CC BY
117
УДК 624.07+539.37
А.В. Галкин, А.С. Сысоев, И.В. Сотникова
ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»
ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТО-ИЗГИБАЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ СО СТУПЕНЧАТЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЖЕСТКОСТИ1
Решена задача определения устойчивости сжато-изгибаемых стержней переменной жесткости, шарнирно опертых по концам. Найден способ определения критической нагрузки, при которой произойдет потеря устойчивости стержня. Решение задачи поможет разработке нормативной базы для проектирования конструкций из холодноформованных профилей.
Ключевые слова: устойчивость, переменная жесткость, стержень, сжатие с изгибом, критическая сила.
Основными задачами совершенствования металлических конструкций является снижение их материалоемкости, изготовления и монтажа. Это достигается применением тонкостенных стержневых конструкций, к которым относятся холодноформованные профили. Объем применения таких профилей в современном строительстве постоянно увеличивается [1, 2].
Вместе с тем необходимо отметить, что в России отсутствует нормативная база для проектирования конструкций из холодноформованных профилей, так как действительная работа таких конструкций отличается от работы конструкций из горячекатаных профилей [3—6]. На работу рамных конструкций из холодноформованных профилей значительное влияние оказывает явление потери устойчивости [7, 8].
Рассмотрим решение задачи устойчивости сжатого стержня переменной жесткости, шарнирно опертого по концам, приведенной в [9, 10]. В таком случае жесткость должна быть повышена в средней части.
На рис. 1 приведен стержень, состоящий из трех частей. Крайние части, длина каждой из которых l, имеют жесткость El^, а средняя часть длины a = 21 — жесткость El (при этом l > l); l = 2l + 2l — общая длина стержня. Тогда дифференциальные уравнения изогнутой оси каждой из частей имеют вид
eii +PVi=
ЕЕ ^ + Pv2 = 0,
(1)
dX2,
где координата х отсчитывается от конца стержня О; координата х— от точки сопряжения участков; V — прогиб в рассматриваемом сечении; Р — сжимающая сила.
1 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках перечня научно-исследовательских работ базовой части государственного за-
дания, проект № 970.
P 2 P 2
Введем обозначения-= k , -= k2,
EI, 1 EI2 2
запишем интегралы уравнений системы (1):
ív, = A sin kx x, + B cos kx x;
[v2 = C sin k2 x2 + D cos k2 x2.
(2)
Выпишем граничные условия по концам и в точке сопряжения участков:
V = 0 при х = 0;
V = V при х = I и х = 0;
1 2^11 2 '
dvi dv2
—L = —- при x1 = l1 и x2 = 0; dXj dx2
dv2
-j2 = 0 при x2 = l2.
(3)
Рис. 1. Расчетная схема сжатого стержня переменной жесткости, шарнирно опертого по концам
Из граничных условий (3) и системы (2) получаем следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений:
[В = 0;
Ak, cos к, 11 - ^ck2 ;
A sin kl — D; C cos k2l2 - D sin k212 — 0.
(4)
Однородная система (4) будет иметь нетривиальное решение при А Ф 0, В Ф 0, т.е.
к, cos kh к2
- sin k, l, sin k2l2 cos k2l2
— 0.
(5)
Путем алгебраических преобразований (5) получаем трансцендентное уравнение связи параметров к и к_ к
= k2^ ^12 . (6)
tg k1l1
Тогда критическую нагрузку (в силу того, что I > I) можно представить в виде Е1
Ркр = К-2, (7)
где К — комбинация (6) частных параметров
к и к . 12
Проведем аналогичные рассуждения для задачи устойчивости сжато-изгибаемого стержня в связи с тем, что данная задача не изучалась [11—21].
На рис. 2 приведен стержень, состоящий из Рис 2 Расчетная схема трех частей. Крайние части длиной ^ и ^ имеют сжато-изогнутого стержня пе-жесткость Е11, а средняя длиной 12 имеет жест- ременной жесткости, шарнир-кость Е1 причем I > I. но опертого по концам
ВЕСТНИК
МГСУ-
2/2015
Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси для каждой части. Будем отсчитывать координату х от конца стрежня О, а х2 — от точки сопряжения участков. Уравнения будут иметь вид
EL d
1 dxj2
EI.
d 2v2
dx2
p M
Pvi =—yxi; 1
m
+ Pv2 =--x2;
p M
- Pv^ =--x.
(8)
1
P V2 P ,2
M
M
(9)
Введем обозначения -= k1 , -= k2, -= /1 , -= /2. Запишем
EI1 EI2 EI1 EI2
интегралы уравнений системы (8):
/2 x
v = A sin к x + в cos k x —;
1 11 11 k1/
v2 = C sin k2x2 + D cos k2x2 - j —;
2 22 22 к2 i
2 2
/2 X
v3 = F sin k1x3 + G cos k x3 —V—.
3 13 13 k2 13
Выпишем граничные условия по концам и в точке сопряжения участков Vj = 0 при x = 0;
Vj = v2 при xj = /1 и x2 = 0;
v2 = v3 при x2 = l2 и x3 = 0;
dv, dv2 ,
—L = —-при x, = l, и x2 = 0; (10)
dx, dx^
v3 = 0 при x, = l3; dv2 dv3
—2 = —3 при x2 = l2 и x3 = 0. dx2 dx3
Учитывая условия (10) и системы (8), (9), получаем следующую неоднородную систему линейных алгебраических уравнений В = 0;
A sin к! = D;
11 к2
C sin k2l2 + D cos к212 - • = F;
к 2
У?2 1
Ак coskl = Ск2 - -;
1 11 к,2 l, 2 к22 l2 • 2
F sin kl3 + G cos kl3 - • = 0;
13 13 к2
Ck2 cosk2l, -Dk2 sink7l7 - Fk = — -1 •r-
2 2 2 2 2 2 1 l2 к2 1з kf
(11)
Сопоставление этих уравнений дает возможность перейти к трансцендентному уравнению (являющемуся критерием потери устойчивости данной системы) связи параметров сечения, критической силы и изгибающего момента. Наименьший корень этого уравнения определяет критическую нагрузку, при которой произойдет потеря устойчивости стержня.
Библиографический список
1. Айрумян Э.Л., Каменщиков Н.И., Липленко М.А. Перспективы ЛСТК в России // СтройПРОФИ. 2013. № 10. С. 12—17.
2. Зверев В.В., Жидков К.Е., Семенов А.С., Сотникова И.В. Экспериментальные исследования рамных конструкций из холодногнутых профилей повышенной жесткости // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. 2011. № 4 (24). С. 20—24.
3. Айрумян Э.Л. Рекомендации по расчету стальных конструкций из тонкостенных гнутых профилей // СтройПРОФИ. 2009. № 8 (78). С. 12—14.
4. Айрумян Э.Л. Особенности расчета стальных конструкций из тонкостенных гнутых профилей // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2008. № 3. С. 2—7.
5. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 1. Basics and cross-section values according to EN 1993-1-3 // Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL, Graz, Austria, 2008. Vol. A. Pp. 129—134.
6. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 2. Design methods given in Eurocode EN 1993-1-3 // Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL. Graz, Austria, 2008. Vol. A. Pp. 135—140.
7. Смазнов Д.Н. Устойчивость при сжатии составных колонн, выполненных из профилей из высокопрочной стали // Инженерно-строительный журнал. 2009. № 3 (5). С. 42—49.
8. Yu W-W, LaBoube R.A. Cold-Formed Steel Design. 4 ed. Wiley, 2010. 512 p.
9. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / под ред. Э.И. Григолюка. М. : Наука, 1971. 807 с.
10. ВольмирА.С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматгиз, 1963. 879 c.
11. Горбачев В.И., Москаленко О.Б. Устойчивость стержней с переменной жесткостью при сжатии распределенной нагрузкой // Вестник Московского государственного университета. Серия 1. Математика. Механика. 2012. № 1. С. 41—47.
12. Темис Ю.М., Федоров И.М. Сравнение методов анализа устойчивости стержней переменного сечения при неконсервативном нагружении // Проблемы прочности и пластичности. 2006. Вып. 68. С. 95—106.
13. Лалин В.В., Розин Л.А., Кушова Д.А. Вариационная постановка плоской задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости упругих стержней // Инженерно-строительный журнал. 2013. № 1 (36). С. 87—96.
14. Каган-Розенцвейг Л.М. О расчете упругих рам на устойчивость // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 1 (27). С. 74—78.
15. ГуковаМ.И., Симон Н.Ю., Святошенко А.Е. Вычисление расчетных длин сжатых стержней с учетом их совместной работы // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 3. С. 43—48.
16. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Анализ устойчивости стальных стержневых систем с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 2. С. 48—53.
17. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Анализ устойчивости строительных конструкций с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 6. С. 60—66.
18. Крутий Ю.С. Задача Эйлера в случае непрерывной поперечной жесткости (продолжение) // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 2. С. 27—33.
19. Сливкер В.И. Устойчивость стержня под действием сжимающей силы с фиксированной линией действия // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 2. С. 34—37.
20. Насонкин В.Д. Предельная нагрузка для сжатых стержней, деформируемых за пределом упругости // Строительная механика и расчет сооружений. 2007. № 2. С. 24—28.
21. Потапов А.В. Устойчивость стальных стержней открытого профиля с учетом реальной работы материала // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2009. № 1 (11). С. 112—115.
Поступила в редакцию в феврале 2015 г.
Об авторах: Галкин Александр Васильевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной математики, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-50, avgalkin82@mail.ru;
Сысоев Антон Сергеевич — кандидат технических наук, ассистент кафедры прикладной математики, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-51, anton_syssoyev@mail.ru;
Сотникова Ирина Владимировна — аспирант кафедры металлических конструкций, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-79, i.sotnikowa@ yandex.ru.
Для цитирования: Галкин А.В., Сысоев А.С., Сотникова И.В. Задача устойчивости сжато-изгибаемых стержней со ступенчатым изменением жесткости // Вестник МГСУ 2015. № 2. С. 38—44.
A.V. Galkin, A.S. Sysoev, I.V. Sotnikova
THE RESISTANCE PROBLEM OF COMPRESSED-BENT SHANKS WITH STEP INFLEXIBILITY CHANGE
The main tasks of optimizing metal structures is reducing their materials consumption, time of production and erection. This is achieved by using thin-walled frame structures. Cold-formed profiles are some of them. The volume of such structures application in modern construction is constantly growing.
At the same time it is necessary to note, that in Russia there is no regulatory base for design of structures made of cold formed profiles, because the actual operation of such constructions differs from the operation of constructions made of hot-rolled profiles. Buckling greatly influences the operation of frame structures made of cold-formed profiles.
The problem connected with the resistance of compressed-bent shanks with variable inflexibility hinge-supported at the ends is under consideration. The way to calculate the critical load at which buckling of a shank happens was found out. This task solution will help to develop the normative base for designing made of cold-formed profiles.
Key words: resistance, variable inflexibility, shank, bent compression, ultimate force.
References
1. Ayrumyan E.L., Kamenshchikov N.I., Liplenko M.A. Perspektivy LSTK v Rossii [Future of Steel Frames in Russia]. StroyPROFI. 2013, no. 10, pp. 12—17. (In Russian)
2. Zverev V.V., Zhidkov K.E., Semenov A.S., Sotnikova I.V. Eksperimental'nye issle-dovaniya ramnykh konstruktsiy iz kholodnognutykh profiley povyshennoy zhestkosti [Experimental Researches of Frame Constructions Produced of Increased Rigidity Profiles]. Nauchnyy vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo arkhitektumo-stroitel'nogo universiteta. Stroitel'stvo i arkhitektura [Bulletin of Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering]. 2011, no. 4 (24), pp. 20—24. (In Russian)
3. Ayrumyan E.L. Rekomendatsii po raschetu stal'nykh konstruktsiy iz tonkostennykh gnutykh profiley [Recommendations for Calculating Steel Constructions Produced with Thin-Walled Roll-Formed Shapes]. StroyPROFI. 2009, no. 8 (78), pp. 12—14. (In Russian)
4. Ayrumyan E.L. Osobennosti rascheta stal'nykh konstruktsiy iz tonkostennykh gnutykh profiley [Calculation Peculiarities of Steel Thin-Walled Roll-Formed Shapes]. Montazhnye i spetsial'nye raboty v stroitel'stve stroitelstve [Installation and Special Works in Construction]. 2008, no. 3, pp. 2—7. (In Russian)
5. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 1. Basics and Cross-section Values According to EN 1993-1-3. Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL, Graz, Austria, 2008. Vol. A, pp. 129—134.
6. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 2. Design Methods Given in Eurocode EN 1993-1-3. Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL. Graz, Austria, 2008. Vol. A, pp. 135—140.
7. Smaznov D.N. Ustoychivost' pri szhatii sostavnykh kolonn, vypolnennykh iz profiley iz vysokoprochnoy stali [Buckling Resistance of Composite Columns Made of High-Strength Steel Shapes]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2009, no. 3 (5), pp. 42—49. (In Russian)
8. Yu W-W., LaBoube R.A. Cold-Formed Steel Design. 4 ed. Wiley, 2010, 512 p.
9. Timoshenko S.P. Ustoychivost' sterzhney, plastin i obolochek [Resistance of Shanks, Plates and Shells]. Under editorshop of E.I. Grigolyuk. Moscow, Nauka Publ., 1971, 807 p. (In Russian)
10. Vol'mir A.S. Ustoychivost' uprugikh system [Resistance of Flexible Systems]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963, 879 p. (In Russian)
11. Gorbachev V.I., Moskalenko O.B. Ustoychivost' sterzhney s peremennoy zhestkost'yu pri szhatii raspredelennoy nagruzkoy [Resistance of Shanks with Variable Inflexibility while Pressing with Distributed Load]. VestnikMoskovskogogosudarstvennogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Proceedings of Moscow State University. Series 1. Mathematics. Mechanics]. 2012, no. 1, pp. 41—47. (In Russian)
12. Temis Yu.M., Fedorov I.M. Sravnenie metodov analiza ustoychivosti sterzhney peremennogo secheniya pri nekonservativnom nagruzhenii [Comparing Analysis Methods of the Resistance of Shanks with Variable Cross Section at Neoconservative Loading]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Stability and Plasticity]. 2006, no. 68, pp. 95—106. (In Russian)
13. Lalin V.V., Rozin L.A., Kushova D.A. Variatsionnaya postanovka ploskoy zadachi geometricheski nelineynogo deformirovaniya i ustoychivosti uprugikh sterzhney [Variance Definition of Plane Problem of Nonlinear Deformation and Resistance of Flexible Shanks]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2013, no. 1 (36), pp. 87—96. (In Russian)
14. Kagan-Rozentsveyg L.M. O raschete uprugikh ram na ustoychivost' [On Resistance Calculating of Flexible Frames]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2012, no. 1 (27), pp. 74—78. (In Russian)
15. Gukova M.I., Simon N.Yu., Svyashenko A.E. Vychislenie raschetnykh dlin szhatykh sterzhney s uchetom ikh sovmestnoy raboty [Calculation of the Designed lengths of Compression Bars with Account for TheirComposite Action ]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2012, no. 3, pp. 43—48. (In Russian)
16. Soldatov A.Yu., Lebedev V.L., Semenov V.A. Analiz ustoychivosti stal'nykh ster-zhnevykh sistem s uchetom nelineynoy diagrammy deformirovaniya materiala [Flexibility Analysis of Steel Shank Systems Taking into Account Non-Linear Diagram of Deformation of Material]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2012, no. 2, pp. 48—53. (In Russian)
17. Soldatov A.Yu., Lebedev V.L., Semenov V.A. Analiz ustoychivosti stroitel'nykh kon-struktsiy s uchetom fizicheskoy nelineynosti metodom konechnykh elementov [Flexibility Analysis of Construction Systems Taking into Account Physical Non-Linearity Using Finite Elements Method]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 6, pp. 60—66. (In Russian)
18. Krutiy Yu.S. Zadacha Eylera v sluchae nepreryvnoy poperechnoy zhestkosti (pro-dolzhenie) [Euler Problem in Case of Constant Transverse Inflexibility (Continuance)]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 2, pp. 27—33. (In Russian)
19. Slivker V.I. Ustoychivost' sterzhnya pod deystviem szhimayushchey sily s fiksirovan-noy liniey deystviya [Resistance of Shanks under the Influence of Comprehensive Load with Fixed Force Line]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 2, pp. 34—37. (In Russian)
20. Nasonkin V.D. Predel'naya nagruzka dlya szhatykh sterzhney, deformiruemykh za predelom uprugosti [Ultimate Load for Compression Bars Deformable outside Limit of Elasticity]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2007, no. 2, pp. 24—28. (In Russian)
21. Potapov A.V. Ustoychivost' stal'nykh sterzhney otkrytogo profilya s uchetom real'noy raboty materiala [Resistance of Steel Shanks with Open Profile Taking into Account Real Operation of the Material]. Izvestiya Kazanskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta [Bulletin of Kazan State University of Architecture and Engineering]. 2009, no. 1, pp. 112—115. (In Russian)
About the authors: Galkin Aleksandr Vasil'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, chair, Department of Applied Mathematics, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovskaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation; +7 (4742) 32-80-50; avgalkin82@mail.ru;
Sysoev Anton Sergeevich — Candidate of Technical Sciences, Assistant Lecturer, Department of Applied Mathematics, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovskaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation; +7 (4742) 32-80-51; anton_syssoyev@mail.ru;
Sotnikova Irina Vladimirovna — postgraduate student, Department of Metal Structures, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovskaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation, +7 (4742) 32-80-79; i.sotnikowa@yandex.ru.
For citation: Galkin A.V., Sysoev A.S., Sotnikova I.V. Zadacha ustoychivosti szhato-izgibaemykh sterzhney so stupenchatym izmeneniem zhestkosti [The Resistance Problem of Compressed-Bent Shanks with Step Inflexibility Change]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 2, pp. 38—44. (In Russian)
