CC BY
8УДК 78.21.35
Ершова К.А.
младший научный сотрудник Главный научный метрологический центр (Россия, г. Мытищи)
Савина С.Е.
научный сотрудник Главный научный метрологический центр (Россия, г. Мытищи)
ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЛОГИСТИКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ПОВЕРОЧНЫХ РАБОТ
Аннотация: в работе представлен пример решения задачи о рюкзаке применительно к процессу формирования логистического плана выполнения поверочных работ либо в стационарных условиях метрологической лаборатории, либо в местах эксплуатации средств измерений с учетом ограничения на суммарное расстояние от мест эксплуатации до стационара метрологической лаборатории.
Ключевые слова: оптимизация, задача о рюкзаке, метрологическая лаборатория, поверочные работы, планирование, логистика.
Поверка средств измерений (СИ) - это совокупность операций, выполняемых в целях подтверждения соответствия средств измерений метрологическим требованиям. В соответствии с [1] СИ, предназначенные для применения в сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений, подлежат поверке. Поверку СИ, например, осуществляют аккредитованные в соответствии с законодательством Российской Федерации об аккредитации в национальной системе аккредитации на проведение поверки СИ метрологические лаборатории (МЛ). МЛ может осуществлять поверку СИ в
стационарных условиях (местах осуществления деятельности МЛ, установленных при аккредитации), а также в местах эксплуатации поверяемых СИ по средствам применения мобильных метрологических комплексов.
Предположим, что необходимо произвести логистическое планирование поверочных работ, которые необходимо осуществить МЛ в отношении закрепленных производственных подразделений предприятия промышленности. При этом существует возможность производить поверочные работы, как в стационарных условиях МЛ, так и в местах эксплуатации СИ - на территории производственных подразделений, расположенных на некоторых расстояниях от МЛ, но при этом существуют ограничения на месячный пробег мобильного метрологического комплекса МЛ.
В течение месяца МЛ необходимо осуществить поверку СИ, принадлежащих 5 производственным подразделениям: 200 СИ - первое подразделения (П1); 300 СИ - П2; 250 СИ - П3; 320 СИ - П4; 180 СИ - П5. Все пять подразделений находятся на разном расстоянии от МЛ: П1 - 25 км; П2 - 30 км; П3 - 50 км; П4 - 10 км; П5 - 60 км. Требуется определить подразделения, в которых возможно осуществить поверку наибольшего количества СИ с учетом того, что суммарное расстояние от МЛ до выбранных подразделений не должно превышать 100 км.
Данная задача является задачей о ранце вида:
п
Уа •х < Ь
^ ] ]
7=1
< х 7е {0; 1}, 7= Щ , (1)
х. - целые
где критерием является функция
п
^(х) = ^7 • х 7, (2)
7=1
которая может быть устремлена и к максимуму, и к минимуму.
Для начала составим следующую математическую модель. Пусть x . = {0; 1} - j-тое подразделение, откуда соответственно j = 1,5. При этом, если СИ j-того подразделения будут поверены в местах эксплуатации , то x. = 1, иначе Xj = 0. Другим ограничением будет являться суммарное расстояние от МЛ до подразделений. Таким образом:
25 ■ x + 30 ■ x2 + 50 ■ x +10 ■ x4 + 60 ■ x < 100 x je {0; 1} j = 1,5 ;
x} - целые
Целевой функцией или критерием будет являться максимальное количество поверенных СИ в местах эксплуатации:
F(x) = 200 ■ x + 300 ■ x + 250 ■ x + 320 ■ x +180 ■ x ^ max.
Далее отбираем подразделения по приоритетности, т.е. в порядке убывания отношения Oj/aj :
f = 200 = 8 (3); fL = 300 = 10 (2); f. = 250 = 5(4); f- = 320 = 32 (1);
a 25 a 30 a 50 a4 10
=180=3 (5). a 60
После этого определяем начальный план следующим образом: пусть x4 = 1, поскольку отношение наибольшее, и следовательно поверка СИ
подразделения 4 даст наибольшее количество при наименьших затратах, которые зависят от расстояния. Вычитая из суммарного расстояния b = 100 расстояние до подразделения мы получим расстояние, которое разделяется между остальными подразделениями, т.е.: x4 = 1, b = 100 -10 = 90;
Аналогично рассуждая, далее получаем:
x2 = 1, b = 90 - 30 = 60;
x = 1, b = 60 - 25 = 35.
В последнем случае оставшееся после других подразделений расстояние меньше 50 км, поэтому х3 будет дробным: 50 • х3 = 35, => х3 = 35/50 = 0,7.
Таким образом, начальный опорный план: хн = (1; 1; 0,7; 1; 0).
Значение целевой функции: F (хн) = 200 + 300 + 250 • 0,7 + 320 = 995.
Но х. обязательно целое. Поэтому чтобы определить, чему все же равен х3: 0 или 1 вычислим следующие значения:
V = [max F (хн)] = [995] = 995 - целая часть критерия при существующем опорном плане;
M = F (х0) = 200 + 300 + 320 = 820 - значение критерия при целочисленном опорном плане, т.е. х° = [хн] = (1; 1; 0; 1; 0).
Множество D, которому принадлежит х°° = (1; 1; 0; 1; 0) имеет V/M = 995/820, Rec = 820. Разделим его на 2 подмножества, такие что:
D = D V D;
D = {х | х е D, х3 = 0}; - здесь х3 = 0.
D = {х | х е D, х3 = 1}; - здесь х3 = 1.
Анализ множества D\.
Поскольку х3 = 0 целевая функция и ограничения будут иметь вид:
F(х) = 200 • ^ + 300 • х2 + 320 • х4 +180 • х5 ^ max
25 • х + 30 • х2 +10 • х4 + 60 • х5 < 100 х j е {0; 1} j = 1,5 х7 - целые
Строим новый опорный план: х4 = 1, b = 100 -10 = 90; х = 1, b = 90 - 30 = 60;
х = 1, b = 60 - 25 = 35.
Т.к. 35 < 60, поэтому х5 будет дробным: 60 • х5 = 35, => х5 = 35/60 = 0,583
Таким образом, новый опорный план: xн = (1; 1; 0; 1; 0,583).
V = [max F (x11)] = [200 + 300 + 320 +180 ■ 0,583] = [924,94] = 924; M = F(x0) = 200 + 300 + 320 = 820, при x0 = [x"] = (1; 1; 0; 1; 0).
Анализ множества D2.
Поскольку x3 = 1 целевая функция и ограничения будут иметь вид: F(x) = 200 ■ x + 300 ■ x + 250 + 320 ■ x +180 ■ x ^ max 25 ■ x + 30 ■ x + 50 +10 ■ x + 60 ■ x < 100
x^ {0; 1} j = 1,5 =>
X - целые
25 ■ x + 30 ■ x +10 ■ x + 60 ■ x < 50 x j^ {0; 1} j = L5 .
x - целые
Строим новый опорный план: x4 = 1, b = 50 -10 = 40; x = 1, b = 40 - 30 = 10.
Т.к. 100 < 250, поэтому x будет дробным: 25 ■ x = 10, => x = 10/25 = 0,4
Таким образом, новый опорный план: xH = (0,4; 1; 1; 1; 0).
V = [max F (xx11)] = [200 ■ 0,4 + 300 + 250 + 320] = [950] = 950;
M = F(x0) = 300 + 250 + 320 = 870, при x0 = [x)] = (0; 1; 1; 1; 0). Отсев неперспективного подмножества. Rec = max(M, M2) = max(820, 870) = 870.
<
Так как V = 924 и V2 = 950 больше Rec, то оба подмножества можно считать перспективными, но поскольку M2 > Mx, то далее мы будем исследовать подмножество D2. Разделим его на 2 подмножества, такие что:
d2 = D3 v D4;
D = {х | х е D, х = 0}; - здесь х1 = 0. D = {х | х е D, х = 1};- здесь х1 = 1. Анализ множества D3.
Поскольку х3 = 1, х1 = 0 целевая функция и ограничения будут иметь вид: F(х) = 300 • х2 + 250 + 320 • х4 +180 • х5 ^ max
30 • х2 +10 • х4 + 60 • х5 < 50
х е {0; 1} j = 1,5
ху - целые
Строим новый опорный план: х, = 1, b = 50 -10 = 40;
х2 = 1, b = 40 - 30 = 10.
Т.к. 10 < 60, поэтому х5 будет дробным: 60 • х5 = 10, => х5 = 10/60 = 0,166
Таким образом, новый опорный план: хн = (0; 1; 1; 1; 0,166). V = [max F (хн)] = [300 + 250 + 320 +180 • 0,166] = [899,8] = 899; M3 = F(х0) = 300 + 250 + 320 = 870, при х° = [х"] = (0; 1; 1; 1; 0).
Анализ множества D4.
Поскольку х3 = 1, х1 = 1 целевая функция и ограничения будут иметь вид: F(х) = 200 + 300 • х2 + 250 + 320 • х4 +180 • х5 ^ max
25 + 30 • х2 +10 • х4 + 60 • х5 < 50
х
{0; 1} j = 1,5
=>
х - целые
30 • х2 +10 • х4 + 60 • х5 < 25
х
{0; 1} j = 1,5
х - целые
<
<
Строим новый опорный план: x4 = 1, b = 25 -10 = 15.
Т.к. 15 < 30, поэтому x будет дробным: 30 ■ x2 = 15, => x2 = 15/30 = 0,5
Таким образом, новый опорный план: xH = (1; 0,5; 1; 1; 0) .
V = [max F (xн)] = [200 + 300 ■ 0,5 + 250 + 320] = [920] = 920;
M = F(x0) = 200 + 250 + 320 = 770, при x0 = [x]] = (1; 0; 1; 1; 0). Отсев неперспективного подмножества. Rec = max(M3, M4) = max(870, 770) = 870.
Так как V3 = 899 и V4 = 920 больше Rec, то оба подмножества можно считать перспективными, но поскольку M4 < M3, то далее мы будем исследовать подмножество D3. Разделим его на 2 подмножества, такие что:
D = D v D6;
D5 = {x | x eD, x5 = 0}; - здесь x5 = 0. D6 = {x | x eD3, x5 = 1}; - здесь x5 = 1. Анализ множества D5.
Поскольку x3 = 1, xj = 0, x5 = 0 целевая функция и ограничения будут иметь вид:
F(x) = 300 ■ x2 + 250 + 320 ■ x4 ^ max
30 ■ x2 +10 ■ x4 < 50 x j e {0; 1} j = 1,5 . x7 - целые
Строим новый опорный план, очевидно: xH = (0; 1; 1; 1; 0). При x1 = 0, x5 = 0 ограничение выполняется всегда.
V = [max F (xн)] = [300 + 250 + 320] = [870] = 870;
M = F(x0) = 300 + 250 + 320 = 870, при x0 = [x] ] = (0; 1; 1; 1; 0).
Анализ множества D6.
Поскольку х3 = 1, хг = 0, х5 = 1 целевая функция и ограничения будут иметь вид:
F (х) = 300 • х2 + 250 + 320 • х4 +180 ^ max
30 • х2 +10 • х4 + 60 < 50
хуе{0;1} ] = 1,5 . X - целые
Ограничение несовместное, поскольку даже при х2 = х4 = 0 оно не выполняется. Следовательно, множество Об не существует.
Таким образом, оптимальным планом данной задачи будет: х* = (0;1;1;1;0)
То есть, наиболее предпочтительно в условиях данной задачи произвести поверочные работы в местах эксплуатации второго, третьего и четвертого подразделений. При этом будет произведена поверка 870 СИ, а суммарное расстояние от МЛ до данных подразделений будет составлять 90 км.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Федеральный закон от 26.06.2008 № 102-ФЗ «Об обеспечении единства измерений».
Приказ Минпромторга России от 31.07.2020 № 2510 «Об утверждении порядка проведения поверки средств измерений, требований к знаку поверки и содержанию свидетельства о поверке».
Корбут А. А. Дискретное программирование / А. А. Корбут, Ю. Ю. Финкельштейн. - М. : Наука, 1969. - 368 с.
Кагиров Р.Р. Многомерная задача о рюкзаке: новые методы решения // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2007. Вып. 3. С. 16-20. Таха Х. Введение в исследование операций. М.: Вильямс, 2001.
Ershova K.A.
Junior researcher Metrology Scientific Head Center (Mytishchi, Russia)
Savina S.E.
Researcher Metrology Scientific Head Center (Mytishchi, Russia)
PROBLEM OF OPTIMISATION OF PLANNING OF LOGISTICS OF PERFORMANCE OF TESTING WORKS
Abstract: in paper the example of the decision of a problem about a backpack with reference to process of formation of the logistical plan of performance of testing works or in stationary conditions of metrological laboratory, or in places of operation of measuring apparatuses taking into account restriction on total distance from places of operation to a hospital of metrological laboratory is presented.
Keywords: optimization, problem about a backpack, metrological laboratory, testing works, planning, logistics.
