CC BY
19
Беляков Д.В.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Оршанская ул., д.3, к.т.н., доцент кафедры Прикладная математика, информационные технологии и
электротехника, тел. (495)-141-95-57, pm@mati.ru
ЗАДАЧА ОБ АВТОКОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНКИ В ПОТОКЕ СРЕДЫ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Автоколебания, флаттер, пластинка. АННОТАЦИЯ
Работа посвящена построению и исследованию математической модели автоколебаний аэродинамического профиля в потоке среды.
Постановка задачи
Рассматривается модельная задача о теле, представляющем из себя пластинку, закрепленную с помощью двух упругих элементов и совершающей автоколебания в потоке среды (см. рисунок 1). Введем неподвижную систему координат XoY. Будем считать, что в положении покоя пластинка занимает положение равновесия, в котором она ориентирована навстречу потоку. Будем считать, что пластинка может двигаться только по прямой ВД а силы деформации
элементов крепления зависят от отклонений линейным образом и сводятся к восстанавливающей силе F=-kx и возвращающему моменту М = — с & .
Аэродинамические силы, приложенные к телу приняты в соответствии с эмпирической теорией стационарного обтекания плоской пластины.
В рассматриваемой модели предполагается, что центр давления пластинки точку А можно считать подвижной относительно пластинки. Сдвиг центра давления описывается функцией 8(а) . Зависимость 8(а) определена из продувок прямоугольных пластинок с заданным удлинением в аэродинамической трубе и является экспериментальными данными [6]. Типичный вид 8(а) (для удлинения Х = 8) представлен на рисунке 4. Аэродинамические силы, действующие на каждую пластинку, разложим на две составляющие: сила сопротивления 5Д ,
направленная против скорости VА точки А относительно потока среды, и подъемная сила РА , направленные ей ортогонально. При этом величины аэродинамических сил равны:
6)У21 = 0,5рсгсх (а -
Рл | = р{а + 5)У; =0.5рсгс_(а + 5у]
где а - угол атаки между вектором VА и пластинкой р^ - аэродинамические функции углов
атаки, Сх , Су - безразмерные аэродинамические функции (рисунки 3, 4), р - плотность воздуха, О - площадь одной пластинки.
□.Б
о? в
0Г
-о*
-ОБ ■Ой
I
\ 1 Iя
! " !
а
оь
гв ?
Рисунок 2
»
и
Ч <5,(00
ш ■■■■■ ■■■■■■■■ ■ ■■ / 1 ■■■■■■■■■ „л,................Й.................. ■ ш ■■ 1 ■■ «■■■■■ вал • ш
..............-/- -.................}.................1..................
1 Л" 2
Рисунок 3
Рисунок 4
Составим уравнения движения рассматриваемого тела. В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, введем координату x центра масс G, совпадающего с серединой пластинки и угол & отклонения пластинки от горизонтали.
Тогда теорема о движении центра масс в проекции на ось oY и теорема об изменении кинетического момента будут иметь вид:
тх = -а(а)Гл(х+ s(á)S eos 3)+р(а)Гл(у- s(á)ff sin ffi)- ta J¿?=s(a)Vj sinof+p(a)V] cosa-cS Кинематические соотношения, связывающие VA, а с x,X, &, & , имеют вид:
VA ооя(ог — $) = V— s{a)S sin 3. VA sin(or -&) = x-s{ol)Scos9-
(i)
(2)
(2), мы можем окончательно
л , --■----А ■
После того, как мы проинтегрируем систему уравнений (1) определить положение тела.
Таким образом, построена математическая модель движения тела, представляющая замкнутую систему уравнений (1) — (2)
Исследование устойчивости положения покоя
Будем считать, что пластинка совершает малые колебания около положения покоя. Исследуем устойчивость тривиального положения равновесия х = 0,& = 0 по первому
приближению. Линеаризуем уравнения движения (1) - (2) при х->0 и 0 .
После несложных преобразований уравнения малых колебаний пластинки примут вид: тх + кх + +я0)Ух + РьЕ-УЗ = О
■7i-f.v-._v: - 5. ¿'з-х-*?. - 5. - 5. IГ'-з- = 0 (3)
где Ро' = р'(0) ,во=5(0), Во=е(0) .
Для исследования устойчивости тривиального положения используем критерий Гурвица. Условия устойчивости имеют вид:
'р'0У(с + к4)> О
{
равновесия x = 0, & = 0
p'0V(J- т£%)> 0 с-е^Г"
(4)
<0
Видно, что с ростом скорости потока это условие не нарушается.
Сила сопротивления создаёт дополнительный опрокидывающий момент и ухудшает устойчивость пластинки. Заключение Таким образом, в работе:
1. Создана математическая модель колебаний пластинки.
2. Получены условия при которых положение покоя пластинки асимптотически устойчиво
Литература
1. Локшин Б.Я. , Привалов В.А., Самсонов В.А. "Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде". Издательство Московского университета. 1992.
2. Беляков Д.В., Самсонов В.А., Филиппов В.В. «Исследование движения несимметричного тела в сопротивляющейся среде». Издательство «МЭИ», журнал «Вестник МЭИ», выпуск № 4 2006 г., стр. 5-10.
3. Беляков Д.В. "Исследование и особенности математической модели движения несимметричного авторотирующего тела в квазистатической среде". Издательство «Новые технологии», журнал "Мехатроника, Автоматизация, Управление". Выпуск № 11. 2007 г., стр. 20-24
4. Самсонов В.А., Беляков Д.В., Чебурахин И.Ф. «Вертикальное снижение тяжелого симметричного авторотирующего тела» в сопротивляющейся среде. Издательство «МАТИ»-РГТУ сборник «Научные Труды МАТИ», выпуск 9 (81). Москва. 2005. г., стр. 145-150
5. Самсонов В.А., Беляков Д.В. «Математическое моделирование движения симметричного авторотирующего тела, раскрученного до высокой угловой скорости, в воздушной среде». Издательство «МАТИ» -РГТУ сборник «Научные Труды МАТИ» выпуск 10 (82). Москва. Изд-во МАТИ-РГТУ 2006 г., стр. 196-200.
6. Табачников В.Г. «Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки.» Труды ЦАГИ 1974 г. выпуск 1621
7. В.Ф. Журавлев Д.М. Климов «Прикладные методы в теории колебаний» Издательство «Наука» 1988 г.
8. В.М. Волосов, Б. М. Моргунов «Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем». Издательство Московского университета. 1971.
9. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний». Издательство «Наука».1974.
10. И.Г. Малкин «Теория устойчивости движения». Издательство «Наука» 1966 г.
11. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников «Дифференциальные уравнения». Издательство «Наука» 1985 г.
12. Н.С. Бахвалов Н.П. Жидков Г.М. Кобельков «Численные методы». Издательство Московского университета. 1987.
13. А.А. Самарский, А.В. Гулин «Численные методы». Издательство «Наука» 1989 г.
14. В. Дьяконов «MATLAB 6: учебный курс». Издательский дом «Питер» 2001 г.
15. Paraschivoiu J., "Double Multiple Stremeamtube model with Recent Improvements", Journal of Energy, vol.7 no.3
16. P. Vittecoq, A. Laneville "The Aerodynamic Forses for a Darrieus Rotor with Straight Blades: Wind Tunnel Measurement." Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol.15 Aug-Sept. 1983 pp 381-388.
17. Самсонов В.А. Беляков Д.В. «Математическая модель движения симметричного авторотирующего тела в сопротивляющейся среде.» Юбилейный сборник к 75-летию МАТИ. Изд-во МАТИ-РГТУ 2007.
18. Д.В. Беляков В.А. Самсонов «Оценка возможностей нового типа ротирующего спускающегося в воздухе объекта». XXVI Академические Чтения по Космонавтике. 2002 г.
19. Беляков Д.В. «Математическое моделирование движения ротирующего спускающегося в воздухе объекта». Труды Пятого Международного Аэрокосмического Конгресса 2006 г.
20. Беляков Д.В. «Математическая модель несимметричного авторотирующего тела в сопротивляющейся среде» ХХХШ Международная Молодежная Научная Конференция «Гагаринские Чтения» 2007 г.
21. Беляков Д.В. «Математическое моделирование движения ротирующего спускающегося в воздухе объекта». Пятый Международный Аэрокосмический Конгресс IAC 06. Посвящается 20-летию вывода в космос орбитальнойКонгресс станции "МИР". Полные доклады. 27-31 августа 2006 г., Москва, Россия. Электронный вид. Рег. номер .
22. Beljakov D.V. Mathematical modelling of movement rotating object going down in air. Fifth International Aerospace Congress IAC'2006. 27-31 August, 2006, Moscow, Russia. SIP RIA, 2006. Full of lecture.Electronic form. Serial number .. . 2007.
