Задача Коши для дифференциального включения с правой частью, не удовлетворяющей условиям Каратеодори Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911.5

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ, НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ УСЛОВИЯМ

КАРАТЕОДОРИ

© Е.А. Панасенко

Ключевые слова: дифференциальное включение с правой частью, не удовлетворяющей условиям Каратеодори; задача Коши.

В работе рассматриваются условия разрешимости задачи Коши для дифференциального включения, правая часть которого порождается многозначным отображением, не обязательно удовлетворяющим условиям Каратеодори. Предложен метод, позволяющий свести такую задачу к задаче для дифференциального включения с «хорошей» правой частью.

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального включения

х € F(¿, х), £ ^ ¿о, (1)

ж(£о) = хо, (2)

где F: [¿о, гс>) х М™ ^ М™ — многозначное отображение с образами, которые являются подмножествами М™, х0 € М™ — заданный вектор.

Под решением задачи (1),(2), определенным на интервале [£о,£о + т], т> 0, будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [¿о, ¿о + т] ^ М™, отвечающую начальному условию (2) и удовлетворяющую почти всюду на [¿о, ¿о + т] включению (1). Такое решение

называют решением Каратеодори, если многозначное отображение F удовлетворяет соответствующим условиям Каратеодори, то есть является измеримым по первому аргументу и непрерывным (полунепрерывным сверху или снизу) по второму агрументу. В данной работе мы не накладываем подобных условий на отображение F, более того, считаем, что образами F могут выступать любые подмножества пространства М™. Чтобы получить утверждение о разрешимости задачи (1), (2) в подобной ситуации, мы введем в рассмотрение вспомогательные отображения, что позволит перейти от исходной задачи к задаче для дифференциального включения, обладающего некоторыми «хорошими» свойствами.

Обозначим через Б (и, г) = {х € М™ : \х — и\ = г}, В (и, г) = {х € М™ : \х — и\ ^ г} сферу и, соответственно, замкнутый шар в пространстве М™ радиуса г > 0 с центром в точке и;

д(х,М) = И \х — у\ — расстояние в М™ от точки х до множества М;

у ем

^(М1,М2) = 8ир д(х,М2) — полуотклонение по Хаусдорфу множества М1 от М2;

хеМх

6.\ёЬ(М1, М2) =шах {¿(М1,М2); б,(М2, М1)} — расстояние по Хаусдорфу между множествами М1, М2; е1ов(М™) — пространство всех непустых замкнутых подмножеств М™.

Теорема 1. Пусть существуют ¿1 >Ьо, отображения А, В :^о,^1 ] х М™ ^ М™, и суммируемые функции Ко : [^о, ¿1] ^ М+, в : [^о, ¿1] ^ М™ такие, что для отображений F : [^о, ¿1] х М™ ^ М™ и С : [^о, ¿1] х М™ ^ М™, определенных, соответственно, равенствами

^(¿, х) = (F(¿, х) П А(^ х)) и В(Ь, х),

С(Ь,р) = 7(Ь,х*(Ь) + р),

2624

где x*(t)=x0 + ft0 d(s)ds, t € [t0,t1], выполнены следующие условия:

1) при п.в. t € [t0,ti] и любом x € B^x*(t),ftô0 R0(s)ds^ множество B(t,x) либо пусто, либо g(d(t), B(t,x)) ^ R0(t);

2) имеет место неравенство

в

ess sup — ie[iü,il]

3) отображение G(-,p) : [t0,t1] ^ clos(Rra) измеримо для любого p € B(0,ô), где S = ftü R0(s)ds;

4) существует суммируемая функция k : [t0,t1] ^R+ такая, что функция v : [t0,t1] ^ ^ R+, определенная равенством v (t) = k(t)/R0(t), является существенно ограниченной, и при п.в. t € [t0,t1] справедлива оценка

dist(G(t,pi),G(t,Р2)) ^ k(t)|pi -P2I Vpi,p2 € B(0,S).

Тогда найдется такое т> 0, что задача (1), (2) имеет решение, определенное на отрезке [t0 ,t0 + т ].

Идея доказательства этого утверждения заключается в применении принципа неподвижной точки, полученного в [1] (см. также [2]). Частный случай теоремы 1, когда отображения A и B определялись равенствами

A(t, x) = B(0(t), R0(t)),

B(t, x) = S(9(t),R0(t)),

рассматривался в [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Zhukovskiy E. S., Panasenko E. A. On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space // Fixed Point Theory and Applications 2013, 2013:10, doi:10.1186/1687-1812-2013-10.

2. Zhukovskiy E. S., Panasenko E. A. On fixed points of multi-valued maps in metric spaces and differential inclusions // Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2013, no. 2, pp. 12-26.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645).

Panasenko E.A. CAUCHY PROBLEM FOR A DIFFERENTIAL INCLUSION WITH NOT NECESSARILY CARATHEODORY RIGHT-HAND SIDE

Conditions of solvability of the Cauchy problem for a differential inclusion with the right-hand side not necessarily satisfying the Caratheodory conditions are under discussion. A technique which allows to reduce such a problem to that for a differential inclusion with «good» right-hand side is considered.

Key words: differential inclusion with not necessarily Caratheodory right-hand side; Cauchy problem.

2625