CC BY
36М. И.Турбина DOI: 10.24412/1728-516Х-2022-1-105-110
Я полагаю, что, если где-то допустил ошибку и кто-то другой смог бы предложить корректное доказательство, опираясь на мои результаты, меня бы это только порадовало... Если все честны, то обмен идеями - совершенно естественное явление.
Маргарита Ивановна Турбина,
криолитолог
К 60-м годам прошлого столетия стало ясно, что топология является одним из наиболее продуктивных разделов математики, и молодые топологи смело бросили вызов многим «геометрическим проблемам века», в число которых входила, конечно же, и гипотеза Пуанкаре. К тому времени к изумлению большинства учёных выяснилось, что многообразия четырёх, пяти и более высоких измерений гораздо легче поддаются изучению, чем трёхмерные, наиболее интересные с точки зрения реального пространства. В 1982 г. гипоте-
Г. Я. Перельман
за Пуанкаре была доказана уже для всех случаев, кроме трёхмерного [2]. Наверное, именно поэтому решение задачи Пуанкаре было признано одной из семи наиболее важных задач современной математики.
В мае 2000 г ведущие математики мира собрались в Париже, чтобы оценить состояние своей науки. «Встречу тысячелетия» организовал Институт Клэя1 (рис. 1), за два года своего существования вручивший несколько наград за выдающиеся исследования в области математики. Целью встречи было составление
На фото вверху - первичные топологические флуктуации метрики пространства-времени [1]
1 Институт Клэя - некоммерческая организация, основанная в 1998 г. в Кембридже (штат Массачусетс, США) бостонским миллиардером Лэндоном Клэем и математиком из Гарварда Артуром Джеффи для популяризации математики [3].
Рис. 1. Институт Клэя в Кембридже, штат Массачусетс [3]
перечня наиболее сложных математических проблем XX в., решение которых откроет новые горизонты в её развитии. С докладом выступил британский учёный Эндрю Уайлз (рис. 2), доказавший в 1995 г. Великую теорему Ферма2.
Определив семь «задач тысячелетия»3, ведущие математики провели серию лекций, в которых напомнили об их сути. Один из крупнейших математиков XX в. Майкл Атья (рис. 3) начал с гипотезы, сформулированной Анри Пуанкаре ещё в 1904 г. [2]. Над ней бились многие знаменитые математики, но безуспешно. М. Атья предположил, что в её решении может помочь физика. Никто из собравшихся в Париже математиков не предполагал, что решение будет найдено так быстро. Новые варианты доказательства гипотезы Пуанкаре публиковались почти каждый год, однако последний значительный успех был достигнут в 1982 г, когда Ричард Гамильтон предложил план решения, но признал, что следовать ему слишком сложно. Приемлемую альтернативу тогда никто предложить не смог [6].
Рис. 2. Британский математик Эндрю Уайлз (1953 г. р.) докладывает первый вариант своего доказательства Великой теоремы Ферма (23 июня 1993 г., Кембридж, Англия) [4]
Н^Иьс- щЯ
'¡Щ
нВнш^ * | Ш и г Ш 1 яЩ
Ку щ гШ и-! Я 1
Рис. 3. Английский математик Майкл Атья (1929-2019 гг.) [7]
2 Пьер Ферма (1601 - 1665 гг.) - французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии - юрист. Из трудов Пьера выделяется его теорема, названная Великой теоремой Ферма (сформулирована в 1637 г.). Ферма заявлял: нет ни одного нетривиального решения для уравнения хп + у = г" при п > 2, являющегося целым числом [5].
Три столетия ушло у математиков, чтобы доказать это простое утверждение. Сотни учёных пытались вывести доказательство, но в лучшем случае они могли лишь доказать, что уравнение не имеет решения только при определённых показателях степени. Сам Ферма чуть позже опубликовал доказательство для случая п = 4. Крупнейшие математики (Эйлер и Гаусс) также могли привести доказательство теоремы лишь для определённых случаев. Первая серьёзная попытка найти решение для всех показателей п была проделана французским математиком Софи Жермен (1776-1831 гг.) в начале XIX в. Теорема Ферма не имеет очевидной практической ценности. Однако трудная достижимость доказательства возбуждала умы многих поколений математиков [5].
3 Список называется «Проблемы тысячелетия»:
а) Проблема Кука. Нужно определить, может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии - шифрованию данных.
б) Гипотеза Римана. Существуют так называемые простые числа, например, 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, неизвестно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет, тоже окажет услугу криптографии.
в) Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера. Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведёнными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
Назначение награды в миллион долларов за разгадку гипотезы Пуанкаре подвигло как отдельных исследователей, так и целые коллективы включиться в интенсивную работу по поиску её решения, однако продвинуться в данном направлении смог только малоизвестный российский математик, подписывающий свои англоязычные работы очень скромно: «Гриша Перельман». В ноябре 2002 г он опубликовал в Интернете статью, посвящён-ную доказательству гипотезы Пуанкаре [1, 6, 8].
События развивались не так, как предполагалось в плане Института Клэя. Григорий Перельман не стал публиковать свои результаты в солидном научном журнале, а разместил препринты на сайте arXiv.org. В них он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипо-
тезы геометризации Тёрстона. Он отказался проверять и даже читать объяснения своего решения, опубликованные другими математиками. Лучшие университеты мира предлагали ему работу, однако Григорий отверг все приглашения. Он не принял медаль Филдса4 - высшую математическую награду, которую ему присудили в 2006 г. Наконец, Григорий Перельман устранился от общения не только с коллегами-математиками, но и почти со всеми остальными людьми [6, 8].
Загадочное поведение Григория Перельмана привлекло к решённой им задаче такое внимание, которого история математики не знала. Интерес подогревала и беспрецедентная величина награды, ожидавшая Пе-рельмана, и история с плагиатом, когда китайские математики при активном участии Яу Шин-Тана5 попытались
г) Гипотеза Ходжа. В XX в. математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые, склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
д) Уравнения Навье-Стокса. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают в воздухе, например, самолёт. Сейчас их решают по приблизительным формулам. Нужно найти точные формулы и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение, которое всегда верно.
е) Уравнения Янга-Миллса. В мире физики существует гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то существует и её нижний предел. Но какой - непонятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задача. Для её решения необходимо создать «теорию всего»: уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет это сделать, вероятно, получит Нобелевскую премию.
ж) Гипотеза Пуанкаре. Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
В последней задаче для математиков важен факт трудности самого доказательства. В ней в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть глубже в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей нового поколения [1].
За разгадку каждой проблемы была назначена награда в миллион долларов. Институт Клэя определил чёткий порядок вручения премии. Решение задачи должно быть опубликовано в рецензируемом научном журнале. В последующие два года математическое сообщество проверяет предложенное решение и приходит к согласию в вопросе его правильности и авторского приоритета. Наконец, следуя рекомендации наградного комитета, Институт Клэя вручает победителю миллион долларов. Уайлз предполагал, что решение одной из задач тысячелетия может появиться не ранее чем через пять лет [6].
4 Медаль Филдса - престижная награда Международного математического союза, иногда называемая аналогом Нобелевской премии для математиков, которых, как известно, Альфред Нобель обошёл в завещании. Она чеканится раз в четыре года на Королевском монетном дворе Канады и вручается королём Норвегии после соответствующего решения очередного Всемирного математического конгресса учёным, не достигшим возраста сорока лет. Число лауреатов должно быть больше двух и меньше четырёх. На аверсе медали (рис. 4, слева) изображено лицо Архимеда из коллекции гемм Колумбийского университета и латинская надпись, принадлежащая римскому поэту I в. н. э. Манилиусу: «Выйти за круг обыденных представлений и ощутить себя хозяином Вселенной». На оборотной стороне (рис. 4, справа): «Всемирное собрание математиков награждает этой медалью за решение нерешаемого». Далее следует лавровая ветвь, а также знаменитая диаграмма с могилы Архимеда, содержащая цилиндр, вписанный в сферу (по легенде, Архимед завещал изобразить это на надгробии, считая своим важнейшим математическим достижением) [1].
5 Яу Шин-Тан - единственный китаец, награждённый медалью Филдса. Он был очень жёстким, честолюбивым, упорным человеком, способным круглыми сутками работать над решением проблемы. Главным вкладом Яу в математику стало доказательство гипотезы Калаби на классе многообразий, которые с тех пор получили название многообразия Калаби-Яу (рис. 5). Эта теорема имела большое значение для математической физики. Она стала фундаментом для теории струн. Яу хотел сохранить за собой статус лидера в топологии многообразий. Для доказательства гипотезы Пуанкаре он привлёк Ричарда Гамильтона. По оценкам Григория Пе-рельмана, сотрудничая с Яу Шин-Таном, Гамильтон заметно замедлился в своих исследованиях, столкнувшись с непреодолимыми техническими трудностями. Перельман считал, что Гамильтон не имел новых прорывных
идей для преодоления сингулярностей в потоках Риччи, начиная уже с 1992 г., а может и ранее [11].
Рис. 4. Медаль Филдса [9]
Рис. 5. Одно из представлений трёхмерного сечения шестимерного многообразия Калаби-Яу [10]
оспорить вклад Перельмана в доказательство гипотезы Пуанкаре [6, 11].
Всё это было позже, а вначале, после размещения на сайте агХм первого препринта, Григорий Перель-ман готовился к поездке в США, получив приглашение от Андерсона посетить Стони-Брук, а также от давнего коллеги, китайского математика Тяна, приехать в Мас-сачусетский технологический институт (МТИ). Пока Григорий добивался американской въездной визы, он опубликовал (10 марта 2003 г) на сайте агХм второй из трёх своих препринтов [6].
Перельман приехал в МТИ в начале апреля 2003 г. Тяну показалось, что он почти не изменился: такой же худощавый, с длинными волосами и ногтями на руках, только без коричневого вельветового пиджака. Поразил же его облик тех, кто увидел Перельмана впервые. Тем не менее, он полностью соответствовал представлению о чудачествах математиков [6].
Выступление Перельмана в МТИ было чётким и доходчивым, что резко отличало его от неудачного доклада на Международном конгрессе в 1994 г. В течение двух недель после этой лекции Григорий почти ежедневно выступал перед меньшей аудиторией и по нескольку часов отвечал на вопросы, касавшиеся почти исключительно гипотезы геометризации (рис. 6). «Он был сосредоточенным и очень целеустремлённым, - рассказал позже Тян. - Он способен игнорировать многое из того, чему люди придают значение, и сосредоточиться на математике» [6, с. 171]. В то время Перельман был умиротворённым и даже дружелюбным. Учитывая это, однажды вечером несколько коллег Тяна навестили Перельмана и попытались убедить российского математика в том, что МТИ может предоставить ему условия для продуктивной работы. На следующий день Тян спросил Григория, что он думает об этом предложении. В ответ Перельман произнёс нечто такое, что вежливый и тихий Тян не решался повторить, когда кто-то интересовался реакцией российского математика на пригла-
Рис. 6. Гоигорий Перельман на одной из лекций в поездке по США [12]
шение. После этого казуса Тян и Перельман, конечно же, вернулись к цивилизованным дискуссиям о топологических множествах, метриках и расчётах. Проблема заключалась не только в том, что молодой учёный не намеревался остаться в США. Восемь лет назад Перельман ждал, что ему предложат профессорский пост, но тогда его заставили доказывать способность преподавать математику, а сейчас получалось так, как будто он доказал это [6, 8].
Если кто и мог авторитетно высказаться о работе Перельмана (в частности, о первом препринте), то это был Ричард Гамильтон. Российский математик следовал намеченной им программе, но Гамильтон хранил молчание. Отсутствие этого учёного на лекции Перель-мана в МТИ вызывало разочарование, но его можно было объяснить дальним рассстоянием. Однако когда Перельман перебрался в Стони-Брук, находящийся всего в полутора часах езды от Нью-Йорка (Гамильтон преподавал в Колумбийском университете), молчание старшего коллеги неприятно удивило Григория [6].
Перельман согласился выступить с лекцией в Принстоне, после которой руководство университета снова предложило ему работу, но Перельман отказался (рис. 7). На следующий день по просьбе Джона Моргана он прочитал лекцию и в Колумбийском университете. Гамильтон пришёл, а после обеда остался послушать дискуссию (рис. 8). В аудитории были только Перель-ман, Морган, Громов (знаменитый геометр работал тогда в Курантовском институте) и Гамильтон. «Все ждали, что Ричард (Гамильтон) скажет, что он об этом думает, - вспоминал Морган. - Это ведь его теория, его идея. Это был удобный повод. Он должен был дать свою оценку... Ричард с самого начала собирался подтвердить (и подтвердил), что то, что было в первой статье (Перельмана), было верно и являлось большим шагом вперёд» [6, с. 177].
В первом препринте речь шла только о потоках Рич-чи - открытии, которое, бесспорно, сделал Гамильтон.
Рис. 7. Гоигорий Перельман излагает свое доказательство гипотезы Пуанкаре и завершение программы Терстона по геометризации на семинаре в Принстонском университете в апреле 2003 г. [13]
Рис. 8. Ричард Гамильтон (1943 г. р.) [14]
Во втором препринте говорилось о потоках Риччи с хирургией. Этот метод также предложил Гамильтон. Однако Перельман соединил метод Гамильтона с пространствами Александрова и привлёк результаты своей совместной работы с Громовым и Бураго. Гамильтон не был специалистом по пространствам Александрова, поэтому ко второму препринту отнёсся, вероятно, с недоверием (и, может быть, с надеждой, что Перельман ошибся). «Мне кажется, он подумал: "А вдруг там ошибка? Тогда, стало быть, появляется место для моего манёвра". Поэтому он, вероятно, решил выждать, посмотреть, что будет», - предположил Морган [6, с. 178]. Когда Гамильтон говорил о работе Пе-рельмана публично, он всегда делал это очень изящно, но не так часто.
Перельман сказал Андерсону, что разочарован уровнем бесед с Гамильтоном. Казалось, что автор метода потоков Риччи не нашёл времени для того, чтобы тщательно изучить доказательство Перельмана. Можно предположить, что причин здесь было несколько. «Гамильтону было не только трудно воспринять логику Перельмана, но ещё и тяжело смириться с видом пролома в стене, о которую он бился головой двадцать лет» [6, с. 179].
Настойчивые попытки руководства Принстона заполучить его, Перельмана, раздражали. Он отказался также от предложений других американских университетов и в мае 2004 г вернулся в Россию. 17 июля того же года Григорий опубликовал третий (последний) препринт, по-свящённый доказательству гипотезы Пуанкаре. На этот раз было всего семь страниц. Таким образом, дальнейшая дискуссия продолжалась уже без него [6].
Летом 2004 г Кляйнер, Лотт, Тян и Морган организовали семинар в Принстоне. Спонсором выступил Институт Клэя, который, был распорядителем милли-
онной премии и решил поставить на Перельмана. Тем временем у этих математиков, глубже других изучивших его работы, не осталось больше сомнений в правильности доказательства. В нём обнаружились несколько ошибок, в изложении были некоторые пробелы, но ничто из этого не мешало заявить: Перельман доказал гипотезу Пуанкаре и, возможно, гипотезу геометризации (по второму вопросу учёные достигли консенсуса чуть позднее). Как и предсказывал Перельман, чтобы разобраться в его доказательстве, учёным потребовалось полтора года. После семинара Тян и Морган решили написать книгу о работе Перельмана, которую обещал напечатать Институт Клэя. Кроме того, институт организовал в 2005 г месячную летнюю школу по изучению доказательства. В 2006 г. Морган и Тян закончили работу над книгой и отправили рукопись Перельману. Посылка вернулась с отметкой: «Адресат от получения отказался» [6].
Григорий Перельман всё чаще упоминал о своём разочаровании в математическом истеблишменте. Разочарование Перельмана в Гамильтоне было тем более горьким, что прежде он считал своего старшего коллегу приверженцем культа чистой математики. Это подтверждает его рассказ о первой встрече с Гамильтоном в Принстоне [6, 8, 11].
Разочарование Григория Перельмана касалось пока только международного математического сообщества. Он возобновил деятельность в своём институте: несколько раз в неделю посещал семинары и иногда проверял электронную почту. В месяцы, предшествовавшие лекционной поездке в Америку, Перельман поддерживал отношения только с Ольгой Александровной Ладыженской6 - своим новым начальником. После её смерти в январе 2004 г. он почти ни с кем не разговорил. Он занимался, по всей вероятности, темой, близкой к сфере научных интересов Ладыженской. Перельман получил повышение по службе - стал ведущим научным сотрудником лаборатории математической физики. Обычные кандидаты наук редко получают такую должность. Институтские доброжелатели советовали Перельману написать докторскую диссертацию, что могло потребовать публикации результатов и защиты их на диссертационном совете. Эту идею Перельман, естественно, высмеял. «Он считал, что ему это не нужно» - рассказывал директор института Сергей Кис-ляков, не собиравшийся отступать от правил, которые, по его мнению, едины для всех. Перельман же признавал только те правила, которые полагал разумными [6].
В конце 2004 г. Григорий Перельман съездил в Москву на общее собрание Отделения математических наук РАН в качестве представителя Математического института им. В. А. Стеклова РАН и прочитал доклад о гипотезе Пуанкаре. В начале декабря 2005 г. он уволился. Директору института, который попросил его зайти, Перельман сказал: «Я не имею ничего против людей
6 Ольга Александровна Ладыженская (1922-2004 гг.) - советский и российский математик, специалист в области математической физики, теоретической гидродинамики, дифференциальных уравнений, академик АН СССР (1990 г.), академик РАН (1991 г.) [15].
здесь, но друзей у меня тут нет. Я разочаровался в математике и хочу попробовать что-нибудь ещё. Я ухожу» [6, с. 201-202].
На конец лета 2006 г было намечено проведение Международного конгресса математиков в Мадриде. Организационный комитет отправил Григорию Перель-ману приглашение прочитать лекцию на форуме. Пе-рельман отказался, что стало для организаторов большой неожиданностью. Этот конгресс был первым с тех пор, как Перельман начал публиковать своё доказательство, и оно должно было стать главной темой. В то же время комитет по присуждению медали Филдса, действующий независимо от оргкомитета конгресса, назвал Перельмана среди других награждённых. Филдсовский комитет поручил своему председателю Джону Боллу посетить Григория Перельмана в Петербурге. Переговоры показали, что Перельман не собирается принимать медаль [6]. «Отказ Перельмана от Филдсовской медали может показаться кому-то высокомерным, но его принципы вызывают восхищение, - сказал Михаил Громов. - Идеальный учёный занимается только наукой и не думает больше ни о чём. Перельман хочет соответствовать этому идеалу» [11].
Конгресс в Мадриде открылся 22 августа. Средства массовой информации получили пресс-релиз о том, что Перельману присуждена медаль Филдса «за вклад в геометрию и революционный подход к изучению аналитической и геометрической структуры потоков Риччи». Конгресс прошёл без него. Джон Лотт посвятил своё выступление его карьере и судьбе доказательства. Два часа спустя Ричард Гамильтон провёл семинар по гипотезе Пуанкаре. Анонс этой дискуссии, вероятно, сочинил сам Гамильтон: текст представлял собой виртуозную попытку поделить вклад в доказательство гипотезы. Там говорилось, например, что программа была сформулирована Гамильтоном и Яу (см. сноску 5), в важной части осуществлена Перельманом, который «объявил о выполнении программы» [6, 11]. Тем не менее, в дискуссиях на конгрессе Гамильтон, упоминая Перельмана и его работу, был неизменно любезен. Один из делегатов вспоминал: «Гамильтон заявил о том, что сначала не поверил Перельману, утверждавшему, что он решил проблемы, связанные с потоками Риччи, и завершил программу Гамильтона». Однако после внимательного изучения доказательства ему пришлось признать, что Перельман оказался прав. «Это было искреннее восхищение, - рассказывал Джефф Чигер. - Тем более, что первой его реакцией было: "Этот человек, наверное, спятил"» [6, с. 214].
К концу работы конгресса математическое сообщество согласилось с позицией большинства топологов: Григорию Перельману удалось полностью доказать гипотезу Пуанкаре. Теперь Институт Клэя мог отсчитывать время до вручения «премии тысячелетия» [6].
Окончание следует
Список литературы
1. Арсенов, О. О. Гоигорий Перельман и гипотеза Пуанкаре / Олег Арсенов. - М. : Эксмо, 2011. - 256 с. : ил. - (Люди науки).
2. Турбина, М. И. «Задача тысячелетия» и Гоиго-рий Перельман / М. И. Турбина // Наука и техника в Якутии. - 2020. - № 2 (39). - С. 107-114.
3. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https:// claymath.org/sites/default/files/entranceJto_school_of_ mathematics_building_university_of_bristol_-_dsc05808. jpg. - Дата обращения : 8.08.21.
4. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https:// elementy.ru/trefil/21135/Velikaya_teorema_Ferma - Дата обращения: 8.08.21.
5. Математика / [пер. с англ. И. Карнаушко; науч. ред. С. Михаеску; под ред. Ричарда Брауна]. - М. : РИПОЛ классик, 2015. - 160 с. : ил.
6. Гессен, М. Совершенная строгость. Григорий Перельман : гений и задача тысячелетия : документальная проза / Маша Гессен [пер. с англ. И. Криге-ра]. - М.: Астрель : CORPUS, 2011. - 272 с.
7. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https:// kpfu.ru/portal/docs/F_1677882109/atya.jpg - Дата обращения : 8.08.21.
8. Турбина, М. И. «Задача тысячелетия» и Григорий Перельман / М. И. Турбина // Наука и техника в Якутии. - 2021. - № 2 (41). - С. 110-116.
9. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https:// ru.wikipedia.org/wiki/Филдсовская_премия. - Дата обращения : 19.11.21.
10. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://ok.ru/kvantovaya/topic/68929451619769. - Дата обращения: 10.08.21.
11. Назар, Сильвия и Гербер, Дэвид. Легендарная задача и битва за приоритет. Перевод vadda -http://vadda.livejournal.com/42798.html (Нью-Йоркер, 21/08/2006).
12. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://iknigi.net/books_files/online_html/188145/i_007.jpg. -Дата обращения: 9.08.21.
13. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http:// www.modcos.com/articles.php?id=118. - Дата обращения : 10.08.21.
14. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http:// dfgm.math.msu.su/topics/topic11.php. - Дата обращеня : 11.08.21.
15. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://ru.wikipedia.org/wiki/ Ладыженская,_Ольга_Алек-сандровна. - Дата обращения : 10.08.21.
