формирование пористого пространства в различных полупроводниковых кристаллах. Представителями веществ с подобными свойствами являются пористый кремний [2], а также пористые вещества, образованные спеканием мелкодисперсных порошков [3]. Таким образом, исследуемая проблема находит свое применение в широком спектре задач современной физики.
Попытки использования компьютерных моделей для объяснения закономерностей порообразования предпринимались неоднократно [4]. Однако, исчерпывающей модели формирования пористых пространств к настоящему времени не построено, что свидетельствует о необходимости продолжения исследований в данном направлении.
Постановка задачи
В данной работе исследуется формирование кластеров на одной из плоских границ прямоугольной области, покрытой квадратной сеткой. Между противоположными плоскими границами прикладывается потенциал. В отличие от задачи, описанной в работе [1], мы рассматриваем случайное блуждание частиц в постоянном потенциальном поле нескольких затравок, в то время как в [1] динамика системы определяется стохастическим, зависящим от времени полем с определенным радиусом корреляции. При моделировании используется три затравки определенной формы с фиксированными положениями.
Исследуются закономерности локализации кластера на первоначальных затравках в условиях влияния потенциального поля, создаваемого затравками, и поля самого кластера. Также проводится поиск условия, при котором формируется вертикальные, слабоветвящиеся, обособленные кластеры.
На движение частицы, также как в уравнении (1), оказывает влияние детерминированная составляющая и0(г, I) и стохастическая составляющая и (г, I).
Детерминированную компоненту определяет поле, создаваемое игольчатыми затравками, а стохастическая компонента движения частицы, приводящая к случайным блужданиям по квадратной сетке, описывается алгоритмом блуждания Метрополиса [5]. Вероятность перемещения в соседнее положение определяется через градиент потенциала в соответствующих окрестных точках, таким образом, что вероятность прыжка в сторону состояния с более высоким потенциалом выше.
Расчет распределения поля производится на основании следующих посылок. Форма первоначальных затравок на верхней стороне пластины для простоты расчета аппроксимируется гиперболоидом вращения [6]. Между верхней границей (верхней стороной пластины) и нижней прикладывается потенциал. Расчет распределения потенциала производится методом Ламе, который подробно описывается в работе [6]. Как показывают расчеты [6], потенциал поля ф в этом случае является функцией параметра X, то есть ф = ф (А,), и задается формулой:
А Ъ(Х) + А л
р(А) = ф0-7тх4 (2)
ln
'max ' '"max
b -x
V max "max J
если разность потенциалов между иглой и нижней границей равна фг = Бяфо, sSi -
диэлектрическая проницаемость кремния, ф0 - параметр, размерности разности потенциалов
2 2 2 1/2
используемый при моделировании, b(X) = (X (1 + p ) + 2pq + q ) ,
P (dmin d max + 2D)/(Xmax - XminX D a(Xmax - XminX q [(Xmax(dmax + 2D) — Xmindmin]/(Xmax -
Xmin), (Xmax - Xmin) - толщина образца, bmax = b(Xmax), dmin - размер затравки, D - расстояние между затравками, а - варьируемый параметр, dmax - параметр, соответствующий значению Xmax, при котором эквипотенциальные кривые вырождаются в прямую.
При рассмотрении двумерного случая с одной игольчатой затравкой эквипотенциальные кривые описываются уравнением гиперболы с параметрами X и (b2 - X2)1/2 [6].
Компьютерный алгоритм был построен таким образом, чтобы смоделировать образование структуры двумерного кластера под воздействием потенциала трех игольчатых затравок. Моделирование проводилось в прямоугольной области 2(D + dmax) х (Xmax - Xmin), которая была разбита на квадраты со стороной Ax. Для того, чтобы получить суммарное распределение потенциала поля всех затравок, рассчитывалась правая половина поля, создаваемая одной затравкой, помещенной в крайнее положение. Затем, используя принцип суперпозиции полей и симметрию задачи, формировалось суммарное поле трех
эквидистантных затравок. Каждой клетке ставилось в соответствие значение рассчитанного поля, и в итоге мы получили дискретное распределение потенциала затравок фу. Распределение потенциалов в этом случае представлено на рисунке 1.
037306-
0 20 40 60 80 100 120
Рисунок 1. Распределение электрического потенциала трех эквидистантных затравок. Параметры моделирования, соответствующие приведенным на рисунке данным, следующие: ф0=1, а=1.
Рост кластера происходил за счет блуждания частицы по квадратной решетке с нижней плоской границы к верхней, где располагались три игольчатые затравки. Алгоритм случайного блуждания основывался на алгоритме Метрополиса [5]. Для вычисления траектории движения частицы, находящейся в клетке (/у), рассматривалась окрестность, состоящая из четырех ближайших соседей, имеющих общие границы с ячейкой (/у). Затем вычислялась вероятность перехода из ячейки (/у) в ячейку (/'у') в указанной окрестности формуле:
№, У) ^ (О", У')] =
ф
(/, У)(/', У)
!Ф
(/, У)(/', У)
(3)
ф
(/, У)(/', У)
=1
Фг'
п
Г - Г; .,
г] г']'
(4)
где фу, фгУ' - потенциал поля в точках (/у) и (/'у') соответственно, п < 4 - количество доступных для перехода ячеек, П - окрестность ячейки (/у).
Переход частицы (/у) в состояние (/'у') происходит в соответствии с вычисленной вероятностью этого перехода. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута верхняя граница или пока частица не "прилипнет" к формирующемуся кластеру. Чтобы частица "прилипла" к кластеру достаточно того, чтобы отношение числа точек кластера в радиусе Яхар к числу ближайших ячеек, имеющих общие вершины, было больше некоторой фиксированной величины п (коэффициент прилипания). От величины этого коэффициента зависит как глубоко частица проникнет вглубь кластера, а так же, как это будет показано ниже, внутренняя структура кластера. Остановившаяся частица формирует кластерную структуру. Расстояние, на котором растущий кластер воздействует на частицу, определялось параметром Яхар. Все точки кластера, попавшие в окружность радиусом Яхар, вносят
П
соответствующий вклад в статический потенциал, создаваемый для каждой ячейки из ближайшей окрестности, по формуле [7]:
а
а_^ ~в( П] -г- у)
Г" — Г, У г]
(5)
так что
]■- Е * ~в(Г/—г"],) (6)
=
г] ГГ ]' < —хар
Г-- — Г-1 -I
] г]
где аг>]- = а - величина заряда элементарной ячейки, в = 1/г0 - постоянная экранирования, г0 -радиус экранирования. Потенциал у суммируется с потенциалом ф, создаваемым затравками (см. формулу 4). Вклад в результирующее поле вычисляется только для внешних точек кластера, так как они экранируют внутренние.
Применение описанного выше алгоритма приводит к формированию ветвящихся кластеров, соединяющихся между собой у основания (то есть не изолированных). С уменьшением потенциала формируются более вытянутые и более изолированные кластеры в несколько большей степени "привязанные" к начальным затравкам. Подобные закономерности отмечены в эксперименте [8, 9]. Описанный выше алгоритм не приводит к формированию изолированных, неветвящихся, вертикальных кластеров (см. рисунок 2).
Ь
50 45
40 = 35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 -
о,—
■ г ¿улд а" ду;;
.Н " ¿г Я ¿V*
V яг^ ¡Н ~
'"к. "¡г* ' гг.
. - - ™ -
2 ^ г-
¿Гй" п.
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
..,::1.1:'1 п1 г.т.т. ч ■
.4 "■и"'м'""1|Г.
г Г /.*,
100 120
а
Рисунок 2. Результаты компьютерного моделирования, согласно стандартному алгоритму необратимого роста, управляемого градиентом, для следующих параметров: а=1, ф0=1, а=0.1, Р=1.3е-5, (а) параметр прилипания п вычислялся с учетом восьми ближайших соседей, фрактальная размерность Б/ = 1.719 - 1.802 и N = 1100; (Ь) параметр прилипания п вычислялся с учетом двенадцати ближайших соседей, фрактальная размерность Б/ = 1.612- 1.682 и N = 500.
Представленные на рисунке 2а, 2Ь структуры отличаются условиями прилипания частицы к кластеру. На рисунке 2а структура получена с учетом восьми ближайших соседей, в то время как на рисунке 2Ь учитывалось влияние двенадцати соседей. Фрактальная размерность, рассчитывается методом вычисления зависимости массы кластера от радиуса охватывающей его окружности [10] в логарифмических осях. Для кластеров, показанных на рисунке 2а, величина фрактальной размерности равна Б/ = 1.719 - 1.802. Аналогичные вычисления для кластеров на рисунке 2Ь дают фрактальную размерность Б/ = 1.612 - 1.682. Следует отметить тот факт, что при случайном блуждании по треугольной решетке число ближайших соседей
равно двенадцати. Как это хорошо заметно из рисунка 2b, формирующиеся на квадратной решетке структуры имеют элементы треугольной формы. Это обусловлено тем, что число соседей, принимающих участие на конечном этапе формирования кластера, равно двенадцати. Таким образом, треугольные элементы могут образовываться и на квадратных решетках при определенных условиях формирования. Подобные эффекты наблюдались при анодировании кремния в растворах плавиковой кислоты. Так в работе [11] были обнаружены фрактальные структуры, похожие на "салфетки Серпинского" (Serpinsky gasket).
Как показано в работе [12], фрактальная размерность не является универсальной в том смысле, что зависит не только от размерности решетки, используемой при численном моделировании, но и от структуры решетки. В частности, работа [12] предсказывает, что фрактальная размерность должна быть равна 5/3 для двумерной квадратной решетки и 7/4 для двумерной гексагональной и треугольной решеток. Как свидетельствуют результаты, приведенные на рисунке 2, фрактальная размерность в значительной мере зависит и от других параметров моделирования, в частности, от коэффициента прилипания, управляющего ростом градиента и др.
Для получения изолированных, неветвящихся, вертикальных кластеров был применен алгоритм, сочетающий описанные выше положения, и алгоритм с "движущейся" нижней границей, аналогичный описанному в работе [13] алгоритму. Подобный комбинированный алгоритм приводит к формированию более вытянутых и менее ветвящихся кластеров, что происходит за счет генерации начальных координат частиц преимущественно напротив активно растущих ветвей кластера и, следовательно, увеличению скорости их роста. Однако такой алгоритм с движущейся границей также не позволяет решить задачу формирования неветвящихся, изолированных, вертикальных кластеров (см. рисунок 3).
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
°0 20 40 Б0 ВО 100 120
Рисунок 3. Типичный кластер, получаемый в рамках второй модели с движущейся границей для следующих значений параметров: ф0 = 1; а = 1; а = 0.1; в = 1.3e-5; количество точек в кластере N = 350, параметр прилипания п вычислялся с учетом двенадцати ближайших соседей. Фрактальная размерность Df = 1.628.
С целью анализа условий, необходимых для формирования неветвящихся, изолированных, вертикальных кластеров была проделана следующая процедура. Вводилась специальная добавка в вероятность прыжка из данной клетки, модулирующая эту вероятность таким образом, чтобы увеличить вероятность прыжка в вертикальном направлении, то есть определенным образом увеличивалась анизотропия системы. Пусть вычисленная по основному алгоритму вероятность прыгнуть влево pl, вправо pr, вниз pd, вверх pu, то модулированная вероятность вычисляется следующим образом. Влево и вправо
Pi = Pi - kP, Pr = Pr - ty; вниз Pd = Pd - 2kP ; вверх Pu = Pu + 4kP, где kp - модулирующий коэффициент.
Эта процедура применялась в двух вариантах. Первый - вероятность прыжка модулируется независимо от положения частицы, второй - модуляция вероятности
происходит только напротив положения затравок. В рамках второго варианта мы решили задачу получения неветвящихся, изолированных, вертикальных кластеров (см. рисунок 4), причем рост кластера происходит устойчиво, практически без появления ответвлений. В большинстве случаев анизотропия препятствует формированию фрактальных структур [14].
50 45
40 35 30 25 20 15 10 5 0
0 20 40 ВО 80 100 120
Рисунок 4. Типичный кластер, получаемый в рамках третьей модели (второй вариант) с движущейся границей для следующих значений параметров: ф0 = 1; а = 1; а = 0.1; в = 1.3с-5; количество точек в кластере N = 394, параметр прилипания п вычислялся с учетом восьми ближайших соседей. Вероятность модулировалась в "коридоре" толщиной 3 с коэффициентом kp = 0.1.
Отметим, что численное моделирование в рамках данных исследований проводилось на основе шести различных алгоритмов.
Физическая интерпретация.
Исследуемая проблема имеет непосредственное отношение к задаче формирования пор в полупроводниковых кристаллах, например, в ходе анодирования кремния в растворах плавиковой кислоты. Известно, что в этих условиях формируется поровое пространство, содержащее объекты квантовых размеров. Решение поставленной в данной работе задачи связано с ответом на вопрос о причинах резкой анизотропии в процессах порообразования, приводящих к формированию строго вертикальных, неветвящихся пор ("тренчей").
В нашем случае к области физических параметров, соответствующих задаче анодирования кремниевой пластины в режиме порообразования, относятся следующие значения параметров. Толщина кремниевой пластины составляет 500 мкм. Число клеток, соответствующих вертикальному размеру равнялось 50, так что размеры одной
-3 -3
элементарной квадратной клетки соответствуют 10 см х 10 см.
При значениях параметров абсолютной температуры Т = 300К, концентрации
15 -3
легирующей примеси п = 10 см и диэлектрической проницаемости кремния е® =11.8 постоянная экранирования в = 1.3-10-5 см [7].
Параметр а соответствует количеству дырок в элементарной клетке объемом АУ =
3 -9 3 -3 -3 -3
(Ах) = 10 см (10 см х 10 см х 10 см). Как показывают оценки, количество дырок вблизи поверхности в кремнии п- типа за счет изгиба зон много меньше, чем количество неравновесных дырок, рождаемых при подсветке образца. Для типичных потоков в наших экспериментах [15] J = 1019 фотон-см-2 и а < 0.1 (СГСЭ). Прикладываемый потенциал не превышал, как правило, 0 < фг < 120В, фг = фе®.
Обсуждение.
В работе исследованы компьютерные модели, относящиеся к классу моделей управляемого градиентом роста. Анализ результатов компьютерного моделирования показал, что сочетание детерминированной составляющей скорости частицы, блуждающей по квадратной решетке, со стохастической составляющей приводит к формированию широкого спектра кластерных структур. Эти структуры характеризуются широким диапазоном фрактальных размерностей в зависимости от параметров модели.
Как показывают исследования компьютерных моделей, для получения изолированных, неветвящихся, вертикальных кластеров необходим потенциал, имеющий больший градиент, чем тот, который соответствует распределению электрического напряжения в пластине. В формуле (4) при вычислении вероятности перехода "частицы" в соседнее положение было использовано первое слагаемое в разложении потенциала:
ф(г) Ф0) + -г0) +... (7)
дг
Второе слагаемое содержит градиент потенциала и также может давать вклад в результирующую вероятность. В случае достаточно слабо меняющегося потенциала приближение, учитывающее вклад только первого слагаемого в выражении (7), является оправданным. Именно таким потенциалом на больших расстояниях является потенциал (2), рассматриваемый в нашей задаче (см. рисунок 1). При рассмотрении других типов потенциала необходим дополнительный анализ вклада поправок в потенциал следующего порядка.
Потенциалом, заслуживающим специального рассмотрения, является потенциал упругого напряжения в пластине и деформационное поле в дислокациях. Нужно также рассмотреть эффекты, когда химические реакции, сопровождающие порообразование, идут только в местах нарушения однородности кристаллической решетки [16].
В настоящей работе также обнаружено, что треугольные элементы могут образовываться на квадратных решетках при определенных условиях формирования. Подобные эффекты, действительно, наблюдались при анодировании кремния в растворах плавиковой кислоты. Например, в работе [14] продемонстрированы фрактальные структуры аналогичные "салфеткам Серпинского" (Serpinsky gasket).
Проблема "привязки" развивающегося кластера к первоначальной затравке во многом связана с наличием шума, порождаемым самой моделью [14]. Дело в том, что на начальном этапе моделирования алгоритм, содержащий случайные блуждания, порождает шумовые неустойчивости, и дробовой шум существует в масштабе кластера, являясь своего рода начальным условием для последующих стадий. Если какая-то неустойчивая мода начинает расти, ее рост имеет детерминистический характер, хотя зависимость от начальных условий отнюдь не исключается [14].
В заключение отметим следующее, в работе исследованы компьютерные модели, относящиеся к классу моделей управляемого градиентом роста. Различные алгоритмы этого класса моделей позволяют получить широкий набор кластеров, характеризующихся разнообразными структурами, в том числе и фрактальными. Задача формирования неветвящихся, изолированных, вертикальных кластеров была решена посредством алгоритма, соответствующего потенциалу с большим градиентом.
Результаты работы могут быть использованы при анализе эффектов анизотропного травления, приводящего к формированию вертикальных стенок. Подобные эффекты наблюдаются как при анодировании [17], так и при плазмохимическом травлении кремния [18].
ЛИТЕРАТУРА
[1] В.И. Кляцкин, Д. Гурарий, УФН, 1999, т. 169, № 2, с. 171-207.
[2] O. Bisi, S. Ossicini, and L. Pavesi, Surf. Sci. Repts., 2000, v.38, p. 1.
[3] В. В. Поляков, С. В. Кручинский, Письма в ЖТФ, 2001, т. 27, в. 14, с. 42-45.
[4] G.C. John, V.A. Singh, Phys. Reports, 1995, v.263, p. 93-151
[5] Х.Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике, 1990, Москва, Мир, т.2, 399 с.
[6] Н.Н. Миролюбов, М.В. Костенко, М.Л. Левинштейн, Н.Н. Тиходеев, Методы расчета электростатических полей, М., Высшая школа, 1963, 425 с.
[7] А.И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, М., Наука, 1978,615 с.
[8] V. Lehmann, J. Electrochem. Soc., 1993, v. 140, N 10, p. 2836
[9] Э.Ю. Бучин, А.В. Проказников, Микроэлектроника, 1998, т.27, вып. 2, с. 107- 113.
[10] Е. Федер, Фракталы, Москва, Мир, 1991, 254с.
[11] C. Levy-Clement, A. Lagoubi, M. Tomkiewicz, J. Electrochem. Soc., 1994, v. 141, N 4, p. 958-967.
[12] Л. Туркевич, Г. Шер, Фракталы в физике, Москва, Мир, 1988, с.310.
[13] R.L. Smith, S.-F. Chuang, S.D. Collins, J. of Electr. Matherials, 1988, v. 17, N 6, p. 533-541.
[14] Л. Сандер, Фракталы в физике, Москва, Мир, 1988, с.336.
[15] E.Yu. Buchin, A.V. Prokaznikov, A.B. Churilov, Appl. Surf. Science, 1996, v.102, p. 431.
[16] A.V. Prokaznikov, V.B. Svetovoy, Phys. Low-Dim. Structures, 2002, v.9/10, pp.65-69.
[17] K. Grigoras, A.J. Niskanen, S. Franssila, Journ. Micromech and Microengin, 2001, v.11, p. 371-375.
[18] H. Jansen, Journ. Micromech and Microengin, 1995, v.5, p. 115-120.
