CC BY
19
УДК 622.279.72
Задача неустановившейся прямолинейно-параллельной фильтрации смеси метана, пропана, пентана и гептана при наличии предельного градиента давления
В.Н. Сокотущенко1*, Е.Б. Григорьев1, А.В. Богданов1, А.А. Попов1
1 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 141717, Московская обл., Ленинский р-н, с.п. Развилковское, пос. Развилка, Проектируемый пр-д №5537, вл.15, стр.1 * E-mail: sokotushenko@mail.ru
Ключевые слова:
фазовые равновесия, углеводородная смесь, конденсация углеводородов, подвижная граница
Тезисы. При разработке и эксплуатации нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений в пластах возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском и остановкой скважин. Особенности этих неустановившихся процессов зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей. Из практики разработки многих месторождений известны факты необычного поведения пластовых систем, которые можно объяснить появлением неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации.
В настоящее время рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значение, поскольку закачиваемые в продуктивные пласты с целью повышения газоконденсатотдачи вещества, такие как высокомолекулярные соединения, полимеры, не обладают свойствами ньютоновских жидкостей.
В статье рассмотрена одномерная задача неустановившейся прямолинейно-параллельной фильтрации смеси СН4, С3Н8, С5Н12 и С7Н12 в пористой среде и получено решение на подвижной границе фильтрации - фронте перемещения жидкости в пласте. Это решение по времени оказывается немонотонным.
Одной из причин колебаний фронта фильтрации может быть неравновесность неустановившегося фильтрационного течения, когда давление до и после фронта не успевает выровняться и относительно подвижной системы координат обнаруживается режим биений (пульсаций).
Основное уравнение нелинейной теории упругого режима фильтрации
Экспериментально установлено, что в некоторых пористых средах, насыщенных газом и жидкой фазой, фильтрация происходит лишь после создания градиента давления, превышающего некоторое начальное значение, которое изменяется в широких пределах. Заметное влияние на процессы разработки может оказывать начальный градиент давления в пределах 0,001...0,01 МПа/м, который определяется гистерезисом краевого угла смачивания, разницей косинусов отступающего и наступающего краевых углов, т.е. зависит от степени деформации пузырька газа при его фильтрации.
При малых скоростях фильтрации становится существенным силовое взаимодействие деформируемой пористой среды (скелета породы) и фильтрующегося флюида, которое может дать преобладающий вклад в фильтрационное сопротивление. Экспериментально установлено, что при малых скоростях фильтрации сила вязкого трения значительно меньше сил межфазного взаимодействия, последние не зависят от скорости и определяются только свойствами контактирующих фаз [1—4]. В результате такого взаимодействия жидкость, содержащая поверхностно-активные компоненты, при наличии пористой среды образует на ее свободной поверхности растворы, пленки, которые полностью или частично перекрывают поры. Присутствие небольшого количества связанной жидкости приводит к появлению менисков. Чтобы началось фильтрационное движение, необходим определенный перепад давления, способный сообщить жидкости такую скорость, с которой флюид смог бы преодолеть закупорку пор. Это показывает, что флюиды, не проявляющие аномальных свойств вне контакта с пористой средой, при малых скоростях фильтрации могут образовывать неньютоновские системы, взаимодействуя с пористым коллектором. Наличие предельного
градиента давления ДР0, при достижении которого начинается фильтрация флюидов в пористой среде, обнаружено и сформулировано в виде закона А.Х. Мирзаджанзаде [4]:
Ц М
^а^ = — М -АР0— при м > 0;
к м
|ягаар| <АР0 при М = 0,
перемещается со временем по закону /(/), причем 1(0) = 0. Вне области фильтрации, т.е. при X > ¡0), Р(Х, Г) = РвЬ1х.
Давление в области фильтрации удовлетворяет уравнению (2). В рассматриваемой задаче уравнение (2) примет вид
(1)
^ = -ДРо
дt дх I дх
0 < х < I(/).
(3)
где Р - давление; М - вектор скорости фильтрации; м = |М|; ц - коэффициент динамической вязкости; к - проницаемость. Причем параметр ДР0 определяется в лабораторных и промысловых экспериментах.
Использовав закон (1), а также уравнение неразрывности рассматриваемого фильтрационного потока и уравнение состояния, примем основное уравнение упругого режима в виде
На границе х = ¡(/) выполняются условия дРЦ, ()
Р(1, Г) = Рв
дх
■ = АР0.
(4)
В области 0 < х < ¡(0 требуется найти решение уравнения (3), определить расход Q(t) и закон изменения ¡(^ при условиях (4) на подвижной границе фильтрации при следующих начальном и граничном условиях
дР дt
1 -
АР
К|
gradP
|ягааР| > ДР0, к =
Р(х, 0) = Рвых; Р(0, t) = Р ; Рвых < Рвход.
(5)
(2)
где в - коэффициент упругоемкости пласта. Задача фильтрации
Рассматривается прямолинейно-параллельная фильтрация жидкости при упругом режиме пласта (рис. 1). В начальный момент времени t = 0 на границе пласта х = 0 начинает происходить закачка флюида с заданным начальным массовым расходом Q0. При этом в пласте образовываются две области: область фильтрации и невозмущенная область, где течение отсутствует. Граница раздела между областями
Решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4) и (5), имеет вид Р(х, t) = Рвых - АР0Ц - х) +
+(Рвход - РВЫХ +ЬР01 )| 1 -
I
при этом расход определяется по формуле
ч к . дР Q(х, t) = — А — = ц дх
= - кА
ДР„ - 2(Р - Р +АРп1)
0 V вход вых 0 '
1 - х'
I
(6)
(7)
где А - площадь поперечного сечения керна.
к
Фронт фильтрации ' (подвижная граница)
Р
Р
а;
X
Область фильтраций'
т
ь
Рис. 1. Схема движения флюида в керне: К - радиус поперечного сечения керна; Ь - длина керна; ¡(0 - координата подвижной границы фильтрации смеси в керне
0
Для определения /(г) воспользуемся интегральным соотношением, характеризующим условие материального баланса [4]:
' I'—¡¡х = К 1 дг
дР( х, г)
дх
-АР.
/ (г)
(8)
С учетом формул (6) и (8), а также условия /(0) = 0 находим трансцендентное уравнение относительно /(г):
3Кг = 1 Рхол Рых | 1п
I АР,
Р - Р
ВХОД вых
Р - Р
\ вход вых
■ЛР0/(г),
Р,ж,д - Р,ы* + (г) _ ИЛ , ( )
АР < ()'
(9)
корни которого получаем численно на каждом шаге по времени.
Результаты расчета
В качестве модельной смеси для расчета взята смесь метана, пропана, пентана и гептана в соотношении мольных долей СН4:С3Н8: С5Н12:С7Н12 = 0,67:0,22:0,08:0,03. При этом из термодинамической части задачи находим:
• критическую точку: температура Т = = 336,17 К; Р = 14,598 МПа; плотность р = = 261,19 кг/м3;
• крикондентерм: Т = 384,84 К; Р = = 7,8266 МПа; р = 89,503 кг/м3;
• криконденбар: Т = 331,21 К; Р = = 14,626 МПа; р = 271,73 кг/м3.
Анализ фазовых диаграмм (рис. 2-7) показывает, что спланированный и проведенный при Т = Тэксп = 347 К эксперимент по изотермической фильтрации 4-компонентной смеси с заданным мольным составом характеризуется соответствием процесса фильтрации состоянию смеси в двухфазной области (см. рис. 2-7), что позволяет сделать качественные выводы о динамике образования конденсата в данном лабораторном эксперименте и сформулировать некоторые практические рекомендации.
В табл. 1 представлены параметры керна, через который происходит фильтрация 4-компонентной углеводородной смеси при Тэксп = 347 К и рабочих давлениях Рвход = 20,4 МПа, Рвых = 0,6 МПа.
Решение уравнений (3), (9) дает характер изменения Р и Q на фронте фильтрации в керне за время эксперимента (рис. 8, 9). Ошибка между теоретическими значениями Р, полученными в ходе решения задачи (3)-(9), и экспериментальными данными не превышает 1 % (см. рис. 8). Особенностью полученного решения на подвижном фронте фильтрации является немонотонное изменение расхода (см. рис. 9, табл. 2). При этом решение задачи в неподвижной системе координат, начало которой совпадает с х = 0 (см. рис. 1), дает падение давления, соответствующее известному решению пьезо-проводности [2].
При наличии предельного градиента давления фильтрация флюида между двумя точками
§ 16
а; 14 12 10 8 6 4 2
100
Изотермы: . т
эксп --- криконд ентерм
150
200
250
300
350
400
Рис. 2. Фазовая диаграмма «давление - температура» смеси «метан - пропан - пентан -гептан» с заданным мольным составом (см. ранее)
0
§ 25
сС
20 15 10
— линия насыщения смеси О экспериментальная точка
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05 V, м3/кг
0
I 16
оС 14 12 10 8 6 4 2 0
Рис. 3. Фазовая диаграмма «давление - удельный объем» смеси «метан - пропан - пентан ■ гептан» с заданным мольным составом (см. ранее)
§ 16
сС 14 12 10 8 6 4 2 0
••• жидкость ■ ••• газ ........ »••••.......
ч
\
\
\
у
0,2
0,4
0,6
0,8 1,0 Мольная доля метана
Рис. 4. Фазовые диаграммы «давление - мольная доля метана»
............ ••• жидкость ••• газ -
............. .....,
в*
X
\
:
0,05 0,10 0,15 0,20
Рис. 5. Фазовые диаграммы «давление - мольная доля пентана»
0,25 0,30
Мольная доля пентана
5
0
0
0
I 16
о,"14 12 10 8 6 4 2 0
I 16
сС 14 12 10 8 6 4 2 0
Таблица 1
- ••• жидкость ••• газ ..............
.............
••••• ••
''•и
•• X
\
/
0,05
0,10
0,15
0,20 0,25 0,30
Мольная доля пропана
Рис. 6. Фазовые диаграммы «давление - мольная доля пропана»
..1 ••• жидкость ••• газ -
\
\
••
-V;-
0,2
0,4
0,6
0,8 1,0 Мольная доля гептана
Рис. 7. Фазовые диаграммы «давление - мольная доля гептана»
Параметры керна и 4-компонентной смеси СН4, С3Н8, С5Н12, С7Н1:
Ь, м 0,179
Диаметр поперечного сечения керна, м 0,03013
Пористость, д. ед. 0,3
к, м2 1,478 10-13
Начальная температура, К 347
Р Пя вход? 11а 2,04^107
Pвых, Па 6105
в на входе, Па-1 9,86923^10-6
^ на входе, Пах 1,00 10-5
пласта отсутствует, если перепад давления между этими точками меньше ЛР0. В связи с этим, если при отборе газа через скважину из пласта, находившегося первоначально под давлением Рвых, прекратить отбор, то давление
восстановится не до пластового, а до более низкого значения, которое определяется тем, что вблизи скважины распределение давления соответствует достижению ЛР0. Для того чтобы началось фильтрационное движение,
0
0
^ 25
^ 20
— математическая модель О эксперимент
О
15
10
0
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
100 105 110 Г,ч
Рис. 8. Давление на фронте фильтрации
I 3,0
н
и
Я
га
5 2,5
5 2,0
га ' -
8 1 5
га ' о
11,0 а 0,5
50
60
70
80
90
100
\ — газ — жидкость
\
\ 1 А
А Л
/ ^
1,2
1,0 Й «
0,8 |
0,6 0,4 0,2 0
110 Г,ч
Рис. 9. Расход фаз на движущейся границе фильтрации
Таблица 2
Массовый расход фаз на движущейся границе фильтрации, г/мин
г, ч Газовая фаза Жидкая фаза Суммарный расход
52,6 1,760 1,104 2,863
56,6 0,805 0,317 1,122
60,7 0,035 0,011 0,046
64,7 1,179 0,344 1,523
68,7 0,527 0,138 0,665
72,8 0,017 0,004 0,021
76,8 0,763 0,120 0,883
80,8 0,321 0,034 0,354
84,8 0,006 0,000 0,006
88,9 0,416 0,019 0,434
92,9 0,162 0,004 0,166
96,9 0,001 0,000 0,001
100,9 0,163 0,001 0,164
105,0 0,048 0,000 0,048
109,0 0,048 0,000 0,048
5
0
приложенный перепад (на единицу длины образца) должен превысить некоторое критическое значение ДР0. Время одной прокачки в данной задаче равно времени перемещения подвижной границы (фронта) области фильтрации от х = 0 до х = 0,179 м. При заданных параметрах смеси и режиме подачи смеси в керн время одной прокачки в лабораторном эксперименте составило 1,77 с. Уравнения с учетом подвижной границы, которые были использованы при решении задачи, дают подобные колебания и при г > 1,77 с, т.е. при второй и последующих прокачках смеси через керн.
Таким образом, решение задачи на подвижном фронте фильтрации закачиваемой смеси в керн с учетом ДР0 является немонотонным. Одной из причин колебаний фронта фильтрации может быть неравновесность неустановившегося фильтрационного течения, когда давление до и после фронта не успевает выровняться и относительно подвижной системы координат обнаруживается режим биений (пульсаций).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 18-08-00326А.
Список литературы
1. Вяхирев Р.И. Разработка и эксплуатация газовых месторождений / Р.И. Вяхирев,
A.И. Гриценко, Р.М. Тер-Саркисов. - М.: Недра, 2002. - 880 с.
2. Сокотущенко В.Н. Особенности неустановившейся фильтрации при наличии предельного градиента давления /
B.Н. Сокотущенко, В.М. Зайченко // Известия КГТУ - 2018. - № 51. - С. 138-147.
3. Григорьев Б. А. Моделирование термодинамических свойств нефтяных и газоконденсатных систем на основе фундаментальных многоконстантных уравнений состояния / Б.А. Григорьев, А.А. Герасимов, И.С. Александров // Газовая промышленность. - 2013. - № 696: спецвыпуск. - С. 98-101.
4. Мирзаджанзаде А.Х. Математическая теория эксперимента в добыче нефти и газа / А. Х. Мирзаджанзаде, Г.С. Степанова. -
М.: Недра, 1970. - 335 с.
A problem of transient lineal-parallel filtration of a methane-propane-pentane-heptane mixture in case of extremum pressure gradient
V.N. Sokotushchenko1*, Ye.B. Grigoryev1, A.V. Bogdanov1, A.A. Popov1
1 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninskiy district, Moscow Region, 142717, Russian Federation * E-mail: sokotushenko@mail.ru
Abstract. During development and exploitation of oil, gas and gas-condensate fields there are some transient processes inside the beds, which occur due to wells' startups and shutdowns. Features of such transient processes depend on the elastic behavior of reservoirs and fluids saturating them. Practice of field development testifies the facts of strange behavior of bedded systems, which can be explained by non-Newtonian properties of filtrating fluids.
Nowadays, studying filtration of non-Newtonian systems has sovereign importance, as the matters like macromolecular compounds, polymers, being pumped into the productive reservoirs in order to rise gas-condensate recovery, don't have properties of non-Newtonian liquids.
The article discusses a one-dimensional problem of transient lineal-parallel filtration of a CH4-C3H8-C5H12_ C7H12 mixture in a porous medium, and gives its solution for a mobile frontier of filtration called a front of liquid transfer within a bed. This solution is non-monotonic.
Among the reasons for fluctuations of the filtration front can be disequilibrium of the transient filtration flow when pressures before and after this frontier are late to flatten out, and beating (pulsation) appears relative to the mobile coordinate origin.
Keywords: phase equilibria, hydrocarbon mixture, condensation of hydrocarbons, moving frontier.
References
1. VYAKHIREV, R.I., A.I. GRITSENKO, R.M. TER-SARKISOV. Development and operation of gas fields [Razrabotka i ekspluatatsiya gazovykh mestorozhdeniy]. Moscow: Nedra, 2002. (Russ.).
2. SOKOTUSHCHENKO, V.N., V.M. ZAYCHENKO. Special features of transient flow in case of extremum pressure gradient [Osobennosti neustanovivsheysya filtratsii pri nalichii predelnogo gradiyenta davleniya]. Izvestiya of Kaliningrad State Technical University. 2018, no. 51, pp. 138-147. ISSN 1997-3071. (Russ.).
3. GRIGORYEV, B.A., A.A. GERASIMOV, I.S. ALEKSANDROV. Modeling of thermodynamic properties of oil and gas-condensate systems on the basis of fundamental multi-constant equations of state [Modelirovaniye termodinamicheskikh svoystv neftyanykh i gazokondensatnykh system na osnove fundamentalnykh mnogokonstantnykh uravneniy sostoyaniya]. Gazovaya Promyshlennost. 2013, no. 696: spec. is., pp.98-101. ISSN 0016-5581. (Russ.).
4. MIRZADZHANZADE, A.Kh., G.S. STEPANOVA. Mathematical theory of experiment in oil and gas production [Matematicheskaya teoriya eksperimenta v dobyche nefti i gaza]. Moscow: Nedra, 1970. (Russ.).
