CC BY
14
УДК 519.2 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4
МБС 60Е99
Задача об эгоистичной парковке*
С. М. Ананьевский, Н. А. Крюков
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Ананьевский С. М., Крюков Н. А. Задача об эгоистичной парковке // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4. С. 549-555. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.402
В настоящей работе предлагается исследовать одну из моделей дискретного аналога задачи Реньи, известной под названием «задача о парковке». Пусть п,г — целые, п > 0 и 0 < г < и — 1. На отрезок [0, п] будем помещать открытый интервал (г, г + 1), где г — случайная величина, с равной вероятностью принимающая значения 0,1, 2,...,п — 1 для всех и > 2. Если и < 2, то говорим, что интервал не помещается. После размещения первого интервала образуются два свободных отрезка [0, г] и [г + 1,п], которые заполняются интервалами единичной длины по тому же правилу, независимо друг от друга и т. д. По окончании процесса заполнения отрезка [0, п] единичными интервалами между двумя любыми соседними интервалами расстояние будет не больше 1. Пусть Хп обозначает количество разместившихся интервалов. В работе изучается асимптотическое поведение моментов случайной величины Хп. В отличие от классического случая для первых моментов удается установить точные выражения для моментов. Ключевые слова: случайное заполнение, задача о парковке, асимптотическое поведение моментов.
Введение. Задача случайного заполнения отрезка интервалами имеет давнюю историю. Начало было положено в работе Реньи [1], опубликованной в 1958 году, в которой он исследовал асимптотику среднего числа случайно размещенных интервалов единичной длины на отрезке, размер которого безгранично увеличивается. Позднее в работах Дворецкого и Роббинса [2] и других авторов было продолжено изучение свойств распределения числа разместившихся интервалов.
Первоначальная постановка задачи следующая. На отрезке [0,х], если х > 1, случайным образом размещается интервал единичной длины и занимает место (£,£ + 1). Выражение «случайным образом» означает, что начало размещаемого интервала Ь является случайной величиной с равномерным законом распределения на отрезке [0,х — 1]. После размещения первого интервала образуются два незанятых отрезка [0,£] и [Ь + 1,х], на которых в свою очередь располагаются единичные интервалы независимо друг от друга и также с равномерным законом распределения на соответствующих отрезках. Этот процесс заполнения продолжается до тех пор, пока все расстояния между размещенными единичными интервалами не станут меньше единицы. Количество разместившихся интервалов обозначим Ых. Если х < 1, то N =0.
Нас интересуют свойства распределения случайной величины Nx, в частности, изучается асимптотическое поведение математического ожидания и моментов более старших порядков при увеличении длины отрезка [0,х].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №18-01-00393). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018
Эта постановка задачи в работе Реньи нашла следующую интерпретацию. На улице длины x случайным образом паркуются автомобили единичной длины в соответствии с описанным выше правилом. Тогда Nx обозначает количество запар-кованных автомобилей. Эта интерпретация и дала название задаче как задача о «парковке» («parking» problem).
В работе Реньи [1] было установлено, что
ENx = Xx + X — 1 + O(x-n) (x —^ю) (1)
при любом n > 1.
Реньи получил выражение для константы X, значение которой выражено интегралом
Г -2S^rldu
X = e ° dt « 0.748. (2)
о
В работе Дворецкого и Роббинса [2] получено уточнение соотношения (1), а также изучались моменты случайной величины Nx более старших порядков. Они показали, что для математического ожидания справедливо соотношение
ENX = \x + \-l + 0 ^ (х—у оо), (3)
а для дисперсии доказано, что существует константа X2 такая, что
DNX = Х2х + Л2 + О (^У ^ (х—юо). (4)
В работах [3-7] изучались более общие постановки задачи, когда размещаемые интервалы могли, в свою очередь, иметь случайную длину или их случайное расположение отличалось от равномерного.
В последнее время интерес к задаче о парковке возобновился. Появились работы, например [8] и [9], в которых рассматриваются дискретные аналоги этой задачи.
В настоящей работе изучается одна из моделей дискретного аналога задачи о парковке, которую авторы назвали задачей об эгоистичной парковке.
Основные результаты. Пусть n,i — целые, n > 0 и 0 < i < n — 1.
На отрезок [0, n] будем помещать открытый интервал единичной длины (i, i + 1), где i — случайная величина, с равной вероятностью принимающая значения 0,1, 2,... ,n — 1 для всех n > 2. Если n < 2, то говорим, что интервал не помещается. После размещения первого интервала образуются два свободных отрезка [0,i] и [i + 1,n], которые заполняются интервалами единичной длины по тому же правилу, и т. д.
Интерпретацию этого процесса заполнения можно привести следующую. На размеченной парковке случайным образом останавливаются автомобили одинаковой длины, причем каждый следующий автомобиль останавливается так, что хотя бы с одной стороны у него сразу после его парковки остается свободное парковочное место. В частности, если место (n — 2,n— 1) в какой-то момент оказалось занятым, а место (n — 1,n), находящееся на краю, еще свободно, то в дальнейшем на это
место автомобиль запарковать нельзя. При этом очередной автомобиль может припарковаться так, что какой-то ранее запаркованный автомобиль окажется заблокированным, то есть рядом с ранее остановившимся автомобилем парковочные места окажутся занятыми. Это и объясняет появление в названии модели определения «эгоистичный».
По окончании процесса заполнения отрезка [0, п] единичными интервалами между двумя любыми соседними интервалами расстояние будет не больше 1.
Пусть Хп обозначает количество разместившихся единичных интервалов. Нас будут интересовать прежде всего моменты случайной величины Хп.
Теорема. Для описанной выше модели 2п — 1
ЕХп
при п > 2
п + 1 2 ВХп = —— при п > 4, ВХ3 = -45 9
Е (Хп — ЕХп)3 — —
п+ 11 135
ЕХп — 0 при п< 2, (5)
и ВХп — 0 при п < 3, (6) при п > 4. (7)
Доказательство. Введем обозначение Хп^ — количество разместившихся единичных интервалов на отрезке [0, п] при условии, что первый интервал занял место (г, г +1).
Тогда верно равенство
ХпЛ — Х^ + Х,
п—г—1
+ 1,
(8)
где Х{,Хп-г+1 —независимые случайные величины.
Пусть Еп — ЕХп. Учитывая, что г — случайная величина, с равными вероятностями принимающая значения 0,1, 2,...,п — 1, получаем из (8) соотношение
1 п—1 1 п—1
Еп = — > , Ег Н— > Е,
п—1— 1
+ 1
или
Поскольку
п1
п 7=о
Р (Хо — 0) — Р (Х1 — 0) — 1, Р (Х2 — 1) — 1
(9)
Р (Хз — 1) — 1 — Р (Хз — 2) —
то для первых значений п имеем
Е§ — Е\ — 0, Е/2 — 1 и — —.
(10)
и
и
1
3
Найдем решение для соотношения (9) с начальными условиями (10).
Используя обозначение
п
= ^^ E¿
п
¿=0
равенство (9) можно представить как
5П ~ = 1 Н £>п—1
п
или
«? -1 + 2 + П<?
>->п — 1 п <Эп-1-
п
Последнее равенство нам удобнее записать в следующем виде:
п + 3
5п+1 = 1 н--ГТ^™' (п)
п + 1
Пусть
п + 3 п+ 1
С™ = , -I И Рп = С%-
¿=1
Тогда из (11) получаем
5П+1 = 1 + СпБп = 1 + Сп(1 + Cn-lSn-l) = ••• = 1 + Сп(1 +----Сз(1 + С252) •••).
Поскольку 552 = 1, то
п
С 111 II ТТ Рп Рп Рп 5„+1 = 1 + С„ + с„с„_ 1 н-----ь С» =--1---1-----1--.
¿=2 Рп Рп-1 Р1
Таким образом,
п
¿=1Р
Из равенств (12) и Еп = 55п — 55п-1 следуют соотношения
п-1 п-2 п-2
Е У^ Рп-2 _ Рп-1 | тг^ Рп-1 ~ Рп-2
Заметим, что
п г + 3 (п + 3)(п + 2)
Рп = [[
..) +1 6
¿=1
из чего следует равенство
п + 1
Рп-1 ~Рп-2 = ---•
Учитывая последние соотношения для Рп, при всех п > 2 получаем
п-2 п-2
Р -1 I "+1У 1 -1 I "+1У 6
" + 3 3 ¿^(г + ЗКг + 2)-
¿=1 ¿=1
Поскольку Е2 — 1, то утверждение (5) окончательно доказано.
Далее обозначим через — Е(Хп — ЕХп)к центральный момент порядка к случайной величины Хп, где к — целое неотрицательное число. Заметим, что
2г — 1 2(п — г — 1) — 1 2п — 1 --Ь —---=--1.
3 3 3
Следовательно, учитывая равенство (8) и независимость в этом равенстве случайных величин Хг и Хп——1, получаем
Sn,к — Е(Хп — Еп)к — Е ^Хп---—^
1 n k 1 n k
= — CjE(Xj-\ — EXj-iYE(Xn-j — EXn-j)k i = — C3kSi-ijSn-jtk-j-
n i=1 j=0 n i=1 j=0
Для к = 0, 1, 2, 3 последнее равенство выглядит следующим образом:
Sn,0 = 11, Sn, 1 = 0,
2 n-1 2 n-1
Sri,2 = — / . Si 2, Sri 3 = — / J Si 3■ nn
i=0 i=0
Отметим, что если к > 0, то So,k = Si,k = S2,k = 0. Решим соотношение
2 n- 1
Zn = -YjZi (13)
n
i=0
при начальных условиях
Z0 = Z1 = Z2 =0 и Z3 = с. (14)
n
Применяя обозначение Tn = Zi, получаем
i-0
Тп Тп— i Tn—i n
или
_ 2 + п 2 + n 1 + п _ _ (2 + n)(l + п)
j-n — -J-n-1 —--r-ín-2 — • • • — -—-±3.
n n n 1 20
Тогда
Jn J-n n-
(2 + n)(1 + n) (1+ n)n\ 1+ n 1 + n
---1 ч = -1 ч = -Z4 = С.
20 20 J 10 10
Применив этот результат к Sn,2 и Sn,з, получаем
#п,2 = "^"^з.г (15)
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4 553
5„,з = "+43. (16)
Величины 5з 2 и 5з з вычисляются непосредственно, поскольку мы знаем закон распределения случайной величины Х3:
22
Подставляя эти значения в (15) и (16), получаем (6) и (7).
Литература
1. Renji A. On a one-dimensional problem concerning space-filling // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences. 1958. Vol.3. P. 109-127.
2. Dvoretzky A., Robbins H. On the "parking" problem // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences. 1964. Vol. 9. P. 209-226.
3. Ney P. E. A random interval filling problem // Annals of Math. Statist. 1962. Vol. 33. P. 702-718.
4. Mannion D. Random packing of an interval // Adv. Appl. Prob. 1976. Vol.8. P. 477-501.
5. Ananjevskii S. M. The "parking" problem for segments of different length // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol.93. P. 259-264. https://doi.org/10.1007/BF02364808
6. Ананьевский С. М., Шульгина Е. А. О мере заполненной части отрезка в задаче «парковки» // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2013. Вып. 4. С. 3-12.
7. Ананьевский С. М. Некоторые обобщения задачи о «парковке» // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 4. С. 525-532. https://doi.org /10.21638/11701/spbu01.2016.401
8. Clay M.P., Simanyi N.J. Renyi's parking problem revisited // ArXiv:1406.1781v1 [math.PR] 29 Dec 2014
9. Gerin L. The Page-Renyi parking process // ArXiv:1411.8002v1[math.PR] 28 Nov 2014 Статья поступила в редакцию 22 марта 2018 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г.
Контактная информация:
Ананьевский Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доц.; ananjevskii@mail.ru Крюков Николай Алексеевич — студент; kryuknik@gmail.com
The problem of selfish parking
S. M. Ananjevskii, N. A. Kryukov
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Ananjevskii S. M., Kryukov N. A. The problem of selfish parking. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 549555. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.402 (In Russian).
In this paper, we propose to investigate one of the models of the discrete analogue of the Renyi problem known as the "parking problem". Let n, i be integers, n > 0 and 0 < i < n— 1. On the segment [0, n] we will place an open interval (i, i + 1), where i is a random variable with equal probability taking the values 0,1, 2 ...,n- 1 for all n > 2. If n < 2, then we say that the interval does not fit. After placing the first interval, two free segments [0, i] and [i + 1,n], are formed, which are filled with intervals of unit length according to the same rule, independently of each other, etc. At the end of the process of filling the segment [0,n] with single intervals, between any two adjacent intervals the distance will not exceed 1. Let
Xn denote the number of placed intervals. We study the asymptotic behavior of moments
of a random variable Xn. Unlike the classical case, for the first moments it is possible to
establish exact expressions for the moments.
Keywords: random fill, the problem of parking, asymptotic behaviour of moments. References
1. Renji A., "On a one-dimensional problem concerning space-filling", Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences 3, 109-127 (1958).
2. Dvoretzky A., Robbins H., "On the "parking" problem", Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences 9, 209-226 (1964).
3. Ney P. E., "A random interval filling problem", Annals of Math. Statist. 33, 702-718 (1962).
4. Mannion D., "Random packing of an interval", Adv. Appl. Prob. 8, 477-501 (1976).
5. Ananjevskii S. M., "The "parking" problem for segments of different length", Journal of Mathematical Sciences 93, 259-264 (1999). https://doi.org/10.1007/BF02364808
6. Ananjevskii S. M., Shulgina E. A., "On the measure of the occupied part of a segment in the "parking" problem", Vestnik St. Petersburg University. Ser. 1 iss. 4, 3-12 (2013) [in Russian].
7. Ananjevskii S.M., "Some Generalizations of "parking" problem", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 49, iss. 4, 299-304 (2016). https://doi.org/10.3103/S1063454116040026
8. Clay M. P., Simanyi N. J., "Renyi's parking problem revisited", ArXiv:1406.1781v1 [math.PR] 29 Dec 2014
9. Gerin L., "The Page-Renyi parking process", ArXiv:1411.8002v1[math.PR] 28 Nov 2014
Received: March 22, 2018 Accepted: July 2, 2018
Author's information:
Sergey M. Ananjevskii — ananjevskii@mail.ru Nikolay A. Kryukov — kryuknik@gmail.com
