CC BY
13
УДК 538.911:539.213
ЗАКОНОМЕРНОСТИ АТОМНОЙ СТРУКТУРНОЙ САМООРГАНИЗАЦИИ МОДЕЛИ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО СТЕКЛА ЖЕЛЕЗА В УСЛОВИЯХ ОДНООСНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Д.Г. Дунаев, А.Т. Косилов, В.В. Ожерельев
В рамках метода молекулярной динамики на основе статистико-геометрического и кластерного анализа выполнено исследование эволюции атомной структуры металлического стекла железа в условиях одноосного сжатия со скоростью 3,3х 108 с-1 при постоянной температуре 300 К. Для изучения эволюции ближнего атомного упорядочения в процессе нагружения проведено сопоставление динамики перестройки разных типов координационных многогранников.
Проанализирована динамика уменьшения числа исходных до нагружения координационных многогранников разных типов по мере накопления деформации. Установлено, что в меньшей степени подвержены перестройке многогранники с более высокой плотностью упаковки атомов: (0-0-12-0), (0-1-10-2), (0-0-12-2), (0-3-6-4), (0-2-8-2) и др. Наиболее устойчивыми являются икосаэдры (0-0-12-0). В то же время общее число многогранников любого типа в процессе деформации остается практически неизменным. Таким образом, перестройка атомной структуры стекла носит самосогласованный характер, при этом сохраняется неизменным количественное соотношение между разными типами сопрягающихся между собой координационных многогранников и обеспечивается воспроизводство икосаэд-рической субструктурной организации системы в целом.
Проведен анализ взаимных переходов между икосаэдрами (0-0-12-0) и остальными координационными многогранниками. Из всех многогранников, в которые переходят икосаэдры, и наоборот, из которых образуются икосаэдры, наибольшая доля приходится на многогранники (0-1-10-2) и (0-2-8-2)
Ключевые слова: металлическое стекло, деформация, структурная самоорганизация, координационный многогранник, многогранник Вороного, икосаэдр
Введение
Особенности организации атомной структуры металлических стекол (МС) лежат в основе их уникальных физических, в том числе, и механических свойств. Анализ закономерностей взаимного расположения атомов, структурной перестройки в процессе пластического формоизменения этих материалов из-за отсутствия трансляционной симметрии существенно затруднен. В связи с этим для изучения атомных процессов пластической деформации аморфных материалов широко применяются методы атомистического компьютерного моделирования. Основные достижения в изучении пластической деформации, локальных сдвиговых превращений, эволюции полос сдвига методами молекулярной динамики (МД) и Монте-Карло подробно отражены в ряде работ [1-5] и недавних обзорах [6, 7].
Анализ результатов изучения пластического течения МС методом молекулярной динамики, как правило, опирается на представления о разделении структуры стекла на политетраэдрические плотно-упакованные области и менее упакованные области с многогранниками Вороного большого объема [6]. Установлено, что локальные пластические сдвиги происходят в рыхлых плохо упакованных областях.
Дунаев Дмитрий Геннадьевич - ВГТУ, соискатель, e-mail: dimadunaev@yandex. га
Косилов Александр Тимофеевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: kosilovat@mail.ru Ожерельев Виктор Вадимович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: ozher@mail.ru
Более детальную картину организации атомной структуры стекла, ее эволюции в процессе деформации получить не удается в связи с отсутствием базового структурного критерия, позволяющего сформулировать как язык описания самой атомной структуры, так и провести ее идентификацию.
В последние годы методами компьютерного моделирования достигнуты успехи в изучении атомной структуры МС. В работах [8-11] на основе анализа многогранников Вороного и кластерного анализа показано, что определяющая роль в формировании структуры одно- и двухкомпонентных МС принадлежит плотноупакованным нанокластерам, образованным взаимопроникающими икосаэдрами. Изучена структурная организация, морфология на-нокластеров, их распределение по размерам. Атомы, которые не принадлежат икосаэдрам, образуют структуру менее плотную, более склонную к перестройке в поле внешних приложенных напряжений.
Дальнейший прогресс в раскрытии закономерностей эволюции атомной структуры в процессе деформации МС может дать подход, основанный на анализе всех типов координационных многогранников (КМ) системы, их сопряжении и взаимных перестройках в процессе роста нагрузки. В настоящей работе методом молекулярной динамики проведен анализ эволюции нанокластерной структуры модели МС железа в процессе одноосной деформации сжатием, установлены закономерности сопряжения и перестройки координационных многогранников в процессе накопления деформации. Показано, что все локальные атомные перестройки в процессе деформации подчинены требованию сохранения ико-саэдрической нанокластерной субструктуры МС.
Методика моделирования
Модель МС железа была получена методом молекулярной динамики путем закалки из расплава. Она содержала 102400 атомов, размещенных в основной ячейке размерами 73 х 73 х 211 А по осям х, у и г соответственно, с периодическими граничными условиями в направлении оси г. Численное интегрировании уравнений движения осуществлялось с временным шагом Д: = 1.5 х 10-15 с по алгоритму Верле в скоростной форме. Взаимодействие между атомами железа рассчитывалось с использованием парного потенциала Пака-Доямы [12].
Для получения модели МС железа была выполнена мгновенная закалка расплава от температуры 2300 К до 1000 К и выдержка при этой температуре в течение 3000 временных шагов, после чего температурное ограничение было снято и в системе на протяжении 80000 временных шагов при постоянной внутренней энергии устанавливалось тепловое равновесие. Затем аналогичным образом температура была снижена до 300 К.
Одноосное сжатие полученной модели МС со скоростью 3,3х108 с-1 осуществлялось циклически, каждый этап включал в себя деформацию модели вдоль оси г на величину 0.0005 и последующую выдержку в течение 1000 Д: с поддержанием постоянной температуры 300 К.
Величина напряжения сжатия рассчитывалась путем усреднения локальных атомных напряжений [13]. Для изучения эволюции атомной структуры МС железа в процессе деформации проводился ста-тистико-геометрический и кластерный анализ с использованием многогранников Вороного.
Результаты и их обсуждение
Деформационная кривая в процессе сжатия модели и последующей разгрузки приведена на рис. 1. Рассчитанная величина эффективного модуля упругости по наклону деформационной кривой на начальной стадии нагружения составила 38 ГПа, при последующей разгрузке - 47 ГПа. Более низкая величина модуля упругости, полученная в процессе нагружения модели, связана со стимулированной внешним напряжениями направленной структурной релаксацией [14]. Для выяснения характера атомных перестроек модели железа в процессе деформации был проведен статико-геометрический анализ на основе построения многогранников Вороного (МВ). Напомним, что в обозначении (я3-я4-я5-я6-...) МВ п означает число граней, имеющих соответственно 3, 4, 5, 6 ... ребер, или для соответствующих КМ п означает число атомов в вершинах, имеющих 3, 4, 5, 6 ... таких же ближайших соседей. Известно [15], что искажения координационных многогранников в структуре МС часто приводят к ошибочной идентификации МВ из-за появления малых по площади дополнительных граней. Эти грани образованы атомами, не имеющими непосредственного контакта с центральным атомом, они лишь частично внедрены
между атомами первой координационной сферы. Их удаление позволяет приблизиться к более адекватной картине распределения КМ по их типам.
2 3
4 е,%
Рис. 1. Зависимость напряжения сжатия модели аморфного железа от величины деформации в процессе нагружения с постоянной скоростью 3,3 х108 с-1 и последующей разгрузки
Распределение граней МВ по их площадям для модели стекла железа показано на рис. 2. Если основной максимум на кривой распределения сформирован атомами, непосредственно контактирующими с центральным атомом многогранника, то за резкий рост числа малых по размеру граней с уменьшением их площади ответственны более удаленные атомы. В работе для верхней границы площади отбрасываемых граней была выбрана величина 0,5 А2, отвечающая минимуму на кривой распределения (пунктирная линия на рис. 2).
2,5 2,0 ч? 1,5
О4 к 1,0
0,5
0,0
0 2 4 6
5,
8 10
, А2
Рис. 2. Распределение граней МВ по их площадям в модели МС железа
На рис. 3 представлены относительные доли основных МВ в исходной до деформации модели с учетом всех граней и после удаления малых по размеру граней. В результате удаления малых по размеру граней существенно возросло число наиболее плотноупакованных многогранников типа (0-1-102), (0-0-12-0), (0-3-6-4), (0-2-8-2) и (0-0-12-2); их общая доля превысила 60% от общего числа МВ.
Деформация, как результат взаимных смещений атомов в локальных центрах МС, сопровождается изменением ближнего порядка. В результате такой перестройки изменяются и типы КМ. Однако уменьшение числа КМ определенного типа в результате их перестройки частично или полностью компенсируется за счет других типов КМ, которые перестроились в процессе деформации в данный тип. Этот процесс носит самосогласованный характер. Для изучения эволюции ближнего атомного упорядочения в процессе нагружения проведено сопоставление динамики перестройки разных типов КМ без учета и с учетом их пополнения.
С^ С^ РП
^ 00 РП сч
00 ^ СЧ РП
«о «о 00 ^ сч гА
20-, 18£ 1б:
§ 14-
и
и 12 и
&10
8-1 о .
8 6« л ч 4-о .
« 2-
Рис. 3. Доли многогранников Вороного (в процентах) наиболее часто встречающихся типов без удаления малых граней (а) и после удаления (б)
Динамика уменьшения числа исходных до нагружения КМ разного типа по мере накопления деформации проиллюстрирована на рис. 4. В исходной модели за 100% принято число КМ данного типа при е = 0 . С ростом деформации число КМ разного типа, в центрах которых оставались те же атомы, что и в исходной модели, уменьшается. Как следует из полученных зависимостей, в меньшей степени подвержены перестройке КМ с более высокой плотностью упаковки атомов: (0-0-12-0), (0-110-2), (0-0-12-2), (0-3-6-4), (0-2-8-2) и др. Наиболее устойчивыми оказались икосаэдры (0-0-12-0) - лишь 56% из них при достижении е = 0,075 перестроились в другие типы КМ. Перестройка остальных типов КМ, как это показано на рис. 4, происходит в
значительно большей степени. Практически полностью обновляются КМ с большими индексами, такие как (0-2-8-5), (0-3-6-5) и др.
0-1-10-2
0-0-12
0-3-6-4
0-2-8-2
0-0-12-2
0-1-10-3
1-2-8-4 0-3-6-3 0-2-8-3 0-1-10-4 0-2-8-5 0-3-6-5
Рис. 4. Изменение доли исходных до деформации КМ разных типов в процессе деформации
С целью установления влияния степени деформации на перераспределение КМ между разными типами были построены зависимости общего числа МВ разного типа от степени деформации. Результаты, приведенные на рис. 5, свидетельствуют о том, что число КМ любого типа в процессе деформации практически остается неизменным. Наблюдается лишь незначительное (~0,5%) уменьшение КМ (0-3-6-4) и увеличение - (0-0-12-0). Перестройка структуры происходит самосогласованно, подчиняясь каким-то внутренним правилам этого процесса, обеспечивающим с ростом деформации практически неизменное количество многогранников разного типа.
0-1-10-2
0-0-12
0-3-6-4
0-2-8-2
0-0-12-2
0-1-10-3
0-2-8-4
0-3-6-3
0-2-8-3
0-1-10-4
0-2-8-5
0-3-6-5
0 1 2 3 4 5 6 7
Рис. 5. Изменение числа основных типов МВ в процессе деформации
Из большого числа вариантов перестроек одних типов КМ в другие в работе проведен анализ взаимных переходов между наиболее плотноупако-ванными икосаэдрами (0-0-12-0) и всеми остальными координационными многогранниками.
8-
е
6-
а
4-
2-
б
0
е
На рис. 6а показаны типы КМ, в которые перестроились икосаэдры на каждом шаге деформации, и их доли от общего числа икосаэдров. График восполнения утраченных икосаэдров за счет других типов приведен на рис. 6б. Общее число икосаэдров, перестроившихся в другие типы КМ на каждом шаге, колеблется в пределах 1800-2700, незначительно увеличиваясь с ростом деформации. Из всех многогранников, в которые переходят икосаэдры, и, наоборот, из которых образуются икосаэдры, наибольшая доля приходится на КМ (0-1-10-2) (и 6,5 %) и (0-2-8-2) (и 5,5 %).
8 6Н и 5^
I
/lJ
а £ 4Н
0
¡5 3Н
1
5 2-| к
II н 0
0-0-12 =>
0-0-12-2
0-1-10-2
0-2-8-2
0-2-8-3
0-2-8-4
0-3-6-4
8-
8 6
б И 4
2-
о
3 4 5 8, %
=> 0-0-12
0-1-10-2
0-2-8-2
0-2-8-3
0-2-8-4
0-3-6-4
0-4-4-6
1-0-9-3
8,
%
Рис. 6. Доля икосаэдров (в % от их общего числа), которые на каждом шаге деформации: а) перестроились в другие типы многогранников, б) образовались из других типов многогранников
Из общего числа атомов системы 64 % расположены в вершинах икосаэдров. КМ этих атомов образуют взаимопроникающие связи с икосаэдрами, при этом примерно треть из них приходится на КМ (0-1-10-2) и (0-2-8-2) (см. рис. 7). Столь высокая концентрация взаимопроникающих с икосаэдрами указанных двух типов многогранников является результатом политетраэдрической упаковки атомов в процессе стеклования и неизбежного при этом процесса сброса накапливаемых несоответствий по мере роста объема икосаэдрических нанокластеров.
0-1-10-2
0-0-12
0-3-6-4
0-2-8-2
0-0-12-2
0-1-10-3
0-2-8-4
0-3-6-3
0-2-8-3
0-1-10-4
0-2-8-5
0-3-6-5
Обще число
соседних КМ
0
1 2
3
6 7
8
Рис ся
4 5
8, %
7. Изменение числа основных типов МВ, находящих-в окружении икосаэдров металлического стекла Fe в процессе деформации
Перестройка атомов, находящихся в вершинах икосаэдров, по указанным схемам (0-0-12-0)^(0-1-10-2) и (0-0-12-0)^(0-2-8-2) показана на рис. 8. Она сводится к взаимному смещению атомов двух смежных треугольных граней икосаэдра, до образования или октаэдра за счет внедрения дополнительного атома в квадратную лунку (рис. 8а), или искаженного полуоктаэдра без внедрения дополнительного атома (рис. 8б). Восстановление числа икосаэдров происходит в других местах нанокластера за счет таких же типов тех же КМ (0-1-10-2) и (0-2-8-2) путем смещения показанных на рис. 8 атомов в противоположные направления. Такая перестройка изменяет морфологию нанокластера, но остается неизменной его икосаэдрическая ориентационная симметрия.
а)
б)
Рис. 8. Схематичное изображение фрагмента структуры атомов, расположенных в вершинах икосаэдра, и их перегруппировка с образованием новых типов КМ; пунктирными стрелками показаны направления смещения атомов; цифрами показано число ближайших соседей, расположенных в вершинах КМ; атом в центре прямоугольника не принадлежал исходному икосаэдру
На рис. 9 показана структурная эволюция одного из икосаэдрических нанокластеров модели в процессе накопления деформации до 1 %. Атомы, находящиеся в центрах икосаэдров, изображены тёмными сферами, а атомы, которые перестроились из МВ (0-0-12) в другие типы или перейдут в МВ (00-12) в процессе деформации, изображены светлыми сферами. Связи между центрами взаимопроникающих икосаэдров показаны жирными сплошными линиями, связи между атомами, которые в исходном кластере (е = 0 %) находились в центрах взаимопроникающих икосаэдров - пунктирными линиями. Тонкими линиями обозначены связи между теми
0
1
2
6
7
0-0-12-0
0-1-10-2
0-0-12-0
0-2-8-2
0
1
2
3
4
5
6
7
атомами, которые в исходной структуре находились в вершинах икосаэдров.
£ = 0 %
е = 0,5 %
£ = 1 %
Рис. 9. Эволюция политетраэдрического нанокластера в процессе деформации
Таким образом, в процессе деформации малые по величине самосогласованные процессы взаимных смещений атомов приводят к изменению типов КМ, морфологии нанокластеров, при этом количество КМ каждого типа остается неизменным. Наблюдаемая закономерность, очевидно, является результатом устойчивой тенденции системы в процессе перестройки структуры к сохранению икосаэдриче-ских локальных центров в объеме стекла, которые включают изолированные икосаэдры и кластеры из взаимнопроникающих икосаэдров.
Выводы
1. В процессе деформации сжатием модели металлического стекла железа самосогласованная перестройка координационных многогранников происходит таким образом, что число исходных до деформации атомов, находящихся в центрах каждого типа многогранника, обновляется более чем на 50%, в то время как общее их число для каждого типа с ростом деформации остается практически неизменным.
2. Изолированные икосаэдры и нанокластеры, образованные взаимопроникающими икосаэдрами, перестраиваются преимущественно в КМ (0-1-10-2) и (0-2-8-2), в основном за счет таких же типов КМ происходит и восстановление общего числа икосаэдров.
3. Сохранение количественного соотношения между разными типами КМ, воспроизводство поли-тетраэдрической нанокластерной структуры и ее ближайшего окружения в процессе деформации МС
железа свидетельствует о высокой степени устойчивости икосаэдрического ориентационного порядка, как доминирующего фактора в организации атомной структуры металлического стекла и ее стабилизации.
Литература
1. Falk M. L. Simulating the mechanical response of amorphous solids using atomistic methods / M. L. Falk, C. E. Maloney // Eur. Phys. J. B.- 2010. - Vol. 75. - P. 405 - 413.
2. Cao A.J. Structural processes that initiate shear localization in metallic glass/ A.J. Cao, Y.Q. Cheng, E. Ma // Acta Materialia. - 2009. - Vol. 57. - No. 17. - P. 5146 - 5155.
3. Shimizu F. Theory of Shear Banding in Metallic Glasses and Molecular Dynamics Calculations / F. Shimizu, S. Ogata, J. Li // Materials Transactions. - 2007. - Vol. 48. - No. 11. - P. 2923 - 2927.
4. Relationship between local geometrical factors and mechanical properties for Cu-Zr amorphous alloys / M. Wakeda, Y. Shibutani, S. Ogata et al.// Intermetallics. - 2007.
- Vol. 15. - No. 2. - P. 139 - 144.
5. Shi Y. Atomic-scale simulations of strain localization in three-dimensional model amorphous solids / Y. Shi, M. L. Falk // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73. - No. 21. - P. 214201 [10 pages].
6. Takeuchi S. Atomistic simulation and modeling of localized shear deformation in metallic glass / S. Takeuchi, K. Edagawa // Progress in Materials Science. - 2011. - Vol. 56. -No. 6. - P. 785 - 816.
7. Egami T. Mechanical Properties of Metallic Glasses / T. Egami, T. Iwashita, W. Dmowski // Metals. - 2013. -Vol. 3. - No. 1. - P. 77 - 113.
8. Евтеев А.В. Структурная модель стеклования чистых металлов / А. В. Евтеев, А. Т. Косилов, Е. В. Левченко // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 76. - № 2. - С. 115 -117.
9. Евтеев А. В. Атомные механизмы стеклования чистого железа / А. В. Евтеев, А. Т. Косилов, Е. В. Левченко // ЖЭТФ - 2004. - Т. 126. - № 3. - С. 600 - 608.
10. Кластерная модель структурной организации аморфного железа / Е. В. Левченко, А. В. Евтеев, С. Ю. Вахмин и др. // ФММ. - 2010. - Т. 9. - № 6. - С. 603 - 607.
11. Молекулярно-динами-ческое изучение процесса стеклования бинарного сплава Ni60Ag40 / А.Ю. Прядильщиков, А.Т. Косилов, А.В. Евтеев и др. // ЖЭТФ. - 2007. -Т. 132. - № 6. - C. 1352 - 1358.
12. Torrens I. M. Interatomic potentials / I. M. Torrens.
- New York: Academic Press, 1972.
13. Egami T. Atomic level stresses / T. Egami // Progress in Materials Science. - 2011. - Vol. 56. - No. 6. -P. 637 - 653.
14. Косилов А. Т. Направленная структурная релаксация и гомогенное течение сверхзакаленных металлических стекол / А. Т. Косилов, В. А. Хоник // Изв. РАН, сер. физ. - 1993. - Т. 57 - С. 192 - 198.
15. Медведев Н. Н. Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических систем / Н. Н. Медведев.- Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, Издательство СО РАН, 2000. - 214 с.
Воронежский государственный технический университет
LAWS OF ATOMIC STRUCTURAL SELF-ORGANIZATION OF THE IRON METALLIC GLASS MODEL UNDER CONDITIONS OF UNIAXIAL LOADING
D.G. Dunaev1, A.T. Kosilov2, V.V. Ozherelyev3
*Graduete student, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation e-mail: dimadunaev@yandex.ru 2Full Doctor, Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation
e-mail: kosilovat@mail.ru 3PhD, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federatio
e-mail: ozher@mail.ru
The study of evolution of metallic glass atomic structure under uniaxial pressure at the speed of 3,3 x10s c"1 and constant temperature of 300K is carried out in the frame of the molecular dynamics method on the basis of statistical-geometry and cluster analysis. The comparison of transformational dynamics of different types of coordination polyhedrons is carried out to examine the evolution of near atomic ordering during loading.
The dynamics of the decrease in the number of the source before loading coordination polyhedra of different types as the deformation is accumulated is analyzed. It is established that polyhedrons with a higher atomic packing density are less susceptible to rearrangement: (0-0-12-0), (0-1-10-2), (0-0-12-2), (0 -3-6-4), (0-2-8-2), etc. The most stable are icosahedra (0-0-120). At the same time, the total number of polyhedra of any type during deformation remains practically unchanged. Thus, the restructuring of the atomic structure of glass is self-consistent, while the quantitative ratio between different types of interfacing coordinating polyhedra remains unchanged, and the reproduction of the icosahedral sub-structural organization of the system as a whole is ensured.
The analysis of mutual transitions between icosahedra (0-0-12-0) and other coordination polyhedrons is carried out. The largest part of all the polyhedra into which the icosahedra transform, and vice versa, from which icosahedra form, is polyhedra (0-1-10-2) and (0-2-8-2)
Key words: metallic glass, deformation, structural self-organization, coordination polyhedron, Voronoi polyhedron, ico-
sahedron
References
1. Falk M. L., Maloney C. E., "Simulating the mechanical response of amorphous solids using atomistic methods ", Eur. Phys. J. B 75 (2010): 405 - 413.
2. Cao A.J., Cheng Y.Q., Ma E., "Structural processes that initiate shear localization in metallic glass", Acta Materialia 57 #17 (2009: 5146 - 5155.
3. Shimizu F., Ogata S., Li J., "Theory of Shear Banding in Metallic Glasses and Molecular Dynamics Calculations", Materials Transactions 48 (2007): 2923 - 2927.
4. Wakeda M., Shibutani Y., Ogata S., Park J., "Relationship between local geometrical factors and mechanical properties for Cu-Zr amorphous alloys", Intermetallics 15 #2 (2007): 139 - 144.
5. Shi Y., Falk M. L., "Atomic-scale simulations of strain localization in three-dimensional model amorphous solids", Phys. Rev. B. 73 #21 (2006): 214201 [10 pages].
6. Takeuchi S., Edagawa K., "Atomistic simulation and modeling of localized shear deformation in metallic glass" Progress in Materials Science 56 #6 (2011): 785 - 816.
7. Egami T., Iwashita T., Dmowski W., "MechanicalProperties of Metallic Glasses", Metals 3 #1 (2013): 77 - 113.
8. Evteev A. V., Kosilov A. T., Levchenko E. V., "Structural model for vitrification of pure metals" ("Strukturnaya model' steklovaniya chistyh metallov"), Journal of theoretical and experimental physics (Pis'ma v Zhurnal ehksperimental'noj i teoretich-eskoj fiziki) 76 #2 (2002): 115 - 117.
9. Evteev A. V., Kosilov A. T., Levchenko E. V., "Atomic mechanisms of pure iron vitrification" ("Atomnye mekhanizmy steklovaniya chistogo zheleza"), Journal of theoretical and experimental physics (Zhurnal ehksperimental'noj i teoreticheskoj fiziki) 126 #3 (2004): 600 - 608.
10. Levchenko E. V., Evteev A. V., Vakhmin S. Yu., Kosilov A. T., Pryadilshchikov A. Yu., "Cluster model of structural organization of amorphous iron" ("Klasternaya model' strukturnoj organizacii amorfnogo zheleza"), Physical metallurgy (Fizika metallov i metallovedenie) 9 #6 (2010): 603 - 607.
11. Pryadilshchikov A. Yu., Kosilov A. T., Evteev A. V., Levchenko E. V., "Molecular-dynamics study of the Ni60Ag40 binary alloy glass transition" ("Molekulyarno-dinamicheskoe izuchenie processa steklovaniya binarnogo splava Ni60Ag40 "), Journal of theoretical and experimental physics (Zhurnal ehksperimental'noj i teoreticheskoj fiziki) 136 #6 (2007): 1352 - 1358.
12. Torrens I. M. "Interatomicpotentials", New York: Academic Press (1972)
13. Egami T., "Atomic level stresses", Progress in Materials Science 56 #6 (2011): 637 - 653.
14. Kosilov A. T., Khonik V. A., "Directional structural relaxation and homogeneous flow of overhardened metallic glasses" ("Napravlennaya strukturnaya relaksaciya i gomogennoe techenie sverhzakalennyh metallicheskih stekol"), News of Russian Academy of Science (Izvestiya rossijskoj akademii nauk, seriya fizicheskaya) 57 (1993): 192 - 198.
15. Medvedev N. N., "Voronoi-Delaunay method in studying the structure of non-crystalline systems" ("Metod Voronogo-Delone v issledovanii struktury nekristallicheskih system "), Scientific Publishing Center of United University of Geology, Geophysics and Minerals of Siberian Division of Russian Academy of Science (2000): 214
