Задача поиска оптимальной иерархии в зависимости от функции затрат Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.8

ЗАДАЧА ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОЙ ИЕРАРХИИ В ЗАВИСИМОСТИ

ОТ ФУНКЦИИ ЗАТРАТ

В.И. Алферов, С.А. Баркалов, И.Ф. Набиуллин, Ю.А. Черенков

В статье решается задача поиска оптимальной древовидной иерархии для функции затрат менеджера, что позволяет исследовать зависимость этих свойств от параметров содержания менеджеров

Ключевые слова: вектор, модель, программа, управление

Введение

Во многих областях науки и техники возникают задачи поиска оптимальных иерархических структур. Например, в задаче построения организационной иерархии необходимо при заданной технологии функционирования [6], определяющей множество N = мп} рядовых сотрудников

(исполнителей), наилучшим образом надстроить над множеством исполнителей иерархию менеджеров - иерархию управления. Множество менеджеров обозначим через М.

Организационная иерархия [5] - это ориентированный ациклический граф Н с множеством вершин V = N и М (сотрудников организации) и множеством дуг Е с V х М , отражающих подчиненность сотрудников и направленных от подчиненного к начальнику. Если в графе есть цепочка ребер от сотрудника VI к сотруднику у2, то у2 управляет сотрудником v1, а Vl подчинен сотруднику v2. В организационной иерархии каждый менеджер имеет, по меньшей мере, одного подчиненного и есть менеджер (т.н. топ-менеджер), управляющий всеми исполнителями. Исполнители же подчиненных не имеют. Иерархия называется деревом, если в ней только топ-менеджер не имеет начальников, а остальные сотрудники имеют одного непосредственного начальника.

Менеджер m е M в иерархии H управляет группой исполнителей sH(m) с N, состоящей из исполнителей, для которых этот менеджер является начальником в иерархии Н. Предположим, что каждому исполнителю w е N поставлена в соответствие положительная мера 4(м), описывающая сложность выполняемой им работы. Мера 4(5) группы исполнителей 5 с N равна сумме мер входящих в нее исполнителей.

Содержание менеджеров требует расходов, и затраты С(Н) иерархии Н равны сумме затрат менеджеров. Считаем [2], что затраты с(т, Н) менеджера т в иерархии Н определяются мерой группы исполнителей, которой он управляет, и мерами

Алферов Виктор Иванович - ВГАСУ, канд. техн. наук, докторант, тел. (4732) 76-40-07

Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07

Набиуллин Илигиз Фнунович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Черенков Юрий Александрович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

групп, которыми управляют его непосредственные подчиненные. То есть если менеджер управляет группой исполнителей с мерой 4 и имеет г непосредственных подчиненных, управляющих группами исполнителей с мерами 4, 4, то

с(т, Н) = с(4,...,4г ,4).

Задача поиска оптимальной древовидной иерархии

Задача поиска оптимальной древовидной иерархии [5] состоит в том, чтобы для заданного множества исполнителей N и функции затрат менеджера с(-) найти дерево Н , имеющее минимальные затраты С(Н *) = £теМс(т, Н *).

В настоящей статье задача поиска оптимальной древовидной иерархии решается для введенной в [5] функции затрат менеджера вида

с(41,...,4г) = (4"+... + 4“)в , где а е (0, 1] и

в е [1, +то) - некоторые параметры. Одна из возможных содержательных интерпретаций этой функции затрат состоит в следующем.

Пусть работа менеджера заключается в том, чтобы принимать решения, касающиеся подчиненных ему исполнителей, причем затраты менеджера в зависимости от количества принимаемых им решений Р описываются степенной функцией Рв. Решения принимаются для устранения проблем, которые отражаются в отчетах, предоставляемых его непосредственными подчиненными.

Объем отчета, который готовит подчиненный для своего начальника, равен ¡4, где 4 - мера управляемой этим подчиненным группы исполнителей. Количество же решений, которые необходимо принять, пропорционально суммарному объему предоставленных отчетов.

В [3] доказано, что для множества исполнителей N = {м1,...,мп } с мерами 4(м), м е N затраты оптимального дерева с хорошей точностью описываются выражением

|[ ЕмМГ - Ем(м)ар |

меЫ меЫ

. с(у1у,)

Ш1П щщ ^ ,

С N) =

¿=2...+« уеБк

|1 -Е уЛ

если ав Ф1, (1)

(!>(Х)1п !>(Х) - !>(Х)1п/и(м>))

меЫ меЫ меЫ

с(Уіу,)

щ1п щ1п

¿=2...+« уеВк

если ав = 1,

-Е У,-1п У,-,=1

,=1

где Вк := {у = (уь у): у + ... + ук = 1,yi > 0,

I = 1, к} - к-мерный симплекс.

Для рассматриваемой функции затрат это выражение принимает следующий вид:

Сь (N) =

|[ Еи(*)Г -Еи(*)ав\

меЫ меЫ

; л уа+...+уа )в

Ш1П Ш1П

к=2...+« уеВк

если ав Ф 1,

|1 -Е уП

(Е 4(м) 1п Е4(м) — Е 4(м) 1п 4(м)) (2)

wеN wеN wеN

(у,а +... + уа )в ш1п ш1п—1—;---------к—, если ав = 1,

к=2...+» уеВк *

— Е у1 1п у1

Для определения затрат оптимального дерева необходимо найти число к (называемое нормой управляемости) и пропорцию

у * = (у*,---, у**) е Вк*, доставляющие минимум в выражении (2). При этом в [3] показывается, что в оптимальном дереве каждый менеджер должен по возможности иметь к* непосредственных подчиненных, и должен стараться распределить между ними подчиненную ему группу исполнителей в пропорции у (то есть, если менеджер управляет группой исполнителей меры 4, то его непосредственные подчиненные должны управлять группами мер 4у1, ..., 4ук*).

Предположим, что ав Ф1 . Тогда при заданной норме управляемости к для нахождения оптимальной пропорции необходимо выбором пропорции минимизировать выражение

(уа+ ...+уа )в

|1 -ЕІ, уП

(3)

В [3] показано, что достаточно ограничиться поиском внутренних решений, то есть, решений, в которых у, > 0. Справедлив следующий результат.

Лемма 1. Если при а > 0 минимум выражения (3) достигается во внутренней точке (хь ..., хк), то найдутся такие числа а и Ь, что х, е {а, Ь}, i = 1, ..., к.

Доказательство: Поскольку достаточно рассматривать только внутренние решения, для фиксированной нормы управляемости к поиск оптимальной пропорции сводится к минимизации нелинейной функции

(уа+ ...+уа)в

Рк (у):=-

|1 -е;=1 уав|

при линейном ограничении

у1 + ... + ук = 1. Поскольку минимизируемая функция гладкая, точка ее минимума является особой точкой Лагранжиана

4 (у) :=

(уа+ ...+уак)

а\в

- + 2(1 - у, -... - у,) (4)

11 -Ек=1 уав1

то есть в этой точке производная Лагранжиана по каждой компоненте пропорции равна нулю.

Докажем, что если в особой точке все компоненты пропорции строго положительны, то они принимают не более двух различных значений. Поскольку выражение 1 — £*=, уав при фиксирован-

ных а и в знакопостоянно, при поиске особых точек Лагранжиана модуль в формуле (4) можно опустить. Дифференцируя Лагранжиан по у1, ..., ук, получаем систему уравнений

уа-1 уав-1

ав¥к (у)^^ + авРк (у) Уі

1 -Ек=1 уав

= 2, (5)

Е=1 у; -

Умножим каждое уравнение на у„ просуммируем их и, воспользовавшись тем, что у1 + . + ук = 1, выразим

1 = ав¥к (у)/(1 — Ек=1 уа/).

Подставив полученное выражение для множителя Лагранжа в систему уравнений (5), и разделив обе части каждого уравнения на авЕк(у), получим уравнения

уа

у,

ав~\

1

Е,=1 у.

1 -Ек=1 уТ

1 -Ел уТ

или, что то же самое,

а-1

у,

V'

к

ав-1

1 -Ек=1 уТ

, І = 1,

, к.

Заметим, что правые части всех уравнений равны между собой. Следовательно, равны между собой и левые части уравнений. Поэтому систему

уравнении можно записать в виде

у,

уу

1 - у,

ав-1

1-у

ав-1

І, у = 1, ..., к,

или, с учетом того, что все компоненты пропорции у строго положительны,

у1—а — уа(в—1) = у1—а — уа(в—1) , i,; = 1, ..., к.

Введем в рассмотрение функцию /х) = х1 “ а - хав- 1), определенную на отрезке [0, 1]. Легко проверить, что на всей области определения функция /(•) имеет не более одного промежутка возрастания и не более одного промежутка убывания, следовательно, каждое значение этой функции достигается не более чем при двух различных значениях ее аргумента.

В особой точке Лагранжиана для всех i,; = 1, ..., к /(у,) = /(у;), следовательно, в этой точке компоненты пропорции могут принимать не более двух различных значений. Лемма доказана.

Результат леммы 1 позволяет предложить эффективный алгоритм численного решения задачи минимизации (2).

Пусть т компонент пропорции равны а. Тогда, поскольку сумма компонент пропорции всегда равна единице, Ь = (1 - та)/(к - т), и для нахождения к и у необходимо выбором к = 2, 3, ..., т = 1, ..., к - 1 и а е (0, 1/т) минимизировать функцию

(таа + (к - т)[(1 - та)/(к -т)]а)в

11 - таав - (к - т)[(1 - та)/(к - т)]ар |

ав I

(6)

Ограничим область минимизации значениями к, не превышающими некоторой константы К (например, 100). Тогда для решения задачи необходимо для каждой из К(К —1)/2 комбинаций к и т минимизировать функцию (6) по а е (0, 1/т). Для минимизации использовалась комбинация метода сетки и метода Ньютона: на интервале (0, 1/т) выбиралось (с фиксированным шагом) заданное число точек и начальной точкой для метода Ньютона бра-

лась точка, в которой достигался минимум функции.

Результаты расчета нормы управляемости приведены на рисунке слева. Для больших значений параметра в оптимальны 2-деревья (с нормой управляемости 2). Область их оптимальности отмечена числом «2». С уменьшением в, а также со стремлением а к единице, последовательно становятся оптимальными 3-деревья, 4-деревья и т.д. (эти области обозначены «3», «4», ...). При относительно малых в оптимальны симметричные

2-деревья. Для в > 6.8 имеется область (выделенная на рисунке 1 слева пунктиром) оптимальности асимметричных 2-деревьев, в которых соотношение компонент пропорции варьируется в широких пределах.

Более подробные вычисления показывают, что при близких к единице а и больших в имеются и области оптимальности асимметричных

3-деревьев, 4-деревьев и т.д. На рисунке справа приведен расчет для области а е [0.999, 1), в е [1, 30] с нелинейным шагом по а. Области оптимальности асимметричных деревьев выделены серым цветом и обозначены «2а», «3а» и т.д., а симметричных деревьев - «2с», «3с» и т.д.

Таким образом, в наиболее важной с точки зрения практики области в е [1, 6] оптимальны симметричные деревья. В этой области легко найти и аналитическое выражение для границы между областями оптимальности соседних норм управляемости.

Для нормы управляемости к и симметричной пропорции выражение (3) приобретает вид кП(1 -а)/ |1- к1 - ар|. Следовательно, на границе между областями оптимальности к-деревьев и к + 1-деревьев выполняется равенство

кв(1-а) /|1 - к1-ав \ = (к + 1)в(1-а) /1 - (к + 1)1-а .

Вводя новую переменную і = ар, и разрешая получившуюся систему уравнений относительно а и р, получаем в плоскости ах р семейство параметрических кривых

а(,)=1п[|(к +1>'-~сі~‘|) ЧТ^'0='т°

Подставляя в эти выражения к = 2, получаем уравнение границы областей оптимальности

2-деревьев и 3-деревьев, подставляя к = 3 -

3-деревьев и 4-деревьев, и так далее. Полученные кривые изображены сплошными линиями на рисунке 1 слева.

Заключение

Полученные результаты позволяют исследовать зависимость свойств оптимальной иерархии от параметров функции затрат.

Литература

1. Воронин А. А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: ИПУ РАН, 2003.

2. Губко М.В. Структура оптимальной организации континуума исполнителей. Автоматика и телемеханика, 12, 2002. с. 116-130.

3. Губко М. В. Оптимальные организационные иерархии для однородных функций затрат. М.: ИПУ РАН, 2006 .

4. Минцберг. Г. Структура в кулаке: создание эффективной организации. СПб.: Питер, 2002.

5. Мишин С. П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах. М.: ПМСОФТ, 2004.

6. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. М.: Наука, 1982.

Норма управляемости оптимальных древовидных иерархий

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

PROBLEM OF SEARCH OF OPTIMUM HIERARCHY DEPENDING ON FUNCTION OF EXPENSES

V.I. Alfyorov, S.A. Barkalov, I.F. Nabiullin, Yu.A. Cherenkov

In present clause the problem of search of optimum treelike hierarchy for function of expenses of the manager that allows to investigate dependence of these properties on parameters of the maintenance of managers is solved

Key words: a vector, model, the program, management

240