CC BY
39
pk
v a /
+ c Ф pm, k,m = 1,2,....
Автор выражает благодарность А. М. Нахушеву за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении данной работы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The Condition for Uniqueness of the Dirichlet Problem for Hyperbolic Equations in Cylindrical Domains // J. of Math. and Mech., 1969. — Vol.18, No. 8.
2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
Поступила 4.09.2006 г.
УДК 517.956
А.А. Токова
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
■і пх\хГ Э Ь
Для нагруженного уравнения а(у)ихх + Ь(у)ux + с(у)и = | и(я, у^х + f (х, у) рассматри-
а
вается задача с нелокальными краевыми условиями. Опираясь на общее представление решений
уравнения, доказывается теорема существования и единственности решения задачи.
В области О = {(х,у): а< х <Р,0 < у < Т} рассмотрим нагруженное уравнение (см. [1])
а(у)ихх + Ь(у)их + с(у)и = х • \хГ иу + /(х у), (1)
где а, Р, Т, т — действительные числа, а< 0, Р> 0, т > 0; а(у) Ф 0 , Ь(у), с(у) — заданные функции из класса С[0, Т ] п С1(0, Т); / (х, у) є С (О); /у (х, у) є С (О); и — интегральное среднее значение функции и(х,у) по переменной х на сегменте [а, Р]:
- 1 Р
и = §и(у) = --[и(х y)dx .
Р-а-1
а
Следуя А. М. Нахушеву (см. [2]), любое точное решение уравнения (1) можно интерпретировать как приближенное решение следующего уравнения:
а(у)ихх + Ь(у)их + с(у)и = ^ х • |хГ иу + /(х у).
Регулярным решением уравнения (1) в области О будем называть решение и = и( х, у), такое, что и є С(О), ихх є С(О), §и(у) є Сх(0,Т).
Рассмотрим следующую краевую задачу.
ЗАДАЧА. Найти регулярное в области О решение и(х,у) уравнения (1) с производной
их =Эи / Эх, непрерывной вплоть до точек (а, у) и (Р, у), 0 < у < Т , удовлетворяющее крае-
вым условиям:
в1и ° У1и(а у) + у2и(Р у) = ф( y), 0 < у < Т; (2)
В2и (а, у) + т2их(Р, у) + тзи(а, у) = у(у), 0 < у < Т; (3)
§и (0) = §0, (4)
где уі, ту (і = 1,2;] = 1,2,3), §0 — заданные числа, причем у^+у2 Ф 0, + т2 + М-з Ф 0, +
+т2 + У2 Ф 0; ф(у), у(у) є С[0,Т] п С1(0,Т) — заданные функции.
Пусть Б = Ь2( у) - 4а(у)с(у); 21 = Ь(у)/а(у); 2 р = 4Б / а(у);
I x |m+11
w(x, y) =------f (1 - z)m sh(pxz) exp(-ixz)dz;
a(y) 0
F (x y) = -у- Jsh [p( x - Х)] exp [i(x - x)]f (X y)d x; a (y) p 0
u1(x,y) = 2exp(-ix)ch(px), u2(x,y) = — exp(-ix)sh(px).
p
Имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть выполняются условия
( B1U1 ) ( B2U2 ) Ф ( B1U2 ) ( B2U1 ) , du1 (У) [(B1U2 ) (B2w) - (B2U2 ) (B1w)] + Su2 (У) [(B2U1) (B1w) - (B1U1) (B2w)] Ф
Ф Sw (y) [(B1U2 ) (B2U1) - (B1U1) (B2U2 )] .
Тогда существует единственное решение задачи (1)-(4).
В терминах коэффициентов условие (5) теоремы можно представить в следующем виде: i ( 1 ^
- У1М*2 -У2М1 +^2^3 sh[p(a-P)] + (y1m2 + У2М1 )ch [p(a-P)] +
p I 1 0
+У1М4 exp[1(P - a)] + У2^2 Ф 0;
условие (6) — в виде:
[exp (al) [p sh(Pp) + 1 ch(Pp)] - exp (pi) [p sh(ap) + 1 ch(ap)]] x
(У1 exp(-ai) sh(ap) + у2 exp( -pi )sh(Pp) )x
I a I m ((m +1) + m31 a ) (1 - z)m exp(-aiz) sh (apz)dz +
О
+m1 |a|m+1 f (1 - z)mzexp(-aiz) (p ch (apz) -i sh (apz))dz 1
(m + 1)Pm J (1 - z)m exp(-piz) sh (Ppz)dz -
+pm+1 J (1 - z)mz exp(-piz) (pch (Ppz) - ish (Ppz) )dz
О
- [m1 exp(-ai)[ p ch(ap) - i sh(ap)] +
+m2 exp(-pi)[ p ch(Pp) -i sh(Pp)] + m3 exp(-ai)sh(ap)]x
1
(5)
(6)
dz +
+m 2
y1 |a| m+1 J (1 - z )m exp(-aiz) sh(apz )dz -
+ У2Pm+1 J (1 - z)m exp(-piz) sh(Ppz)dz
О
+ [exp(ai)[ p ch(Pp) + i sh(Pp)] - exp(pi) [ p ch(ap) + i sh(ap)]] x x- [mіexp(-ai)[psh(ap) -ich(ap)] +
+m 2 exp( -pi) [ p sh(Pp) -i ch(Pp)] + m3 exp(-ai)ch(ap )]x
у1 |а|Г+11(1 - 7)Г ехр(-а1і) «Ь(арі)(і + у2РГ+11(1 - г)Г ехр(-Р1і) «Ьфрі)(і
0 0
/
- (у1 ехр(-аі) оЬ(ар) + у2 ехр( -Р1 )оЬ(Рр) )х
1
|а|т ((г +1) + т3 |а|)| (1 - 7)Г ехр(-а1і)«Ь(арі)(і-0
+т11 а|Г+11 (1 -і)Г і ехр(-а1і) (р оЬ (арі) -1«Ь (арі)) сії 1
(г + 1)РГ | (1 -1)Г ехр(-Р1і) «Ь (Ррі)Сі -
сі +
+т 2
Ф р (12 - р2)
+РГ+11 (1 -1)Г і ехр(-Р1і) (р оЬ (Ррі) -1«Ь (Ррі)) )
У1т2 - У2М1 + ^У^з 0«Ь[р(а -Р)] + (2 + У2М1)оЬ[р(а-Р)] +
Р1 т+1
11хГ+11 (1 -1)Г ехр(-х1і) «Ь (хрі) (і (х.
+ У1М-1 ехр [1(Р-а)] + У2^2 _
- а 0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение уравнения (1) представимо в виде
и( x, у) = С1( у )и1(x, у) + С2( у )и2(x, у) + у(x, у Ж(у) + Р(x, у),
где
(7)
(8)
8» (У) - (У)К (У) = С1( У )8М1 (у) + С2( У)8«2 (У) + dF (У)
С1(у), С2(у ) — произвольные функции из класса С[0, Т ] п С1(0, Т).
Удовлетворяя функцию (7) условиям (2) и (3) задачи, получим для нахождения С\(у) С2( У) систему уравнений
ф( у ) -§; ( у) ()-
У( У) -§и (У) (В2 *)- в2 F
где
В^1 В1и2 С1( у)
В2и1 В2и2 С2( у )
(9)
С, (у) = С0( у) + С1( у )§и (у) (і = 1,2);
С0( у) = (В2и2 ) (ф(у) - В1Р) - (В1и2 ) (У(у) - В2Р)
(В1и1) (В2и2 ) - (В1и2 ) (В2и1)
С1( у) = ( В1и2 ) (В2* ) - ( В2и2 ) (В1* )
(В1и1) (В2и2 ) - (В1и2 ) (В2и1)
С0( у) = (В1и1) (у(у) - В2Р) - (В2и1) (Ф(у) - В1Р)
(В1и1) (В2и2 ) - (В1и2 ) (В2и1) с1( у) = ( В2и1)( В1*)-( В1и1)( В2 * )
(В1и1) (В2и2 ) - (В1и2 ) (В2и1)
После того как найдены С^у) и Сі(у), подставив их значения в (8), получим уравнение
§и (у) - К (у)§и (у) = Н (у), (10)
где К(у) = §и1 (у)с1(у) + §и2(у)С2(у) + §(у); н(у) = §и1 (у)С10(у) + К2(у)С2(у) + §р(у).
Легко видеть, что функции К (у) и Н (у) являются непрерывными функциями при выполнении условия (5). Функция К (у) представима в виде
) = § ( ) + 8иД у) [( В1и2 ) ( В2 * )-( В2и2 ) ( В1* )] + §и2 (у) [( В2и1) ( В1* ) - ( В1и1) ( В2 * )]
(В1и1) (В2и2 ) - (В1и2 ) (В2и1) (В1и1) (В2и2 ) - (В1и2 ) (В2и1)
При К (у) Ф 0 уравнение (10) можно переписать в виде
0
§'и(у) + *1(у)8„(у) = Щ(у), (11)
где К1(у) =-1—, Н1(у) = - Н(У) . Из представления функции К(у) видно, что К(у) Ф 0
К (у) К (у)
при выполнении условия (6).
Из условия (4) для нахождения §и (у) получим задачу Коши
§и (0) = §0 (12)
для уравнения (11). Известно [3], что задача (11), (12) однозначно разрешима, когда К1(у), Н1(у) непрерывные функции, то есть когда К(у) Ф 0. Следовательно, и решение задачи
(1)-(4) определяется единственным образом. Нетрудно проверить, что функция и(х,у), опре-
деляемая выражением (7), удовлетворяет краевым условиям (2)-(3). Теорема доказана.
Автор выражает глубокую благодарность проф. А. М. Нахушеву за ценные советы и внимание к работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения, 1976. — Т. 12, № 1. — С. 103-108.
2. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения, 1982. — Т. 18, № 1. — С. 77-81.
3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — Т. 2. — М.: Наука, 1974. — 655 с.
Поступила 4.09.2006 г.
УДК 517.581 Н. А. Вирченко
О НЕКОТОРЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ СООТНОШЕНИЯХ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННОЙ КОНФЛЮЭНТНОЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ
Т 6
Рассмотрены интегральные операторы с функцией , композиции с операторами дробного интег-родифференцирования, с операторами типа потенциала и др.
1. Разнообразие задач, уравнений, порождающих специальные функции, ведет к заметному увеличению числа функций (от простейших трансцендентных к гипергеометрическим функциям разной природы). Следует подчеркнуть и большое значение специальных функций для теории и практического использования интегральных преобразований.
Непрерывное развитие математической физики, механики сплошной среды, квантовой механики, аэродинамики, теории вероятностей, астрофизики и др. вызывает введение новых специальных функций [1].
Введем (Т, 6) -обобщенную конфлюэнтную гипергеометрическую функцию
1
, ФТ6 (а; с; г) = —^[/а-1(1 - / )с-а-1 х
1 1 4 ’ ’ ' Г(а)Г(с-а)} у ' 11
Г(а)Г(с-а), 0
(с;т); (с;6);
Ж, (1)
где Яе с > Яе а > 0; те* , Т> 0; 6е* , 6 >0; 1¥1 — функция Фокса-Райта [2]. Если в (1)
положить 6 = т, то получим 1 Фт(г) [3]. При т = 6 = 1 имеем классическую конфлюэнтную гипергеометрическую функцию Ф(а;с; г) [2].
ЛЕММА 1. Если а, 1е • , Яе а>0, Яе 1> 0; г е •; у> 0; те*, т> 0; 6е*, 6>0; 6 — т> —1, то справедливо следующее композиционное соотношение
С(^-1 ^ (а; с; гГ *)) (х) = х1+а-1 2Ф2’6’у (а, 1; с, 1 + а; гх *).
ЛЕММА 2. Если а, 1е • , Яе 1 > Яе а>0; г е • ; у > 0; те * , т>0; 6е *, 6> 0; 6 — т> —1, то справедливо следующее композиционное соотношение
1о- (^1Ф1Х’6 (а; с; г/-)) (х) = х а-1 2Ф 26,у (а, 1-а; с, 1; гх-).
