CC BY
7УДК: 517.927+977
ЗАДАЧА РАЗРЕШИМОСТИ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И КАУЗАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
© В. В. Обуховский
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ул. Ленина, 86, Воронеж, 394043, Российская Федерация Институт проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова ул. Профсоюзная, 65, Москва, 117997, Российская Федерация e-mail: valerio-ob2000@mail.ru
© М. М. Кулманакова
ВУНЦ ВВС "ВВА ИМ. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина" кафедра математики ул. Старых большевиков, 54А, Воронеж, 394064, Российская Федерация e-mail: m-kulmanakova@yandex.ru
© М. М. Боровикова
ВУНЦ ВВС "ВВА ИМ. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А.Гагарина" кафедра математики ул. Старых большевиков, 54А, Воронеж, 394064, Российская Федерация e-mail: monnya@yandex.ru
The solvability problem for a controlled system with a fractional derivative and a causal operator.
Obukhovskii, V. V., Kulmanakova, M. M., Borovikova, M. M.
Abstract. It is known that the contemporary approach in the theory of control systems and mathematical physics leads to models that are conveniently described by using differential equations and inclusions. Recently, the attention of many researchers (see [1] [3] and the references therein) was attracted to generalizations of differential and functional differential equations and inclusions, namely to the class of functional equations and inclusions with causal operators. The term causal operator or Volterra operator in the sense of A. N. Tikhonov (see [4]), is used in mathematical physics to solve problems of differential equations, integro-differential equations, functional differential equations with finite or infinite delay, Volterra-type integral equations, functional equations of neutral type, etc. (see, for example, [5]). Papers [6] [9] are devoted to the study of equations and inclusions with causal operators of various types, theorems on the existence of solutions, description of qualitative properties of solutions and various applications. At the same time, in recent decades, interest to the theory of fractional differential equations has increased significantly due to their effective applications in various fields of applied
mathematics, physics, engineering, biology, economics, etc. (see, for example, monograph [10], articles [11] [16], etc.). In [17] [23] boundary value problems of various types for fractional differential equations and inclusions were considered. In this paper we develop the results of works [24] [26] and consider a generalized boundary value problem for a feedback control system governed by a differential inclusion with a fractional derivative and a causal operator of the form
CDqx(t) G Ax(t)+ F(x)(t) + Bu(t), t G [0,T], q G (0;1), satisfying the feedback condition
u G Фх, u G L™ ([0, T]; E) and the general boundary condition:
Qx G Sx.
The paper has the following structure. The second section provides the necessary information from the theory of multivalued maps, measures of noncompactness, the concepts of a multivalued causal operator and a fractional derivative. In the next section, we study a system governed by a semilinear functional differential inclusion of fractional order, satisfying the feedback condition and the general boundary condition, and describe the properties of a multi-operator whose fixed points are solutions of this system. The practical significance of this work is contained in its applicability to the study of systems arising in various branches of natural sciences and governed by various classes of partial differential equations of a fractional order.
Keywords: controlled system, feedback, functional differential inclusion, fractional derivative, finite delay, measure of non-compactness, condensing operator, fixed point, topological degree.
1. Введение
Известно, что современный подход в теории систем управления и математической физике приводит к моделям, которые удобно описывать с помощью дифференциальных уравнений и включений. В последнее время внимание многих исследователей (см. работы [1]-[3] и ссылки в них) было привлечено к обобщениям дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений и включений, а именно к классу функциональных уравнений и включений с каузальными операторами. Термин каузальный оператор или оператора Вольтерра в смысле А. Н. Тихонова ([4]), используется в математической физике для решения задач дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений с конечным или бесконечным запаздыванием, интегральных уравнений типа Вольтерра, функциональных уравнений нейтрального типа и др. (см., например, [5]). Статьи [6]-[9] посвящены изучению уравнений и включений с каузальными
операторами различных типов, теоремам о существовании решений, описанию качественных свойств решений и различным приложениям. В то же время в последние десятилетия интерес к теории дифференциальных уравнений дробного порядка значительно возрос благодаря их эффективным приложениям в различных областях прикладной математики, физики, инженерии, биологии, экономики и т. д. (см., например, монографию [10], статьи [11]—[16], и т. д.). В работах [17]-[23] рассматривались краевые задачи различных типов для дробных дифференциальных уравнений и включений. В данной работе развиваются результаты работ [24]-[26] и рассматривается обобщенная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемая дифференциальным включением с дробной производной и каузальным оператором, удовлетворяющая условию обратной связи и общему граничному условию.
Работа имеет следующую структуру. Во втором разделе приводятся необходимые сведения из теории многозначных отображений, мер некомпактности, приводится понятие многозначного каузального оператора и дробной производной. В следующем разделе мы изучаем систему, описываемую полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка, удовлетворяющим условию обратной связи и общему граничному условию, исследуются свойства мультиоператора, неподвижные точки которого являются решениями данной системы. Практическая значимость данной работы заключается в возможности ее применения к исследованию систем, возникающих в различных разделах естествознания и описываемых различными классами уравнений в частных производных дробного порядка.
2. Необходимые сведения
2.1. Многозначные отображения и меры некомпактности. Нам понадобятся некоторые сведения из многозначного анализа и теории топологической степени для уплотняющих отображений (см., например, [27]-[28]).
Пусть X — метрическое пространство; Е — нормированное пространство. Символом Р(Е) обозначается совокупность всех непустых подмножеств пространства Е, К(Е) и Кг>(Е) обозначают совокупности, состоящие из всех непустых компактных или, соответственно, выпуклых компактных подмножеств пространства Е.
Определение 1. Мультиотображение ^: X ^ Р(Е) называется полунепрерывным сверху в точке х Е X, если для любого открытого подмножества Ш С Е, такого что ^(х) С Ш, найдется такая окрестность V(х) точки х, что ^(V(х)) С Ш
Мультиотображение ^ называется полунепрерывным сверху (пн. св.), если оно полунепрерывно сверху в каждой точке пространства X.
Определение 2. Мультиотображение F : X ^ P(E) называется компактным, если его область значений F (X) — относительно компактное подмножество E. Если пн. св. мультиотображение F компактно на ограниченных подмножествах X, то оно называется вполне пн. св. Если мультиотображение F компактно на компактных подмножествах X, то оно называется квазикомпактным.
Лемма 1. ([27], Теорема 1.1.12.) Если F : X ^ K(E) — замкнутое квазикомпактное мультиотображение, то оно пн. св.
Определение 3. Мультифункция G : [0; T] ^ K(E), для p > 1, называется:
• ^-интегрируемой, если она допускает ^-интегрируемое сечение по Бохнеру, то есть существует функция g 6 L ([0; T]; E), такая, что g(t) 6 G(t) для почти всех t 6 [0; T];
• ^-интегрально ограниченной, если существует функция £ 6 Lp([0; T]) такая, что:
l|G(t)|| := sup{||g||E : g(t) 6 G(t)} < £(t) для почти всех t 6 [0; T].
Лемма 2. ([27], Теорема 4.2.1.) Пусть последовательность функций {£n} С LP([0; T]; E) является Lp-интегрально ограниченной. Предположим, что
X({£n(t)}) < q(t)
для почти всех t 6 [0; T], где q 6 L+([0; T]). Тогда для любого 5 > 0 существует компактное множество Ks С E и множество ms С [0; T] с мерой Лебега (ms) < 5, а также последовательность функций Gs С L^([0; T]; E) со значениями в Ks такие, что для каждого n > 1 существует функция bn 6 Gs, для которой
||£n(t) - bn(t)|s < 2q(t) + 5, t 6 [0; T]\ms.
Более того, последовательность {bn} может быть выбрана так, что bn = 0 на ms и эта последовательность слабо компактна.
Пусть (A, > 0) — некоторое частично упорядоченное множество, E — нормированное пространство.
Определение 4. Отображение в : P(E) ^ A называется мерой некомпактности (МНК) в E, если для любого fi 6 P(E) выполнено
в (cofi) = в(^). Мера некомпактности в называется:
1) монотонной, если из fib fi2 6 P(E) и fi1 С fi2 вытекает, что в^О < в(fi2);
2) несингулярной, если для любых fi 6 P(E), а 6 E выполнено в(fiU {а}) = в(fi).
Если A — конус в нормированном пространстве, то МНК в называется:
3) вещественной, если A множество действительных чисел с естественным порядком;
4) регулярной, если в^) = 0 равносильно относительной компактности fi.
Мерой некомпактности, для которой выполнены все вышеприведенные свойства, является МНК Хаусдорфа
X(fi) = inf{е > 0 : fi имеет конечную 5 — сеть}.
Также в качестве примеров рассмотрим меры некомпактности определенные в пространстве непрерывных функций C([0, T]; E), где E — банахово пространство:
1) модуль равностепенной непрерывности:
mode (fi) = limsup max ||x(t1) — x(t2)||E; \t!-t2\<S
2) модуль послойной некомпактности:
<p(fi) = sup Xe(fi(t)),
te[0,T ]
где XE — МНК Хаусдорфа в E, fi(t) = {x(t) : x 6 fi};
3) затухающий модуль послойной некомпактности:
Y(fi) = sup e-LtXE(fi(t)), te[0,T ]
где L > 0 — заданное число.
Эти меры некомпактности обладают всеми вышеуказанными свойствами за исключением регулярности. Кроме того, если мы обозначим xc МНК Хаусдорфа в пространстве C([0,T]; E), то мы имеем следующее соотношение ([27], Пример 2.1.3):
^с (fi) < Xc (fi). (1)
Пусть E и E' — нормированные пространства с мерами некомпактности в и в' соответственно; L : E ^ E' — непрерывный линейный оператор.
Определение 5. Оператор L называется (в, в')-ограниченным, если найдется C > 0 такое, что < Cв^) для всех ограниченных множеств fi С E. Значе-
ние ||L||(/3'/3'), равное точной нижней грани множества всех таких коэффициентов, называется (в, в')-нормой оператора L.
В частности, если Е = Е' и в = в', то ||(в'в) будем обозначать как ||(в) и называть в-нормой оператора ^. Для вычисления х-нормы оператора ^ мы можем применять формулу
||(х) = 5 ) = Б), где Б и Б — единичные сфера и шар в Е, соответственно. Легко видеть, что
11^||(х) < ||
и
х(^) < 11^цхх(^)
для любого ограниченного подмножества ^ С Е.
Пусть Е — банахово пространство, ^: Е ^ С([а, Ь]; Е) — ограниченный линейный оператор и рс — модуль послойной некомпактности в С ([а, Ь]; Е). Из (1) вытекает, что
||(х'^ < ||(х). (2)
Определение 6. ([27]) Непустое компактное метрическое пространство А называется Яъ-множеством, если существует убывающая последовательность {Ап} компактных стягиваемых множеств такая, что
А = Р Ап.
п> 1
Ясно, что компактные выпуклые или, более общо, стягиваемые множества являются примерами Яъ-множеств. В то же время, Яъ-множество может быть не стягиваемым (см. пример в [28]).
Пусть X — подмножество в Е.
Определение 7. Пн.св. мультиотображение Р : X ^ К(Е) называется:
(г) Яъ-мультиотображением (или /-мультиотображением), если каждое значение Р(ж), х € X является Яъ-множеством;
(гг) квази-Яъ-мультиотображением (или С/-мультиотображением), если существует нормированное пространство Е^ Яъ-мультиотображение Р1 : X ^ К(Е^ и непрерывное отображение д : Е1 ^ Е такие, что Р = 0 о Р^
Из этого определения и свойств непрерывности мультиотображений (см., например, [27]) вытекает следующее утверждение.
Предложение 1. Если Р, ^ : X ^ К(Е) — квази-Яъ-мультиотображения, то их сумма Р + ^ : X ^ К(Е),
(Р + ^ )(х) = Р (х) + ^ (х)
также является квази-Л^-мультиотображением.
Пусть в — монотонная несингулярная МНК в Е, Я — открытое ограниченное подмножество Е и & : Я ^ К(Е) — в-уплотняющее квази-Л^-мультиотображение такое, что х € & (х) для всех х € дЯ, где дЯ обозначает границу множества Я. Тогда для соответствующего мультиполя г — & определена числовая характеристика
(г — &,Я),
называемая топологической степенью ([27], Глава 3.4). Эта характеристика обладает всеми стандартными свойствами топологической степени, в частности, ее отличие от нуля влечет существование по крайней мере одной неподвижной точки х € Я, х € &(х).
В качестве следствия этой теории топологической степени мы получаем следующий принцип неподвижной точки ([27], Следствие 3.4.2).
Предложение 2. Пусть М — замкнутое ограниченное подмножество Е и & : М ^ К(М)-в-уплотняющее квази-Л^-мультиотображение. Тогда & имеет хотя бы одну неподвижную точку х* € М, х* € & (х*).
2.2. Каузальные мультиоператоры. Пусть Е — сепарабельное банахово пространство, Ьр ([0,Т]; Е) , 1 < р < то - банахово пространство всех суммируемых по Бохнеру функций / : [0, Т] ^ Е с обычной нормой.
Для каждого подмножества N С Ер ([0, Т]; Е) и т € (0, Т) определим сужение N на [0, т] как
N |[0,т]= {/ |[о,т]: / € N}.
Определение 8. Для заданного Н ^ 0 мультиотображение
^ : С ((—Н, Т]; Е) ^ Ьр ([0,Т]; Е) будем называть каузальным мультиопера-тором, если для каждого т € (0, Т) и для любых м(-),г>(-) € С ((—Н, Т]; Е) условие и |(_л,т]= V |(-М влечет ^(и) |[о,т] = |[о,т] .
Приведем примеры каузальных мультиоператоров.
Пример 1. Предположим, что мультиотображение
Е : [0,Т] х С ([—Н, 0]; Е) ^ Kv (Е)
удовлетворяет следующим условиям:
(Е 1) для любого ф € С ([—Н, 0]; Е) мультифункция Е (■, ф) : [0, Т] ^ Kv (Е) допускает измеримое сечение; (Е2) для п. в. £ € [0, Т] мультиотображение Е (£, ■) : С ([—Н, 0]; Е) ^ Kv (Е) пн. св.;
(F3) для любого r > 0 найдется функция ar £ L+[0,T], 1 < p < то такая, что ||F(t,V)||e := sup{|z|E : z £ F(t,< a(t) для п. в. t £ [0,T] и \Що < r.
Из условий (F1) — (F3) (см., например, ([27], [28]) вытекает, что суперпозиционный мультиоператор PF : C([—h; T]; E) ^ P(L^([0,T]; E)), 1 < p < то заданный как
Pf(x) = {f £ Lp([0,T]; E) : f (t) £ F(t,xt) п. в. t £ [0,T]} (3)
корректно определен. Здесь ut £ C ([—h, 0]; E) определяется как ut(0) = u(t + 0), 0 £ [—h, 0]. Ясно, что мультиоператор PF является каузальным.
Пример 2. Пусть F :[0, T] х C ([—h, 0]; E) ^ Kv (E) — мультиотображе-ние, удовлетворяющее условиям (F1) — (F3) Примера 1. Предположим, что {K(t, s) : 0 < s < t < T} является непрерывным (с соответствующей нормой) семейством ограниченных линейных операторов в E и m £ Lx([0,T]; E) заданная функция. Рассмотрим интегральный мультиоператор Вольтерра G : C ((—h, T]; E) ^ L1 ([0, T]; E), определенный как
t
g (u)(t) = „(.) + / k (i,s)F
0
т. е.
t
G(u) = {y £ L1 ([0, T]; E) : y(t) = m(t) + J K(t,s)f (s)ds : f £ PF(u)}. (4)
0
Также очевидно, что мультиоператор G является каузальным.
Пример 3. Пусть мультиотображение F : [0, T] х C ([—h, 0]; E) ^ Kv (E) удовлетворяет условию (F3) и следующему условию почти полунепрерывности снизу:
(Fl) существует последовательность непересекающихся компактных подмножеств {Jn}, Jn С [0,T], n = 1, 2,... такая, что ^ ([0, T] \ [Jn Jn) = 0 и сужение F на каждое множество Jn х C ([—h, 0]; E) пн. сн.
Тогда (см., например, [27], [28]) суперпозиционный мультиоператор PF : C ([—h, T]; E) ^ L1 ([0, T]; E) корректно определен и является каузальным.
2.3. Дробная производная.
Определение 9. ([10]-[12]). Дробной первообразной порядка а € (0,1) от функции д € Ьх([0,Т]; Е) называется функция Iад следующего вида:
г
1ад(£) = гтт А* — д^)
Г(а) ] о
где Г — гамма-функция Эйлера
г(а)=/х"_1е_х<гх
0
Определение 10. ([10]-[12]). Дробной производной Римана-Лиувилля порядка а € (0,1) от функции д € Ь1([0,Т]; Е) называется функция Бад следующего вида:
г
Л АС
= Р(Г^) г/—')_"»(')
о
Определение 11. ([12]). Дробной производной Герасимова-Капуто порядка а € (Ж — 1, N] от функции д € Сы ([0, Т]; Е) называется функция сследующего вида:
г
с °а д(*) = Г(ЖГ^) /(* —<-а-1д(*
о
Для определенных выше дробной первообразной и дробной производной имеют место следующие соотношения:
с £аГи(*) = и(*),
1ас£аи(*) = и(*) — V Г.
п!
п=о
Нам понадобятся следующие утверждения, представляющие собой варианты лемм Гронуолла и Гронуолла-Беллмана.
Лемма 3. ([12]). Пусть и, т : [0, а] ^ [0, непрерывные функции, причем т(-) неубывающая, и имеются константы Ь и 0 < 7 < 1 такие, что выполнено:
г
и(*) < т(*) + Ь -—
У (* —
о
тогда существует константа д = 5(7) такая, что для любого £ € [0, а] выполняется:
ь
У (£ - 5)7
0
Лемма 4. ([12]) Пусть Л,(£), д(£) и у(£) — неотрицательные, интегрируемые на [а, Ь] функции, удовлетворяющие неравенству:
ь
у(£) < д(£) + ^ ВДу(в)^, £ € [а,Ь],
а
тогда выполняется следующее неравенство:
ь ( ь
у(£) < д(£) + ежр < / Л,(6>)^0 V ВДд(в)^, £ € [а,Ь].
3. Краевая задача для функционально-дифференциального
включения дровного порядка
Пусть E — сепарабельное банахово пространство, E — банахово пространство управлений.
Рассмотрим в E управляемую систему, описываемую полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка:
CDqx(t) е Ax(t) + F(x)(t) + Bu(t), t e [0,T], q e (0;1), (5)
удовлетворяющую условию обратной связи
u е Фх, u е L^ ([0, T]; E) (6)
и общему граничному условию:
Qx е Sж. (7)
Относительно операторов входящих в условие задачи будем предполагать выполненным следующее:
(A) замкнутый линейный оператор A : D(A) С E ^ E является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы ограниченных линейных операторов {U (t)}t>c;
каузальный оператор F : C ([-h, T]; E) ^ C (L ([0, T]; E)), 1 < p < то удовлетворяет условиям:
(& 1) & является слабо замкнутым в следующем смысле: условия К}(=1 С С ([—Н,Т]; Е), {/„}(=! С Ь ([0,Т]; Е), 1 < р < то / € &(ип), п > 1, ип ^ ио, /п ^ /о влекут /о € &(ио);
(62) для любого г > 0 найдется функция 5Г(■) € ([0,Т]) такая, что для любой функции и € С ([—Н,Т]; Е), такой что ||и||с < г выполняется II&(и)(*)||в < 5Г (*) для п. в. * € [0, Т];
(63) существует функция и : [0, Т] х М+ ^ М+ такая, что (и1) для любого х € М+ и(-, х) € Ь+([0, Т]), 1 < р < то;
(и2) для п. в. * € [0, Т] функция и(£, ■) : М+ ^ М+ является непрерывной, неубывающей и однородной в том смысле, что и(£, Лх) = Ли(*,х) для каждого х € М+ и Л > 0;
(и3) для каждого ограниченного множества А С С ([—Н, Т]; Е) выполнено
*, Бир (Ав)
V ве[о,г] у
X (& (А) (*)) < и ( *, Бир ^ (Ав) ) для п. в. * € [0,Т],
где множество А^ С С ([—Н, 0]; Е) определено как А^ = {у^ : у € А} и <£> — модуль послойной некомпактности в С ([—Н, 0]; Е).
Заметим, что условие (и2) означает, что и(£, 0) = 0 для п. в. * € [0, Т] ив качестве примера такой функции мы можем рассмотреть и(*, х) = к(*) ■ х, где &(•) € ([0, Т]).
Относительно ограниченного линейного оператора В: Е1 ^ Е и мультиотобра-жения обратной связи Ф: С ([—Н; Т]; Е) ^ К (С ([0,Т]; Е1)) будем предполагать, что
(Ф) мультиотображение В Ф : С ([—Н; Т]; Е) ^ К (С ([0, Т]; Е) является вполне пн.св. и квази-Л^.
Для операторов из краевого условия (7) предполагаются выполненными условия:
^ : С([—Н; Т]; Е) ^ С([—Н; 0]; Е) линейный ограниченный оператор; (^) мультиотображение ^ : С([—Н; Т]; Е) ^ Kv(C([—Н;0]; Е)) является вполне пн. св.
Определение 12. Пара функций х € С([—Н; Т]; Е) и и € С([0,Т]; Е1) образуют интегральное решение задачи (5)-(7), если функция х удовлетворяет условию (7) и при * € [0, Т] имеет вид
г
*м= *Мх(°) + /(4 - .Г1Т(*—.)/(.)*, *€ М,
о
IIT(t)xHe , (9)
где
сю сю
3(г) = ^ (в)ехр(г9в)<в, Т(г) = ^ в^(в)ехр(Ьяв)<в, 0 0
& (в) = д в-1-1 ф9 (в-1/*),
ф„(в) = 1 у4(-1)п-1в-?п-1 Г(пд + Х) в1п(ппд), в е К+, п ' п!
п=1
/ е Р(х), а функция и удовлетворяет (6). Функция х называется траекторией системы, а функция и — соответствующее управление.
Для операторов 3 и Т верно утверждение.
Лемма 5. ([12], Лемма 3.2.) Операторы 3 и Т обладают следующими свойствами:
1) для любого г е [0, Т], 3(г) и Т(г) являются линейными ограниченными операторами и удовлетворяют для каждого х е Е оценкам:
||3(¿)х|в < м ||х|в; (8)
дМ Г(ТТд) где М = впр4>о ||{и(*)}|| ;
2) операторы 3(Ь) и Т(Ь) сильно непрерывны для всех Ь е [0, Т], то есть функции Ь е [0, а] ^ 3(Ь)х и Ь е [0, Т] ^ Т(г)х непрерывны для всех х е Е.
Рассмотрим линейный оператор С : ^([0,Т]; Е) ^ С([-Н; Т]; Е), р > 1/д, определенный как
( ) Г /о(* - (ь - в)/(з)<з, г е [0,Т];
(х) I 0, г е [-Н,0],
Очевидно, что оператор С является каузальным ([2], [12]).
Лемма 6. ([27], Лемма 4.2.1) Оператор С обладает следующими свойствами: (С1) для 1 < р < то существует константа Б ^ 0 такая,что
г
ЦС(0(*) - ОД(*)НЕ < в| ||е(з) - п(з)|1Е<з, е,п е ьр([0,Т]);
0
если р = то тогда существует константа В1 ^ 0 такая,что
г
1|С(0(*) - С(п)тЕ < В^! не(з) - п(з)Не <3, е,п е Ьс([0,Т]);
0
(G2) для произвольного компактного множества K С E и последовательности (Пп) С Lp([0,T]; E), 1 < p < то такой, что (nn(t)} С K для всех t 6 [0, T] слабая сходимость fn ^ /о влечет Gfn ^ Gf0 в C([0; T]; E) (G3) (Gf) (0) = 0 для каждой функции / 6 Lp([0,T]; E).
Лемма 7. ([12/, Лемма 3.5) Пусть последовательность функций (fn}^=i С Lp([0,T]; E) Lp-интегрально ограничена и существует функция и 6 L+([0,T]) такая, что
X ((/ (t)}~i) < u(t) для п. в. t 6 [0, T].
Для оператора G при 1 < p < 1 имеем
t
X ({Gfn (t)}^ii) < {^D J up(s)ds)1/p,
о
и при p = то
t
X ((Gfn (t)}~i) < 2Di j u(s)ds,
о
для всех t 6 [0, T], где D, Di константы из условия (G1).
Для описания основного свойства этого оператора нам понадобится следующее понятие.
Определение 13. Последовательность (fn}^=i С L^([0,T]; E) называется L^-полукомпактной, если она ^-интегрально ограничена, т. е. существует функция Z 6 L^([0,T]) такая, что
||fn(t)||E < Z(t) для п. в. t 6 [0,T], n =1, 2...
и множество (fn(t)}^Li относительно компактно в E для п. в. t 6 [0, T].
Лемма 8. ([27/, Предложение 4.2.1.) Каждая LP-полукомпактная последовательность слабо компактна в Li([0,T]; E).
Лемма 9. ([28/, Теорема 5.1.1.) Пусть G : L([0,T]; E) ^ C([-h; T]; E) оператор, удовлетворяющий условиям (G1)-(G2). Тогда для каждой LP-полукомпактной последовательности (fn}^=i из LP([0, T]; E) последовательность (Gfn}^Li относительно компактна в C([0, T]; E) и, более того, слабая сходимость fn ^ f0 влечет Gfn ^ Gfo.
Предложение 3. ([2], Theorem 3) Композиция GoF : C([-h; T]; E) ^ Kv(C([-h; T]; E)) является пн. св. мультиотображением с компактными значениями.
Обозначим С0 подпространство С([-Н; Т]; Е), состоящее из функций, имеющих на [0, Т] вид
х(г) = 3(г)х(0), г е [0,Т]
и обозначим О] сужение О на С0.
Основным требованием на граничные операторы О и У будет следующее условие:
(ОУ) существует непрерывный линейный оператор Л : С([-Н; 0]; Е) ^ С0 такой, что
(I - О0Л)(у - ОС[/ + В и]) = 0
для всех х е С([-Н, Т]; Е), у е У (х), / е Р и и е Фх. Для того, чтобы привести пример выполнения данного условия, рассмотрим линейный ограниченный оператор г : С([-Н; 0]; Е) ^ С0, который определим как
с(г), г е [-Н,0];
3(г)с(0), г е [0; Т].
Предположим следующее: (О ) линейный ограниченный оператор О : С([-Н;0]; Е) ^ С([-Н;0]; Е), определенный как О с = О(гс) является обратимым. Нетрудно видеть, что при выполнении условия (О ) оператор Л можно задать явным образом:
Лс = г [О-1 (с)].
В предположении, что выполнено условие (ОУ), рассмотрим мультиоператор
Г : С ([-Н; Т ]; Е) ^ К (С ([-Н; Т ]; Е)),
заданный следующим образом:
Г(х) = ЛУ(х) + (I - ЛО)С[Р(х) + ВФ(х)].
Из условий, наложенных на операторы О, У, В, Ф, Л и Предложений 1 и 3 следует, что мультиоператор Г является -мультиотображением.
Основное свойство мультиоператора Г характеризуется следующим утверждением.
Теорема 1. Каждая неподвижная точка Г, т. е. функция х(-), удовлетворяющая соотношению
х = Лг + (/ - ЛО)С (/ + Ви) (10)
для некоторых г е У (х), / е Р(х) и и е Ф(х) вместе с функцией и образуют интегральное решение задачи (5)-(7).
(rc)(t) =
Обратно, при условии (О ), если х и и — траектория и соответствующее управление для задачи (5)-(7), то функция х удовлетворяет (10) для г = Ох € ^(х) и f € ^(х), т. е. х является неподвижной точкой мулътиоператора Г.
Доказательство. (г) Поскольку функция х может быть представлена в виде
х = Л (г - ООД + Ви)) + ОД + Ви),
мы получаем, что х удовлетворяет интегральному равенству из определения решения.
Проверим выполнение граничного условия. Используя условие (О^), мы получаем
Ох = ОоЛг+О (I - ЛО) ОД+Ви) = г-(г - ОоЛг)+ООД+Ви)+ОоЛООД+Ви) =
= г - (I - ОоЛ) (г - ООД + Ви)) = г € ^х.
(гг) Пусть теперь х и и — интегральное решение задачи (5)-(7). Тогда функция х удовлетворяет соотношению
х = г(ф) + ОД + Ви) для некоторого f € ^(х), где ф = х|[_ь,о]. Тогда
Ох = О(ф) + ООД + Ви),
откуда мы получаем
ф = О-1 (Ох - ООД + Ви))
и следовательно
г(ф) = Л (Ох - ООД + Ви)).
Таким образом
х = Л (Ох - ООД + Ви)) + ОД + Ви) = = ЛОх + (I - ЛО)ОД + Ви) € Г(х).
□
Покажем теперь, что при некоторых дополнительных ограничениях мультиопе-ратор Г является уплотняющим.
Пусть выполнены следующие условия:
(Н1) найдется Ь > 0 такое, что для любого ограниченного множества ^ С С ([-Л,; Т]; Е) выполнено
^С{[_Л;0];В)(ОП] < Ь^С([_Л;Т];в)(П);
(H2) константа L > 0 выбрана так, что
тах{дь < 1,
где
t
qi = sup [4D1/p(1 + ЛЬ) ( f e-Lp(t-s)wp(s, 1)ds)1/p] < 1,
te[0,T ] 7
0
t
q2 = sup [2Di(1 + ЛЬ) ( / e-L(t-s)wp(s, 1)ds)] < 1
te[0,T] J
0
и Л > 0 такого, что 11 Л 11 < Л. Рассмотрим МНК v на пространстве C([-h; T]; E) со значениями в конусе R+:
v(fi) = (7(fi), modс(fi)),
где y — затухающий модуль послойной некомпактности и mod с — модуль равностепенной непрерывности.
Теорема 2. При выполнении условий (H1) — (H2) мультиоператор Г является v-уплотняющим на ограниченных подмножествах пространства C([—h; T]; E).
Доказательство. Пусть fi С C([—h; T]; E) непустое ограниченное множество и v(r(fi)) > v(fi). Покажем, что тогда fi — относительно компактное множество. Представим мультиоператор Г в виде суммы
Г(х) = ri(x) + Г2(х) + Гз(х),
где Г1(х) = ЛУ(х), Г2(х) = (I — ЛО)ОР и Г3(х) = (I — Л^)СВФ(х). В силу условий, наложенных на мультиотображения У и ВФ, мультиоператоры Г1 и Г3 являются вполне пн. св. Тогда проверка утверждения теоремы сводится к проверке v-уплотняемости мультиоператора Г2.
В силу сепарабельности пространства E, мы можем без ущерба для общности считать, что множества fi и ^(fi) счетны: fi = {xn}^=1, ^fi) = {yn}^=1, и более того
Уп е Г2( хп ). (11)
А значит
yn(t) = (I — Лд)С/п(4), fn е F(хп), П > 1. Из исходного неравенства следует, что:
<£C([-h;T];E) (Г(fi)) > ^C([-h;T];E) (fi) ,
то естЬ р({Уп}гТ=1) > ^({xn}iT=1).
Применяя условие (F3) и используя свойства функции и получаем для п. в. t 6 [0, T]
X ((fn(t)}~i) < и ft, sup ^ ({(Xn)sKr=i)) = и (t, ^ (K|[-M}r?=i) )
V 0<s<t J
= и (t,eLte -LV ((xn|[-hit]}S=i)) < и (t, eLt7 (K|[-M}r?=i)) < и (t, eLt7 (K}£i)) < и (t, eLt) ■ 7 (R}^) . Сначала рассмотрим случай 1 < p < то. По Лемме 7 для каждого t 6 [0, T] имеем
t
X ((Gfn(t)}~i) < (4pD | ир (s, eLs) ds ■ (K}~i)) i/p <
0
t
< 4Di/p (| ер^ир (s, 1) ds )i/p ■ y (W~i). 0
Тогда
X((yn(t)}~=i) < X(((1 - Лд^Дф}^) < (1 + A% ((Gfn(t)}-=i),
e-LtX((yn(t)}rT=i) < (1 + Ab)Xe-Lt ((Gfn(t)}~i) <
t
< (1 + Ab)4Di/p (| е-Ьр^-^ир (s, 1) ds )i/p ■ y ((xn}S=i) = ?i ■ Y (K^i). 0
То есть y ((xn}~=i) < qi ■ Y (R}~i) .
Из условий теоремы и предположения в начале доказательства мы получаем, что Y (^) = 0.
Теперь рассмотрим случай p = то. По Лемме 7 для каждого t 6 [0,T] имеем
t
X ((Gfn(t)}-=i) < 2Di у и (s, eLs) ds ■ y ((xn}S=i) <
0
t
< 2Di У е18и (s, 1) ds ■ y (W~i) . 0
Снова умножая обе части последнего неравенства на e-Lt и беря sup по t 6 [0, T],
получим y ((xn}iT=i) < q2 ■ y ((xn}iT=i).
Значит и в этом случае y = 0.
Осталось показать, что множество П равностепенно непрерывно. Рассмотрим последовательности С П и {/n }^=1, fn G F(xn). Из условий (F2) — (F3) следует, что последовательность {/п}^=1-Ьр-полукомпактна и значит по Лемме 9 последовательность {G/n}^=1 относительно компактна. Тогда mode({G/n}^=1) = 0. Следовательно v(w) = (0,0) и это означает относительную компактность множества w. □
Доказанные свойства мультиоператора Г дают возможность применить для его исследования теорию топологической степени уплотняющих мультиполей. Закончим рассмотрение задачи применением к оператору Г Предложения 2 и формулировкой общего принципа существования интегральных решений задачи (5)-(7).
Теорема 3. При указанных выше условиях, пусть ограниченное открытое множество П С C((—h; T]; E) не имеет траекторий задачи (5)-(7) на dû и пусть
deg(i — Г, П) = 0.
Тогда множество интегральных решений {x, u} задачи (5)-(7) таких, что x G П, не пусто.
4. Заключение
В работе получены следующие результаты: задача нахождения траектории и соответствующего управления для рассматриваемой системы была сведена к задаче поиска неподвижной точки многозначного оператора. Для мультиоператора было доказано, что он является уплотняющим относительно введенной меры некомпактности, что позволило применить к нему теорию топологической степени. Работа В. В. Обуховского поддержана грантом РНФ № 20-11-20131.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. LUPULESCU, V. (2008) Causal functional differential equations in Banach spaces. Nonlinear Anal.. 69 (12). p. 4787-4795.
2. OBUKHOVSKII, V., & ZECCA, P. (2011) On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces. Nonlinear Anal.. 74 (8). p. 2765-2777.
3. Кулманакова М. М., Ульянова Е. Л. О разрешимости каузальных функциональных включений с бесконечным запаздыванием / / Вестник российских университетов. Математика. - 2019, Т. 24. - № 127. - C. 293-315.
KULMANAKOVA, M., UL'YANOVA, E. (2019) On the solvability of causal functional inclusions with infinite delay. Russian universities reports. Mathematics. 24 (127). p. 293-315.
4. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. Моск. ун-та. — Астрахань: Волга, 1938. — Секц. А, Вып. 8, Т. 1. — C. 1-25.
TIHONOV, A. (1938) On Volterra-type functional equations and their applications to some problems of mathematical physics. Byull. Mosk. un-ta. Sect. A, Vyp. 8 (V. 1). p. 1-25.
5. CORDUNEANU, C. (2002) Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications. London, Taylor and Francis. 528.
6. Булгаков А. И., Максимов В. П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. — 1981, Т. 17. — № 8. — C. 1362-1374.
BULGAKOV, A., MAKSIMOV, V. (1981) Functional and functional-differential inclusions with voltaire operators. Diff. equation. 17 (8). p. 1362-1374.
7. DRICI, Z., MCRAE, F. A. & VASUNDHARA DEVI, J. (2005) Differential equations with causal operators in a Banach space. Nonlinear Anal. 62 (2). p. 301-313.
8. DRICI, Z., McRAE, F. A. & VASUNDHARA DEVI, J. (2006) Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators. Nonlinear Anal. 64 (6). p. 1271-1277.
9. JANKOWSKII, T. (2008) Boundary value problems with causal operators. Nonlinear Anal. 68 (12). p. 3625-3632.
10. KILBAS, A. A., SRIVASTAVA, H. M. & TRUJILLO, J. J. (2006) Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam. North-Holland Mathematics Studies.Elsevier Science B.V.
11. PODLUBNY, I. (1999) Fractional Differential Equation. San Diego. Academic Press.
12. AFANASOVA, M., LIOU, Y. CH., OBUKHOVSKII, V., PETROSYAN, G. (2019) On controllability for a system governed by a fractional-order semilinear functional differential inclusion in a Banach space. Journal of Nonlinear and Convex Analysis. 20 (9). p. 1919-1935.
13. APPELL, J., LOPEZ, B., SADARANGANI, K. (2018) Existence and uniqueness of solutions for a nonlinear fractional initial value problem involving Caputo derivatives. J. Nonlinear Var. Anal. 2. p. 25-33.
14. GOMOYUNOV, M. I. (2018) Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems. Fract. Calc. Appl. Anal.. 21. p. 1238-1261.
15. KAMENSKII, M., OBUKHOVSKII, V., PETROSYAN, G., YAO, J. C. (2019) Existence and Approximation of Solutions to Nonlocal Boundary Value Problems for Fractional Differential Inclusions. Fixed Point Theory and Applications. 30 (2). p. 1-21.
16. MAINARDI, F, RIONERO, S., RUGGERI, T. (1994) On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation. In Waves and Stability in Continuous Media. Singapore, World Scientific. p. 246-251.
17. AGARWAL, R. P., AHMAD, B. (2011) Existence theory for anti-periodic boundary value problems of fractional differential equations and inclusions. Comput. Math. Appl.. 62. p. 1200-1214.
18. GOMOYUNOV, M. I. (2019) Approximation of fractional order conflict-controlled systems. Prog. Fract. Differ. Appl.. 5. p. 143-155.
19. KAMENSKII, M., OBUKHOVSKII, V., PETROSYAN, G., YAO, J. C. (2019) On a Periodic Boundary Value Problem for a Fractional Order Semilinear Functional Differential Inclusions in a Banach Space. Mathematics. 7 (12). p. 5-19.
20. KAMENSKII, M., OBUKHOVSKII, V., PETROSYAN, G., YAO, J. C. (2021) On the Existence of a Unique Solution for a Class of Fractional Differential Inclusions in a Hilbert Space. Mathematics. 9 (2). p. 136-154.
21. KAMENSKII, M., PETROSYAN, G., WEN, C.-F. (2021) An Existence Result for a Periodic Boundary Value Problem of Fractional Semilinear Differential Equations in a Banach Space. Journal of Nonlinear and Variational Analysis. 5 (1). p. 155-177.
22. PETROSYAN, G. (2021) Antiperiodic boundary value problem for a semilinear differential equation of fractional order. The Bulletin of Irkutsk State University. Mathematics (34). p. 51-66.
23. PETROSYAN, G. (2020) On antiperiodic boundary value problem for a semilinear differential inclusion of fractional order with a deviating argument in a Banach space. Ufa Mathematical Journal. 12 (3). p. 69-80.
24. Кулманакова, М. М., Обуховский, В. В., Ульянова Е. Л. Обобщенная граничная задача для управляемой системы с обратной связью и бесконечным запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2018, Т. 23. — № 121. — C. 44-64.
KULMANAKOVA, M., OBUKHOVSKII, V., UL'YANOVA, E. (2018) Generalized boundary value problem for a controlled system with feedback and infinite delay. Bulletin of the Tambov University. Series:Natural and Technical Sciences. 23 (121). p. 44-64.
25. Афанасова, М. С., Петросян, Г. Г. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным условием в банаховом пространстве // Известия высших учебных заведений. Серия:Математика. — 2019, № 9. — C. 3-15.
AFANASOVA, M., PETROSYAN, G. (2019) On the Cauchy problem for a functional-differencialn inclusion of a fractional order with a common initial condition in a Banach space. News of higher educational institution. Series: Mathematics. 9. p. 3-15.
26. AFANASOVA, M. M., OBUKHOVSKII, V., PETROSYAN, G. (2021) A controllability problem for causal functional inclusions with an infinite delay and impulse conditions. Adv. Syst. Sci. Appl.. 3. p. 40-62.
27. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. — М.:Книжный дом "Либроком", 2011. — 224 c.
BORISOVICH, Y. and GEL'MAN, B. and MYSHKIS, A. and OBUKHOVSKII, V. (2011) Introduction to the theory multivalued mappings and differential inclusions. 2nd edition. Moscow.
28. KAMENSKII, M. and OBUKHOVSKII, V. and ZECCA, P. (2001) Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York. Walter de Gruyter.
