CC BY
25
УДК 502/504:539.3 П. Ф. САБО ДАШ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природ ообустройства»
ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБОПРОВОДОВ
При решении задач гидроупругости рассмотрены характеристики распределения скоростей потока непосредственно за напорным органом по течению. Во многих задачах профиль скорости на входе в трубу и на выходе из нее можно принять приближенно постоянным по сечению. Представлена окончательная линеаризованная система уравнений гидроупругой динамики.
Спектральный состав пульсации скоростей, задачи гидроупругости, профиль скорости, линеаризованная система уравнений.
When solving the tasks of hydro-elasticity there are considered characteristics of velocities flow distribution directly after the head organ along the current. In many tasks the velocity profile in the pipe inlet and outlet may be assumed constant in the rough on the cross section. The final linearized equations system of hydro-elastic dynamics is presented.
Spectral structure of velocities pulsation, tasks of hydro-elasticity, velocity profile, linearized system of equations.
Рассмотрим трубопровод конечной длины, соединяющий два элемента, которые регулируют расход или давление, например два насоса. Труба представляет собой полый круговой цилиндр длиной L (радиус - R; толщина стенки - h). Материал трубы - линейно-упругий, изотропный. Кроме того, для труб h << R, что позволяет рассматривать трубу как оболочку. В связи с наличием касательных напряжений на внутренней поверхности оболочки и относительной толщиной h/R, большей, чем принято при использовании гипотез Кирхгофа-Лява, необходимо учитывать поперечные сдвиги и инерцию вращения. Такой подход приводит к уточненной теории оболочек типа Тимошенко. Как правило, подсоединение трубы к напорным органам является фланцевым. При расчетах фланцевые соединения обычно приближенно заменяют краевыми условиями типа Навье.
Жидкость в трубе обладает вязкостью (в соответствии с гипотезами Ньютона и Прандтля при ламинарном и турбулентном течении). Будем считать, что задан закон изменения расхода или давления жидкости на входе трубы или на выходе из нее и что известны характеристики распределения скоростей потока непосредственно
за напорным органом по течению. Так, например, для многих устройств это распределение может быть принято постоянным, а возмущения, сносимые вверх по потоку от напорного органа в конце трубы, выравнивают профиль скоростей. Поэтому во многих задачах можно приближенно принимать профиль скорости на входе в трубу и на выходе из трубы постоянным по сечению. При этом радиальный компонент скорости жидкости в указанных сечениях равен 0, поскольку радиальная скорость, как в центре потока, так и на жесткой стенке в трубе, всегда равна нулю. С другой стороны, как правило, на выходе из регулирующих органов (кроме турбонасосов) закрученность потока мала и течение в трубе может считаться приближенно осесимметричным. Предположим, что течение не сопровождается кавитационными разрывами сплошности жидкости.
При анализе нестационарных движений жидкости динамические уравнения можно записать в предположении несжимаемости, а сжимаемость существенна лишь при анализе уравнения неразрывности и уравнения состояния.
Уравнение неразрывности имеет следующий вид:
f+div(PtH
(i)
где р - плотность жидкости; V - вектор скорости; t - время.
Связь давления и плотности в вязкой жидкости устанавливается формулой Леонтовича-Мандельштама:
dp = c2dp - |2d(divv ),
перемешивания; 3, = v - скорость.
Предполагая, вследствие несжимаемости, что peo = р— и опуская черту при dt
записи среднестатистических величин, получим следующие динамические уравнения:
(2)
где р - давление жидкости; c - скорость звука, по Лапласу; |2 - коэффициент объемной вязкости, по Стоксу.
Динамическое уравнение при ламинарном течении жидкости:
8v > p0 — + F-gradp+
dt
+(щ +n2)grad-divv+ (3)
+ О,
>
где р0 - начальная плотность жидкости; F -вектор внешних объемных сил, действующих на жидкую частицу; |1 - первый (сдвиговый) коэффициент вязкости, по Стоксу; Д - оператор Лапласа.
Для вывода уравнений турбулентного течения выпишем уравнение движения сплошной среды в форме:
рю = F + divP, (4)
> >
где со - вектор ускорения; F - вектор массовых сил; Р - тензор напряжений.
При турбулентном движении жидкости это уравнение может быть записано так, как предложил О. Рейнольдс:
рю + (рю) =?+div(P+P'),
где чертой сверху обозначены усредненные величины.
Согласно Озену, (рю^«' рю, следовательно, уравнение (5) можно записать так:
pco^F + divfP + P'). (6)
Для обобщенной жидкости Ньютона-Прандтля при турбулентном течении элементы тензора напряжений имеют следующий вид:
Рхх=-Р + 2 + щ + ц2 div О; Руу = -P+2(\i, +
где | = |1-Re'; Re'=- V ^ ; Г - длина пути
Ц1
-р--1-F- grad р +
dt
+(щ +\i2 +n3)grad-div v+ +|u,3)Ai^=0.
(7)
Как обычно делается в технической гидродинамике, пренебрежем зависимостью от режима течения, хотя есть материальная константа, в то время как существенно зависит от производства и диссипации турбулентной энергии и от режима течения в целом.
На стенке трубы для скорости жидкости ставятся условия непроницаемости и прилипания:
дщ
(8)
где м/, Щ, Ие - нормальное, осевое и тангенциальное смещения стенки соответственно; V -оператор Гамильтона.
В силу предположения об осевой симметрии задачи = § условие (8)
выполняется тождественно. Выпишем полную систему соотношений, описывающих нестационарное течение жидкости в отсутствие массовых сил в трубе с учетом введенных гипотез, исключив р с помощью соотношений (1) и (2):
др dvx /„— \ д
дх
-1 д
г дг
дх
1д(гуг) | 8vx г дг дх
дх дг )
dt
дг
1 d(rvr) | Эух г дг дх
дх\ дх дг )
др 2 "а" 0
1 д<Г,) |
г дг дк
+ц*а
1
г дг дх
= 0.
(9)
Граничные условия имеют вид:
д\\> ди — + — Ух = Уг,--
йх /г йу
---У„ + УУ. = Ут.
2 ы X V г X
А 5x1/ бы ---- +—
2 йх
(10)
где V, и, у - смещения срединной поверхности и угол поворота нормали оболочки.
Связь w, и, у дается линеаризированными соотношениями теории оболочек типа Тимошенко (принято к = 1):
д2и ц дгм 1 -ц2 1-й2 д2и
дх
1-ц
Я дх +
йу
дх2 дх
Ек
Е д?
= 0;
ц ди
Д йх
И> 1-
В2 £/г
Е д12 й2у 6(1 - мУйи> Л
4 ' -+ У
(11)
йх
к1
дх
1-ц2 йу
Е д12
= 0.
где р* - плотность; £ - модуль упругости; ц -коэффициент Пуассона для материала оболочки;
Рх = Ь
йух йу йг дх
о" 1 3(л,г)
г ог
+
ц2
1 Й(гуг) | дух г дг дх
\
(12)
В равенствах (9)... (12) х - продольная, г - радиальная координаты; = -при ламинарном течении; = - при
турбулентном течении.
Дополняя соотношения (9)...(12) граничными условиями для жидкости на входе в трубу и на выходе из трубы условиями для перемещений оболочки на торцах и начальными условиями, приходим к корректной смешанной задаче для системы уравнений типа Коши-Ковалевской с граничными условиями высокого порядка.
Перейдем к безразмерным перемен-
ным для координат, скоростей, перемещений оболочки и давления:
* V,
К
(13)
я
я
V;
и = -у и; у* -
/г п
Р ~ ' Т1 = —, рс^ 1 п
где V и V - соответственно характерные скорости в радиальном и осевом направлениях, например: V = тах V ; V = тах V.
1 1 х х г г
Тогда уравнения (9)...(12) имеют вид:
др* ду*х
йу!
-Шу
йу!
■+
+
—-—-£-Мух , ______г ,
дх* д¿* х дх* г й/
' - * ЛЙ2У2 1 1 й ( йу*л
2 1
.^2 ^2 У
- +
йх? Яе1 г* дг ^ дг*
+
+ Х
2 1 ■ +
Л
Яб[ Яб 2
й
с
дх
1
й/
= 0;
дг' д{ х йх
V У
-Ш,ДгУг
й/ йу* * йу* 1 ^(л;)
^___Г__Л/Г., _г__Д/П _и _V_/ .
дг
+
1 1
Яе1 Яс2)
й2у2 х й2у2 ■+—--^ +
2 1
дг*дх2 Яе1 дх2
1 д{гУт)
чЯе Яе у
дг
\
др* йу* 1 й2ух2 Л й^ йх Яе2 йх й/
. , = о;
дг
1 й(г*уг*)
дг
+
+■
X д
Яе2 Ы
1 д(г*у*г)
V д\\>
дю ,, -— + М-:
Й^ ЙХ
ди* 1 йу*
дг
О!
д{ 2 йГ
+ М
йи*
йх
У
Ч^У
-у! +
= 0; Муг*;
1,,йу » , ,, • • + -М—^-ух+ХМ¥Уг = 2 Йх х г
^л2
А
V п у
а2 *
О и
д\\? * -^ — + е,рх-е2 2
а2 * Й И
йх2 ' йх Л 2 *
1-й
Й IV йу +
»\
V й2*>у
а.
йх,2 йх* = 0;
ЙС йм*
Мух; = 0;
(14)
ЙХ
№ 2' 2011
(45)
аУ
дх1
-б(1-ц)
к
V " у
сЬс"
■ + у.
-е,
5«?
* 0ух л 0Уг Рх =
д =2Х
дг дх
1 д(гУ) Яе1
5/
Яе,
0У
д(г\;)
— * ■ * _ * дх г дг
= 0; +
" дг
дх +Х
Яе2 0x0^
+
2 дг ~ ~ ~ '
Яе2 г 0г0Г
а*
ч/гу
Муг;
где е.
——РъМ
.2 ^ЛЗ
Я^
к
; е!=р»с
1-ц2
V " у
Яе2 =
с V,
Ке^Н^:
Как правило, в напорных трубопроводах М << 1, что позволяет искать решения системы (14) в виде разложений в ряды по малому параметру М. Отметим, что погрешность теории оболочек типа Тимошен-Г ь V
что для труб с
ко имеет порядок
Ь_ Я
Ъ = 0,001 м, Я = 0,1 м составляет 5 « 0,01.
Обычно скорость жидкости в напорной трубе по порядку величины составляет 10 м/с, скорость звука в воде -1500 м/с, поэтому погрешность нулевого приближения метода малого параметра в случае течения жидкости в трубе совпадает с погрешностью теории оболочек типа Тимошенко, следовательно, уравнения (13)...(14) в пределах точности теории оболочек могут быть линеаризованы.
Окончательная линеаризированная система уравнений гидроупругой динамики может быть записана так (звездочки при безразмерных переменных опущены):
дх дг
+
1 1
-+ —
1Ц Яе
+ Л.
1 1
Яе, Яе
2 У
и
1д(гУг) г дг
з2у1 | 1 1 а Яе2 г дг
дх2
дг
+
= 0,
дг дг
1 1
■+■
(
+х
1 1
+ -
Яе
е_
дг
Яе,
04
2 /
дхдг \
■+
2 / 1 0(ГУГ)
г дг
+
Яе! дх2
ди_}_д\I дг 2 дг
Я
МУХ;
д2и дм д2и .
1-ц
д + 0\(/
0х2 дх
ди
дх
- е,
02>у 0Г2
= 0;
0 ТУ 0?
-6(1- ц)
„ 0ух , , .
р —--ЬА—
1 дг дх
дк
'0И> ^ 021|/?
= 0;
Яе! (Я X д(гут) 5У;
<7 = -рЯе^
Яе,
г Я дг
+ ■
0Х
+
(15)
г дг
Малость конвективного члена в уравнениях (14).(15) может быть объяснена тем, что он обусловлен деформацией линий тока, вызываемой изменением объема течения и сжимаемостью. Сжимаемость жидкости мала, малы и перемещения оболочки.
В прямолинейных отрезках трубопроводов при соответствующей организации потока обычно vr << V , или, что то же самое, X << 1. Тогда уравнения (14).(15) могут быть еще более упрощены.
0vx
Предполагая далее, что —— = и,
др
дг
■—=0, V =v(x, П и отбрасывая условия дг у у
непротекания и прилипания, получим: 0у др дг дх
др д& ■ + — + -
2 1
д V
чЯв! Re2J 1 ^ =0;
дх '
дг дх Яе2 дхдг
д2и
д2и
1-ц ( О м?
2 [дх2
д 2м>
-е?—=- = 2 дг2
+■
дх
ди
+ 1х —м>+ед -дх
(16)
д2\у дх2
-б(1-ц)
\п ;
р* = 0; д = -К.е1р +
дп л дх ,
Ые2 дх
-е.
д2\у д?
= 0;
Сформулируем теперь граничные условия. Для потока в трубе будем считать, что при £ < I. где I. - момент времени, больший нуля, жидкость равномерно истекает в атмосферу по трубопроводу длиной Ь с постоянным давлением р0 и постоянной скоростью у0, а в момент времени срабатывает устройство, задающее закон изменения расхода QКраевые условия запишем так: у(х, 0) = у0; р(х, 0) = р0; w(x, 0) = w0; и(х, 0) = и0; у(х, 0) = у0; w(0, £) = w(n, г) = 0; и(0, £) = = и(ц, £) = 0; (17)
у(0, г) = у (п, г) = 0; —^ = 0,
дх
2(0
где
е(0=
\Qity
(18)
в поле некоторого агрегата, перекачивающего жидкость, с помощью которой осуществляются краевые закрепления обол очки в сечении х = Ь. Очевидно, что в указанной области можно выделить две характерные зоны и провести для каждой спецификацию полей скоростей, давлений, перемещений и напряжений.
Предположим, что все рассматриваемые поля являются стационарными по времени. Тогда в первой зоне мы будем иметь неоднородные по продольной координате поля элементов вектора ^. Во второй зоне будем иметь однородные поля перемещений в силу удаленности этой зоны от краевых закреплений, которые вносят искажения в эти поля.
На основе предложенной спецификации полей представим элементы вектора ^ в виде суммы их соответствующих пульсаций:
Т{х, о=(/о, 0)+/-
(20)
Характеристики функции расхода на входном сечении оболочки х = 0 существенно зависят от многих факторов, например: от типа перекачивающего устройства, размеров системы и т.п. Поэтому спектральный состав пульсаций скоростей и значения оценок в каждом конкретном конструкционном случае системы требуют дальнейшей детализации и уточнения.
Введем в рассмотрение обобщений вектор, элементами которого являются скорость течения жидкости в оболочке, давление, нормальное, тангенциальное и угловые перемещения:
^ = (и, р, ю, и, у). (19)
Рассмотрим расчетную область цилиндрической оболочки, расположенную
Здесь элементы вектора математических ожиданий необходимо определять из системы (16) с граничными и начальными условиями (17). При этом целесообразно использовать преобразование Папакси с последующим численным или аналитическим определением (по Лапласу) и численным выполнением обратного преобразования.
Рассмотрим задачу об определении пространственно-временных перемещений и напряжений в зоне торцевых краевых гидроупругих эффектов. Для этого используем процедуру метода дискретных трансформант Фурье, подробно изложенную применительно к решению линейных задач.
В силу принятых предположений для элементов вектора ^ будет справедливо следующее каноническое разложение:
У{х, 0 = 1"!°° (21)
где к, ю - волновое число и частота; С(к, ю) -дельта-коррелированная функция с известным спектром Б(к, ю) пульсаций скоростей.
Подставляя разложение (21) в систему (16), приходим к системе дифференциальных уравнений относительно трансформант Фурье скорости, давления и перемещений, которая содержит комплексные коэффициенты. Представим ее решение:
V = V + р = Рг + ¿рт; я = К + К
и = иг + V = + ^ (22)
где г относится к действительной, а индекс т к мнимой части соответствующих трансформант.
Приходим к следующей системе:
О У гп
- Рп=~
йх
а,
ах йх2 ах(й йх '
й2Ут_ = й2У„ 1 Л
,7 2 г г , 2 I 2 '
ах а^ ах ах с^ю их
й21/т йЖг 2тт
ах ах
с12ит Шш 2 .
-— = —-е2<° ит>
йх
йх
=ы
йх
■+(б2-е2ю2)ут.
ю а2 йУг 1 йУт
а^ йх со йх '
Рт =
1 а>а2 йУт
со йх а1 йх
Система уравнений (23) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка, которая решается при фиксированной частоте ю.
й2Жт_йут Ц<Й7Г| ¿¿х2 йх Ъ йх Ь (ехЯе1 а2+^)е^ </Гг (23)
Ъ йх Ъ(£> йх
й2Жт цЛ/ 1-е2ш2
_т_ _ Т ш _£__т_ _|__2 ТТЛ _
йх2 ~ йх Ъ йх Ъ т (^Яе 1а2+Ь1)йУт е^йУТ_ Ь йх Ь& йх '
¿Уг А . Л, Л 2\ . ¿Ут , <ЯГЪ
йх
Здесь проведено исключение при помощи второго уравнения (16):
1. Лятхер В. М. Турбулентность в гидросооружениях. - М.: Энергия, 1968. - 234 с.
2. Смирнов Д. Н., Зубов Л. Б. Гидравлический удар в напорных водоводах. - М.: Стройиздат, 1975. - 126 с.
3. Джеваршейшвили А. Г., Кирме-лашвили Г. И. Определение величин давления гидравлического удара в установках гидромеханизации // Сообщение АН Грузинской ССР. - 1965. - Т.19. -№ 2. - С. 403-408.
4. Вольмир А. С., Грач М. С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1973. - № 6. - С. 162-166.
5. .Катаев В. П., Плуталов А. Е. Динамика трубопроводов с нестационарным потоком жидкости / Прикладная математика и механика: научные труды. -М.: АН СССР, 1985. - Т. 20. - Вып. 3. -С. 131-144.
Материал поступил в редакцию 27.05.10. Сабодаш Петр Филиппович, доктор технических наук, профессор
