Задача линейного программирования с двусторонними ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Гелдиев Х.А.1, Аманов А.Т.2 ©

'Кандидат физико-математических наук, докторант, Физико-математический институт Академии наук Туркменистана; 2соискатель, Туркменский государственный энергетический институт

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ДВУСТОРОННИМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Аннотация

В работе рассматривается специфическая задача линейного программирования,к которой сводятся задачи оптимального управления [1] при решения их методом последовательной линеризации.Предлагаемый алгоритм приводит к решению задачи оптимизации и при возникновении особых режимов в процесса вычислений.

Рассмотрим задачу: Найти максимум линейной функции

1Ы)=(£.х\ хвИ71 (1)

при ограничениях

Ах = Ъ, (2)

С е А — матрица (т х п), 5"ейя, 5+ ей".

Такая специфическая задача ЛП возникает каждый раз при решении задач оптимального управления методом последовательных приближений [1].

Рассматриваемая задача может быть приведена к канонической форме введением дополнительных 2п переменных, и мы имели бы задачу ЛП с (т+2п) ограничениями в виде равенств и требованиями неотрицательности введенных 2п переменных. Если учесть, что в задачах оптимального управления величина п связана с дискретным представлением функции, заданной на некотором интервале, то видим, что исходная задача непомерно усложняется.Здесь мы позаимствуем основную идею подхода [1] к решению задачи (1-3) и установим некоторые качественные результаты, позволяющие алгоритмизировать процесс нахождения решения.

1. Существование решения

Естественно, задача нахождения наилучшего решения предполагает наличие хотя бы одного какого-то решения. При отсутствии такового сразу становится ясно, что решать задачу нет смысла.Отметим, что в ограничениях (2) можно считать вектор ^ — ® , то есть его компоненты неотрицательны .

Итак приходим к задаче нахождения какого-либо решения системы (1-3). Эту задачу можно представить как задачу нахождения начального опорного плана. Введем

дополнительныет переменных хп+и 0 = 1-™) и рассмотрим задачу:

т

- шахП (1'}

2 — 1

при ограничениях

¡а1111+""......+ а1ПХП + + 1 =

...........................................■■■■■■ С2'>

ат1х1 ......атпхп + хк+т ~ "т

< XI < = 1~п)

©Гелдиев Х.А., Аманов А.Т., 2012 г.

Введя вектор % — С^^.......хп-хп+^......'^я+т) можно рассматриваемую задачу записать

в виде (1-3).

Замечание /.Если Х° = ' ' ■ - . решение задачи (Г-3') и

= 0 (при этом автоматически с учетом (3')

+ ) = ■■■ = рг^п + т)т0 ) = 0)

I

, то выполняются соотношения: "Ь """ ......—

^И!1! "Ь ......^тп1" — ^т

5Г < х? < 5?, (£ = ТТтг)

то есть система (1-3) имеет решение

■Лс Оъ ^.........я

которое впредь можно рассматривать как начальный опорный план при решении задачи

(1-3).

Замечание 2. Задача (1'-3') имеет базисный тип. Именно для задач с ограничениями базисного типа и будут предложены и обоснованы алгоритмы решения. Эти алгоритмы таковы, что базисность ограничений сохраняется после осуществления каждого шага последовательных приближений. Поэтому после нахождения решения система (1'-3') примет вид:

а11я;1 '"......+ а±пхп +" а 1,11+1*11+1 "I" ......"I" а1,п+т.хп+т ~

1'1 _ ■■ ++ ■--"■..-:- 1 'ч- 1 _ ■■ + _ '■■"■. (4)

причем среди первых п столбцов обязательно будут находиться ровно т столбцов, составляющих ортогональный базис пространства К". Во всяком случае, осуществив перенумеровку переменных, систему (4) можно представить в виде

+а1,т+1хт+1 "I" "I" атхп —

■'■"'. + -1 ■'■"'.-1 ' '.......■.-.■'■-. _ - (5)

который мы называем базисным типом. Отметим также, что при произведенных преобразованиях соблюдается условие согласования:

5Г < Ь* < 5*,

Итак, необходимо решить задачу (1'-3'), при этом система (2') имеет базисный тип, и существует начальный опорный план

Х° = Ф1..........0........ о)т.

2. Алгоритм решения

После проведенного предварительного обсуждения стало ясно, что в общей теории задач вида (1-3) можно ограничиться рассмотрением систем с ограничениями (2) базисного типа

и наличием начального опорного плана

Хш=фЛ,.........,Ьт, 0,.........,0) (7)

Отметим, что предполагается выполнение условия согласования:

(8)

Линейной форме L(x) придадим вид

где

ш

Пусть^е^' где /- набор индексов от ш+1 до п. Рассмотрим вариацию элемента хм, оставляя нулевыми остальные элементы^"

(I е О . Тогда из (6) имеем

XI + ЧщХц = Ъ<г (г = 1,т)

Следовательно

(П)

Если 0

, то положительное приращение

АЬ = Дд - Хц

функция качества Ь(х) получает, если хи примет наибольшее положительное значение.

Вычислим координаты точки пересечения прямой (11) с прямой

.

Хж — 5-,-

Рис.2

Так как — , то такое пересечение возможно только при ащ<0. Поэтому

5Г-ЬГ-5* - Ъ;

5;- £>; аЩХ{1

Х{1 —

ащ

( "щ < 0)

Находим

Для ^ 0 находим

Ш1П —- — X,

тш

ащ

= тш

1 - л +

—_ + (13)

Выбираем х^ = тт[х£,хр,3£] (14)

Если же ^ 0 , то аналогичными рассуждениями приходим к заключению, что надо выбирать возможно меньшим.

Если аг><0, то

Находим Если > 0

то

Находим Полагаем

-

шах-- = х.

ащх/1 — ^г -

Хц —

а

шах-— = х~,

в ащ

— _ + (-16) X до —■ ГТЕЙ-Л до | X до | ^ до ^

(15)

(17)

Теорема 1. Если в системе (6) существует

ш

СЦ - Ф 0

то линейная форма Цх)=(С,х) получает приращение при переходе из положения в положение

Ы =

х■ = фл.........ьт, о,

,0)

Величина при 0 определяется по формулам (12-14), если же ^ 0 , то по формулам (15-17).

Обсудим полученный результат. Негативная форма Теоремы 1 имеет следующий

вид:

Обозначим через

~ (Я-1 .........' агнгОт,

/ = и Г и

- совокупность индексов, для которых 0 . ^ и1° обозначены наборы индексов, для которых < 0 и 0 , соответственно. Теорема 2. Если

тшта^кД.лтД} = 0, це1*

хт, = тш ^ а

где

Ьг-Б?

хи = тш ^ а

.

^е1

х

где

таг ■

аЛЦ

X,

так - _

то начальный опорный план (7) нельзя улучшить вариацией базисных переменных xir.........- хт и одной из небазисных переменных xß' .

Возникает вопрос. Можно ли при выполнении условий Теоремы 2 утверждать, что начальный опорный план неулучшаем вообще, то есть является оптимальным? Ответ на этот вопрос - отрицательный, так как возможно попытаться улучшить начальный опорный план с использованием пакета [2] вариаций, то есть используя одновременно вариацию нескольких небазисных переменных. Решение этой проблемы связано с исследованием вырожденных режимов в линейном программировании [3].

3. Случай 0 .

Как следует из Теоремы 1 величина шага итерации определяется по формулам (1214) при 0 и (15-17) при А^*- 0 . Каждый из этихслучаев представляется удобным рассмотреть отдельно. Итак, пусть > 0 . Вычисляются величины

х.ц = min —2-= ^(vj

aif1<Я — aifl

(vi - номер координаты х,, на котором достигается min).

X]

шш

а:д>г

-а

щ

При нахождении определяется п элемент , на котором достигается минимум (19) (величина V равна У1 или У2).

Теперь возможны два варианта. I вариант.хи > ^д .

Новый опорный план подсчитывается, полагая

xi — h< — а х\ = О,

x[i —

,

([ = т + 1, гг)(1 Ф /О

Задача дальнейшего улучшения полученного опорного плана X' представляется как исходная задача по форме, с той лишь разницей, что уже переменная не варьируется. II вариант.

' <

Это значит, что ограничение хр - не повлияло на выбор хр . В новом опорном

плане ^ — ......' ....... xw ......0mXß,0,......, ü)

остальные координаты вновь подсчитываются по формулам (11).

4. Случай < 0 .

В этом случае необходимо х^ подобрать наименьшим из всех возможных значений. Вычисляются величины:

х^ = так ■

bi-S?'

хт, = тав ■

'ijib-B

а

щ

Вновь рассматриваем два варианта:

х„ < 5

I вариант.

II вариант.хд

.

.

В первом варианте новый опорный план составляет вектор X', координаты которого подсчитываются по формуле (11).

Второй вариант, как и в первом случае, соответствует отсутствию нижнего ограничения хд > з и переход к новому базису осуществляется элементарной операцией с выбором разрешающего элемента av^t, где индекс V определяется при вычислении хр по формуле (20).

Обсуждение

Применение предлагаемого алгоритма в I варианте обоих случаев приводит к задаче, подобной исходной задаче с меньшим числом варьируемых переменных. Вариант II соответствует алгоритмам классического симплекс-метода.

Пример. Требуется максимировать функцию Ь= 4х* +2*5 -Х6 при ограничениях

X

1

•1

X

^а +16; 0<*i<

-4х* +2*б =0

-8*4 +2*5 + *6 =1 \ -4.1-3 - 2*е =1

I, /=16 .

Прямое применение симплекс-метода из-за наличия ограничений на переменние*г не представляется возможным.Задачу можно свести к каноническому виду введением дополнительны 6 переменных.Однако и после такого преобразования задачу не удается решить симплекс-методом.Использование метода внутренней точеки[4] в качестве решения выдает

Х°НЛЛ Д1)

при этом

L (^о) =о,5.

Нетрудно проверить, что

* = (0,1,1„,1) удовлетворяет всем огранечениям в задаче и

Такое решение дает использование пакета программ QSB за 6 итераций. Предлагаемая в данной работе методика приводит к решению за 4 итерации.

Литература

1.Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления.-М.: Наука, 1978.

2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирование^.! Общие задачи. -Минск: Издательство БГУ, 1977.

3. Сеисов Ю. Б. , Гелдиев Х. А. Выход из вырожденного режима в линейном программировании.Научно-исследовательские практики современности:сб.научн. трудов.-Ростов-на-Дону: Научноесотрудничество,2011.-151-167стр.

4.Ferris, M.C., Mangasarian, O.L.,Wrigt S.J.(2007), 'Linear Programming with MATLAB', MPS - SIAM Series on Optimization, 67-69.