Задача о волнах малой амплитуды в канале переменной глубины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.591

С. И. Перегудин

ЗАДАЧА О ВОЛНАХ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ В КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ

В работе рассматриваются две частные задачи гидродинамики и теории волн — непотенциальное движение идеальной несжимаемой неоднородной жидкости над твердым и деформируемым дном. Представленная математическая модель аналитически реализована в линейной аппроксимации. Полученное решение позволяет определить волновой режим исследуемой акватории.

В естественных условиях достаточно редки случаи, когда поверхность дна канала сохраняет свою первоначальную форму и остается твердой, непроницаемой и недеформируемой. В результате движения жидкости на дно оседают взвеси органического и неорганического происхождения. С течением времени на изначально твердом горизонтальном дне канала образуется подвижный деформируемый слой, представляющий собой смесь, компонентами которой являются песок, ил, глина или гравий. В результате воздействия потока жид-

49

кости поверхность раздела жидкого и донного слоев принимает волнообразную форму.

Вопрос о возникновении и движении песчаных волн изучается гидродинамиками с начала ХХ века. Изначально данная задача рассматривалась экспериментально [2], в результате чего была установлена предельная зависимость между скоростью потока жидкости и скоростью движения песчаных волн. Первое теоретическое обоснование рассматриваемого вопроса принадлежит Эксне-ру [1-3, 8], в его работах выведено уравнение, связывающее твердый расход с формой донной поверхности, и сформулирована гипотеза о линейной зависимости твердого расхода от придонной скорости. В работах [2, 3] эта гипотеза обобщается на случай произвольной зависимости расхода донного вещества от придонной скорости.

Ф. И. Франкль рассмотрел задачу о плоском движении песчаных волн с учетом гидродинамики водного слоя, предполагая движение невозмущенного потока потенциальным с постоянной скоростью, а сами возмущения считая величинами малыми [8]. В статье Ю. З. Алешкова [1] рассмотрен более общий случай — непотенциальное движение слоя неоднородной жидкости над сыпучей средой. В работе [5] рассмотрен случай потенциального движения одного и двух слоев идеальной несжимаемой однородной жидкости над дном, состоящим из сыпучего вещества, в работе [6] изучен процесс распространения внутренних волн в канале переменой глубины с недеформируемым основанием.

Общеизвестные трудности исследования задач теории поверхностных и внутренних гравитационных волн связаны, в первую очередь, с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности и поверхности раздела, а также с тем, что сами эти поверхности суть функции неизвестные и подлежат определению.

Кроме того, если дно имеет неровности, краевое условие непротекания через дно будет линейным, но с переменными по горизонтальным координатам коэффициентами, если же дно деформировано, то — и по времени. Учет граничных условий соприкосновения тел с жидкостью также вносит существенные трудности. Поэтому нелинейная модель теории внутренних и поверхностных гравитационных волн не получила разрешения, несмотря на усилия выдающихся ученых на протяжении двух столетий.

Указанные трудности настолько существенны, что в результате получило большое развитие построение и приложение упрощенных волновых моделей, которое ведет свое начало от исследований Лагранжа.

2. Основные уравнения и граничные условия

Рассмотрим задачу о движении двух слоев идеальной тяжелой несжимаемой жидкости над деформируемым дном. Смоделируем рассматриваемую среду как трехслойную — два слоя неоднородной жидкости, грунт. Нижняя жидкость имеет плотность р1, верхняя — р2. На поверхности раздела водных слоев образуются волны. При движении нижнего слоя происходит взаимодействие жидкости с грунтом, частицы донного слоя при этом также приходят в движение.

50

Расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, что плоскость г = 0 совпадает с невозмущенной поверхностью раздела водных слоев, ось г направлена вертикально вверх. Толщина верхнего слоя в невозмущенном состоянии — Н2, нижний слой в предположении горизонтального дна имеет высоту Н0. Свободная поверхность в текущий момент времени г имеет вид г = Н2 + п2 (х, У, г), поверхность раздела водных слоев — г = п (х, у, г), поверхность раздела жидкость—грунт — г = -Н(х, у, г) = -Н0 +п(х, у, г). Подвижный слой ограничен снизу твердым недеформируемым дном г = -Н1, (( > Н0). В момент времени г скорость каждого слоя жидкости

(,V, ) = Н^, ), j = 1,2, давление р} (х, у, г, г) .

Рассмотрим элементарный объем V части сыпучего слоя, ограниченный боковыми гранями с линейными размерами Ах, Ау , снизу — твердым недеформируемым дном г = -Н1, сверху — поверхностью раздела г = -Н0 +п(х, у, г) :

V = {(х, у, г) е Я3; (х, у) е [х; х + Ах] х [у; у + Ау], г е [-Н,; -Н0 + п(х, у, г)]},

£ = дV = £(_ Н,) и £( - Но +п) и Яу и ¿'(у+Ау) и Я х и Я(х+Ах). В данном объеме содержится масса грунта

т(г) = р( х, у, г, г) ёхёухг,

V

р(х, у, г, г) — плотность грунта в точке (х, у, г) в момент времени г . Изменение этой массы за время Аг в предположении однородности донного вещества составит

Ат(г) = дтАг = рцт п(х,у,г + Аг)-п(х,у,г) Аг.АхАу . (2.1)

дг Аг

Для определенности положим, что за рассматриваемый промежуток времени произошло увеличение массы, то есть Ат > 0 . Данное изменение массы вызвано изменением расхода вещества через поверхность £ за время Аг. Так как г = -Н1 — поверхность твердого недеформируемого дна, расход вещества через поверхность £(-Н1) равен нулю. Согласно литературе [1], расход через поверхность £(_ Н0+П) также обращается в ноль. Обозначив скорость перемещения грунта через у' (х, у, г, г), получим

- Н0+п( х, у,г)

Ат(г) = р |

- Н

х+Ах

у+Ау

| (Н (х,Т1,Т2^)-(х + Аx,T1,T2, г) ) +

+ | (Н ^ у,Г2^)- ^х' (T1, у + Ау, Т 2 , г) )

ёг2 Аг.

Принимая во внимание малость Ах, Ау, а соответственно и А£, увеличение массы представим в виде

- н 0+п( х, у г)

Ат(г) = -р | [((х + Дх,т,г2, г)- Ух1 (х,г1,г2, г) )Ау +

-Н1 (2-2)

+ (уу1 (т, у + Ау, т, г)- Уу1 (т, у, Т, г)) Ах] ёт2 • Аг.

Приравняв выражения (2.1) и (2.2), получим уравнение неразрывности для однородного донного слоя

дП+^ = 0, дг

где 0 (х, у, г)— расход донного вещества (твердый расход) [3],

-Но+п(х,у,г) -Но +п( х, у ,г)

Ох = | Ух(х, у, Т2, г) , бу = | ^ (х, у^г) Т

-Н1 -Н1

Для определения расхода 0 необходимо знать реологию грунта. Согласно гипотезе М. А. Великанова [1-3, 8], предположим произвольную функциональную зависимость твердого расхода от горизонтальной составляющей придонной скорости V (х, у, г) = у^ (х, у, г, г)|г х у () = (п.ь, уь ) (х, у, г), то есть

о=о (пЬ, уь).

Движение идеальной несжимаемой неоднородной жидкости в слое описывается уравнениями [1]

др ё у.

-г- + уj-Ур= 0, у; = 0, р^-г- = gp-Vp;, g = (0,0, -g) (2.3)

с соответствующими граничными условиями: на поверхности раздела жидкость—грунт [2, 5]

П» *п = ч, 4^+^ = 0. -- = -Н0 + П(х,у), (2.4)

дг дг дх ду

на поверхности раздела жидких сред дп

+ у}ъ •Vn = ^, А = А 2, г = П(хУ,г) (2 5)

и на твердой крышке

у2 г = 0, г = Н2. (2.6)

Задача состоит в определении функций V., рj, pj, удовлетворяющих уравнению

(2.3) с граничными условиями (2.4)-(2.6). Если данная задача решена, уравнения свободной поверхности и поверхностей раздела можно определить из граничных условий.

3. Задача о волнах малой амплитуды в канале с деформируемым основанием

Уравнения движения (2.3) с учетом граничных условий (2.4)-(2.6) имеют решение

р = р(г), р, = р,(-.), v= (,V,,0)(.-), ,, = 0, п = 0, р + % = 0. (3.1)

При этом р, (г), р, (г), V(г) — произвольно заданные функции, а твердый

расход [1] О — постоянен.

Представим движение жидкости в виде возмущения, наложенного на горизонтальный поток (3.1)

р,=р,(г)+р, р, =р,(г)+р', ^=vJSt+^, ^,^,V;), п=п\ п

Рассмотрим исходную задачу для возмущенного движения д-р + ((„ + V,)■ V(р + р) = V', = 0, (р + „ + V ) = р ^-Ур;,

с граничными условиями

—- + (и,(г) + V,' ■ ■^((г) + у' = у' , —+ + —^ = 0,

дг К 1 1х) дх 1 1у) ду 1г дг дх ду

г = - Н 0 +п( х, у, г),

+ ( (г) + ^)) + ( (г) + у'у )) = V1, 8Р - Р ) + р' - р2 = 0,

д>Ъ

дг ^ ' ]Х/ дх ^ ' ^ ду

г = П(х ^ гХ ^ г = 0 ^ = Н 2 .

Рассматриваемая краевая задача для случая волн малой амплитуды примет вид

дР др р ё р.

+ и ,(1)-^ + V, (г + V ' = 0, ё1у V = 0, дг 1 ^ дх 1 W ду ё г 1

ду д\ ' ду ' ё V

р, (г )

и1.(г + V, (г)-1 +-^ V,

дг дх ду ё х

= gр-Vp',

дп'_ дV'|дQx ^^ _ о ^ = _H

дп' дп'

—- + щ(г)—- + v1(z)—- _ , —-+ +

дt дx ду дt дx дy

^ + и(z) М + ^ (z) М = V, g ( ) + pí _ р2 _ о, z _ о,

дt дх дУ

v;г _ о, z _ и2.

Учитывая предположение о произвольной зависимости Р от придонной скорости [1, 8], граничное условие на дне, связывающее форму его поверхности с твердым расходом, примет вид

^ + (К11Ь1 + К12Ь2 ))Г + (А + К22Ь2 ))П + К11 + К12

дt дх ду дх дх

1У

+

+ К21 ^ + К22

дv1'

1У

ду

ду

_ о,

z __ Н

о'

Гдбх дQx ]

К11 К12 ^ дV1x дV1 У

V ^^21 К22 J дQy дQy

VдV1x дvl У

г ¿1 ^

V ¿2 J

«1( _ и о), vi(г Но))

Г а и1( z) ^ а z

а^

. а z .

г __Но

Рассмотрим решение в виде бегущей волны с частотой О и волновым числом к _ (к1; к2):

{Р рV. V . V . П п(\_Ы Р V. V. V. АВ]ег(к1х+к2У_°']

Для определения соответствующих амплитуд имеем уравнения

гг. (г)Я. (г) + ^^ ^ (г) _ о, г ( (г) + к^]У (г)) + V; (г) _ о,

Р

гг (гУ!Х (г) + (г)

а г ;г

__гк1Р) (г), Д.

гг. (гУу (г)+(г)

а г ;г

__к2(г), (3.2)

гг >.. (г) Д (г)^ (г) _ _(г) _ р(г), г.. (г) _ к,и ; (г) + ^ , (г) _ О

2

■ ■ ■ ' О

с граничными условиями

гг1 (г)А _ V,г(г) _ о, ( _о)А + ^(г) + ^(г) _ о, г _ _Н0, гг.■ (г)В _ V г(г), £(Д _А)В + Р(г)_Р2(г)_ о, г _ о, (3.3)

* _ о, г _ И2,

¿1 _ щ + ^в^

¿2 _ к1Кц + k2K21,

¿3 _ к1К12 + к2К22 ,

в _К1Ь1 +К2Ь2.

В результате преобразований уравнений (3.2) с граничными условиями (3.3) получим краевую задачу для функции wj (z) = V jz (z) :

r2 (z) (((z) - aw (z)) - (|k|2 r 2(z) + r (z) (гДz) - a(z)) - lkl2 N2 (z)) ) (z) = 0,

r (z) ((2 + k2s3 ) Wi(z) = (|k|2 (S1 - ® ) + (k2s2 - k1S3 ) (z) - k2u'(z))) W1 (zX z = -Я0.

r2 w! (z ) = rxw2 (z ), рхгУ'{ Z ) -

f\r[ + (p -~p2)

Z = 0, W2(z) = 0, z = H2, Nj2(z) = -g

В результате замены

W1 (z) = p2 (Г2W2 (z) - r2W2 (z) ) ,

^, 2«,= 1 n;. P (z) 1 g 1

w(z) = V(z )exp

J «(£)d£

для функции VA z) получим уравнение

V (z) + q 1 (z)V (z) = 0,

() , ,2 2 jz) - 2«rj(z) + 2 g |k|2 ,

qj(z) = «-« -\k\ —--—-+ 2 2 ' «

1 1 1 M r 1 (z) r,2( z) 1

с граничными условиями

PV'(z) = evi( z), z = - H 0, V2( z) = 0, z = H 2, Vi (z ) = вз V2 ( z), PV'(z ) + в V (z ) = в V2' ( z) + e7 V2 ( z), z = 0,

ri(0)

P1 = (kiS2 + k2S3 ) ri (-H0 X P3 =

r2(0)'

рл = -Pi(0)ri(0)«i(0),

P2 = |k|2 (i - ) + (kiS2 - k2S2 ) (k2Ui'(-H0 ) - Vi'(-H0 )) - (kiS2 + k2S3 ) ri (-H0 M (-H0 X P5 = p (0) (r/(0) - ri(0)) + gk)( Pi (0) - P (0)) ,

P6 = -p (0)r (0)«2 (0), P7 = -p (0) (r2'(0) - r2 (0)) .

При qj (z) = const имеем Vj (z) = С cos-Jqjz + C2; sin ^Jqjz . Удовлетворив граничные условия, получим систему уравнений для определения С/, С 2 :

4 __т

Zankxk = 0 n = 1,4, ((x2,x3,x4) = (C1,Q2,C2) , (3.4)

k=1

sin4q1H0- д cos4q1H0, a12 =У1ч!д1 cos\¡q~1H0 + Pi sin V^H,

a21 = 0 a23 = —Pз, a31 = Р5 , a32 = a33 = - Р7 , a34 = -^[Чт.Рб,

a11 =

а13 а14 а22 а24 а41 а42 0'

условие совместности которой равносильно дисперсионному соотношению для

О = ^2'К11'К12'К21'К22' Ь1' Ь2 )

^Д6

в -в

Р5

д H о

Т^д + в2VqTH 0

tgV^ 2-

Функции V- (z) примут вид

К( z) = с (C11 cos^z + C sin^z), V2 (z) = C (C12 cosV^z + sin ^z ),

! = síbРЛ (\1%в cosJq~1Ho + д sin^J%Ho)

Ci

A

C2 =-

4ър3р6 (( sin 4q1Ho - в co^4%H0)

C1

C =cl,

1 Р3

Ь = (РП - Р3Р5 ) )4чв1 С°8 + в2 ЫЪ^Но ) + + уЩ1РЗР4 )) вт Л/^ТНо - Рг С°8 \^Но )'

С — произвольная действительная постоянная. Искомые параметры возмущенного движения примут вид

( г \

Vjz = V- (z )eXP

V- =

1

i |k| 1

' kjv'-k2u' k2 —--- - k^j

i(k1 x + k2y -at) + I a (4) d4

v r-(z)

i k2

k2u'. - k1v' k —--- - k2a.

1 r, (z) 2 -

V ( z ) - kV'( z )

exp

v

V-( z ) - k2V-'( z )

exp

i(k1 x + k2y -at) + | d4

- H 0

i(k1 x + k2y -at) + | a (4) d4

P , =-

i kf

z

-[( (z (z) + r j (z )V-(z) ] exp i(kj x + k2 y -at) + | a ¿4) d4

рр = -рр— У1 (г )ехр > (z)

г(кг x + k2у -Ш) + | (£)

, СС1

п =-— ехр

¡>1(0) р

0

¡(к1 х + к2у -Ш) + | а1(^)

п =

(С

>(Н 2 )

п2

(С12 С08^Н2 + $1Пу[д2н2) ехр ¡(к1х + к2у - Ш) + | а2 (£)

В~ -и ¡г

случае экспоненциального распределения плотности ру = рj 0е 1 уравнение для qj (г) примет вид

( ) 1 2 ,, р 1г) -и>(г) |к

q, (г) =--и, - к —1-— ■ -

1 4 1,1 > (г)

+ И

> 2(. г )

или

1г)-и>(г) = -( q,(г)+1 и2 + 1к12) >1(г)+и.

Данное обыкновенное дифференциальное уравнение при помощи подстановки >'( г )

(>) = - может быть приведено к уравнению Абеля второго рода [4]:

1 и,

Ь'Ь] -Ц =---1 ql(г) + ~и 12 + |к| |> (г) +

и 2 ^4 1 ' /(г) ¡'

1

>1 = к

аналитическое решение которого при q1 (г) = -\к выражается парамет-

рически:

ГГ ехр(т2) Ь =2 ГГехр(Т)-2т(|ехр(ТМт-С1)

' 2и1 | ехр(т2 )с1т - С1' 1 =' ' \ 2и1 | ехр(т2 )dr - С 1 '

В случае qj = qj (г) можно построить решение с учетом начальных условий [1]

уп (0) = 1, У'п (0) = о, у 2 (0) = о, У']2 (0) = 1.

Общее решение у (г) будет иметь вид V1 (г) = Уу1(г) + Е^У^2(г). Удовлетворив граничные условия

Е ЬпкУк = 0, П = 1,4, (у\,У2 ,Уз ,У4 ) = (( ,Е1,,Е2 ))

57

к=1

2

Ьи =РУ(-Н 0)-Р2К{-И0), ¿12 = вУ1 2(-Н 0)-РШ-и,), ¿21 = 1, ¿23 = -в

¿31 = в5 , ¿32 = в4, ¿33 = -Pl, ¿34 = в7, ¿43 = У21(Н2Х ¿44 = У22(Н2Х

¿13 = ¿14 = ¿22 = ¿24 = ¿41 = ¿42 = 0

получим уравнение для определения © = т (к1,к2,ки,к12,к21,к22,¿1,¿2) :

в7-в6 У21Н) = в3

Д^-Н.)-Р2Уп(гН0)

Р5 Р4 вУ 12(-Н о) ввУ 12 ( ~Н о )

согласно которому можно определить все искомые параметры возмущенного движения.

Задача о волнах малой амплитуды в канале переменной глубины

Рассмотрим установившийся поток идеальной тяжелой жидкости, заключенный между твердой крышкой и дном, имеющим неровность. Предположим, что жидкость является несжимаемой и неоднородной.

Рассматривая плоскую задачу, выберем декартову систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс совпадала с невозмущенной поверхностью дна. Пусть р(х, у)— плотность жидкой частицы, р(х, у) — гидродинамическое давление, g — ускорение силы тяжести, V— вектор скорости. Если ввести в рассмотрение вектор а = \J~pv , то в безразмерных переменных имеем уравнения движения

а = 0, а-Ур = 0, (аУ)а = -ур\-Ур, у = (4.1)

с2

и граничные условия

ап = 0, у = а( х), ау = 0, у = 1,

р( х у) = рш (у\ ах (х у) = ахХ (у X ау (x, у) = а х

В системе уравнений (4.1) Н — глубина жидкости, с — характерная скорость. Новые единицы измерения выбираются так, чтобы расход жидкости и средняя глубина жидкости были равны единице.

Преобразуя уравнения системы (4.1), приходим к уравнению для функции тока х, у) [6, 7]:

а2

Лщ = Н\щ) -ур'(щ) у, Ъ(щ) = — + р + ур(щ)у (4.2)

с граничными условиями

щ = 0, у = а( х),

О(x, у) = О™(У), ау(х у) = 0,

щ = 0, у = 1,

х ^ -да.

(4.3)

От независимых переменных (х, у) перейдем к новым независимым переменным (х, щ). В новых переменных уравнение неразрывности из (4.1) и уравнение (4.2) запишутся следующим образом:

дау

дах дах

ах

-- а,,

дщ у дщ дх Кроме того, очевидно, что

ду =

дх ах'

= 0,

дах

дау дау

ах

- + ау

дщ дщ дх

= И'-ур'у.

ду

1

у=1

ё г

дщ ах

Граничное условие (4.3) примет вид

ап = 0, щ = 0, Оу = 0, щ = 1

ах = З'ОХ ау = 0,

0 ах (X, г)

(4.4)

(4.5)

х ^ -да.

(4.6)

Подставив граничное условие при х ^ -да в систему (4.4), получим уравнение для невозмущенного горизонтального потока:

йЧ 2(щ) йщ

= 2

И' (щ) -Р(щ){

йг

ч(г)

(4.7)

При обтекании неровности дна наблюдается возмущение горизонтальной и вертикальной компонент вектора скорости

ах=^(щ) (1+и (x, щ)), ах=?(щм x, щ).

Сделаем замену зависимых и независимых переменных, полагая ^(щ) > 0

=щ А.

Данное преобразование осуществляет тождественное отображение множества = {(-да; +да) X [0; 1]} на множество Бпп .

Краевой задаче для системы уравнений (4.4) с граничными условиями (4.6) соответствует краевая задача

дп

2 дп

ду ди ди ду

— +--у— + и— = 0,

дп дх дп дп

д 02и] + 2^! (и" + у^)] + ^ - »" | = И(щ) -

йг

(4.8)

+ и

с граничными условиями

(п + 1)соБ#(х) + у8т#(х) = 0, п = 0, у = 0, п = 1, п = у = 0, х^-го,

где в(х) — угол между осью х и нормалью к поверхности дна. Выражая q—

йп

из уравнения (4.7)

dq(п) йп

= Н'(п) -ур'(п)п,

исключим из уравнения (4.8) функцию к'(п). Таким образом, для искомых функций п (х,п) и у( х, п) получается следующая краевая задача:

ду + ды = дп ду дп дх дп дп'

^2п]-qйп-РХ¥)\пйг = -2А|>2 (п2 + у2)]-Р(п)}^йг дп йп „ 2 дп „ 1

(4.9)

дп йп 0 2 дп 0 + п

с граничными условиями

-(п + 1)тх(х) + усоБ^(х) = 0, п = 0, у = 0, п = 1, (410)

где у(х) — угол между осью абсцисс и касательной к поверхности дна. От функций п(х, п), у(х, п) будем требовать в дальнейшем ограниченности при х ^ +СО .

Если задача (4.9) с граничными условиями (4.10) решена, уравнение семейства линий тока дается равенством (4.5), в котором лишь нужно сделать замену переменных

у( х,п) = [1

йг

0.+п(х, г)

Отбрасывая в уравнении (4.9) нелинейные слагаемые, получим

п

п+т=°- ^»Уч^-рфл = 0. (4.11)

дп дх дп йп 0

В граничных условиях предположим, что отклонение донной поверхности от горизонтального положения является малым, что соответствует малости тах у(х), х е[а; в]. Вне отрезка [а; в] будем предполагать дно горизонтальным.

Используя для функции tgy(х) соответствующую аппроксимацию, граничные условия (4.10) представим в виде

у( х, 0) = у( х), у( х,1) = 0, (4.12)

функцию у(х), характеризующую изменение дна, будем предполагать дважды непрерывно-дифференцируемой.

Исключая функцию и(х,п) из системы (4.11), преобразуем исходную задачу к линейной краевой задаче для функции v(х, п) :

1г\Я 2(п) ]дт + Ч2 (п) Av - vР'(n)v = 0 (4.13)

ап дп

с граничными условиями (4.12).

В уравнении (4.13) произведем замену

v( х,п) = Я х,п). (4.14)

Ч(п)

Для функции V (х, п) получим краевую задачу

Ч(п) AV - [ Ч\п) + р(п)] V = 0, V (х, 0) = д(0)у( х), V (х,1) = 0.

(4.15)

Краевая задача (4.15) — однородное уравнение Гельмгольца с неоднородными граничными условиями. Коэффициент при V(х,п) в уравнении Гельмгольца зависит от скорости набегающего потока и скорости изменения плотности вдоль линий тока. Перенесем неоднородность из краевых условий в исходное уравнение при помощи введения вспомогательной функции

( х,п):

¿( х, п) = S (х, п) + ч(0) у( х) (1 - п). (4.16)

Для функции S (х, п) получим граничную задачу

AS (х, п) - / (п) S (х, п) = Ч(0) [у' (х) - / (п) /(х) ] (п -'), S (х, 0) = S (х, 1) = 0, Ч (п) / (п) = Ч" (п) + р(п).

(4.17)

Предположим f (n) = C = const. В этом случае плотность p(n) связана со скоростью набегающего потока соотношением

n

vp(n) = C Jq(t) dt - q'(n) + C2, C2 = const, (4.18)

0

а системе (4.17) соответствует неоднородное уравнение Гельмгольца с постоянным коэффициентом для функции S(x, n) с однородными краевыми условиями

AS (x, n) - C S (x, n) = q(0) [ Y( x) - C y( x)] (n -1), S (x, 0) = S (x, 1) = 0.

Решение данной задачи будем искать в виде [6]

œ

S ( x П) = Е Sn( x) sin 5п = ж;

п= (4.19)

œ

q(0) [[(x) - С y(x)] ] -1) = Ф(x, п) = Е Сп (x) sin 5Л

п=1

Для функции Sn ( x) получим обыкновенное дифференциальное уравнение s;( x) - (2+С ) Sn ( x) = - -2 q(0) [( x) - CY x) ]

п

с граничными условиями

S; (x) = 0, x ^-œ, \S; (x) < +œ, x ^ +œ,

общее решение которого имеет вид

S; ( x) = ^(O^CC Í [[ ^ - Y)] s^JÏT+C ( - x ) dÇ

On (n + C ) -œ

Подставив выражение для Sn (x) в (4.14), (4.16) и (4.19), получим выражение для вертикальной скорости:

v(х' П) = q-, Е T^lCf Í [[^ - s&JôJ+C ( - x)d£- sin ¿

q(n) tí S„ (2 + C)

n+

+ ^ Y( x)(l -n). q(n)

Так как горизонтальная и вертикальная скорости связаны между собой соотношением (4.11), выражение для у( х,п) будет иметь вид

и(х п) = Е ^^8»2 + С 5л(п)со*5пп- q,(n)sin 8 п ^ 8п (»2 + С) q2(п)

•} d/¡ [/' (д) - Су (с)] (£-№+q(о) +а-п)<?,(п) 17(Л) .

q (п) -ад

—ад —ад

Если предположить, что функция f (п) из системы (4.17) тождественно равна нулю, что соответствует случаю, когда соотношение между плотностью р(п) и скоростью набегающего потока имеет вид

vp(n) + q'(п) = C2 = const, (4.20)

выражения для вертикальном и горизонтальном скорости примут вид

= -П ¿ 2^(0) f^ J /'Ю shf (£ —x)d£. sin + YOO —),

q(l) n=i on qq

w (x n) = ¿ [f q(n cos f - q,(n)sin ]• q (i) n=i f

./d^Y(f)slf (f-ff)dff + q(0)q(n) + <' —J гЮ di.

—ОТ —W

Если предположить, что твердая крышка имеет неровность, расположенную, вообще говоря, несимметрично по отношению к неровности дна, или что граничные условия (4.12) имеют вид

у( х, 0) = у(х), у( х,1) = г (х), (4.21)

где г(х) — дважды непрерывно-дифференцируемая функция — угол между осью абсцисс и касательной к твердой крышке, в этом случае вспомогательная функция (4.16) £ (х,п) будет выглядеть следующим образом:

у( х, п) = £ (х, п) + 4(0) у( х) (1 - п) + 4(0) г (х) п.

Краевая задача для £ (х, п) примет вид

А£ (х,п) - / (п) £ (х, п) = = 4(0) {[(х) - /(?) Кх)] ] -1) - [г"(х) - /(п) г(х)] ],

£ (х, 0) = £ (х,1) = 0, 4(п) / (п) = 4 (п) + Р (п).

Отыскивая решение £ (х, п) в виде (4.19), при соотношении между плотностью и скоростью набегающего потока (4.18), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции £п (х)

£'я (х) - (2 + С ) (х) = -2 4(0) {(-1)" [г" (х) - Сг (х)] - [[ (х) - СГ( х)]}

я

с граничными условиями (4.21).

Общее решение данной задачи имеет вид

£я (х) = х { - Сг(£)] + (-1)Я+: № - Сг х Ж

О я {рп + С) -да

Выражения для вертикальной и горизонтальной скорости соответственно примут вид

^ = ш (í) - + ^ (í) - (í) ]

• shV5n2 + C (í - x) dí • sin 5пЛ + ^ Y(x)(l - n) + ^ r (x)n,

l ш 2q(0) ¡5 2 + C w (x' n) = -jn Z S2(S2" [ cos 5nn - q,(n) sin 5пП] •

q (n) n=1 5n (n +C )

x í _

• Jdí J{[(í)-CY(í)] + (-1)n+1 [r"(í)-Cr(í)]} sh^2 + C(í-g)dg +

-ад -ад

q(0) q2(n)

q'fo) J Y(í) dí+ [[) - 4Ш] J [(í) - r(í) ]dí l.

В предположении (4.20) выражения для составляющих вектора скорости примут вид

v(x, п) = ZJ [y"(í) + (-1)n+1 r"(í)]sh 5n (í - x)dí • sin5n +

q(n n=i 5n J

n -ад

+ •

q(0) q(0)

+ Y( x)(1 - П) + r (x)n,

1 ад 2q(0)

w (x' П) = Z e2 [ cos 5n - q,(n) sin 5пП] • (422)

q (i) n=1 5

xí

• J dí J[Y(ff) + (-1)n+1 rsh 5n (í-g)dg +

-ад -ад

Jq'(n) J Y(í)dí + [)-q'(n)n] J [(í)-r(í) ]1.

5 (П) I -ад -ад I

Таким образом, из выражений (4.22) видно, что отклонение линий тока в возмущенном потоке от соответствующих линий тока в плоскопараллельном потоке характеризуется величиной (х), целиком зависящей от неровности твердой границы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Алешков Ю. З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызванные потоком жидкости // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2002. Сер. 1. Вып.4 (№ 25). С. 35-43.

2. ВеликановМ. А. Движение наносов. М., 1948.

3. ВеликановМ. А. Динамика русловых потоков. М., 1954.

4. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М., 1995.

5. Перегудин С. И. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5. № 1. С. 130-138.

64

6. Перегудин С. И. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины (депонированная рукопись) // Труды семинара по дифференциальным уравнениям Мордовского гос. университета. Саранск, январь—июнь 1993 г., № 2076-В93.

7. Тер-Крикоров А. М. О внутренних волнах в неоднородной жидкости. ПММ, 1962. Т. 26. Вып. 6. С. 1067-1076.

8. Франкль Ф. И. О движении песчаных волн // Докл. АН СССР. 1953. Т. 89. № 1. С.29-32.

S. Peregudin

THE PROBLEM ON LOW AMPLITUDE WAVES IN THE CHANGEABLE DEPTH CHANNEL

The article is devoted to two problems of hydrodynamics and the wave theory: non potential movement of an ideal incompressible non-uniform liquid above a firm and deformable bottom. A mathematical model is analytically given in a linear approximation. The final solutions allow defining a wave mode for the researched water area.