Задание метрики в задачах классификации экономических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.012.102

ЗАДАНИЕ МЕТРИКИ В ЗАДАЧАХ КЛАССИФИКАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ

А. А. Федоров, М. А. Усов

DEFINING A METRIC CLASSIFICATION PROBLEM OF ECONOMIC ENTITIES

A.A. Fedorov, M.A. Usov

Аннотация: Рассматривается вопрос задания меры близости при классификации объектов различной природы. Рекомендуется для определения степени близости объектов вместо коэффициентов сходства Рао, Хаммана, Дейка, Танимото, Жаккарда, Сёренса использовать на их основе меры близости. Также рассматривается зависимость меры близости от особенностей классифицируемых объектов. Специфика объектов такова, что нет двух одинаковых, и ни один объект не является частью другого. Дается математически корректное представление меры близости и представляется алгоритм решения. Эти метрики отражают естественные соотношения между сравниваемыми изделиями.

Ключевые слова: меры близости; исследования; классификация; множество элементов; функции; формирование программы; структура отношений.

Abstract: The question of job classification in the proximity measure objects of various nature. It is recommended to determine the degree of proximity of objects instead of similarity coefficients Rao, Hammana, Dyck, Tanimoto, Jaccard, Sorensen used on the basis of their proximity measures. We also consider the dependence of action close to the characteristics of classified objects. The specifics are such that no two are alike, and no object is part of another. We give a mathematically correct representation of proximity measures and submitted an algorithm for solving. These metrics reflect the natural correlation between the compared products.

Keywords: measure ofproximity; research; classification; a plurality of elements; function; the formation program; structure of relations.

Целью исследования является разработка меры близости для объектов, заданных числовым вектором. Классификации объектов различной природы, как правило, выполняется с помощью ЭВМ, что требует наличия четкого и достаточно простого алгоритма. В научных и прикладных сферах при классификации объектов или измерений используют коэффициенты сходства (подобия) различных исследователей Рао, Хаммана, Дейка, Танимото, Жаккарда, Сёренса в разных научных дисциплинах [1,4]. Оперировать с коэффициентами сходства несложно, но в алгоритмическом плане эффективней применять меру близости [3,4, 7].

Постановка задачи

Для решения конкретных задач классификации, чтобы определить, являются ли два объекта близкими между собой, необходимо дать количественное определение меры близости. Это достигается введением функции, измеряющей близость на множестве рассматриваемых объектов или измерений. Понятие близости является одним из основных в таких задачах и поэтому требует не интуитивного представления, а математически корректного, удовлетворяющее аксиоматике Фреше (положительности, симметрии, правило треугольника).

Выбор меры близости классифицируемых объектов

Благодаря разделению труда и конвейеру удавалось за счет количества выпускаемых изделий сокращать затраты и снижать цены на продукцию вследствие улучшения

организации индустриального производства. Но с маркетинговых позиций для удовлетворения большего количества потребителей, предприятие должно выпускать как можно большее количество типоразмеров и модификаций изделий, так возникло многовариантное производство. Ориентация на рынок означает, что предприятие пытается завоевать потребителя, поставляя каждому индивидууму подходящий для него продукт. Такое увеличение разнообразия ведет к росту издержек производства на единицу изделия, поэтому возникает задача снижения издержек многовариантного производства. Снижение издержек возможно на этапах планирования (наборе производственных программ и при их разделении их на отдельные плановые периоды) [3].

В некоторых случаях переход от массового производства к производству по индивидуальным заказам возможен потому, что из одних и тех же деталей и узлов можно собрать большое количество изделий, удовлетворяющих большой спектр потребительских пожеланий. Это характерно, например, при сборке персональных компьютеров (ПК). Такая же ситуация характерна и для предприятий электромашиностроения и приборостроения, мебельной и других производств, где полной тождественности двух изделий различных модификаций по всем конструктивно - технологическим параметрам, в принципе, быть не может.

Многовариантное производство характерно тем, что комплексы работ по отдельным изделиям имеют как некоторое сходство, так и индивидуальные различия [6].

Выбор меры близости в значительной степени зависит от особенностей классифицируемых объектов. Специфика объектов такова, что нет двух одинаковых, и ни один объект не является частью другого. Так, для рассматриваемого в [2] многовариантного производства множества элементов X = }, характеризующихся структурой отношений:

X, пХ1 *ф,Хг * Х},|Х| * |Х;|,г * ], (1)

Х = У1к }, е {0,1}, г, ] = 1Я к = 1т,

в качестве меры близости использовалось выражение на основе коэффициента подобия Рао:

Х. п Х

(2)

ё1 = 1 -

Х и х

где XI - множество деталей и технологических процессов, необходимых для изготовления 1 -го изделия в многовариантном производстве.

С точки зрения практических приложений для рассматриваемого выше множества элементов X, признаки которых являются двоичными переменными, могут оказаться полезными следующие метрики:

¿2 = 1 -

X; п X

IX; +

(3)

¿3 = 1 -

2 X; п X;

1x1 + X

(4)

http://vestnik-nauki.ru/

С точки зрения практических приложений для рассматриваемого выше множества элементов X, можно использовать меру близости на основе коэффициента подобия Хамманна:

= 1 -

х. п X , . 3 - х. и X. \ х. п X. . ] 1 3

х. и х 1 .1

(5)

на основе коэффициента подобия Дейка:

(Д =1

2 х. п х 1 .1

2 х. и х 1 .1 + х. и х 1 \ х. п х 1 . 3 1 У

(6)

на основе коэффициента подобия Танимото:

(т = 1 -

х,. п X , . 3

х, + - X, и X,- \ X, п X,- 1 ] 1 3

(7)

на основе коэффициента подобия Жаккарда:

1 -

xi п Xj

xi и Xj \ xi п Xj

(8)

на основе коэффициента сходства Сёренса:

2

1 -

xi п Xj

xi и xj

(9)

Исследование выполнимости мер близости в аксиоматике Фреше

Чтобы выражения (2)-(9) использовались в качестве меры близости, необходимо проверить выполнение аксиом Фреше. Так как для любой пары XIX] справедливо (1), то очевидна положительность и симметрия:

0 * * 1=

Необходимо проверить справедливость аксиомы треугольника:

1 -

X,. п X

. 1

X, и X

. 1

* 1 -

Х1 п X,

X, и X

. 1

+1 -

X п Xi

X, и ^

(10)

Для проверки выполнимости (10) воспользуемся теоремой о необходимых условиях экстремума функции, заданной в виде неравенства [5] и рисунком:

http://vestnik-nauki.ru/

Рисунок - Необходимые условия экстремума функции

Обозначим:

у _ ац + ацк + а1к + аук а]к + аук

X - ак

X - а;

X - а;

(11)

Составим функцию Лагранжа:

F _-г

{ ач + агк + % + агк + а к + агк ^

X - а,

к

X - а,

]

X - а..

я(£ ъаъ - х)-£ ъЯъаъ,е _{.'1k, 1 гк> 1 } (12)

Где Я,Я0,^ - множители Лагранжа, согласно [5] не все равны нулю, при условии, что

£ ъаъ-Х _ ^ а-ъ > 0.

(13)

После составления функции Лагранжа мы определили, что она имеет безусловный максимум, равный единице. Исходя из этого можно заключить, что выполняется неравенство (10), следовательно, множество X., г _ 1, п, с определенными выше расстояниями ёу образует

метрическое пространство. Подробней это доказательство приведено в [7]. Практическое применение

В статье рассмотрен вопрос использования мер близости в задачах распределения производственных программ многовариантного производства по плановым периодам различной длительности. Для максимальной специализации многовариантного производства в отдельные плановые периоды предлагается в качестве критерия минимизировать количество детальных и технологических характеристик(14):

к ^ (14)

£ £ 4 ^ шт

к г,у_1,п

г * 1

В качестве ограничений могут быть соответствие производственным возможностям трудоемкости программы в к-периоде, соблюдение договорных сроков поставки изделий потребителям и т. п.

Этот критерий (8) можно использовать и при формировании производственной программы предприятия на определенный период (год, квартал).

Применение, концентрация, изготовление конструктивно - однородных изделий в отдельныех планах периода благоприятно влияет на основные экономические показатели работы производственного подразделения, т.к. однородные программы выполняются с большей производительностью. При этом сокращается трудоемкость и сложность работы операционных менеджеров за счет уменьшения количества планово-учетных единиц в каждом периоде.

Такая постановка задач формирования производственной программы и ее распределение по плановым периодам опровергает ошибочное мнение, высказанное авторами в [8], что если длительность цикла изготовления изделия намного меньше планового периода, то распределение производственной программы является задачей объемного планирования и при этом нет необходимости учитывать конструктивно-технологические особенности изделий.

Для общего случая, когдаgip е {0,1,2,....,к}, (при работе с векторами, координатами

которых являются произвольные вещественные числа) в качестве меры для группирования конструктивно - однородных изделий в [7] используем следующее выражение:

£

ар

Ыу

= 1 -

Р=1 _

-IX.

(11)

XI+X

р I ° если gipgJp = 0 где аУ = 1 п

1 gip + g, если glpgJp ф 0

Выводы

В статье предложены новые меры близости, отражающие естественные соотношения между сравниваемыми изделиями. Они характеризуются простой и ясной геометрической интерпретацией, а использование их обеспечивает исключительно четкое разделение. Эти метрики прошли апробацию в задачах планирования приборостроительного производства. Приведенные метрики могут быть использованы при анализе и синтезе структур сложных систем различной природы (технических, экономических, социологических и др.).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Боннер Р.Е. Некоторые методы классификации // Автоматический анализ сложных изображений. М.: Мир, 1969. 273 с.

2. Салыга В. И., Федоров А.А. Модель текущей специализации в задаче распределения квартальной программы // Электротехническая промышленность, 1977. Вып. 8 (454). С. 23-25.

3. Федоров А. А., Федоров М. А. Об одной мере близости экономических объектов, описываемых числовым вектором // Вестник ХГПИ, 1980. Вып. 5. С. 61-65

4. Федоров А.А. Об одной мере близости объектов в признаковом пространстве // АСУ. Харьков: ХАИ, 1979. Вып. 2. С. 125-127.

5. Казанцев В.С. Задачи классификации и их программное обеспечение. М.: Наука, 1990. 136 с.

6. Гирсанов И. В. Лекции по теории экстремальных задач. - М.: МГУ, 1972. 122 с.

7. Федоров А.А., Лопухин Ю.В., Скобликов А.Ю. Задание метрики в задачах классификации объектов различной природы // АСУ и приборы автоматики: всеукр. межвед. науч.-техн. сб. Харьков: Изд-во ХНУРЭ, 2010. Вып. 151. С. 96-100.

8 Гаибова М.А. Многокритериальная оптимизация инвестиционных проектов развития промышленных предприятий. Самара: Изд-во СамГУ, 2004. 137с.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Федоров Андрей Алексеевич Национальный технический институт «Харьковский политехнический университет», г. Харьков, Украина, канд. техн. наук, доцент кафедры организации производства и управления персоналом НТУ «ХПИ». E-mail: ekon_analiz@mail.ru

Fedorov Andrey Alekseevich National Technical Institute «Kharkiv Polytechnic University», Kharkov, Ukraine, kand. tehn. professor of organization of production and management personnel of NTU «KPI». E-mail: ekon_analiz@mail.ru

Усов Максим Анатольевич Национальный технический институт «Харьковский политехнический университет», г. Харьков, Украина, асистент кафедры экономики и маркетинга НТУ «ХПИ», аспирант. E-mail: maxusov1978@gmail.com

Usov Maksim Anatol'yevich National Technical Institute «Kharkiv Polytechnic University», Kharkov, Ukraine, the assistant of the Department of Economics and Marketing NTU «KPI», a graduate student. E-mail: maxusov1978@gmail.com

Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: Украина, 61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21, НТУ «ХПИ», корпус У1, ауд. 1007,

+38(057)707-65-26.