CC BY
1
Хайдаров Т.Т.
Джизакский политехнический институт
Узбекистан, Джизак
ЗАДАЧА УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПАРАМЕТРАМИ
Аннотация. В работе рассматривается динамическая система управления со структурным параметром и с неточно заданным начальным состоянием. Изучена задача оптимизации для одного типа негладкого терминального функционал. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности.
Ключевые слова: динамическая система, задача управления, параметр системы, негладкий функционал, условия оптимальности.
Khaidarov T.T.
Jizzakh Polytechnic Institute Uzbekistan, Jizzakh
CONTROLLABILITY PROBLEM FOR ONE CLASS OF DYNAMIC SYSTEMS WITH PARAMETERS
Annotation. The paper considers a dynamic control system with a structural parameter and an inaccurately specified initial state. An optimization problem for one type of nonsmooth terminal functional is studied. Necessary and sufficient optimality conditions are obtained.
Keywords: dynamic system, control problem, system parameter, nonsmooth functional, optimality conditions.
В результате исследований задач оптимизации, связанных с проблемами управления сложных систем и принятия решения в условиях неопределенности, развиваются методы негладкой оптимизации, негладкого и многозначного анализа [1-4]. Одним из подходов, приводимых к негладким задачам оптимизации, является принцип минимакса [3]. Модели динамических систем в виде управляемых дифференциальных включений представляют большой интерес в проблемах управления и принятия решения в условиях информационных ограничений. Для таких моделей изучаются негладкие задачи оптимального управления ансамблями траекторий [4,5,6].
Рассмотрим динамическую систему управления с параметрами вида x = A(t, y)x + b(t, u, y), t g T = [t0, tj, x(t0 ) G D, u G V(y), y G Y, (1)
где x - n -вектор состояния, u - m -вектор управления, y - k -мерный параметр, A(t, y) - n x n -матрица, b(t, u, y) - n -вектор функция. В данной
системе управления информация о начальном состоянии системы ограничена тем, что известно только выпуклое компактное множество о с я" возможных начальных состояний. В процессе управления участвует параметр у е У, значение которого сохраняется постоянным в рассматриваемом отрезке времени Т = [/0, ^ ]. Область значений управления и = п(х) является выпуклым компактным подмножеством У( у) пространства Ят, непрерывно зависящим от параметра у еУ. Множество У также будем считать компактным подмножеством пространства Як.
Относительно правой части дифференциального уравнения (1) будем предполагать, что выполнены следующие условия:
1) элементы матрицы Л^, у) суммируемы по t е Т и непрерывны по у е У, причем ||Л^, у)|| < а(Х), а(-) е Ь1 (Т);
2) каждая компонента " -вектор функции и, у) ^ Ь(^ и, у) измерима по г еТ и непрерывна по (и, у) еУ х У, причем ||Ь^, и, у )|| < р^), р(-) е Ь1(Т).
Допустимыми управлениями для системы (1) будем считать каждую измеримую ограниченную т -вектор-функцию и = и^), t е Т, принимающие почти всюду на Т значения из У(у) при некотором у еУ. Обозначим через иТ (у) - множество допустимых управлений и = и(-), таких, что и(0 е У (у), t е Т. Обозначим через НТ (и, у) -множество всех абсолютно непрерывных траекторий, соответствующих допустимому управлению и еиг (у) и параметра у еУ. Согласно результатам работ [5,6] при заданных условиях НТ (и, у) является выпуклым компактным множеством в пространстве непрерывных " -вектор-функций С" (Т).
Пусть качество управления динамической системой (1) оценивается негладким терминальным функционалом
I
J (*(•), у)=Е та*(Р (у)х(^)>2),
= Z£Z'
где р(y)-^хn-матрица, непрерывно зависящая от параметра y еУ, Z - замкнутое ограниченное множество из Rs. Для системы (1) рассмотрим
следующую максиминную задачу:
min J(x(■ ), y) ^ max, u gUt (y), y e У . (2)
x( ■ )eHT (u, y)
Будем изучать необходимые и достаточные условия оптимальности для максиминной задачи (3).
Рассмотрим множество, состоящее из концов всех траекторий x( ■ ) e HT (u, y) в момент времени ^ > t0:
Хт(t1,u,y) = {£e Rn \£ = x(ti),x(■) e Ht(u,y)}.
В силу результатов работы [5] Хг (tx, u, y) является выпуклым компактом из Rn .
Положим: с(Х,щ) = mm(£,w). Функционал G(u(■),y) = mm J(x(),y)
£eX x()eHT (u,y)
имеет следующее представление:
i
G(u (■), y) = max с( Xt (t1, u, y), j p'z,) ,(3)
Z GCOZ; J = \J ■ 1
I l' l=\
где coZt - выпуклая оболочка множества Zi.
Учитывая формулу (3), максиминную задачу (2) можно записать в следующем виде:
i
max _ с(Xt (tx, u, y), j P;(y)zt)) ^ max, u() e Ut (y), y e Y . (4)
z ecoZ; ,i=\,l ■ ,
i i' i=\
Таким образом, максиминная задача (2) сводится к задаче повторной
максимизации вида (4). Она является задачей оптимального управления
терминальным состоянием ансамбля траекторий динамической системы (1).
Множество Xr (tx, u, y) имеет следующее представление:
h
Xt(ti,u,y) = Fy(ti,10)D + JFy (ti,т)Ь(т,u(t),y)dr .
где Fy (t,r) - фундаментальная матрица решений уравнения x = A(t, y) x . Имеем:
с(Хт (t1, и, y), щ) = a(Fy , 10 )D, щ) + J (Fy (t1, т)Ь(т, и(т), y), w)dr.
t0
Рассмотрим функцию:
h
У( У, z) = С (D, y(t o, y, z )) + J max (b(t, v, y), y($, y, z))dt, y g Y, z = ( z1, z 2,..., zt ), zi g coZi
•> vgv(y)
где wit,y, z) = F'y (t„ t)£PXy)zt, z = (z^ z2,..., z ).
i=1
Теорема. Для оптимальности управления u0(-) и параметра y0 в задаче (3) необходимо и достаточно существование z0 = (.z0,z0,...,z0),z0 e coZi такой, что y(yz) = y(y0, z0) и выполнение следующих условий:
z ecoZj. ,i=1,l
max _ y(y0, z) = max ma^_ y(y, z) ,(5)
z ecoZi ,i=1,l yeY z ecoZi ,i=1,l
max(b(t,v,y0),w(t,yz°)) = (b(t,u°(t),y0),w(t,yz°)) п.в. на T . (6)
veV (y°)
Полученные необходимые и достаточные условия оптимальности дают теоретическое обоснование метода построения решения задачи (2) с помощью решения конечномерных задач вида (5) и (6). Конечномерную задачу минимизации функции (6) можно решить методами математического программирования. Таким образом, решение рассмотренной в работе негладкой задачи оптимального управления приводится к решению задач конечномерной оптимизации.
0
t
0
Использованные источники:
1. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. - М.: Наука, 1990.
2. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. - М.: Наука, 1988.
3. Кейн В.Н. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. - М.: Наука, 1985.
4. Отакулов С. Задачи управления ансамблем траекторий дифференциальных включений. Lambert Academic Publishing, 2019.
5. Otakulov S., Haydarov T.T. The nonsmoth optimal control problem for model dynamic system under conditions of incomplete information. Science and Innovation, 2022, No 1. -pp. 349-359.
6. Otakulov S., Rahimov B. Sh., Haydarov T.T. The nonsmoth optimal control problem for ensemble of trajectories of dynamic system under conditions of indeterminacy. Middle European Scientific Bulletin, vol. 5, October 2020. pp. 3842.
