CC BY
47«ЗАДАЧА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ» И'ГРИГО
РИЙ П
(Начало в . .
) _ за. -2020' г.)
Маргарита Ивановна Турбина,
криолитолог
Трудность решения задачи Пуанкаре для трёхмерного случая была связана с тем, что систематическая классификация трёхмерных многообразий долгое время оставалась нерешённой проблемой из-за чрезвычайной сложности форм некоторых из них. В начале 1980-х годов Уильям Тёрстон1 (рис. 1, а, б) представил новое видение систематизации всех возможных конечных трёхмерных форм [5, 6].
М. И.Турбина DOI: 10.24412/1728-516Х-2021-1-98-104
Мы не можем решать проблемы, используя те же подходы в мышлении, которые мы использовали, чтобы проблемы создавать.
А. Эйнштейн
В работе 1982 г. Тёрстон выдвинул гипотезу геометризации, в основе которой была идея применения к изучению трёхмерных фигур двух, на первый взгляд, несопоставимых подходов: геометрии, характеризующейся углами, длинами, областями, объёмами, и топологии, изучающей свойства формы, не меняющейся, если её растянуть или перекрутить [7].
Тёрстон говорил о трёхмерных множествах так, как будто он видел
1 Тёрстон Уильям Пол (1946-2012 гг.) - американский математик. Пионер в области маломерной топологии. В 1982 г. получил премию Филдса за глубокий и оригинальный вклад в математику [2].
На фото вверху - один из вариантов визуализации топологических преобразований Перельмана при решении задачи Пуанкаре [1, с. 102]
Ь I, -. гШ?4 ■ ■
} if 1 j 1 Щ я
a /я ÄS* h
«il w M
Рис. 1. а - Уильям Тёрстон в Беркли (1991 г.) [3];
б - топологическая шутка - «заузленный» Тёрстон [4]
их2, мог манипулировать ими, и очень любил иллюстрировать свои идеи с помощью ножниц и бумаги. Предлагая систематизацию всех трёхмерных многообразий, учёный утверждал: «Несмотря на то, что многообразия могут принимать любую форму, в действительности они тяготеют к некоторой "предпочтительной" геометрии (подобно тому, как кусок шёлка, обёрнутый вокруг манекена, стремится принять его форму)» [9].
Суть гипотезы геометризации заключается в том, что всякое компактное трёхмерное многообразие можно определенным образом разрезать на куски и в каждом из них ввести один из восьми типов3 модельных геометрий, включая сферический. Таким образом, описывая все возможные трёхмерные многообразия, гипотеза Тёрстона явилась очень важным обобщением гипотезы Пуанкаре. То есть гипотеза Пуанкаре - это частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трёхмерных поверхностей [6, 9].
Гипотеза геометризации Тёрстона более сложна и менее знаменита. Если бы ему удалось её доказать, то справедливость гипотезы Пуанкаре стала бы простым следствием последней. Но Тёрстон не смог этого сделать. «Я видел, что Билл (Тёрстон) делает успехи, - вспоминал Морган. - И когда у него ничего не вышло, я подумал - раз у него ничего не вышло, то не получится ни у кого. Как сказал как-то Джефф Чигер (один из ведущих американских математиков. - Прим. М. Т.), заниматься гипотезой Пуанкаре стало слишком трудно» [6, с. 158-159].
Многие математики избрали тогда другую сферу приложения усилий. Однако Ричард Гамильтон4, профессор из Беркли (Калифорния), продолжал работать над гипотезой Пуанкаре, а затем и Тёрстона (рис. 2). Он применил подход, суть которого состоит в том, что для геометрических
Рис. 2. Ричард Гамильтон (1982 г.)
Фото George M. Bergman [12]
2 Некоторые математики выработали в себе значительную геометрическую интуицию и способны «видеть» (внутренним зрением) фигуры четырёхмерного пространства [8]. Например, американский геометр Уильям Тёрстон обладал способностью вообразить четыре измерения, а его геометрическая интуиция была несравнима ни с чьей. Джон Морган, профессор Колумбийского университета, вспоминал: «Когда вы смотрите на него или говорите с ним, часто бывало так - он смотрит в пространство, а вы понимаете - он видит в этот момент картинки. Такого глубокого интуитивного проникновения в геометрию я не встречал ни у кого. Есть ли другой такой математик как Билл Тёрстон? Как человек может обладать такой способностью к постижению геометрии? У меня самого есть приличные математические способности, но я и близко не подошёл к умозаключениям, какие делает он» [6, с. 158].
3 Наиболее известными и употребляемыми в нашей практике являются евклидова, сферическая (Римана) и гиперболическая (Лобачевского) геометрии. В трёхмерном пространстве кроме трёх указанных существует ещё пять так называемых синтетических геометрий [10]. Необходимость применения геометризации следует из того, что классифицировать трёхмерные многообразия гораздо сложнее двумерных, и большинству из них нельзя поставить в соответствие однородную геометрию. Поэтому трёхмерное многообразие приходится разделять на части, каждую из которых можно преобразовать в одну из восьми (см. выше) канонических трёхмерных геометрий [11].
4 Ричард Гамильтон (1943 г. р.), сын врача из Цинциннати (США), опровергал сложившийся стереотип математика, как засушенного «ботаника». Эпитет, которым обычно награждали Гамильтона журналисты, - «колоритная личность». Это подразумевало, что Гамильтона интересовала не только математика. Он был дерзким и непочтительным человеком, ездил верхом, занимался виндсёрфингом, а его репутация мачо затмевала репутацию учёного. К сорока девяти годам он считался превосходным лектором, но количество опубликованных работ было относительно невелико, если не считать базовых статей о потоках Риччи. Однако именно Гамильтоном была предложена, но не завершена программа исследований, которую в дальнейшем развил Григорий Перельман, доказавший гипотезу Пуанкаре [1, 6,12].
объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», в качестве которого он использовал предложенное им в 1982 г уравнение, названное потоками Риччи (в честь математика Грегорио Риччи-Курбастро). Поток Риччи - это уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Оно позволяет деформировать риманову (сферическую) метрику на многообразии. Подобно уравнению теплопроводности, которое описывает тепловые потоки, протекающие в неравномерно нагретом теле до тех пор, пока его температура не станет везде одинаковой, уравнение потока Риччи задаёт такое изменение кривизны многообразия, которое ведёт к выравниванию всех выступов и углублений. Например, если начать с яйца, то оно постепенно станет сферическим [6, 11].
Однако методика Гамильтона была в высшей степени специализированной и трудной в применении. В процессе сглаживания пространства потоком Риччи некоторые его области вырождаются в так называемые «сингулярности» - точки, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Это очень неприятные образования, особенно при интерпретации математических моделей, так как в них решения задачи полностью теряют физический смысл. При этом некоторые из областей превращаются в своеобразные «перешейки», имеющие вид странных истончённых участков бесконечной плотности. Ещё один, более сложный тип сингулярностей топологи называют «сигарным», причём сам Гамильтон неоднократно подчёркивал, что в случае формирования «сигар» дальнейшая геометризация становится просто невозможной [1, 11, 13].
Гамильтон предположил, что сингулярности можно обойти. Для этого при подходе к ним функцию -поток Риччи - надо остановить, вручную исправить ошибку и возобновить поток. Когда математики говорят, что они исправили что-то вручную, это означает, что в проблемном месте используется другая функция.
Похожее часто происходит в компьютерном программировании: в различных условиях применяются разные функции. В топологии, где воображаемые «руки» участвуют в воображаемой деформации воображаемых объектов, такое вмешательство называют хирургией. Поэтому метод, предложенный Гамильтоном, назвали потоками Риччи с хирургией [1, 6, 11].
Гамильтон был не первым математиком, решившим, что он знает, как доказать гипотезу Пуанкаре. И не он первым столкнулся с непреодолимыми препятствиями на пути к доказательству. Хотя Гамильтон разработал метод потока Риччи с хирургией и показал, что этот метод эффективен в некоторых случаях, он не смог доказать, что его можно применить к любым сингуляр-ностям. Учёный размышлял над их классификацией, но не мог найти универсального способа обезвредить такие образования или даже определить все их разновидности. Таким образом, Гамильтон стал ещё одним математиком, который делал успехи, но не преуспел, и которому, по выражению Моргана и Чигера, «стало слишком трудно заниматься гипотезой Пуанкаре». Гамильтон застрял, когда ему было сорок лет, и с тех пор ничуть не продвинулся вперёд [6].
Там, где остановился Гамильтон, начал Григорий Яковлевич Перель-ман, математик из Санкт-Петербургского отделения математического института им. Стеклова (ПОМИ) (рис. 3). Ему удалось блестяще преодолеть целый ряд препятствий, с которыми не смог справиться Гамильтон [11]. Перельман показал, что все сингулярности, которые могут возникнуть в процессе деформации, имеют одинаковую природу и могут появиться, когда кривизна начинает неуправляемо раздуваться. Поскольку все сингулярности имеют единую природу, для устранения их всех нужен один инструмент - хи-рургия5. Более того, Перельман доказал, что некоторые сингулярности, о которых говорил Гамильтон, вообще не появятся. Он также показал, что сигарообразные особенности
Рис. 3. Гоигорий Яковлевич Перельман [14]
5 Пытаясь использовать уравнение потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре и геометризации трёхмерных многообразий, учёные столкнулись с трудностями, которые сумел преодолеть Григорий Перельман. Он добавил к уравнению потока Риччи новый член, однако это не устранило проблему особенностей, но позволило провести гораздо более глубокий анализ. Перельман показал, что над многообразием в виде гантели (рис. 4, а), можно провести «хирургическую» операцию, если трубка между сферами пережимается до точечного сечения, нарушающего свойства многообразия (рис. 4, Ь). Тонкую трубку по обе стороны от появляющегося пережима необходимо отрезать (рис. 4, с) и заделать торчащие из шаров открытые трубки сферическими колпачками (рис. 4, d). Затем следует продолжать изменение «прооперированного»
Рис. 4. «Хирургическая операция» локализации особенностей [11]
появляться не могут [6, 11]. Молодой учёный добился успеха благодаря непостижимой способности своего ума охватывать весь широкий спектр возможностей.
Так кто же он такой - Григорий Яковлевич Перель-ман - человек, которому никогда не попадалась задача, которую он не мог решить? Исключением, возможно, стала работа над пространствами Александрова, которой он был занят в Калифорнийском университете Беркли. Перельман и в самом деле тогда застрял. Теперь же перед ним стояла чётко сформулированная задача, путь к решению которой наметил Гамильтон [1, 6].
Гриша Перельман родился 13 июня 1966 г. в Ленинграде. Его отец был инженером-электриком. В 1993 г. он эмигрировал в Израиль. Мать, Любовь Львовна, осталась в Санкт-Петербурге. Всю жизнь до самой пенсии она работала учителем математики, пожертвовав научной карьерой ради сына. Отец воспитал в Грише честность, прямолинейность и бескомпромиссность. Кроме математики, чтения и музыки, Григорий любил многочасовые шахматные поединки с отцом. Страсть к математике и музыке Грише привила мать, которая и сама любила решать с сыном головоломки по алгебре и геометрии. Она была талантливой скрипачкой и сумела передать сыну любовь к классической музыке [1, 15].
Обучение Григория Перельмана математике началось, когда он перешёл в пятый класс. До девятого класса он учился в обычной школе. Неизвестно, как сложилась бы судьба будущего математического гения, если бы мама осенью 1976 г. не привела Гришу в математический кружок при ленинградском Дворце пионеров. Там и проходило развитие математического таланта Гриши Перельмана до самого окончания школы [1, 15].
Основателем и бессменным руководителем математического кружка для одарённых детей был доцент Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена Сергей Евгеньевич Рукшин. Его ученики завоевали 70 медалей на самых престижных математических соревнованиях среди школьников, и именно его называют первооткрывателем таланта Григория Перельмана. Однако одних способностей для успешного продвижения мало. Талантливому ученику нужен хороший наставник! [6]
Гриша решал задачи в уме, не прибегая к черновику. В это время он негромко напевал что-то, кряхтел, раскачивался взад-вперёд, выбивал карандашом ритм, водил ладонями по бёдрам (поэтому со временем брю-
ки начинали лосниться) и, наконец, потирал руки. Это означало, что решение найдено и его осталось только записать. Разум Григория походил на универсальный прибор, способный схватить суть проблемы. Дети в маткружке называли это свойство «дубинка Перельмана» - воображаемое увесистое орудие, которое Гриша держал в уме до тех пор, пока не приходило время нанести решающий удар по задаче, всегда неотразимый. Перельман никогда не выдавал «липу», а его ум был способен осилить очень сложную задачу [6].
В школе учитель математики и классный руководитель Гриши Валерий Адольфович Рыжик опытным глазом учителя выделил многообещающего ученика. Он попытался установить с Перельманом личные отношения, отчасти из-за Гришиной мамы. В начале учебного года она пришла к Рыжику и попросила его проследить, чтобы шнурки ботинок Гриши были всегда завязаны, и чтобы он ел что-нибудь в школьной столовой. Однако Рыжику не удалось добиться успеха: шнурки, как и прежде, волочились по полу, и в школе Гриша не ел. По дороге во Дворец пионеров он забегал в булочную и покупал там батон «Ленинградский» с изюмом внутри и толчёными орехами сверху. Гриша не ел орехов, поэтому позволял товарищу по кружку Саше Голованову их соскрести. Когда увлёкшийся Саша стремился помочь Перельману и с изюмом, то получал по рукам [6].
По воспоминаниям тех, кто когда-либо общался с Гришей Перельманом, он был очень терпелив, объясняя всё, касающееся математики любому из одноклассников, однако искренне удивлялся, если слушатели не могли понять настолько простые, по его мнению, вещи. Одноклассники хорошо помнят его вежливость и увлечённость математикой. Никто из них не упомянул, что Перельман забывал завязать шнурки или о том, что в выпускном классе ногти Гриши были настолько длинными, что даже загибались [6].
Одарённый юноша Григорий Перельман был зачислен и с блеском окончил знаменитую школу № 239 с углублённым изучением математики6, при этом постоянно побеждал на многочисленных математических олимпиадах, за что его имя занесено на школьную доску почёта (рис. 5, 6) [6, 15].
В классе, где учился Гриша Перельман, талантливых детей было много, но именно он отличался тем, что очень ответственно готовился к каждому уроку. С ребятами Гриша поддерживал только дружеские отношения. Он хорошо играл в настольный теннис, посещал
многообразия в соответствии с уравнением потока Риччи, а ко всем возникающим пережимам применять вышеописанную процедуру [11]. Тщательная классификация возникающих в трёхмерном случае сингулярностей позволила заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сфере (подразумевается возможность трансформирования данных объектов один в другой). Это означает, что исходное многообразие можно представить, как набор сферических пространственных форм, соединённых друг с другом трубками. Таким образом, данное многообразие является связанной суммой набора сфер, то есть сферой [1].
6 История математических школ начинается с Андрея Николаевича Колмогорова (1903-1987 гг.) - крупнейшего математика XX века. Он считал, что математик, стремящийся стать великим, должен понимать толк в музыке, живописи и поэзии. Не менее важным было и физическое здоровье. Весной 1935 г. Колмогоров и Павел Александров (друг Колмогорова) организовали в Москве первую математическую олимпиаду для детей. Это помогло заложить фундамент международных математических олимпиад. Все математические школы отличала невероятная концентрация ученических ресурсов, учительского таланта и живой мысли. Выпускники ленинградской школы № 239 считали, что могли бы спокойно проспать весь первый курс любого университета и, тем не менее, блестяще сдать экзамены [6].
Рис. 5. 9 класс школы № 239
(Гриша Перельман - крайний справа в нижнем ряду) [1, с. 69]
гтТ
Рис. 6. Гриша Перельман на уроке [1, с. 70]
музыкальную школу, за учёбу получал круглые пятерки, писал без единой ошибки. Однако золотую медаль не получил из-за оценки по физкультуре. Дело в том, что Гриша рос полноватым и на «отлично» сдать нормы ГТО так и не смог [6].
В 1982 г Гриша Перельман последний раз в составе команды школьников участвовал в Международной математической олимпиаде в Будапеште, где завоевал золотую медаль, и в том же году был зачислен без экзаменов на математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ) (рис. 7).
За время университетской учебы Григорий подтвердил славу феноменального «решателя» математических задач. Он постоянно побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Перельман был ленинским стипендиатом, окончил университет с красным дипломом, после чего поступил в аспирантуру (научный руководитель - А. Д. Александров) при Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР [1, 6].
О топологии Гриша впервые узнал, занимаясь в математическом кружке, где приглашённые лекторы иногда рассказывали об этой науке. Топология считается слишком абстрактной для школьников наукой, поэтому эту область знаний начинают изучать в университете. По отзывам преподавателей Перельмана и научного руководителя диплома, старшего научного сотрудника института Юрия Бураго7, Григорий уже в студенческие годы проявил глубокий интерес к различным сложнейшим топологическим проблемам. Причём рассматривал он эти
Рис. 8. Гоигорий Перельман в студенческие годы [16]
Рис. 7. Победители международной математической олимпиады (1982 г.)
(Григорий Перельман - третий справа) [1, с. 72]
умопомрачительные математические построения очень тщательно и старательно, неизменно производил впечатление глубокой сосредоточенности, с которой он перемалывал задачи, всегда пытаясь найти оригинальные, нетрадиционные решения [6].
В университете Григорий Пе-рельман не спешил определять поле деятельности и посещал лекции по нескольким разделам математики, поскольку жил математикой и для математики (рис. 8). Студенты матмеха выбирали будущую специальность и, соответственно, карьеру на третьем курсе. Перельман с таинственным видом заявил, что займётся геометрией, так как намерен отправиться в страну, населённую немногочисленными «динозаврами», и, может быть, стать одним из них [6].
7 Юрий Дмитриевич Бураго (1936 г. р.) - советский и российский математик, профессор, доктор физико-математических наук, специалист по дифференциальной геометрии и топологии [16].
Рис. 9. Виктор Абрамович Залгаллер (1920-2020 гг.) [17]
Рис. 10. Академик Александр Данилович Александров (1912-1999 гг.) [18]
Рис. 11. А. Д. Александров на Памире (1968 г.).
Фото Андреева [19]
Геометрия казалась анахронизмом в математическом сообществе Ленинграда 1980-х годов. В ней не было ничего, подобного блеску теории вычислительных систем или романтике теории чисел. Занимались геометрией лишь несколько престарелых математиков. Один из студентов вспоминал, что Григорий был как бы пришельцем из другого времени и пространства. Он казался странным и своеобразным даже в таком прибежище эксцентриков, как математический факультет. Его сознательное стремление стать «динозавром» было по-своему разумным. Возможно, заявление Перельмана говорило и о том, что к тому времени окружающие и их поведение уже порядком раздражали его. Избранное поле деятельности, похоже, привлекало тех немногих, чей кодекс поведения был так же строг как его собственный [6].
«Проводником» в страну динозавров, на которого он мог бы в случае необходимости опереться, Перельман выбрал геометра Виктора Абрамовича Залгаллера8, которому было за шестьдесят (рис. 9). Григория мало заботил стиль преподавания Залгаллера, как и стиль всех остальных его наставников. Перельмана, видимо, привлекало в нём другое - некоторые аспекты отношения к миру. Залгаллер всегда поступал в соответствии с собственными принципами. Они были не только строже, чем у других (это было важно и для Перельмана),
но и часто оказывались недоступными ничьему, кроме самого Залгаллера, пониманию [6].
«Мне было нечему его [Перельмана] учить, - вспоминал Залгаллер. - Я подбрасывал ему небольшие заковыристые задания. Когда он решал их, я смотрел, можно ли это опубликовать. Поэтому к окончанию университета у него уже было несколько статей» [6, с. 106]. Таким образом, Залгаллер продолжал давать Перельману пищу для ума, как это делал Рукшин, и ненавязчиво помогал ученику найти свой путь в качестве самопровозглашённого «динозавра».
Григорию Перельману необычайно повезло. В те годы первокурсникам матмеха геометрию преподавал крупнейший геометр и тополог, основатель ленинградской геометрической школы, академик АН СССР Александр Данилович Александров9. Этот пожилой невысокий человек с квадратной бородой был живой легендой, отличался неформальным подходом к обучению и огромным интеллектом (рис. 10). Помимо достижений в науке, Александров был мастером спорта по альпинизму (рис. 11). Последнее восхождение он совершил на пик Панфилова (Тянь-Шань, 4300 м) в год своего семидесятилетия.
Перельмана привлекало в Александрове его отношение к математике и жизни в целом.
8 Виктор Абрамович Залгаллер (1920-2020 гг.) - советский и российский математик, геометр. Залгаллер многое сделал для создания первой ленинградской физико-математической школы № 239, преподавал в ней в 1961-1962 годах. Профессор математико-механического факультета Петербургского университета. С 1948 по 1999 год - научный сотрудник ленинградского/ петербургского отделения Математического института им. Стеклова. С осени 1999 г. жил в Израиле [17].
9 Александр Данилович Александров (1912-1999 гг.) - советский и российский математик, физик, философ. Организатор образования и науки в системе высшей школы. Ректор Ленинградского государственного университета (1952-1964 гг.). Академик АН СССР и РАН. Заслуженный деятель науки и техники РСФСР Лауреат Сталинской премии. Мастер спорта СССР по альпинизму [18].
Вклад Александрова в математику проходил под девизом «Назад - к Евклиду». Сам он отмечал, что «пафос современной математики в том, что происходит возврат к грекам». Это был некоторый отход от дифференциальной геометрии. Основные научные достижения А. Д. Александрова относятся к геометрии поверхностей, где он создал методы изучения метрических свойств фигур, породившие новый объект исследования - нерегулярные метрические многообразия, более общие, нежели римановы пространства. Эти методы существенно расширили область геометрических исследований и привели к решению ряда классических проблем теории поверхностей. В частности, был разработан наглядный метод разрезания и склеивания поверхностей, который позволил решить
Александров-учёный был безмерно щедр. «Он подкидывал темы, перспективные идеи своим ученикам», -вспоминал Залгаллер. Александров был королём геометрии не только Ленинграда, но и, возможно, всего СССР Его ученик вспоминал, что когда Александрова попросили составить историю советской геометрии, тот ответил: «Это было бы нескромно - там кроме меня никого не было» [6, с. 110-111]. Другой ученик решил стать геометром, услышав слова одного из профессоров о том, что Александров «...открыл в математике новые миры и сейчас пребывает там в одиночестве» [6, с. 111]. Скорее всего, и реплика Перельмана насчёт «динозавров» относилась в основном к Александрову.
Встреча с Александровым была судьбоносной для Перельмана. Александр Голованов (с ним Перельман продолжал общаться) считает, что Александров оказал на Григория большое влияние. «Александров, как и Перельман, просто не умел не верить. Он был способен отвергать, сопротивляться, даже ненавидеть, но не верить он не мог» [6, с. 107]. Голованов полагает, что Перельман похож на Александрова. Оба поступают в соответствии с прекрасным (по мнению Голованова), но отвергаемым другими, высказыванием: «Иди своим путём, и пусть другие говорят что угодно» [6, с. 106]. Григорий Перельман принял критерии и концепцию честности Александрова. Позднее он начал применять их ко всем, с кем общался. Возможно, именно это и привело Перельмана к тому, что в последующие двадцать лет поддерживать отношения он сможет только с матерью и Рукшиным [6].
Жизнь Перельмана могла сложиться иначе, если бы не удивительно бесстрашная манера Александрова руководить университетом. Топологию в вузах фактически не изучали до начала 1960-х годов. В поисках человека, который мог бы развивать этот раздел в Ленинграде, Александров остановился на Владимире Абрамовиче Рохлине (1919-1984 гг.) - ученике крупнейших математиков А. Н. Колмогорова и Л. С. Понтрягина (1908-1988 гг.). Рохлин оказался на высоте: двенадцать его учеников защитили докторские диссертации. Среди них был Михаил Громов, один из крупнейших геометров нашего времени. Он ввёл Перельмана в круг иностранных математиков [6].
Продолжение следует
Список литературы
1. Арсенов, О. О. Гоигорий Перельман и гипотеза Пуанкаре / О. О. Арсенов. - М. : Эксмо, 2011. - 256 с. -(Люди науки).
2. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https:// шм^рв^а.огдМк1/Тёрстон,_Уильям_Пол. - Дата обращения: 31.07.2021.
3. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https:// www.pvsm.ru/cat/mnogoobraziya. - Дата обращения : 27.07.2021.
4. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http:// dfgm.math.msu.su/topics/topic11.php. - Дата обращения : 3.08.2021.
5. Тёрстон, У. П. Математика трёхмерных многообразий / Уильям П. Тёрстон, Джеффри Р. Уикс // В мире науки. - 1984. - № 9.
6. Гессени, М. Совершенная строгость. Гоигорий Перельман : гений и задача тысячелетия : документальная проза / Маша Гессени [пер. с англ. И. Криге-ра].- М. : Астрель : CORPUS, 2011. - 272 с.
7. Турбина, М. И. «Задача тысячелетия» и Григорий Перельман / М. И. Турбина // Наука и техника в Якутии. - 2020. - № (2) 39. - С. 107-114.
8. Успенский, В. А. Апология математики : [сборник статей] / В. А. Успенский. - СПб : Амфора. ТИД Амфора, 2011. - 554 с. - (Серия «Новая эврика»).
9. Назар, Сильвия и Гербер, Дэвид. Легендарная задача и битва за приоритет [Электроннный ресурс]. Перевод vadda. - Режим доступа : http://vadda. livejournal.com/42798.html.(Нью Йоркер, 21/08/2006).
10. Медных, А. Д. Трёхмерный мир, в котором мы не живём /А. Д. Медных//Наука из первых рук. - 2006. -№ 2. - Март.
11. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.modcos.com/articles.php?id=118. - Дата обращения : 31.07.2021.
12. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : httpsJ/www.turkaramamotoru.com/ru/Гамильтон,-Ричард-(математик) - Дата обращения : 27.07.2021.
13. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : www.aonoprienko.ru/?p=5434. - Дата обращения : 31.07.2021.
14. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://nlo-mir.ru/chelovek/kazus-grigorija-perelmana. html. - Дата обращения : 3.08.2021.
15. Головко, В. Математик Григорий Перельман -лауреат медали Филдса / Владимир Головко // Наука и техника. - 2016. - № 91 (124). - С. 50-54.
16. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://4ipping. com/2020/08/20/burago-yuriy-dmitriyevich/. - Дата обращения : 31. 07.2021.
17. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Zalgaller. - Дата обращения : 27.07.2021.
18. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://ru. wikipedia. org/wiki/Александров,_Александр_ Данилович). - Дата обращения : 31.07.2021.
19. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// www.alpklubspb.ru/ass/a606.htm. - Дата обращения : 31.07.2021.
многие экстремальные задачи теории многообразий ограниченной кривизны. Появился известный класс метрических пространств, обобщающих римановы пространства, в которых осмыслено центральное для римановой геометрии понятие кривизны. Эта область исследований получила название «геометрия Александрова», которая по сей день активно развивается. Так называемые «Пространства Александрова» изучают во всех математических аудиториях мира, публикуются новые монографии и статьи в развитие его идей. Необходимо отметить, что роль ленинградской школы в решении гипотезы Пуанкаре не замечают [13, 19].
