Задача минимизации суммарной степени опасности участков трубопроводной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7.07

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ СУММАРНОЙ СТЕПЕНИ ОПАСНОСТИ УЧАСТКОВ ТРУБОПРОВОДНОЙ СЕТИ

В.Н. Шипилов

В статье предложен алгоритм минимизации степени опасности участков трубопроводной сети, отличающийся простотой реализации, предоставляющий достаточно большое число вариантов для выбора

Ключевые слова: сеть, риск, шкала

Введение

Очень важным показателем является показатель величины возможного ущерба, если не предпринимать никаких действий по восстановлению отдельных участков трубопроводной сети1 . Это комплексный показатель, характеризующий ожидаемый ущерб при эксплуатации участков в данном состоянии.

Когда степень опасности (ожидаемого ущерба) достигает определенной величины участок трубопроводной сети подлежит ремонту.

Ремонт производится с целью снижения этого показателя до величины не менее некоторой нормативной, при которой возможна нормальная эксплуатация данного участка трубопроводной сети. Если ремонт не производится в текущем плановом периоде, то либо ограничиваются возможности эксплуатации данного участка, либо он вообще закрывается для эксплуатации (определяются альтернативные пути передачи продукта). Затратив дополнительные средства, можно обеспечить величину степени опасности меньше требуемого нормативного уровня, что приводит как к уменьшению степени опасности, так и к увеличению срока эксплуатации данного участка трубопроводной сети. Примем, что определена зависимость yi = фi ( xi) степени опасности 1-го участка трубопроводной сети после ремонта от величины средств на ремонт. Эта зависимость может быть как непрерывной, так и дискретной. Обозначим через упр величину, определяющую предельную оценку степени опасности, при достижении которой нормальная эксплуатация участка трубопроводной сети не допускается. Величина ун определяет нормативный уровень степени опасности данного участка трубопроводной сети, который должен быть обеспечен после ремонта. Величина ут определяет минимальный уровень степени опасности, который можно обеспечить в результате ремонта за счет дополнительного финансирования.

Постановка задачи

Пусть дана величина средств на ремонт на планируемый период (год). Задача заключается в распределении этих средств, то есть в определении множества участков трубопроводной сети, которые

Шипилов Василий Николаевич - ВГАСУ, доцент, тел. (4732) 76-40-07

будут ремонтироваться и величины средств, выделенных на ремонт каждого из этих участков. Как правило, выделенных средств недостаточно для финансирования ремонта всех участков, требующих ремонта. Как уже отмечалось выше, если ремонт участка не производится в планируемом периоде, то ограничение либо запрещение эксплуатации данного участка приводит к потерям. Обозначим Ь1 потери (ущерб) в случае, если ремонт 1-го участка не производится в планируемом периоде. Тогда суммарный ущерб можно записать в виде

в(й) = Е Ь (1)

Ий

где р-множество ремонтируемых участков, а суммарная степень опасности участков трубопроводной сети

Ф(й) = Е у, (^) (2)

1ей

при ограничениях на величину выделенных средств

Е *,■ ^ с (3)

,ей

где С- величина средств на ремонт в планируемом периоде. Заметим, что степень опасности Ф является некоторой комплексной безразмерной оценкой, учитывающей целый ряд факторов. В то же время ущерб В, как правило, измеряется в денежном выражении. Для их приведения к единому виду введем множитель X, размерность которого 1/руб. и представим степень опасности и ущерб в виде линейной свертки

Р (й) = Ф(й) +ЛВ(й) (4)

Рассмотрим ряд задач формирования плана ремонтных работ. Если величина ущерба от того, что ремонт участка не включен в план, существенно выше чем дополнительный выигрыш при уменьшении степени опасности ниже нормативного уровня, то основной задачей становится задача минимизации ущерба (1).

Задача 1. Определив множество р ремонтируемых участков, так чтобы минимизировать (1) при ограничении (3).

Если, наоборот, дополнительный выигрыш от уменьшения степени опасности ниже нормативного уровня существенно выше, чем ущерб от того, что данный участок не вошел в планах ремонта, то ос-

новнои задачей становится минимизация критерия (2). _

Задача 2. Определить {х} і =1,п ,

минимизирующие (2) при ограничении (3). Заметим, что задача 2 может решаться после решения задачи

1, если в оптимальном решении р0 задачи 1

Е йі < с

ієй

то есть остается резерв средств на дополнительное снижение степени опасности участков. Если дополнительный выигрыш от снижения степени опасности ниже нормативного уровня и ущерб от того, что участок не включен в план ремонта являются сравнимыми величинами, то основной задачей является задача минимизации критерия (4).

Задача 3. Определить {хг}, і =1,п минимизирующие (4) при ограничении (3). Задачу 3 можно рассматривать как параметрическую. Меняя величину X мы получим различные вариант планов. Из этих вариантов лицо, принимающее решение (ЛПР), выбирает план ремонта, исходя из своих предпочтений.

Поставленные задачи являются, как правило, многоэкстремальными задачами для непрерывных зависимостей или задачами дискретной оптимизации для дискретных зависимостей. Поэтому рассмотрим методы решения поставленных задач на примере зависимостей дискретного вида.

Представим задачу 1 в виде задачи целочисленного линейного программирования в переменных {0,1}. Для этого примем ^ = 1, если участок і включен в план ремонта и ^ = 0, в противном случае. Тогда критерий (1) запишется в виде

В(х) = £ Ъ,(1 - г ) = £ Ь, - Е Ьігі (5)

і=1 і=1 і=1

Очевидно, что задача минимизации (5) эквивалентна задаче максимизации

при ограничении

К (г) = £ Ъ

=1

Е й ^ с

=1

(6)

(7)

Получили классическую задачу о ранце, методы решения которой хорошо разработаны. Так в работе [1] описан метод динамического программирования, а И.В. Бурковой и С.В. Крюковым предложен метод дихотомического программирования для решения задачи о ранце и показано, что объем вычислений в методе дихотомического программирования примерно в два раза меньше, чем в методе динамического программирования. Поэтому рассмотрим ситуацию, когда в оптимальном решении задачи ресурс используется не полностью, то есть

д = с-е > о

,ей

где р - множество участков, включенных в план ремонта.

Эти средства можно использовать для дополнительного уменьшения степени опасности на ряде участков, как было отмечено выше. Введем новую переменную и1 = хгф равную величине дополнительных средств, выделенных для ремонта 1-го участка. Функцию ф(хі) = ф;(и; + й і) будем обозначать для простоты ф (иі).

Задача 4. Определить {«} і є й. минимизирующие

£ф(«і)

ієй

при ограничении

(8)

(9)

Е «; ^д

,ей

Получим задачу нелинейного программирования. Ее решение рассмотрим для нескольких практически интересных случаев.

Методы решения задачи 2 во многом аналогичны методам решения задачи 1 и 4. Фактически задача 2 объединяет в себе задачи 1 и 4. Поэтому рассмотрим два практически важных случая - линейный и дискретный.

Линейный случай

В линейном случае функции ф1 (х1) являются линейными на отрезках [йХ^] (рис.1).

Как правило, на практике выполняется следующее условие

Упр Ун > Ун — У*

п= 1 >*Н 'т =а (10)

й Б - й

Смысл этого условия в том, что мероприятия по ремонту, связанные с уменьшением степени опасности до нормативного уровня, являются более эффективными чем мероприятия по дальнейшему уменьшению степени опасности. В этом случае кусочно-линейные функция, представленная графиком (упр. А,В) является выпуклой функцией. Также как и для задачи 1 в данном случае естественно применить метод ветвей и границ, используя полученную кусочно-линейную функцию в качестве нижней оценки степени опасности участков. То есть, если в решении оценочной задачи для всех і будут выполняться условия: либо х1 = 0, либо ^<х1<Б1 , то полученное решение будет оптимальным для исходной

задачи. Далее, в решении оценочной задачи имеется не более одного участка, такого что

0 < х, <

Естественно, что разбиение на подмножества следует проводить по переменной, соответствующей этому участку.

Описание алгоритма

1. Строим оценочные функции для всех г=1, п.

2. Решаем задачу выпуклого программирования по аналогии с алгоритмом.

3. Определяем номер 1, такой что 0<х^ф (если таких нет, то полученное решение оптимально в своем подмножестве).

4. Разбиваем множество всех решений на два подмножества. В первом подмножестве х1= 0, а во втором 4 < х1 < Б1.

5. Решаем оценочные задачи для каждого подмножества.

6. Из всех полученных подмножеств для дальнейшего разбиения выбираем подмножество с минимальной величиной целевой функции оценочной задачи. Далее шаги 1-6 повторяются до тех пор, пока не будет получено решение исходной задачи со значением целевой функции меньшим или равным значений целевых функций оценочных задач всех остальных подмножеств.

Решение задачи 3 при фиксированной величине X сводится к решению задачи 2. Если задачу 3 рассматривать как параметрическую, то есть решать ее при различных значениях параметра X, то алгоритм становится достаточно трудоемким. Поэтому рассмотрим простой эвристический алгоритм решения задачи 3 при каждом значении X, основанный на методе «затраты-эффект» [1]. Ограничимся описанием алгоритма для дискретного случая задачи, причем примем, что для каждого участка возможны два варианта:

1. вариант. Участок не включен в план ремонта.

2. вариант. Участок включен в план ремонта с доведением степени опасности до нормативного уровня.

Обозначим х1= 1, если участок 1 включен в план ремонта, и х1 = 0 в противном случае. Тогда целевую функцию можно записать в виде

р (х) = Е х,у,н + Е(1—х )у,пп+ЖЕ(1 — х, )Ь, =

= Е у,пп +ЖЕ ь ,—

Е х,(у,пп— у,н)+ЖЕ х,ь,

Задача минимизации Б(х) эквивалентна задаче максимизации выражения в квадратных скобках

р(х) = Е х, (с, + Ж,) (11)

г

где с = у1пр - уш, при ограничении

Е Л1х! < с (12)

Идея метода «затраты-эффект» состоит в том, что все участки упорядочиваются по убыванию показателя эффективности

9, (Ж) = С +,Л1)‘ =а+^Рг

с ■ Ь ■

где а = —, в =~. Участки включаются в план

ремонта в этой очередности, пока хватает средств.

В дальнейшем примем, что участки пронумерованы в очередности убывания эффективностей. Имеют место два простых утверждения.

Утверждение 1. Если в плане ремонта, полученном в результате применения метода «затраты-эффект», задействованы все выделенные финансы, то этот план оптимален.

Утверждение 2. Пусть в полученном плане ремонта осталось неиспользованными Д средств и в план включены первые к участков. Погрешность полученного решения, то есть разность целевой функции в полученном решении и в оптимальном решении не превышает величины

Д Чк+1 (13)

Замечание. Если в план имеется возможность включить участки с номерами, большими чем (к+1), то величина (13) уменьшается на сумму величин qiД включенных участков.

Поскольку нас интересует не значение критерия (11) при различных X (эта величина трудна для содержательной интерпретации в силу разно -родности финансовых показателей и показателей степени опасности участков), а значения величин

с (х) = Е с,х,

г

и

в(х )=Е ь,х,

то рассмотрим алгоритм получения этих величин при различных X.

Описание алгоритма 1 шаг. Строим линейные зависимости а +

Х0!, (рис. 2).

Рис. 2.

2 шаг. Определяем точки Xк пересечения прямых. Заметим, что в каждом отрезке между двумя соседними точками ^ Xк+l] приоритетность участков по показателю эффективности не меняется.

Поэтому каждому отрезку можно поставить в соответствие оптимальное решение задачи (11), (12) и соответствующие значения С(х) и . В(х).

3 шаг. Решаем задачи (11), (12) для каждого отрезка, применяя эвристический алгоритм. При этом, если изменение приоритетности участков не касается участков, вошедших в план ремонта, полученного при рассмотрении предыдущего отрезка, то очевидно, план остается прежним.

Определяем величины Ск = С(х) и Вк = В(х) для каждого отрезка к.

4 шаг. Строим точки (Ск , Вк) на плоскости. Соответствующие варианты планов предъявляются лицу, принимающему решение для окончательного выбора плана ремонта.

Пример. Число участков равно 4. Значения величины с1, Ь1, ^ приведены в табл. 1.

Таблица 1

І 1 2 3 4

Сі 20 18 6 7

Ьі 5 9 9 14

Йі 5 6 3 7

Значения а 1 и Р1 приведены в табл. 2.

Таблица 2

І 1 2 3 4

аі 4 3 2 1

Рі 1 1,5 3 2

1 шаг. Строим линейные зависимости а 1 +

(рис. 3).

Рис. 3.

2 шаг. Для определения точек пересечения прямых решаем линейные уравнения. Так прямые, соответствующие участкам 1 и 2, пересекаются при X, удовлетворяющем уравнению 4 + Ж = 3 + 1.5Ж или Ж = 2.

Аналогично определяются остальные точки пересечения прямых. Определим приоритетность участков для каждого отрезка.

Отрезок [0; 2/3]. Приоритетность участков 1^ 2 ^3^ 4.

Отрезок [2/3; 1]. Приоритетность участков 1^ 3 ^2^ 4.

Отрезок [1; 2]. Приоритетность участков 3^ 1 ^ 2 ^ 4.

Отрезок [2; 3]. Приоритетность участков 3— 2 — 1— 4.

Отрезок [3; 4]. Приоритетность участков 3— 2 — 4— 1.

Отрезок [4 да]. Приоритетность участков 3—— 4 —— 2—— 1.

3 шаг. Решаем задачи (11), (12) для каждого отрезка, применяя эвристический алгоритм. Пусть С=13.

1. Отрезок [0; 2/3]. В план ремонта включены участки 1 и 2. Имеем

С:= 38, Р1 = 14

2. Отрезок [2/3; 1]. В план ремонта включены участки 1 и 3. Имеем

С2= 26, р2 = 14

Заметим, что при рассмотрении отрезка [1; 2] в план ремонта включены те же участки 1 и 3, поскольку оба входят в план ремонта, полученного при решении задачи для предыдущего отрезка.

3. Отрезок [2; 3]. В план ремонта включены участки 2 и 3. Имеем

Сэ= 24, Рэ = 18

Те же участки будут включены в план ремонта при рассмотрении отрезка [3; 4].

1. Отрезок [4; да]. В план ремонта включены участки 3 и 4. Имеем

С4= 13, р4 = 23

4 шаг. Окончательно, получены четыре варианта плана ремонта, представленные на рис. 4.

В ■

ЗО — (33:28)

(13:23) (44:23)

1 т

20 (2І-18)

1 (26; 14) (38; 14)

10 1 1 1 1 1 1 1 і ! і т 1 1 1 1 1 1 1 ! і і і і і і і і і і 1

10 20 зо 40

Рис.4.

Вариант (С2; В2) = (28; 14) можно исключить, поскольку он доминируется вариантом (С^ В1) = (38; 14).

Исследуем чувствительность плана ремонта к небольшому изменению уровня финансирования.

Возьмем, например, С = 15, то есть на две единицы больше. Повторим шаги 3 и 4.

3 шаг.

1. Отрезок [0; 2/3]. В план ремонта включены участки 1, 2 и 3. Имеем

С1= 44, В1 = 23

Нетрудно проверить, что на отрезках [0; 2/3,]. [1; 2] и [2; 3] план ремонта не меняется.

Отрезок [3; 4]. В план ремонта включены участки 3, 2 и 1

Действительно, хотя приоритетность участков на этом отрезке 3^ 2-4^ 1, но участок 4 не может быть включен ввиду недостаточности финанси-

рования. Поэтому включим в план участок 1. Имеем, как и в первом варианте С1= 44, В1 = 23

2. Отрезок [4; да]. В план ремонта включены участки 3, 4 и 1. Имеем С2= 33, В2 = 28

Полученные варианты показаны на рис. 4 крестиками.

Заключение

Предложенный алгоритм отличается простотой реализации и дает ЛПР достаточно большое число вариантов для выбора.

Литература

1. Алферов В.И., Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н. и др. Прикладные задачи управления строительными проектами. - Воронеж «Центрально - Черноземное книжное издательство» 2008. - 765 с.

2. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. - М.: Радио и связь. - 2003. - 156 с.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

PROBLEM OF MINIMIZATION OF TOTAL DEGREE OF DANGER OF SITES OF THE PIPELINE NETWORK

V.N.Shipilov

In article the algorithm of minimisation of degree of danger of sites of the pipeline network, different is offered by simplicity of the realisation, giving the great number of variants suffices for a choice

Keywords: a network, risk, a scale