CC BY
8
№ 6 (99)
UNIVERSUM:
технические науки
июнь, 2022 г.
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧА О КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ
ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
Ашуров Бахтиёр Искандарович
ассистент кафедры Высшая математика Самаркандский институт экономики и сервиса Республики Узбекистан, г.Самарканд E-mail: ashrovbakhtiyor89@gmail.com
THE PROBLEM OF TORSIVE VIBRATIONS OF A VISCOELASTIC ROD
OF VARIABLE RADIUS
Bakhtiyor Ashurov
Assistant
of the Department of Higher Mathematics Samarkand Institute of Economics and Service Republic of Uzbekistan, Samarkand
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрены три общих колебания вязкоупругого слоя. Это нестационарные поперечные, продольно-радиальные и крутильные колебания. По этим колебаниям можно проверить крутильные колебания отдельно от продольно--радиальных колебаний.
ABSTRACT
The article considers three general oscillations of a viscoelastic layer. These are non-stationary transverse, longitudinal-radial and torsional vibrations. From these vibrations, it is possible to check the torsional vibrations separately from the longitudinal-radial vibrations.
Ключевые слова: вязкоупругий слой, тензор, нестационарный, гидроупругий, радиальный,
Keywords: viscoelastic layer, tensor, nonstationary, hydroelastic, radial,
собой M
Введение. Уравнения движения рассматриваемой нами гидроупругой системы представляют
а2 Щ
р ——; волновые уравнения вязко-
упругого тела. Для того чтобы иметь определенные решения при интегрировании системы этих уравнений, необходимо использовать граничные условия, а в случае нестационарного движения — начальные условия.
На основании изложенных выше соображений граничных и начальных условий рассматриваемой задачи поставим решаемой основную краевую задачу. Для этого напомним, что крутильные колебания вязкоупругого стержня переменного радиуса симметричны относительно его оси. В этом случае тензоры напряжений и деформаций и все компоненты вектора перемещений не зависят от координаты 0 -угла поворота и
д_ а-
л
ф +а%
а 2
1 аф
r ав а 1
аф
az
1
r а а2
,? л
Из формулы и =__I у нас есть выражение.
0 дг
Видно, что только Щ потенциал подходит для ив
вращательного или крутильного смещения точек штока. Другими словами, крутильные колебания отличаются от потенциалов всего на Щ .
При этом только &гв, (Тгв компонент вектора ие смещения компонент напряжения отличны от нуля [81.
u
u
î.
u
Библиографическое описание: Ашуров Б.И. ЗАДАЧА О КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 6(99). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13933
№ 6 (99)
UNIVERSUM:
технические науки
июнь, 2022 г.
С учетом этих случаев уравнения движения рассмат-
д2х¥
риваемого стержня
М(дф) = р —;
сводятся к сле-
дующему уравнению относительно 1 потенциалов:
М 0 (а 0 -1 ^ = 0; Ь дг
0 < г < Я
г
здесь м о (С) = С(г)~\ /2 (г-тХ(т)ат;
А о =
а:
1 а а2 + — +
dr r dr dz'
Ь = — - скорость распространения поперечных \Р
волн в стернальном материале; ¡л - коэффициент Ламе;
р - плотность материала стержня;
Я - радиус поперечного сечения стержня; г - радиальная координата; г - продольные координаты. Радиус рассматриваемого стержня является переменной, т. е. ^-переменной, которая меняется с продольной координатой и имеет непрерывную функцию. Другими словами
Я = ¥(z), 0 < z
где ¥ — заданная непрерывная функция. Кроме того, предполагалось, что функция ¥ (2) имеет производные нужного порядка (рис. 1).
о
Л'
Рисунок 1. Вязкоупругий стержень переменного радиуса
В любой точке М на поверхности стержня переходим в ортогональную систему координат
(п, &, &) ^ & уа &
у ' 1' 2 у. В этом случае 1 2 лежат в плоскости
движения в точке М (перенесенной на поверхность
стержня): т. е. перпендикулярны осям координат
& уа &
1 2, а значит, лежат перпендикулярно плоскости движения.
Во введенной ортогональной системе координат (п, &, &)
4 1' 2 у нормальные и касательные напряжения на поверхности стержня выражаются через напряжения в цилиндрической системе координат (г,0, г)
следующим образом [8].
а
- а + [f( z)]2^zz - 2f( z )<Jrz}
а
здесь
= - k.- F( z )aJ;
1 а
-{f (z)(air -azz) + [l-F2(z)kz}
а = 1 + f2( z)
Предполагается, что крутильные колебания круглого стержня вызываются напряжениями на его поверхности г = Я = ¥ (г), т. е. краевым условием
задачи является.
^ = (г, г).
или
а
у,. = - {arr +[F(z)]2 azz - 2F(z)arz};
a,si =1 [a- F( z )aJ;
= -{ F (z)(alr -azz) + [l-F2(z)]a„}
^штывад, что - ¥ (г)ам = А/& (г, г).
Предположим, что начальные условия задачи равны нулю [5]. Таким образом, задача о крутильных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки сводилась к интегрированию системы интегро-диффе-
1 д2 %
„ м0 (а%)-±-
ренциальных уравнений Ь дг 0;
№ 6 (99)
UNIVERSUM:
технические науки
июнь, 2022 г.
0 < Г < Я с граничными а, - ^'(г )а2в = А/п31 (г, 11).,
условиями и начальными условиями, равными нулю.
Заключение. Как указывалось выше, следующие деформации, напряжения и перемещения при крутильных колебаниях вязкой жидкости внутри цилиндрической оболочки отличны от нуля, а
формулы для их выражения через Ш -потенциал существенно упрощаются:
ЯШ
Перемещение и =__I выражается формулой,
дт
и9=-
т.е.
Компоненты тензора деформации в точках стержня.
'1 д ^ д^
*те =
т дт
дт
д2 ^ дтд2 ■
Компоненты тензора напряжения в точках стержня.
ате = M
1
т дт дт
= -M
д2 ^ дт дz
Список литературы:
1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. - М: Высшая школа, 1996. - 272 с.
2. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа // . Сборник. - 1976. - 24.-С.3-16.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. - М. - Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.
4. Никифоров А.Ф., Уварова В.Б. Специальные функции математической физики. - М. «Наука», 1998. - 320 с.
5. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности.- Л.:»Изд-во ЛГУ», 1996. № 5.- С. 3-33.
6. Филиппов И.Г, Худойназаров Х.Х. Уточнение уравнений продольно--радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. мех.-1990.-26, № 2.-с. 63-71.
7. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. -Кишенев: «Штиинца», 1998. - 190 с.
8. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие круговых цилиндрических упругих и вязкоупругих оболочек и стержней с деформируемой средой. - Ташкент: «Изд-во им. Абу Али ибн Сино», 2003.-325 с.
9. Xudoyberdiyev S.I., Ashurov B.I., Khudoyberdiyev S.I., & Ashurov B.I. (2021). QOVUSHOQ-ELASTIK STERJENDA TEBRANISH JARAYONIDA REZONANS HOSIL BO'LISHI. Academic research in educational sciences, 2(3).
