CC BY
32
SCIENCE TIME
I
ЗАКОН ГУКА И МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Черных Олег Львович, ООО НПФ "ТеплоЭнергоПром г. Пермъ
E-mail: chernyh@tepgaz.ru
Аннотация. На основе накопленного за столетия фактического материала поставлена под сомнение фундаментальность закона Гука: какова сила - таково и удлинение. При упругих деформациях большинство твердых тел не обнаруживают ни пропорциональности, ни линейности величины деформации приложенной силе.
Ключевые слова: деформация, модуль Юнга, упругие свойства твердого
тела.
* Статья публикуется в целях возникновения дискуссии в научном обществе по поставленному в работе вопросу.
1. ПОНЯТИЯ ЛИНЕИНОСТИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
К линейным уравнениям или функциям относятся те, которые можно представить в виде
Y = тХ + Ь
(1)
К пропорциональным уравнениям относятся те, которые можно представить в
виде
Y = тХ
(2)
1 SCIENCE TIME 1
Мы допускаем, что коэффициент т может принимать любое значение без ограничения, и требуем, чтобы показатели при X и У были равны единице. Следовательно, пропорциональными функциями являются линейные функции, проходящие через начало координат. Заметим, что пропорциональные уравнения относятся к линейным, как линейные к нелинейным, т.е. как частный случай к более общему случаю.
Концепции пропорциональности эффективны только при анализе наиболее тривиальных пропорциональных процессов и совершенно не эффективны при анализе линейных и нелинейных процессов, с которыми мы часто сталкиваемся в инженерной практике.
Пропорционализация - это аппроксимация функции пропорциональной функцией вида
Г = т* = (|)х, (3)
где - координаты точки, через которую проходит функция У[Х].
Следовательно, если мы аппроксимируем функцию У[Х} с помощью метода пропорционализации, то достаточно знать координаты одной только точки этой функции, чтобы полностью описать аппроксимирующую функцию и все ее производные. Разумеется, аппроксимирующая функция и ее производные могут совершенно отличаться от функции У[Х} и ее производных, но это и есть цена, которую приходится платить за такое «упрощение».
Линеаризация - это аппроксимация функции У[Х} линейной вида
У = У^Х + (У1-У^Х1), (4)
где Уг - производная функции У[Х} в точке (У1,Х1).
Следовательно, чтобы использовать метод линеаризации, необходимо знать координаты одной точки функции и первую производную функции в этой точке. Линеаризация позволяет аппроксимировать функцию У[Х} линейной функцией, имеющей с этой функцией общую точку (У1,Х1) и, кроме того, общую производную.
Модуль упругости возможно применять в области упругой деформации не потому, что он является коэффициентом о/е, а потому, что в этой области должно выполняться условие
Е = &о/&е (5а)
1 SCIENCE TIME 1
0-(£ = 0) = 0 (5б)
Не традиционной формулой «закона» Гука
а = Е • £, (6),
где Е - модуль упругости;
о - напряжения в твердом теле, вызываемые внешней силой F; s - относительная деформация твердого тела, обусловлена возможность применения модуля Юнга Е в области упругой деформации, а соотношениями (5). «Закон» Гука в области упругой деформации описывается математически формулой (6) лишь в том случае, если известно, что Е не зависит от £. Выполняется ли это условие и соотношения (5) для реальных твердых тел? Попробуем разобраться в этом вопросе на базе научных знаний начала XXI века.
2. «ЗАКОН» ГУКА. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
При рассмотрении теоретических моделей твёрдого тела в области упругой деформации в сопротивлении материалов и теории упругости приняты следующие допущения:
- гипотеза сплошности среды;
- гипотеза однородности и изотропности твёрдого тела;
- гипотеза идеально упругого твёрдого тела;
- твёрдое тело обладает свойствами, не зависящими от объёма;
- до приложения к твердому телу внешних воздействий, оно является ненапряженным.
Рассмотрим твёрдое тело, имеющее классическую структуру кристаллической решетки. Используем известное выражение для энергии связи кристалла. Энергия связи - это энергия, которую надо сообщить кристаллу, для того чтобы разложить его на отдельные ионы, находящиеся далеко друг от друга. Очевидно, что эта энергия связана с разностью потенциальных энергий состояния, когда ионы находятся в их равновесных положениях, и состояния, когда они расходятся, удаляясь друг от друга, на бесконечность. Действительно, она представляет собой что-то вроде произведения полного числа ионов N, на минимальное значение потенциальной энергии Еп(а), где а - равновесное расстояние между ионами в кристалле. Для потенциальной энергии взаимодействия данного иона со всеми другими ионами [1]:
„ f а-А р-В ( л
| SCIENCE TIME Щ
где r - расстояние между ближайшими ионами-соседями;
- постоянные, характерные для конкретно исследуемого материала; А, В - постоянные; п > т.
Если мы сложим все постепенно уменьшающиеся вклады в энергию взаимодействия от всё более далёких соседей, то увидим, что в сумме результат не очень сильно отличается от энергии взаимодействия только с одним соседним ионом.
Дифференцируя выражение
— 1г-а = 0 (7)
dr ir~a
Находим
ВВ=-аАап~т (8)
п
подставив это значение в уравнение (7), получим
Это и есть энергия взаимодействия данного иона со всеми другими ионами. Минимальное значение этой энергии равно
Еп(а) = -а^(1-^) (10)
энергия связи и на один моль будет равна
и = -Ы0Еп(а),
где Ы0 - число Авогадро.
В случае одновалентного ионного кристалла, получаем
^"Х*^1-^ (11)
где а - называется постоянной Маделунга;
е = 1,602 • 10~19 Кл - элементарный электрический заряд; £0 = 8,85 • 10~12 Кл/В • м - электрическая постоянная.
| SCIENCE TIME Щ
При воздействии на образец внешней растягивающей нагрузки, расстояния между соседними ионами увеличиваются, между ними возникает сила притяжения, потенциальная энергия возрастает. Для того, чтобы вся цепочка ионов находилась в равновесии, внешние растягивающие силы должны уравновешивать эти силы притяжения между ионами. Поэтому прежде всего нам надо сосчитать силу с помощью выражения (9) для потенциальной энергии иона в кристалле.
Сила получается дифференцированием этого выражения для потенциальной энергии:
а
F(r) = ~&= -атА(~^ -
е2
В частном случае одновалентного кристалла А = ,т = 1 и
/ „2 \ 1 пп-т
р(г) = -а{т;гУ— —) (12)
Под действием растягивающих твёрдое тело сил расстояние между двумя соседними ионами в кристалле изменяется от г = а до г = а + х.
В выражении для силы (12) произведём замену переменных
г = а + х = а(1 + е),
где £ = х/а - относительная деформация. Это не только микроскопическая деформация данного звена цепочки ионов, но также и макроскопическая деформация всего образца, т.к. если мы увеличиваем расстояния между двумя соседними ионами по всей цепочке на 1%, то и длина всей цепочки также увеличивается на 1%. Выполняя указанную подстановку, мы получаем силу как функцию деформации в виде
^-^[v + ^-v + t)—1 (13)
Мы видим, что эта сила не является линейной функцией деформации, так что «закон» Гука мы не получаем.
Чтобы разрешить этот парадокс и привести выражение (13) к традиционной форме, т.е. «подогнать» к «закону» Гука, специалисты поступают очень просто. Утверждая, что «Закон» Гука справедлив только для малых деформаций разлагают выражение для F в ряд по степеням £ (ряд Тейлора) и удерживают в этом разложении только члены низшего порядка [1]:
I
SCIENCE TIME
I
(14)
Разделив левую и правую части уравнения (13) на величину площади сечения образца, получаем зависимость напряжения от деформации. Не настаивая на утверждении, что зависимость о от £ должна строго подчиняться полученной формуле, тем не менее, сделаем ряд качественных выводов из полученного результата. В области упругой деформации зависимость напряжения от деформации является не только не пропорциональной, но и не обнаруживает даже признаков линейности. При целочисленных значениях п каждое твердое тело характеризуется набором дискретных значений Е.
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Такие открытия второй половины ХХ века, как сверхупругость нитинола, «металлические усы», показали, что упругие деформации даже металлов могут достигать 10-15%. Поэтому, использовать допущения, принятые при получении формулы (14), нет оснований.
В 1849г. Британская Королевская комиссия по железу рекомендовала инженерам впредь заменить пропорциональный закон упругости Гука для железа при растяжении, сжатии и изгибе параболической зависимостью. В дальнейшем было предложено различными авторами более десятка формул для аппроксимации функции отклика о(е) [2, 3]. При этом, большая часть предложенных формул основывалась на многочисленных экспериментальных исследованиях различных твердых материалов.
Наиболее полный анализ, проведенных за 300 летнюю историю экспериментальных исследований упругой деформации твердых тел, выполнен в монографии Дж. Ф. Белла [2, 3]. Отметим здесь лишь основные выводы, полученные Дж. Ф. Беллом и его собственные предложения, основанные на собственных многолетних исследованиях в рассматриваемой области.
Эксперименты убедительно продемонстрировали: для каждого достаточно тщательно исследованного твёрдого тела деформация, возникающая от воздействия малого по значению напряжения, не является его линейной функцией. Такое отсутствие линейности могло быть отнесено за счет ошибок эксперимента и обычных дефектов отдельных образцов. Могло считаться неудивительным обнаружение отклонений от прямой линии, но удивительно и обладает фундаментальным физическим значением обнаружение в совершенно независимых отдельных экспериментах, выполненных с 1811 г., до настоящего времени, одной и той же, в промежутках забываемой и вновь переоткрываемой
| SCIENCE TIME Щ
нелинейной функции отклика при изучении одного вслед за другим многих твердых тел, включая все металлы [2, 3].
Дж. Ф. Беллом предложена зависимость аппроксимирующая функцию отклика, которая в общем виде может быть представлена
° = ПТ/Т ,(£-01/2}, (15)
' 1т
где Т/т - гомологическая температура;
' Тт
Т - температура окружающей среды;
Тт - температура плавления испытываемого образца;
£в - начальная деформация (остаточная) образца.
Было показано [2, 3], что материал, имеющий технологическое применение находится не в единственном, а в одном из возможных устойчивых упругих состояниях.
Упругие свойства твёрдого тела в действительности плохо укладываются в ту простую схему, которую даёт теория упругости и «закон» Гука. Многочисленные аномалии, каковыми являются: упругое последствие, утомление и восстановление, упругий гистерезис, остаточная деформация и т.д., так запутывают явления происходящие в твёрдых телах, что нам остаётся альтернатива - либо «подгонять» и «притягивать» имеющиеся экспериментальные факты к уже имеющемуся и общепринятому «закону», либо признать, что в этой области не существует никаких общих законов и каждый индивидуум должен быть исследован и описан отдельно.
Несмотря на весьма очевидную истину, что широкое обобщение в физической теории должно сочетаться в конце концов со столь же широким обобщением известных физических фактов, по отношению к «закону» Гука специалисты продолжают делать и добавлять оговорки на область его практического применения. Эти оговорки касаются: анизотропии твёрдых тел, способу и скорости нагружения образца, наличия остаточных деформаций образца, наличия межзерновых поверхностей в металлах и рудах, термической и механической предысторий образца, которые для многих кристаллических твёрдых тел, даже подвергнутых отжигу, усиливают некоторые аспекты нелинейности при малых деформациях твёрдых тел.
Для расчета прочности горных пород имеются таблицы, которые показывают зависимость модуля Юнга от минералогического состава породы. Однако, какую-то закономерность здесь проследить сложно. Обратим внимание на ряд факторов, от которых зависят упругие свойства пород. Породы одинакового минералогического состава, но разной степени уплотнения имеют разную упругость (чем больше уплотнение, тем больше упругость). Так как уплотнение горных пород растет с глубиной их залегания, модуль упругости одноименных
1 SCIENCE TIME 1
пород также увеличивается с глубиной. Как правило, модуль упругости уменьшается с увеличением пористости пород. Он также уменьшается с увеличением увлажненности пород.
На упругость горных пород влияют такие факторы, как: неоднородность; трещиноватость; минеральный состав; структура и текстура породы; глубина залегания; влажность и другие факторы.
Эксперименты показывают, что для большинства твёрдых тел, имеющих технологическое применение, обнаруживается наличие остаточной деформации, т.е. £в. Этот экспериментальный факт свидетельствует о том, что для ряда исследованных материалов график функции и = &(е) даже не проходит через начало координат (не выполняется условие (5б)). Поэтому, мы не можем аппроксимировать эту функцию пропорциональной зависимостью. Исходя из вышесказанного, не следует признавать законом природы то физическое явление, которое проявляться может лишь в отдельных, ограниченных, весьма специфических условиях.
4. МОДУЛЬ ЮНГА
Известно, что сам Томас Юнг не вводил такого физического понятия как модуль упругости, в современном смысле этого параметра твёрдого тела. Им были введены вес модуля ш = Е • Б, где 5 - площадь поперечного сечения образца и высота модуля к = Е/у, где у - удельный вес тела [2, 3]. Однако, нас интересует не история этого понятия, а физический смысл модуля упругости хотя бы при одноосном растяжении, сжатии образца. Численно модуль Юнга, очевидно из (6), равен напряжению, которое вызывает относительную упругую деформацию, равную 1 или 100%. Но £=100% соответствует удвоению исходной длины образца. Такие большие относительные упругие деформации выдерживает резина, для большинства же других твердых материалов, как уже нами отмечалось, этот предел не превышает 15%. Если следовать логике «закона» Гука, то Е - это напряжение, которое вызывало бы удвоение длины стержня, если бы можно было получить такую огромную упругую деформацию, т.е. строгого физического смысла рассматриваемый параметр на практике не имеет.
На протяжении всей истории определения модулей по продольному деформированию металлических образцов, как динамическому, так и квазистатистическому, значения, полученные при сжатии, оказались несколько выше, чем при растяжении [2, 3]. Известно также из экспериментальной практики, что не во всей области упругой деформации Е является независимой от £ величиной.
Открытие металлических стекол показало, что модули упругости при аморфизации снижаются в среднем на 30% (силы межатомной связи уменьшаются).
1 SCIENCE TIME 1
В сопротивлении материалов принято утверждать, что модуль Юнга является характеристикой конкретного материала и не зависит от размеров и формы образца. Для различных материалов по результатам экспериментальных исследований составлены соответствующие таблицы, данными которых и пользуются сопроматчики при инженерных расчетах. Один и тот же материал, указанный в таких таблицах, может иметь как минимум три различных модуля упругости, например, металл, полученный по традиционной технологии, по технологии получения металлических стекол или металлических усов. На величину Е для одного и того же материала влияет температура окружающей среды, наличие магнитной и электрической обработки, термическая и механическая предыстория образца и т.д. Т.е. получая конкретное значение Е для конкретного образца, необходимо приложить к нему несколько листов с описанием условий и методик получения этой цифры.
На практике модуль Юнга определяют как при квазистатистических, так и при динамических испытаниях образцов, например, ультразвуковым методом. Отметим только экспериментально полученный результат несовпадения графиков о(е) для квазистатистичекой и динамической нагрузок [2, 3].
Беллом предложено определять модуль упругости из следующей эмпирической формулы [2, 3]:
Е = 2,06(2/3)@МЭА • (1 + у)(1 - —), (16)
где 5 = 1,2,3,..., Р = 0 или 1 (определенная величина для данного материала);
А = 2,89 • 104 кгс/мм2 является универсальной константой;
V - коэффициент Пуассона.
По Беллу модуль Е имеет квантованную последовательность стабильных значений упругих постоянных.
5. ЧТО ВЗАМЕН?
Если признавать версию наличия какого-то закона в области малых упругих деформаций, то следует констатировать, что наиболее убедительной его формой на сегодня служит аппроксимация вида (15). Однако дать гарантии, что вскоре не появится еще более совершенная форма для функции отклика, невозможно.
Второй вариант связан также с уже имеющейся суммой знаний о рассматриваемом явлении. Распространение упругих волн в твердых телах может быть представлено в виде
1 SCIENCE TIME 1
W = (17)
где Ср (е) - скорость распространения упругих волн; р - плотность материала.
Тогда напряжение будет определяться из
^ = /0£рСр2(£)^£ (18)
Частный вид определяющего соотношения напряжение-деформация может быть найден только опытным путем.
Е.Ф. Адиутори утверждает, что и «закон» Гука и модуль Юнга в XXI веке будут отвергнуты, а искомая аппроксимация будет определяться простейшим соотношением [4]
* = Ж} (19)
Таким образом, становится понятно, что подлинную теорию такого явления как упругая деформация твёрдых тел, еще предстоит детально и основательно разработать.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В 2019 году исполнилось 212 лет, как Томас Юнг опубликовал свою работу по исследованию закономерностей малых деформаций нагруженных твердых тел, а в 2010 году исполнилось 350 лет как Роберт Гук опубликовал свою формулу: какова сила - таково и удлинение.
Тот факт, что при достаточно малых деформациях была обнаружена пропорциональная зависимость между ними и напряжениями в металлах и других материалах, выразившаяся в конце концов в том, что теперь принято называть «законом» Гука, дал мощный инструмент для экспериментального исследования природы деформируемых сплошных тел. Вероятно, если бы в XVII веке для твердых тел наблюдались исключительно нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями, то большинство достижений в развитии техники, имевших место за прошедшие 350 лет, задержалось бы на сотню лет.
Совершенно очевидно, что появись такой «закон» в XXI веке, который не подтверждается ни теоретическими, ни экспериментальными исследованиями, у автора «закона» были бы огромные проблемы даже с элементарной публикацией его в научной литературе.
Сыграв свою положительную, прогрессивную роль, «закон» Гука должен быть отвергнут, так как многочисленные накопленные наукой знания не
1 SCIENCE TIME 1
подтвердили его существования как фундаментального закона природы. Использовать его в XXI веке нецелесообразно еще и потому, что на базе устаревших, неверных знаний, невозможно сделать новые фундаментальные открытия в механике твердого тела.
Литература:
1. Кристи Р., Питти А. Строение вещества: введение в современную физику. Пер. с англ. / Под ред. Ю.М. Широкова. - М.: Наука, 1969. - 596 с.
2. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. В 2-х частях. Часть 1. Малые деформации: Пр. с англ. / Под ред. А.П. Филина. -М.: Наука, 1984. - 600 с.
3. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. В 2-х частях. Часть 2. Конечные деформации. - М.: Наука, 1984. - 432 с.
4. Адиутори Е.Ф. Новые методы в теплопередаче. Пер. с англ. / Под ред. А.И. Леонтьева. - М.: Мир, 1977. - 230 с.
