Задача оптимального управления для модели текстильно-швейной отрасли Российской Федерации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.24

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ТЕКСТИЛЬНО-ШВЕЙНОЙ ОТРАСЛИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ © А.А. Поносов, Д.А. Поносов

Ключевые слова: задача оптимального управления; коррекция; линейная разностная модель; несовместная система; противоречивая модель.

Строится линейная разностная модель текстильно-швейной отрасли РФ. Для нее ставится задача оптимального управления. Задача оптимального управления исследуется на разрешимость. В случае противоречивости построенной динамической модели рассматривается возможность коррекции на основе подхода, предложенного для статических моделей академиком И.И. Ереминым.

В работе исследуется задача управления для линейной разностной модели с последействием, описывающей динамику показателей текстильно-швейной отрасли Российской Фе-

ДбрсЩИИ! г-1 %

= А%зх(Ь) + В%ки^к)+д(к), г = 1, 2,...,у, (1)

3=0 к=1

х(^) = а, (2)

V V

^^Г%х(^) + Нзи(Ь])= 7 е Мм, (3)

%=1 3=1

V V

г = ^ с% х(г%) + ^ Бз и{Ъз). (4)

г=1 3=1

Обозначим 3 = ^о,^,. ..,tv} , 0 = £о < tl < ... < tv = Т — множество моментов времени, в которые наблюдаются показатели экономического субъекта и в которые возможно осуществление управления. Т — период управления моделью. х^%) е Мп,г = 1,2,...,^

— вектор фазовых переменных, характеризующих состояние экономического субъекта в момент времени ti. и(Ь%) е Мг ,г = 1, 2,...,^ — вектор управляющих переменных в момент времени ^ . С помощью данного управления осуществляется воздействие на динамику фазовых переменных. Матрицы А%з ,В%к, Г%,Нз ,С%,Оз заданы. Задача (1)-(4) исследуется на разрешимость и ставится задача поиска управления, удовлетворяющего ограничениям (1)-(3) и максимизирующего линейный функционал (4).

Конкретная эконометрическая модель текстильной и швейной отрасли Российской Федерации построена с помощью стандартных эконометрических процедур АК «Прогноз-5» [1] и «Е\1е\уз-5» на основе квартальных данных Росстата с 1 кв. 2005 по 4 кв. 2009 г. и долгосрочной программы развития легкой промышленности РФ [2].

В этой модели переменные имеют следующий смысл. Фазовые эндогенные переменные: Х1^) — индекс промышленного производства текстильной и швейной продукции (в % к соотв. пер.); Х2^) — индекс-дефлятор промышленного производства текстильной и швейной продукции (в % к соотв. пер.); Хз(^ — инвестиции в основной капитал текстильного и швейного производства (прирост в % к соотв. пер.); Х4^) — импорт текстиля, текстильных изделии и обуви (прирост в % к соотв. пер.); Х5(^ — индекс цен производителей текстильной и швейной продукции (в % к соотв. пер.). Фазовые экзогенные переменные: дв(Ь) — реальные расходы населения (в % к соотв. пер.); дт(^) — денежные доходы населения (прирост в % к соотв. пер.); 98 (^ — объем мирового ВВП (прирост в % к соотв. пер.); 99^)

— индекс мировых цен на шерсть (в % к соотв. пер.). Управляющие переменные: ui(t) — индекс тарифов на ж/д грузовые перевозки (в % к соотв. пер.); U2(t) — индекс тарифов на электроэнергию (в % к соотв. пер.); u3(t) — официальный курс рубля к доллару США (прирост в % к соотв. пер.); U4(t) — ставка по депозитам, нефинансовым организациям в рублях (прирост в % к соотв. пер.); u^(t) — ставка рефинансирования (прирост в % к соотв. пер.); U6(t) — индекс потребительских цен на непродовольственные товары (в % к соотв. пер.); Uj(t) — денежная масса (М2) (прирост в % к соотв. пер.).

Идентифицированная модель имеет следующий вид: xi (t) = 49, 21 + 1,14 xi (t - 1) - 0, 01 X2 (t) +0, 01 Ж3 (t - 1) - 0,18Ж4 (t - 1) - 0, 52 u6 (t - 1) ,

X2 (t) = -45, 87 - 0,17X4 (t) + 0, 24 X5 (t) + 0, 02 g9 (t - 2) + 0, 92 ui (t) + 0,14 U2 (t) ,

хз (t) = -147, 57 - 0, 07 X4 (t - 3) + 3, 24 xi (t - 2) + 0, 07X3 (t - 3) - 0, 32 g7 (t) - 21, 97U4 (t) + 2,11 u5 (t) ,

X4 (t) = 21, 24 + 0,14 gy (t) + 5,47g8 (t) - 1,11 U3 (t - 1) ,

x5 (t) = -20, 02 + 0, 61 x5 (t - 1) + 0,15 g6 (t - 1) + 0,40 u2 (t) + 0, 01 u7 (t).

Ограничения на управляющие и фазовые переменные имеют следующий смысл. Для каждого момента времени ti Е J задан интервал, в котором лежит управление: u(ti) ^ ^ u(ti) ^ u(ti) . В соответствии с [2] заданы ограничения на годовое изменение фазовых переменных. Например, прирост импорта не превысит в 2010 к 2009 г. 16,09% и 23,45% в 2011 к 2010 г., а именно x4(1) + x4(2) + x4(3) + x4(4) ^ 64, 36 , x4(5) + x4(6) + x4(7) + x4(8) ^ ^ 93, 8. По xi(t) соответствующие оценки сверху составляют 105,59%, 108,22%; no x^(t)

- 106,7% и 106,1%.

Целевой функционал определяет прирост объема производства текстильной и швейной продукции за период с 1 кв. 2010 г. по 4 кв. 2011 г. к выпуску данной продукции в 2009 г: Z = xi(1) + xi(2) + xi(3) + xi(4) + xi(5) + xi(6) + xi(7) + xi(8).

Для данной модели ставится задача управления: на периоде (с 1 кв. 2010 г. по 4 кв. 2011 г.) найти такие значения управляющих переменных, которые в условиях описанных выше ограничений максимизируют прирост объема производства на периоде управления относительно объема производства в 2009 г.

Установлено, что при заданных ограничениях модель противоречива, т. е. задача (1)-(4) не имеет решения. Выход из этой ситуации авторы видят либо во введении дополнительных ресурсов управления, либо в коррекции модели на основе подхода, предложенного в работах [3, 4]. После применения процедур коррекции получена непротиворечивая модель и построено оптимальное управление.

ЛИТЕРАТУРА

1.Андрианов Д.Л., Селянин А.О., Шевыров П.В., Юдин А.А., Заргарян П.А., Рачева Е.А., Денисова Н.В. Целевое управление процессами социально-экономического развития субъектов Российской Федерации: моделирование, информационное, математическое и инструментальное обеспечение. Пермь: ПГУ, 2008. 240 с.

2. Стратегия развития легкой промышленности России на период до 2020 года: утв. приказом Мин-промторга России от 24.09.2009 г. № 853. Доступ из справю правовой системы «Гарант».

3.Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. М.: Наука, 1988. 160с.

4.Максимов В.П., Поносов Д.А., Чадов А.Л. Некоторые задачи экономико-математического моделирования j j Вестник Пермского университета. Экономика. Вып. 2(5). Пермь. 2010. С. 45-50.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-01-96054) и компанией «Прогноз».

Ponosov A.A., Ponosov D.A Optimal control problem for a model of textile industry of the Russian Federation. The paper presents some results of constructing a linear difference model

of textile industry of Russia. For this model, the optimal control problem is investigated for the solvability. For the case of ill-posed dynamic model, the possibility of correction is considered on the base of the approach by I. Eremin.

Key words: optimal control problem; correction of models; linear difference model; inconsistent system; inconsistent model.

Поносов Александр Андреевич, Пермский государственный университет, г. Пермь, Российская Федерация, студент кафедры информационных систем и математических методов в экономике, e-mail: ponosovaa@prognoz.ru.

Поносов Дмитрий Андреевич, Пермский государственный университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант кафедры информационных систем и математических методов в экономике, e-mail: dponosov@gmail.com.

УДК 517.958

MODELING GENE REGULATORY NETWORKS: MATHEMATICS VS. BIOLOGY

© A.V. Ponossov, A.I. Shindiapin, V.S. Tafintseva

Key words: gene regulatory networks; sigmoid functions; singular perturbation analysis.

We study some properties of the solutions of differential systems describing gene regulatory networks, where instead of linear functions on the right-hand side we consider polynomial functions. We have obtained some different properties of solutions’ behavior in the sufficiently close vicinity of singular domains, in particular, walls although in regular domains the dynamics coincide. Thus, linear systems do not describe real dynamics of a gene network.

Consider the system

xi = Fi(zi,...,zn) - Gi(zi,...,zn )xi, i = 1,...,n, (1)

where

Fi(zi,...,zn) ^ 0, Gi(zi,...,zn) > 0 (0 ^ Zi ^ 1)

are the (regulated) production rate and the (regulated) relative degradation rate, respectively.

Each zi is a function of the single gene concentration xi, i.e. zi = H(xi,di,qi). The response functions describe gene interactions in the gene regulatory network. It depends on 2 parameters 6 > 0,q > 0. If q — 0, then H becomes the step function with the unit jump at x = 6: q — 0

0 if x <6

—r~ z —— ^ „

1 if x > 6

x1/q

An example is the Hill function given by z = H (x, 6, q) = -------—r-.

x1/q + 61/q

The Boolean-like formalism

In (1) let us assume that qi ^ 0 fa all i = 1, ...,n.