CC BY
44
УДК 721.022 - 52.012
ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ РАЗРАБОТКИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
С. А. Баркалов, Д.И. Голенко-Гинзбург, А.Е. Кравцов, А.Г. Янин
Рассматривается решение задачи управления комплексом разработок при использовании ресурсов второго рода с использованием принципа многоуровневой оптимизации
Ключевые слова: задача, система, ресурсы, управление
На современном разрабатывающем предприятии (РП) все виды ресурсов по характеру их использования могут быть подразделены на два класса:
1) ресурсы, количество которых изменяется в зависимости от времени их использования. Как правило, величины этих ресурсов уменьшаются пропорционально объёму выполняемой работы. К ним можно отнести все стоимостные ресурсы, материалы, сырьё, готовые изделия и др.;
2) ресурсы второго рода, которые практически не изменяются в процессе их использования. К ним можно отнести людские ресурсы, оборудование (если пренебречь амортизацией) и др.
В условиях крупного разрабатывающего предприятия (например, проектного института отраслевого министерства) в точение одного-двух лет число одновременно выполняемых разработок насчитывает несколько десятков, иногда и сотен, причём многие из них отображаются сетевыми моделями большого объёма. В этом случае решение задачи управления комплексом разработок при использовании ресурсов второго рода может быть осуществлено на основе принципа многоуровневой оптимизации [1-3].
Предполагаемая идея такого рода оптимизации состоит в следующем. В качестве низшего уровня принимается отдельная разработка объекта новой техники, математической моделью которой является сетевая модель. Второй уровень представлен моделью с несвязанными объектами, т. е. с объектами, очерёдность выполнения которых не регламентируется направленным графом, подобно сетевой модели, либо иными логическими условиями. В качестве единичного элемента такой модели рассматривается отдельная разработка. Такого рода двухуровневая модель является достаточно адекватной, поскольку результаты выполнения одних разработок, как правило, не влияют на ход вы-
Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07
Голенко-Гинзбург Дмитрий Иванович - Университет Беер-Шева, д-р техн. наук, профессор, e-mail:
dimitry @bgu.ac.il
Кравцов Александр Евгеньевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
Янин Александр Геннадьевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
полнения других. Модель может быть эффективно использована для управления научноисследовательским институтом, конструкторским бюро и т. д. На каждом из уровней системы управления разрабатывающим предприятием следует реализовать две оптимальные задачи. Первая из них состоит в том, что определяется набор интенсивностей ресурсов, минимизирующий общее время выполнения одной или нескольких разработок. Второй оптимальной задачей служит нахождение минимального набора ресурсов, позволяющего реализовать процесс выполнения разработки при заданном директивном времени. Представляется, что вторая задача в условиях реально функционирующего разрабатывающего предприятия имеет более важное значение ввиду возможного дефицита ресурсов. Дело в том, что нередко один-два остродефицитных ресурса лимитируют разработку не только отдельного проекта, но и всей тематики разрабатывающего предприятия в целом. В случае детерминированного описания объекта управления процедура управления на этапе выполнения разработки будет определяться в основном периодической корректировкой календарного плана-графика. Процедура принятия решения, возникающая в случае отклонения фактического хода разработки от планового, должна формироваться с учётом фактического хода выполнения остальных разработок, главным образом на основе перераспределения ресурсов. В случае невозможности реализации управляющего воздействия в виде перераспределения ресурсов между операциями одной разработки либо между разработками осуществление принятия решений должно происходить за счёт изменения сроков выполнения отдельных разработок, либо привлечения дополнительных ресурсов, либо сокращения объёмов работ.
Специфика управления разрабатывающим предприятием наиболее полно отражается в случае, когда информация об объекте управления носит вероятностный характер. Действительно, характер большинства разработок на разрабатывающих предприятиях в силу их новизны, сложности теоретических исследований и технического воплощения, отсутствия аналога в прошлом и т. д. затрудняет получение достоверных значений оценок времени выполнения как разработки в целом, так и составляющих её отдельных операций. Это заставляет прибегать к экспертным оценкам, что снижает дос-
товерность информации и придаёт задаче управления разработками вероятностный характер.
Постановка задачи
На низшем уровне системы управления разрабатывающим предприятием производится одновременное решение следующих оптимальных задач. Сначала решается задача минимизации времени выполнения разработки при ограничениях на интенсивность потребления ресурсов, в результате которой получается минимальное время Тш1п . Последующая оптимальная задача имеет целью минимизацию специальным образом выбранного функционала от интенсивностей ресурсов при ограничении общего времени разработки значением, равным Тш1п. В результате высвобождаются ненужные ресурсы и остаются лишь те из них, которые наиболее остро лимитируют выполнение проекта в целом. Практика решения ряда конкретных производственных задач, связанных с оптимизацией сетевых моделей, убеждает в разумности такого рода подхода.
На верхнем уровне системы управления разрабатывающим предприятием предлагается использовать следующую методику. Всё множество разработок разбивается на различные классы, причём к одному и тому же классу относятся разработки, характеризующиеся общностью объектов проектирования, использованием одинаковых ресурсов в одинаковом объёме, имеющих конструктивное и технологическое единство. Практика анализа крупных разрабатывающих предприятий показывает, что такого рода классифицирование может быть реализовано. Предположим, что разработки, относящиеся к одному и тому же классу, реализуются за одно и то же время, определённое в результате решения оптимальной задачи предыдущего этапа, и в каждой из разработок участвует набор ресурсов одинакового наименования и одинаковой интенсивности.
После создания такого классификатора и распределения разработок по классам необходимо построить для каждого из классов ступенчатую кривую потребных интенсивностей по каждому из видов ресурсов. Разумеется, число временных интервалов, которые формируют ступенчатую кривую, не должно быть значительным (на практике -порядка 5-10 интервалов). Таким образом, производится замена сетевой модели несвязанным элементом графика Ганта, имеющим определённую продолжительность и набор ступенчатых кривых интенсивностей ресурсов, участвующих в реализации проекта в течение хода разработки. Возникает возможность рассмотрения системы с несвязанными элементами, "свободно плавающими'' внутри планового интервала реализации всего комплекса разработок. Учитывая, что число такого рода несвязанных объектов равно числу отдельных разработок, т. е. не превышает нескольких сотен, можно осуществить реализацию комплекса оптимальных задач на втором уровне.
Введём следующую терминологию:
п - число проектов (аванпроектов) П, 1 < 1 < п, каждый из которых представлен цепочкой операций 01С, 1<с <ш1;
mi - число операций в проекте ni; tic - случайная продолжительность операции Oic;
tic математическое ожидание случайной
величины tic;
Vic - дисперсия случайной величины tic; rick - мощность k-го ресурса (количество разработчиков k-ой специальности), используемая в процессе реализации Oic (постоянна и задаётся заранее), 1 < k < d ;
d - количество потребляемых ресурсов;
Rk- суммарные k-ресурсы (общее число разработчиков k-ой специальности), находящиеся в распоряжении РП (оптимизируемая переменная);
Di - директивный срок окончания аванпро-екта ni (задаётся заранее);
Pi- допустимая вероятность окончания аванпроекта ni в директивный срок Di (задаётся заранее);
Sic - фактическое время начала реализации операции Oic (случайная величина); Sic определяется в процессе решения конфликтных ситуаций при одновременной реализации нескольких проектов;
FK - момент завершения операции Oic (случайная величина);
Fi - момент окончания выполнения i-го проекта; Ft = Sm + tm (случайная величина);
pt ,Dt} - вероятность выполнения проекта ni в срок (на основе имитационного моделирования системы) при условии, что системе выделены
постоянные наличные ресурсы Rk, 1 <k <d (Rk -вектор ресурсов);
Wk (Sic, t) - суммарная мощность задействованных ресурсов типа k в момент t при условии, что операции Oic стартуют в момент Sic;
Rk (t)= Rk -Wk (Sic, t) - наличные свободные ресурсы k-го типа, готовые к реализации новых операций.
S k - стоимость аренды и содержания единицы k-го ресурса (то есть, одного разработчика k-ой специальности) за единицу времени, 1 < k < d (постоянна и задается заранее);
ARk - шаг поиска оптимального значения Rk, 1 < k < d (задаётся заранее);
е- оценка погрешности целевой функции при поиске оптимального решения;
ni - индекс приоритета (степень важности) проекта ni (задаётся заранее). Если проект Я. имеет более высокую степень важности, нежели проект П , имеет место п > Обычно имеет место
П > n ^ р* > р* и наоборот:
Rkmin - нижняя грань возможного числа разработчиков k-ой специальности на РП, 1 < k < d (задаётся заранее);
Rkmax - верхняя грань возможного числа разработчиков k-ой специальности на РП, 1 < k < d (задаётся заранее).
Заметим, что имеют место соотношения
Rkmin— max max rick (1)
i c
n m,
R. max <1!^ , (2)
i=1 c=1
Rk min < Rt < Rt m„,1 < к < rf. (3)
Ограничение (1) очевидно, ибо в противном случае некоторые из аванпроектов не смогут быть вообще реализованы. В случае невыполнения ограничения (2) часть разработчиков вообще не примет участие в процессе реализации аванпроек-тов.
Рассмотрим сложный проектно-
конструкторский комплекс, состоящий из N объектов, логически не связанных между собой. Для выполнения этих работ имеются ресурсы s видов, причём для каждого v-го вида ресурсов (1<r<s) известна Вг - суммарная наличная интенсивность этого ресурса (максимальный производительный фронт работ по разрабатывающему предприятию). Поскольку не все ресурсы на разрабатывающем предприятии имеют одинаковую ценность, считаем, что нам известны рг - приоритетные коэффициенты, указывающие на ценность ресурсов r-го вида, потребляемых на данном предприятии. Выше уже отмечалось, что хотя на разрабатывающем предприятии, как правило, не встречается двух совершенно одинаковых работ, тем не менее обычно удаётся разбить все работы на классы, причём к одному классу относятся все разработки, потребляющие в каждый момент времени ресурсы одного и того же вида и в одном и том же объёме. Заметим, что формально такая классификация всегда возможна, поскольку в том случае, если для некоторых разработок на данном разрабатывающем предприятии не найдётся идентичных (в смысле изложенного принципа), то каждая такая разработка представляет собой класс, состоящий из одного элемента.
Поэтому можно считать, что все работы (элементы) системы разбиты на п классов, причём каждый j-й класс содержит фиксированное число элементов. Объекты потребляют ресурсы различных видов, общее число которых равно s. Для каждого из п классов и для каждого из s видов ресурсов существует ступенчатая функция интенсивности потребления этих ресурсов. Так, для r-го вида ресурсов (1<r<sj эпюра потребления ресурсов имеет следующий вид для j-го класса:
g,ri для t Є[(° tir \,
g,r2 для t Є[(° tJ,
g,rh для t Є[0, tirt \ ■
Здесь h - число "ступенек" - есть функция от класса объекта j и ресурса r. Обозначим символом tj время функционирования элемента j-го класса, tj, (нач) - подлежащее определению время начала функционирования i-го объекта в j-ом классе (1 < j < n), а tj, (кон) - время окончания функционирования этого объекта, tj, (кон) = tj (нач) + tj.
Процесс оптимизации проходит две последовательные стадии. На первой стадии задача состоит в том, чтобы на основе ограниченных значений Вг определить минимальное время функциони-
рования системы (принимая, что система начинает функционировать в нулевой момент времени, время функционирования системы совпадает с моментом окончания работы системы, который впредь будем обозначать символом Т0). Помимо этого, необходимо определить набор составляющих календарный план-график значений (нач) и у, (кон) для всех элементов системы. Отметим, что таких наборов может существовать более одного, более того, их может существовать бесконечное множество.
На второй стадии задача заключается в том, чтобы, зафиксировав полученное на предыдущей стадии минимальное значение Т0 в качестве ограничения по времени, выбрать из множества наборов (нач) и (кон), соответствующих Т0, такой, при котором используется минимальное суммарное количество ресурсов с учётом их приоритетных коэффициентов.
Помимо этого, необходимо определить набор интенсивностей ресурсов, соответствующих такому плану-графику. Иными словами, на второй стадии необходимо произвести оптимизацию по ресурсам при ограничении во времени. Поскольку мы не можем оптимизировать одновременно интенсивность многих ресурсов (как известно, оптимальная задача может решаться лишь при условии оптимизации по одному параметру), целесообразно минимизировать функционал от интенсивностей ресурсов. Примером такого функционала может служить функционал следующего вида:
I = ±рЛ■
г =1
в котором р;, р2,... ,Ps — соответствующие приоритетные коэффициенты для ресурсов 1, 2...., б-го вица, Ьг — неизвестные суммарные интенсивности ресурсов, подлежащие оценке в процессе оптимизации. Заметим, что для Ьг существуют естественные ограничения
Аг< Ьг< Вг,
где Аг и Вг соответственно минимальный и максимальный производительные фронты работ по всему предприятию. Эти ограничения являются естественными, поскольку неравенство Ьг < Аг - означает, что ресурсов г-го вида недостаточно для выполнения имеющегося объёма работ, а неравенство Ьг > Вг - означает, что заведомо не все ресурсы будут использованы производительно.
Таким образом, выход значения Ьг за пределы интервала [Ап Вг] заведомо означает, что это значение лежит вне области возможных решении.
Учитывая, что на каждом разрабатывающем предприятии, вообще говоря, число имеющихся специалистов по каждой специальности неизменно, считаем, что в процессе функционирования объекта комплекса в интервале [0, Т0] суммарная наличная интенсивность ресурса каждого вида Вг должна быть постоянной. Аналогичные требования мы будем предъявлять и к величинам Ьг.
При решении поставленной задачи, как на первой, так и на второй стадии мы используем в качестве метода оптимизации комбинацию двух статистических методов - метода Монте-Карло, служащего для нахождения начальной точки поиска, и локального шагового случайного поиска. По-
добного рода комбинированный метод с успехом применяется при оптимизации сетевых моделей и на наш взгляд, с учётом нелинейности и многопа-раметричности задачи является единственным практически эффективным вычислительным методом [1-4].
Идея решения первой из оптимальных задач — минимизации времени функционирования комплекса разработок, состоит в следующем. Выбирается срок окончания Т0 таким образом, чтобы априори было ясно, что выполнение всех работ в интервале [0, Т0] было невозможно. Этот срок принимается в качестве исходной точки интервала и уточняется в процессе решения задачи. Интервал [0, Т0] разбивается на частные календарные периоды, после чего '"разыгрываются" методом Монте-Карло сроки начала и окончания всех работ. В результате "розыгрыша" для каждого к-го частного календарного периода по каждому г-му виду ресурсов определяется суммарная потребная интенсивность ресурсов Ф]д.. Степень близости потребных и наличных ресурсов определяется функционалом I:
1= Не2 кг,
к г
где
[0, если Вг > Фкг
& = \
1Фкг - Вг , если Вг < Ф кг
Далее задача состоит в минимизации функционала I методом статистической оптимизации. В случае, если I > 0, увеличиваем значение Т0 на шаг в, после чего повторяем процесс минимизации I. Процедура Т0 + в ——Т0 происходит до тех пор, пока I не станет равным нулю. Идея реализации второй оптимальной задачи (оптимизация по ресурсам) состоит в следующем. Производится случайный поиск в пространстве Ьг , минимизирующий значение ^ = ^ Рг^г. Для каждого шага поис-
г=1
ка проверяется возможность функционирования комплекса за время Т0, полученное в процессе решения предыдущей оптимальной задачи. Если время превышает Т0 или если значение функционала I не уменьшилось, шаг поиска считается неудачным.
В результате решения двух оптимальных задач строится календарный план-график начала и окончания каждой из разработок, минимизирующий общее время комплекса разработок и высвобождающий (по отношению к этому минимальному времени) условно максимальный объём ресурсов.
Заметим, что такого рода двухуровневая оптимизация позволяет построить оптимальный план-график также для каждой работы сетевой модели по каждой из разработок, ввиду того, что время выполнения разработок на втором уровне не меняется, а календарный план-график для каждой из работ сетевой модели был построен нами на первом уровне оптимизации (отдельных сетевых моделей). Разница состоит лишь в том. что времена функционирования работ сдвигаются на одинаковый отрезок времени, соответствующий началу выполнения разработок относительно нулевой точки отсчёта.
Заключение
Процесс двухуровневой оптимизации завершается, таким образом, построением календарного плана-графика работы всех элементов системы, причём каждый элемент имеет в своем распоряжении необходимое количество ресурсов. Под термином «элемент системы» мы подразумеваем исполнителя или коллектив исполнителей, выполняющих отдельную работу, входящую в сетевой проект. Разработка календарного плана-графика завершает стадию годового планирования, после чего начинают свою работу подсистемы сбора и обработки информации и оперативного управления. Процесс функционирования последней также основан на применении двухуровневой оптимизации. Если рассогласование между плановым и фактическим состоянием системы может быть признано существенным, а первичные управляющие воздействия (без перераспределения ресурсов) недостаточны, начинает работать комплекс оптимальных задач. При этом вместо реализации трёх оптимальных задач (по объёму, времени и ресурсам) целесообразно променять двухуровневую (или многоуровневую) оптимизацию. Тогда все алгоритмы оптимизации, используемые на стадии годового планирования, могут применяться и на стадии оперативного планирования.
Литература
1. Ашимов А.А., Бурков В.Н., Джапаров Б.А., Кондратьев В.В. Согласованное управление активными производственными системами. - М.: Наука, 1986.
2. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н., Образцов Н.Н. Задачи управления материальнотехническим снабжением в рыночной экономике. М.: ИПУ РАН, 2000. - 58 с.
3. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. - М.: Радио и связь. - 2003. - 156 с.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Университет Беер-Шева (Израиль) PROBLEM OF MINIMIZATION OF TIME OF PERFORMANCE OF DEVELOPMENT AT RESTRICTIONS ON INTENSITY OF CONSUMPTION OF RESOURCES S.A. Barkalov, D.I. Golenko-Ginzburg, A.E. Kravcov, A.G. Yanin
The decision of a problem of management is considered by a complex of development at use of resources of the second sort with use of a principle of multilevel optimization
Key words: a problem, system, resources, management
