Задача определения оптимального количества сотрудников сервисного центра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА СОТРУДНИКОВ СЕРВИСНОГО ЦЕНТРА

Заложнев А.Ю.

(Институт проблем управления РАН, Москва)

Рассмотрим процесс функционирования сервисного центра коммерческой фирмы, занимающейся продажей технологического оборудования, в той части, которая касается разовых заявок на обслуживание этого оборудования. Допустим, что заявки на сервисное обслуживание поступают через случайные промежутки времени. Среднее значение интервала времени между поступлениями отдельных заявок составляет 1/Я, а средняя интенсивность потока в единицу времени, соответственно, Я.

Допустим, что входящий поток заявок на обслуживание удовлетворяет требованиям стационарности, независимости от предыстории процесса (отсутствие последействия) и ординарности потока (вероятность того, что в интервале времени й поступит более одной заявки, есть величина бесконечно малая по сравнению с йі). Такой поток называется простейшим, а интервал времени между событиями - приходами последовательных заявок на обслуживание является случайной величиной, распределенной по показательному закону (см., например, [1], стр. 266269), с плотностью распределения р(і) = Я є-Яі, і > 0, которое характеризует количество заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени.

Продолжим содержательное описание задачи. В сервисном центре работает некоторое количество специалистов, занимающихся обслуживанием оборудования. Работа каждого из этих сотрудников по обслуживанию разовых заявок может быть охарактеризована средним временем обслуживания 1/д. При этом интенсивность обслуживания (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени) равна д.

Будем исходить из того, что время обслуживания заявки специалистом также является случайной величиной и имеет показательное распределение с плотностью р(і) = т єі > 0.

Предположим, что число работающих в сервисном центре специалистов равно п. Если в момент поступления заявки на обслуживание оборудования все специалисты уже заняты обслуживанием других, пришедших ранее заявок, то эта заявка ставится в очередь. Длина очереди не ограничена.

Такая система называется п-канальной системой массового обслуживания (СМО) с ожиданием (см., например, [2], стр. 262-263).

Для такой СМО известно [там же], что если выполняется соотношение % =1 < і, то существует стационарный режим ее функционирования тп

с конечной длиной очереди на обслуживание. Если имеет место % > 1, то очередь будет неограниченно возрастать ([2], стр. 262-263).

Таким образом, сразу можно утверждать, что число специалистов сервисного центра п должно быть больше чем Я/д.

Возвращаясь к содержательной постановке следует отметить, что время реакции на заявку не должно превышать іреакц, в противном случае фирма уплачивает заказчику штраф в размере 5 за каждую единицу времени, которая прошла после истечения іреакц до времени начала обслуживания заявки специалистами сервисного центра.

Для такой СМО, для известных Я и т и заданного п можно определить среднее время нахождения заявки в очереди ([2], стр. 262-263; [4],

стр. 444-445): іож =_____р Ро___, где р = Я / т, % = Р / п,

пдп!(1 - %)2

Ро =

і

, p p2 pn pn+1 і + — + — + • +- -L- ^

і! 2! n! n!(n - p)

Таким образом, в случае, если 4ж > ^еакц, за каждую единицу времени фирма в среднем уплачивает штраф в размере Я (4ж _ ^еакц)5, где, как уже отмечалось выше, Я - среднее количество заявок на обслуживание, поступающих в единицу времени.

Средняя заработная плата каждого специалиста сервисного центра составляет z денежных единиц в единицу времени. Поскольку число специалистов составляет n человек, то общая сумма зарплаты, выплачиваемой фирмой специалистам сервисного центра в единицу времени составляет n z.

Сформулируем задачу нахождения оптимального количества спе-

*

циалистов сервисного центра n , которое минимизирует суммарные издержки фирмы в виде штрафов за опоздание с началом обслуживания заявок и заработной платы сотрудников сервисного центра: n = arg min F(n), F(n) = Я (tож(n) - ^еакц)5 + n z, где n є M с N, пі < n < n2 и ^еакц = const; n и n2 - соответственно нижняя и верхняя границы множества M:

(1) пг: тахп е М: с = — > 1,

тп

(2) п2: тт п е М: /ож(п) < /реакц; пь п2 й М.

Содержательно: п1 - максимальное из всех п е М, при которых очередь на обслуживание неограниченно возрастает; п2 - минимальное из всех п е М, при которых время ожидания заявки меньше чем установленное время реакции.

Сформулированную задачу будем решать методом перебора по п е М при заданных значениях Я, т, 5 и г. Значение п1 определим из неравенства, фигурирующего в (1). Значение п2 определим путем последовательного увеличения п от п1 + 1 до того значения, при котором впервые выполнится неравенство, фигурирующее в (2), это и будет п2.

Будем решать задачу для значений параметров Я = 5, т = 1, г = 1 и значений параметра 5 последовательно равных 4 г, 1 г, 0.25 г. При этом р = Я / т = 5, и на основании неравенства из (1) и условия п1 е М также имеет место п = 5, откуда следует п > 6. В качестве единицы измерения времени при расчете величины Е(п) примем 1 месяц. Величина /реакц = 4 (часам) » 0.0056 (месяца при 30 днях в месяце), что соответствует реальному времени реакции при обслуживании заявок на ремонт технологического оборудования.

Решение задачи приведено в таблицах 1 и 2. Из таблицы 1 видно, что 4ж (п=11) = 1.8(часа) < /реакц = 4(часа), откуда следует, что п2 = 11 и М = {6,7,8,9,10}. Из таблицы 2 видно, что для приведенных значений Я, т, г и, соответственно, значений 5 равных 4, 1, 0.25 получаем значения п соответственно равные 8, 7 и 6. Это и будут оптимальные значения количества специалистов при вышеприведенных значениях параметров.

_________________________________________________________________Таблица 1

п 6 7 8 9 10 11

Ро 0.0045 0.0060 0.0065 0.0066 0.0067 0.0067

t0ж (в месяцах) 0.5859 0.1628 0.0560 0.0200 0.0072 0.0025

t0ж (в сутках) 17.577 4.884 1.68 0.6 0.216 0.075

t0ж (в часах) 421.848 117.216 40.32 14.4 5.184 1.8

Таблица 2

п 6 7 8 9 10

s=4 F(n) 17.606 10.144 9.008 9.288 10.032 п*=8

s=1 F(n) 8.902 7.786 8.252 9.072 10.008 п=7

s=0.25 F(n) 6.725 7.197 8.063 9.018 10.002 п=6

Решение задачи может быть проиллюстрировано рисунком 1. По оси абсцисс отложена величина п, а по оси ординат, соответственно, /ож(п), заданное в целях большей наглядности в днях, величина суммарной месячной зарплаты т и величина F(n), полученная при 5 = 42 = 4. Также в целях наглядности, хотя задача решалась только для целых п, соседние в смысле значений ординаты точки (например, /ож(п) и /ож(п+1)) соединены отрезками прямых.

Рис. 1.

На основе полученных результатов можно сделать следующий практический вывод. В случае, если величина штрафа 5 за опоздание с началом обслуживания относительно мала по сравнению со средней зарплатой специалиста 5 (например, для нашей задачи случай 5 = 0.25) за тот же период времени, и известны средняя интенсивность потока заявок (Я) и средняя производительность труда специалиста по их обслуживанию (т), нет смысла проводить достаточно громоздкие расчеты по определению п , а в качестве оптимальной величины количества специалистов можно принять величину п1+1. т.е. в таком случае оптимальным будет минимальное количество специалистов, при котором уже обеспечивается ограниченность очереди на обслуживание. Для рассматриваемой задачи п (5 = 0.25) = п1 + 1 = 6.

Литература

1. ЗАЙЧЕНКО Ю.П. Исследование операций. Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1975. - 320 с.

2. ВЕНТЦЕЛЬ Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. -552 с.

3. ВЕНТЦЕЛЬ Е.С., ОВЧАРОВ Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.

4. ФОМИН Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2001. - 544 с.