ЗАДАЧА СТЕКЛОВА ПЕРВОГО КЛАССА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. №4. C. 30-37. ISSN 2079-6641

УДК 517.91 Научная статья

Задача Стеклова первого класса для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом

Мажгихова М. Г.

Институт прикладной математики и автоматизации - филиал федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино - Балкарский научный центр РАН», 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А E-mail: [email protected]

Методом функции Грина получено решение задачи Стеклова первого класса для линейного уравнения с дробной производной Герасимова-Капуто с запаздывающим аргументом. Доказана теорема существования и единственности задачи.

Ключевые слова: Дифференциальное уравнение дробного порядка, дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, метод функции Грина, обобщенная функция Миттаг-Леффлера.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-30-37

Поступила в редакцию: 02.11.2021 В окончательном варианте: 03.12.2021

Для цитирования. Мажгихова М. Г. Задача Стеклова первого класса для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. C. 30-37. DOI: 10.26117/20796641-2021-37-4-30-37

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Мажгихова М. Г., 2021

Введение

Рассмотрим уравнение

dQtu(t) - Яu(t) - ßH(t - т)u(t - т) = f (t), 1 < а < 2, 0 < t < 1,

(1)

где д^и^)= Б^^и''^) - дробная производная Герасимова-Капуто [1, с. 11], - оператор дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля с началом в точке 5 для любого в ^ который определяется по формуле [1, с. 9]:

sign(t-s) J g(4Щ

_ г(-в) s м ie+1' D«g(t )= 8(f),

ß < 0; ß = 0;

signn(t - s) dnDet-ng(t), n - 1 < ß < n, n e N,

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Г (г) - гамма функция Эйлера, Н (г) - функция Хевисайда, X, д - произвольные постоянные, т - заданное положительное число.

Теории дробного исчисления посвящены монографии [2], [3], [4]. В работе [5] Барреттом методом последовательных приближений получено явное решение дифференциального уравнения дробного порядка. Теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом посвящены работы [6], [7], [8], [9].

Для уравнения (1) решения начальной и краевых задач получены в работах [10], [11], [12]. Внутреннекраевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом исследована в работе [13].

В данной работе методом функции Грина получено решение краевой задачи Стеклова первого класса для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом. Доказана теорема существования и единственности решения.

Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) назовем функцию и = и(г), имеющую абсолютно непрерывную производную первого порядка на отрезке [0,1] и удовлетворяющую этому уравнению.

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

a1u(0) + a2u'(0) + a3u(1) + a4 u'(1) = 0, b\u(0) + b2u'(0) + b3u(1)+ b4 u'(1) = 0,

(2)

где щ, Ь^ - заданные постоянные. Условия (2) при

a4b2 — a2b4 = 0

эквивалентны условиям

u'(0) = Ciu(0) + C2u(1), u'(1) = C3u(0) + C4u(1),

где

C1 =

a1b4 — a4b1

a4b2 — a2b4

C2 =

a3b4 — a4b3 a4b2 — a2b4

C3 =

a1b2 — a2b1;

a4b2 — a2b4

C4 =

a3b2 — a2b3

a4b2 — a2b4

(3)

(4)

Условия (3) В. А. Стеклов назвал условиями первого класса [14]. Ранее в работе [11] была введена функция

Wv(t) = £ аm(t — mT)+m+v—1'Em+m+v(А(t — mT)+),

т=0

(5)

(t-mT)p = <! (t — mT)P, t — mT > 0 (t mT)+ = i 0, t — mT < 0,

Е^в (г) = Е Г(ар+в)*! - обобщённая функция Миттаг-Леффлера [15], (р)к = ГГ(+у

символ Похгаммера.

Для функции Wv(г)(5) справедливы следующие свойства [11]:

_ Г(р+k)

1. Начиная с некоторого номера т выражение г — тт < 0, поэтому в ряде (3) содержится конечное число слагаемых N < [т] + 1;

2. Для Wv(г) справедлива формула интегродифференцирования порядка а е М

б^у (г ) = Wv—а (г); (6)

3. Функция Wv(г) удовлетворяет соотношению:

г V—1

Wv(г)= XWv+а(г) + дWv+а(г — т) + г(V) > а е Nи№, V е М. (7)

Функция Грина

Рассмотрим функцию

G(t, %)= H(t - §)Wa(t - §) + W«(t) А^ + W«_i (t) А^

(8)

где

А = Л1В2 - A2Bi= 0; (9)

А1 = А1 + аз^(1) + а4(Х Wa (1) + (1 — т)), А2 = а2 + aзW2(1) + а4^(1);

В = ¿1 + «(1) + Ь4(Х Wa (1) + д Wa (1 — т)), В = ¿2 + №(1) + «(1); △1 (г) = ^ (г )(АгЬз — Вгаз) + W2(г) (В^з — А1 ¿з); △г (г) = Wl (г) ^¿4 — ^4) + W2 (г )(В1 а4 — А1 ¿4). Функция 0(г, £) удовлетворяет свойствам:

1. Функция 0(г,£) непрерывна для всех значений г и £ из отрезка [0,1]. Справедливость этого свойства следует из формулы (8), а также из условия (9).

2. 0(г, £) удовлетворяет соотношению

Ит[Б«—1а(г,£)|£ =г—е—Б«—10(г, £)|£ =г+е] = 1.

3. Функция 0(г, £) является решением уравнения

Б?£ 0(г, £) — X 0(г, £) — д Н (1 — т — £ )0(г, £ + т) = 0.

4. Функция 0(г, £) удовлетворяет краевым условиям:

Б«—1 а(г, £) |£ =0= —С1Б^£—2 а(г, £) |£ =0+СзБ«—2 а(г, £) |£=1,

Б«—1а(г, £ )|£=1= С2Б«—20(г, £ )|£ =0—С4Б«—2а(г, £ )|£=1,

где Сг- определяются из (4).

Справедливость свойств 2-4 следует из представлений функций (8), (5), а также из свойств функции Wv(г) (6) и (7).

Функция 0(г,£), удовлетворяющая свойствам 1-4, называется функцией Грина задачи (1), (2).

Теорема существования и единственности

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть функция /(г) е С(0,1) представила в виде

/(г) = ^^2g(t), в(г) е Ц0,1), (10)

и выполнено условие (9).

1) Тогда существует регулярное решение задачи (1), (2). Решение имеет вид

1

ы(г) = |/(% )0(г, % )й%. (11)

о

2) Решение задачи (1), (3) единственно тогда и только тогда, когда выполнено условие (9).

Доказательство.

Покажем, что решение задачи (1), (3) имеет вид (11). Домножим уравнение (1) на функцию 0(г, %) и проинтегрируем от 0 до 1:

у 0(г, %Щы(%)й% - А у 0(г, %)ы(%)й% - ^ Н(% - т)0(г, %)ы(% - тЩ =

0 0 0

1

= | 0(г, %)/(% )й%. (12)

0

Учитывая определение оператора Герасимова-Капуто и формулу дробного интегрирования по частям, первый интеграл в левой части (12) перепишем в виде:

1 1 1

10(г, % И«% ы(% )й % =10(г, % )Я«-У(% )й % =1 ы''(% )Б ^20(г, % )й% =

о

1

= u' (% )D«-2G(t, % )ß+/ u' (% )D«-1 G(t, % )d % = u' (% )D«-2G(t, % )|0+

о

i-0 1 + J и'(%)D«-1G(t,%)d% +J и'(%)D«-1G(t,%)d% = и(%)D«-2G(t,%)|1+ 0 t+0

1

+u(% )D 0%-1G(t, % )|0-0+u(% )D«-1G(t, % )|1+0^ u(% )D«% G(t, % )d% =

0

:-[u(0)D«-1 G(t, % )|% =0+u' (0)D«-2G(t, % )|% =0] + [u(1)D«-1G(t, % )|%=1 + +u (1)D«-2G(t, % )|%=1] + u(t )[D a%-1 G(t, % )|% =t-0-D a%-1G(t, % )|% =<+,]+

1

а

+ j u(%)D«% G(t, %)d%.

0

1

1

1

Используя условие (3) получаем, что 1

|а(г, £ На£ и(£ у £ = и (г) + и(0) [СзБ«—2а(г, £ )|£=1—^«^(г, £ )|£=0+Б«—1а(г, £ )|£ = 0

1

+и(1) [С2Б«—20(г,£)|£ =0—С4Б«—20(г,£)|£=1+Б«—1а(г,£)|£=1] +{и(£)Б« а(г,£Ж.

0

Учитывая свойства 2 и 4 функции Грина, получим 1 1

I а(г, £ )д0а£ и(£ )^£ = и(г) + | и(£ )Б£ а(г, £ Ж. (13)

00

Подставляя (13) в (12), имеем:

1 1 1 и(г ) + у и(£ )Б «£ а(г, £ у £ — ^ а(г, £ )и(£ М £ — Н (£ — т)а(г, £ )и(£ — т)^£ =

0

+

i

= f G(t, %) f (% )d %

или

и (г ) + У и(£ )[Б«£ а(г, £) — X а(г, £) — дН (1 — т — £ )а(г, £ + т)]*£ = { а(г, £ )/(£ Ж,

00

откуда, с учетом свойства 3 функции Грина, приходим к виду (11). Решение задачи (11) запишем в виде и (г) = v1 + ^ + Уз,

г

V = ЙА^«, V2 = vз = //(£«, —

0

Тогда,

* V = Б"г—2 £ Wl (г) = —В2—2 £ [X +1 (г) + ДW«+, (г — т)]

+А^,2 °»г—2 [X —1 (г) + ДWB—, (г — т)] = +§А2 [X W■ (') + Д — т)];

-ш —A1F2 + B1F1 а 2 d2 - AiF2 + B1F1 а 2 d

d0«v2 = -г-1-т-^-D«t ^ W2(t) = "Г"1-D«t ^ Wa+1(t) + ДWa+1(t - т)] =

A1B2 - A2B1 0t dt2 2W A1B2 - A2B1 0t dt ^Fl+ABlF1 D- lA Wa (') + Д Wa (t - т)] = +т!Вг"[A W2C)+Д W2(t - т)];

d2 d 2 d2

d«V3 = DT2(f * Wa)(t) = D«-2(DT2? * Wa(t)) = D«-2^^(g * W2)(t) =

1

1

= Л* (А+1 () + +1 (г - т))] = ^оТ2 [(А^а (г) + № а (г - т)) * в + в] =

= /( г) + (А( г) + ( г - т)) */( г).

Таким образом получаем, что д$(у1 + у2 + Уз) = Аы(г) + ды(г- т) + /(г).

Непосредственной подстановкой решения (11) в краевые условия (3) можно убедиться в справедливости этих краевых условий.

При △ = А1В2 -А2В1 = 0 решение однородной задачи

даы(г) - Аы(г) - дН(г - т)ы(г - т) = 0, 1 < а < 2,

a\u(0) + a2u' (0) + a3u(1) + a4 и' (1) = 0, biU(0)+ b2u'(0)+ b3U(1) + b4Uu (1) = 0

не однородное. Значит, решения задачи (1), (3) единственно только при △ = 0.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литературы/References

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003.272 с. [Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye. Moskva: Fizmatlit, 2003.272 pp. (in Russian)]

2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Factional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006.523 pp.

3. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука, 2005.199 с.

[Pskhu A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka. Moskva: Nauka, 2005.199 pp. (in Russian)]

4. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. N.-Y. L.: Acad. press., 1974.234 pp.

5. Barrett J. H. Differential equation of non-integer order//Canad. J. Math., 1954. vol. 6, no. 4, pp. 529541.

6. Bellman R. E., Cooke K.L. Differential-Difference Equations. New York. London.: Acad. Press., 1963.462 pp.

7. Hale J.K, Lunel S.M.V. Introduction to Functional Differential Equations. New York. London.: Springer, 1993.449 pp.

8. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Москва: Наука, 1971.296 с. [El'sgol'ts L. E., Norkin S. B. Vvedeniye v teoriyu differentsial'nykh uravneniy s otklonyayushchimsya argumentom. Moskva: Nauka, 1971.296 pp. (in Russian)]

9. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Москва: Наука, 1972.351 с. [Myshkis A. D. Lineynyye differentsial'nyye uravneniya s zapazdy-vayushchim argumentom. Moskva: Nauka, 1972.351 pp. (in Russian)]

10. Мажгихова М. Г. Начальная и краевая задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом// Челябинский Физико-Математический Журнал, 1968. Т.3, №1, С. 27-37. [Mazhgikhova M. G. Nachal'naya i krayevaya zadachi dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya drobnogo poryadka s zapazdyvayushchim argumentom// Chelyabinskiy Fiziko-Matematicheskiy Zhurnal, 1968. vol.3, no. 1, pp. 27-37 (in Russian)].

11. Mazhgikhova M. G. Dirichlet problem for a fractional-order ordinary differential equation with retarded argument //Differential equations, 2018. vol. 54, no. 2, pp. 187-194.

12. Мажгихова М. Г. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом// Известия КБНЦ РАН, 2018. Т. 70, №2, С. 15-20.

[Mazhgikhova M.G.Zadacha Neymana dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya drobnogo poryadka s zapazdyvayushchim argumentom// Izvestiya KBNTS RAN, 2018. vol.70, no.2, pp. 15-20 (in Russian)].

13. Мажгихова М. Г. Краевая задача со смещением для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом//Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2018. Т. 28, №3, С. 16-25. [Mazhgikhova M. G. Krayevaya zadacha so smeshcheniyem dlya differentsial'nogo uravneniya drobnogo poryadka s zapazdyvayushchim argumentom// Vestnik KRAUNTS. Fiziko-matematicheskiye nauki, 2018. vol.28, no.3, pp. 16-25 (in Russian)].

14. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. Москва: Наука, 2006.287 с. [Nakhushev A. M. Zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniy v chastnykh proizvod-nykh. Moskva: Nauka, 2006.287 pp. (in Russian)]

15. Prabhakar T. R. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel// Yokohama Math. J., 1971. vol.19, pp. 7-15.

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 37. no. 4. P. 30-37. TSSN 2079-6641

MSC 34L99 Research Article

Steklov problem of the first class for a fractional order delay

differential equation

M. G. Mazhgikhova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardino-Balkar Scientific Center

of RAS, 360000, Nalchik,

Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: [email protected]

The solution to the Steklov problem with conditions of the first class for a linear delay differential equation with a Gerasimov-Caputo fractional derivative is obtained by Green function method. The existence and uniqueness theorem to the problem is proved.

Keywords: fractional differential equation, delay differential equation, Green function method, generalized Mittag-Leffler function.

DOT: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-30-37

Original article submitted: 02.11.2021 Revision submitted: 03.12.2021

For citation. Mazhgikhova M. G. Steklov problem of the first class for a fractional order delay differential equation. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 37: 4,30-37. DOT: 10.26117/20796641-2021-37-4-30-37

Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Mazhgikhova M.G., 2021

Funding. The study was carried out without financial support from foundations.