ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ НА ЛУНУ И СОЛНЦЕ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3-4 (60-61) / 2017.

УДК 521.1:531

©2017. А.И. Андрюхин, А.М. Ковалев, С.Н. Судаков

ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ НА ЛУНУ И СОЛНЦЕ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Движение системы Земля-Луна-Солнце рассматривается как задача трех тел. Уравнения движения записаны в невращающейся системе координат с началом в центре масс Земли. Для решения уравнений использован численный метод Рунге-Кутта. Даны формулы пересчета координат Луны и Солнца в систему координат, связанную с какой-либо точкой поверхности Земли.

Ключевые слова: задача трех тел, система Земля-Луна-Солнце, описание траектории движения, решение в координатах с наблюдателем в центре.

Введение. Задаче трех тел и движению системы Земля-Луна-Солнце посвящена обширная литература [1] - [4]. Эта задача имеет важное научное значение и находит широкие приложения в такой важной современной области техники, как космонавтика. Во многих случаях задача трех тел решается либо в инерциальной , либо в невращающейся системе координат, начало которой совпадает с каким-либо из трех тел, рассматриваемых как точечные массы. В предлагаемой работе уравнения задачи трех тел записывается в невращающейся системе координат, начало которой находится в центре масс Земли. Уравнения движения решаются численным методом Рунге-Кутта. Такой подход позволяет решить задачу трех тел и тем самым описать движение Луны и Солнца относительно Земли на сравнительно коротком интервале времени (месяцы, годы, десятилетия). Однако, он не дает ясного представления наблюдателю, находящемуся в заданной точке поверхности Земли, где именно будут находиться Луна и Солнце в определенный момент времени и какую траекторию они будут описывать по отношению к наблюдателю. Для решения этого вопроса в работе строятся преобразования, позволяющие представить результаты решения в системе координат, начало которой совпадает с положением наблюдателя.

1. Уравнения движения. Обозначим через О^пС неподвижную декартову систему координат, начало которой совпадает с общим центром масс системы трех тел. В этой системе координат уравнения движения системы трех тел имеют вид

6 = ^(6 "6)+ -6),

1У>'~' ГУ"-'

'12 '13

т = - щ) + - щ), и)

'32 '33 (1)

Ci = 4(Ca-Ci) + ^(i8-ii),

'12 '13

£2 = 1з2 - £2) + 2з - £2),

^2 = Ц1 - П2) + Цз 1з - П2),

<2 = 1з2 - С2) + 4(Сз Пз С2),

оо ' 1зз - £з) + £<6 2з - £з),

^з = Ц1 - Пз) + Ц2 2з - Пз^

00 1зз - Сз) + 2з - Сз),

где т1,т2,тз - соответственно массы Земли, Луны и Солнца; ц = Gmi г = 1, 2, 3, G - гравитационная постоянная; £1,^1,6 - координаты центра масс Земли, £2, С'2 ~ координаты центра масс Луны, £3, щ, Сз - координаты центра масс Солнца; г 12 = \/(¿¡2 — ¿д)2 + (ч]2 — щ)2 + (С2 — С1)2 ~~ расстояние от Земли до Луны, Г13 = у/(£3 — ¿д)2 + (г)з — г] 1)2 + ((з — С1)2 _ расстояние от Земли до Солнца, г23 = л/(6 - Сз)2 + (>1'2 - ПзУ2 + (С2 - Сз)2 - расстояние от Луны до Солнца.

Через 01хуг обозначим систему координат, начало 01 которой совпадает с центром масс Земли, а оси направлены параллельно соответствующим осям системы 0£п(- Вводя новые переменные

Х2 = £2 - £1, У2 = П2 - П1, ¿2 = С2 - С1,

Хз = £з - £1, Уз = Пз - П1, ¿3 = Сз - С1, представим уравнения движения (1) в виде

Л Ц2 . Цз

41 = о~Х'2 + о-Жз,

'12 '1з

Ц2 , Цз

т = -ГУ2 + -з-З/з, (2)

12 2з Л Ц2 . Цз

(,1 = о-22 + ^3-23,

/У»" 1У>'~'

'12 ' 1з

Ц1 + Ц2 . Цз , ч Цз

Ж2 =--О-Ж2 + -^-(Жз - Ж2)--о-Жз,

з з з

'12 '2з '1з

Ц1 + Ц2 , Цз , ч Цз

У2 =---3-У2 + -г (уз - У2) - ~гУз,

'12 '2з '1з

Ц1 + Ц2 . Цз , ч Цз (3)

¿2 =--з-22 + 3 - 22]--Г^З,

з з з

' 12 ' 2з ' 1з

Ц1 + Цз , Ц2 / Ч Ц2

Жз =--О-Жз + -о-(ж2 - Жз)--ГЖ2,

з з з

'1з '2з '12

У3

Ц-1 + № . № , ч №2

Уз + — (У2-УЗ)-— У2,

r

r

23

r

12

+ №3 . №2 , ч №2

Z3 =--5-¿3 + —(¿2 - Z3) - —Z2,

r

r

где

r12

r23

x2 + y2 + z2,

23

Г13

r

12

x2 + y3 + z3,

= \¡(X2 - Хз)2 + (У2 - Уз)2 + (Z2 - 2з)2,

x2,y2,z2 и x3,y3,z3 - соответственно, координаты Луны и Солнца в системе координат O1xyz, начало которой совпадает с центром масс Земли. Система уравнений (3) решается независимо от системы (2). Система (2) решается после того, как будет найдено решение системы (3).

После задания начальных условий уравнения (3) будут описывать движение Луны и Солнца относительно системы координат O1xyz.

2. Формулы пересчета в систему координат, начало которой совпадает с положением наблюдателя. Введем систему координат OiXyZ, жестко связанную с Землей. Начало ее Oi совпадает с центром масс Земли, ось OiX лежит в экваториальной плоскости и направлена к Гринвичскому меридиану. Ось OX3 совпадает с осью вращения Земли и направлена к Северному полюсу.

Положение осей O1zyz относительно O1 xyz определим углами Эйлера ф, ф, 9. Матрица перехода A = (aj) от осей O1xyz к O1 xyz имеет вид

( cos ф cos ф — sin ф cos 9 sin ф sin ф cos ф + cos ф cos 9 sin ф sin 9 sin ф \ — cos ф sin ф — sin ф cos 9 cos ф — sin ф sin ф + cos ф cos 9 cos ф sin 9 cos ф sin ф sin 9 — cos ф sin 9 cos 9

(4)

Введем еще систему координат OxyZ, начало O которой расположено в заданной точке поверхности Земли, ось Оx направлена по касательной к параллели, проходящей через точку O, ось О y - по касательной к меридиану, а полуось ОZ является внешней нормалью к поверхности Земли. Если (x, y, z) - координаты какой-либо точки в системе кооринат O^yz, то ее координаты (x,y, Z) в системе OxyZ определяются формулой

xZ

yZ Z

( cos ф

sin ф

О \ / x \

— sin ф cos 9 cos ф cos 9 sin 9 \ sin ф; sin 9 — cos t/^sin 9 cos 9 J

y J

О О

\RJ

(5)

где ф,6 - углы Эйлера, осуществляющие поворот системы 0\хуг вокруг ее начала так, чтобы ее оси стали параллельны соответствующим осям системы ОХу^.

Таким образом, если некоторая точка имеет в осях 0lХyz координаты х, у, z, то в осях 0ХyZ ее координаты Х, у, Z определяются двумя последовательными ортогональными преобразованиями:

а) преобразование поворота

( х \

у

\Ч

= А

х у

[г/

где матрица А имеет вид (4);

б) преобразование поворота (5).

В ряде случаев возникает необходимость выполнения обратного преобразования, когда по известным координатам точки х,у,х в осях ОX, у, х, нужно найти ее координаты х,у, г в осях 01хуг. Необходимость такого преобразования возникает, например, тогда, когда известны координаты Луны и Солнца, полученные путем астрономических наблюдений, и их нужно использовать в качестве начальных или граничных условий для расчета орбит.

Для получения формул обратного преобразования, из соотношений (5) находим

/ х \

\Ч

( сов ф - вш ф сов в вт ф вт в \

вт ф СОв ф СОв в - СОв ф вт в

V О

вт в

сов в

(

х у

\

(7)

) \х+

Далее, используя матрицу Ат, получающуюся транспонированием матрицы А, находим

/ х \ ( X \

= Ат

у

г

V*/

ух

г

(8

\Х )

Теперь необходимо задать углы Эйлера ф, в, входящие в элементы матрицы А и определяющие положение осей О1 х, у, X, жестко связанных с Землей, относительно осей 01хуг. Выше было сделано предположение, что оси 01ху лежат в экваториальной плоскости и ось 01 хх пересекает гринвичский меридиан. Ось 01 X направлена по оси вращения Земли и ее положительная полуось проходит через Северный полюс. Угол в = 23°27' - это угол между осями 01г и 01X. В день весеннего равноденствия (21 марта) векторт проведенный из центра масс Земли к центру масс Солнца должен быть ортогонален направляющему вектору оси вращения Земли. Принимая приближенно плоскость 01ху за плоскость эклиптики, мы можем записать условие ортогональности в виде

хз х1 + уз у1 = О,

(9)

где хз,уз,гз - значения координат Солнца хз,уз,гз в день весеннего равноденствия; х1,у1 ,г1 - проекции на оси 01хуг единичного вектора, проведенного из

центра Земли в направлении к Северному полюсу по ее оси вращения. Из (9) следует

X1 VS / ч

— = - —. (10 Vl Xs

Выражение для угла прецессии ф, определяющего положение оси вращения Земли, записывается в виде

/ 3 • Ы /-,-,4

w = -it — arcsm—. 11

2 yffi+vi

Используя равенства (10), преобразуем выражение (12) к виду

3 1

w = -7г — arcsin—, -. 12

2 УГ+Ы^Т)1

Угол прецессии ф изменяется медленно (один градус за 26000 лет), поэтому на сравнительно малых отрезках времени (месяцы, годы, десятилетия) его можно считать постоянным и определять по формуле (12).

Угол ф выбирается так, чтобы гринвичский меридиан лежал в одной плоскости с Солнцем и был освещен. Для этого нужно положить ф = п. Тогда меридиан, соответствующий долготе 180°, будет находиться в тени.

Угол собственного вращения ф является величиной переменной. Приблизительно считая скорость вращения Земли постоянной, можно задать ф формулой

ф = wt + фо,

где w - скорость собственного вращения Земли, а фо - произвольная постоянная.

3. Численный пример. Решим задачу трех тел, описывающую движение системы Земля-Луна-Солнце. Массы Земли, Луны и Солнца соответственно имеют значения: m1 = 5973 • 1021кг, m2 = 0.0123 • m1, m3 = 332946 • m1. Гравитационная постоянная G = 6673 • Ю-14 л«3кг-1с-2, средний радиус Земли II v/63781372 • 6356752 м. За размерность времени примем T = 24 • 602 с.

Вводя безразмерные переменные

т = Xi = Yi = , Zi = —, г = 2, 3, pij = —j^, ij = 1, 2, 3 и безразмерные коэффициенты

= г = 1,2,3,

запишем уравнения движения (3) в безразмерных переменных

d2X2

, 9 = — (В\ + £>2)^- + Вз-о--В3—0-,

dT2 Р12 р2з Р13

¿2Хз т д , А"3 Х2 - Х3 Х2 аТ р2з р2з р 12

(XYZ),

где символ (XYZ) означает, что остальные уравнения получаются циклической перестановкой взятых в скобки индексов.

Обозначая компоненты безразмерной скорости Луны и Солнца в осях 01хуг через и2,У2, и из,Уз, Шз соответсвенно, запишем уравнения движения в нормальной форме

ЛТ Р\2 Р2з Р1з

~~Г~~ = —{В\ + В2)-^- + -- — В3—^~,

Лт Р'!2 Р2з Р1з

ЛТ Р12 р2з Р1з

^ = ~(В1 +в3)^ + в2^^ -

ат р2з р2з Р12

—г^ = ~{В\ + В3)—^~ + Б2—^—- —

ат р2з р2з Р12

ат р2з р2з Р12

¿Х2 сП< 2 £^2

-1— = и2, — = У2, —— = ИЪ, ат ат ат

-Г" = и3, -г- = Уз, -5— = И^з-аТ аТ аТ

Начальные условия зададим так:

Х2 = 63.62724948, Y2 = 0, Z2 = 5.712981084,

Хз = 23858.10448, Yз = 0, Zз = О,

и2 = 0, У2 = 13.12149193, W2 = 0,

из = 0, Уз = 397.5596873, Жз = 0,

при т = 0. Начальные условия для координат выбирались так, чтобы в начальный момент движения Земля, Луна и Солнце находились на одной прямой, при этом Луна и Солнце находились бы с одной стороны от Земли и были удалены от нее на максимальное расстояние. Начальные значения скорости Солнца выбирались в процессе счета так, чтобы Солнце делало полный оборот за 365,25 суток. Начальная скорость луны выбиралась так, чтобы она делала полный оборот за 27 суток.

Таблица 1. Координаты Луны

т Л'2 г2

0 63.62724948 0 5.712981084

5 31.3248458044429370 53.7586712324535654 2.76199339785978504

10 -33.3929184481833375 47.0891165422071651 -3.09695446938904960

15 -51.6719878844557172 -20.1012305214347826 -4.62000867506137336

20 3.80829900559556345 -59.6916425357193674 0.532026973043737250

25 57.6154051980320290 -26.1098337267741592 5.32794282427876720

27 63.5431069288556502 -.786907207776379902 5.77378855072171770

Таблица 2. Координаты Солнц а

т Л'з Уз ^3

0 23858.10448 0 0

30 20889.7996222594774 11423.3869643646540 -0.561984029760432061е-2

60 12695.4947662270770 19982.2370688920272 -0.190712434260763702е-1

90 1280.00651829069398 23451.1076996078374 -0.307348773563302300е-1

120 -10455.5820599277486 20814.0582324941098 -0.279051667917281226е-1

150 -19392.9535095986539 12633.8764758080524 -0.257717136820854490е-2

180 -23061.6560668369930 1030.59857057629916 0.0392567598834682730

210 -20423.0684350114389 -10853.7912295782936 0.0777874870506343602

240 -12225.7748008205163 -19791.3752391546514 0.0922456554613577950

270 -747.809635093441216 -23440.1370629697340 0.0732455072778777083

300 10938.7418684421482 -20962.0801515470958 0.0254321028467319431

330 19842.2196027310128 -13126.5785778119371 -0.362447598317099662е-1

360 23772.4837937486154 -1992.98477651382200 -0.915920391147007628е-1

365.25 23856.5079298355050 90.4837017519469384 -.132163248204991035

Результаты рассчета представлены в табдицах 1 и 2.

4. Заключение. В работе численным методом Рунге-Кутта решена задача трех тел, описывающая движение системы Земля-Луна-Солнце. Задача решалась в невращающейся системе координат, начало которой совпадает с центром масс Земли. Однако, решение задачи в такой системе координат не дает ясного представления о том, каким будет видеть движение Луны и Солнца наблюдатель, находящийся в заданной точке земной поверхности. Чтобы представить его таким, каким оно видится наблюдателю, в работе даны формулы перехода к системе координат, начало которой совпадает с положением наблюдателя, а оси неизменно связаны с поверхностью Земли.

1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. / Г.Н. Дубошин - М.: Физ-матгиз, 1963.- 586 с.

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. / Г.Н. Дубошин - М.: Наука, 1964.- 560 с.

3. Мориц Г. Вращение Земли: теория и наблюдения. / Г. Мориц, А. Мюллер - Киев: Наукова думка, 1992.- 512 с.

4. Смарт У.М. Небесная механика. / У.М. Смарт - М.:Мир, 1965.- 504 с.

A.I. Andruhin, A.M. Kovalev, S.N. Sudakov

Mathematical modeling of transfer processes in the tundish ladle.

Motion of the system Earth-Moon-Sun was described by the three bodies problem. The equations of motions were represented in the non-rotating coordinate system, origin of which is coinciding with the center of the mass of the Earth. In order to get the decision of the equations of motion the numerical method of Runge-kutta was used. The formulas for count of coordinates of Moon and Sun into the system of coordinates, related to a some point of the surface of the Earth, was obtained.

Keywords: three bodies problem, system Earth-Moon-Sun, trajectory description, solution in coordinates with the observer in the center.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный техн. ун-т", Получено 28.11.17

ГУ "Ин-т прикл. математики и механики", Донецк

sudakov@iamm.su