Задача граничного управления для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 19-27. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-19-27 МАТЕМАТИКА

УДК 517.984.5

ЗАДАЧА ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

A.\. Аттаев

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А E-mail: [email protected]

В работе изучается задача граничного управления для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка. Установлены необходимые и достаточные условия управляемости данными Коши за минимальный промежуток времени. Граничные управления предъявлены в явном аналитическом виде.

Ключевые слова: управление распределенными системами, вырождающиеся гиперболические уравнения, характеристики уравнения, данные Коши, регулярное решение, задача граничного управления.

@ Аттаев А.Х., 2019

MATHEMATICS

MSC 35L10

BOUNDARY CONTROL PROBLEM FOR ONE DEGENERATE HIBERBOLIC EQUATION

Attaev A. Kh.

Institute of Applied Mathematics and Automation, 89А Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia

E-mail: [email protected]

The paper studies the boundary control problem for a degenerate second-order hyperbolic equation. Necessary and sufficient conditions are established for minimal time controllability over Cauchy data. Boundary controls are presented in an explicit analytical form.

Key words: distributed system control, degenerate hyperbolic equations, equation characteristics, data Cauchy, regular solution, boundary control problem.

© Attaev, A. Kh., 2019

Введение

Задачи управления системами с распределенными параметрами важны и интересны, потому что возникают в самых различных областях современной науки. Только лишь математическое описание полей тех или иных процессов, которые возникают в физике, биологии и в других родственных им наукам, является недостаточным. Требуется эффективно управлять этими полями и устанавливать принципы управления ими. Помимо чисто научного интереса проблема управления распределенными системами имеет большое число практических приложений как в различных областях промышленности, так и в отдельных технических задачах. Конкретные примеры задач такого рода, а также обширная библиография работ посвященных этой тематике содержится в монографии [1].

Здесь отметим лишь некоторые из них [2]- [6]. Одно из направлений теории управления системами с распределенными параметрами изучает управление одномерными пространственно распределенными объектами, движение которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа. Активный интерес к этим задачам был возобновлен в 1999 году в связи с выходом работы [7]. В частности, в этой работе авторами в терминах регулярного решения для одномерного волнового уравнения ихх — ип = 0 были представлены в явном виде граничные управления д(?) = и(0,?) и V(?) = и(1,?) переводящие систему из заданного начального состояния (ф(х) = и(х,0), ^(х) = щ(х,0)} в заданное финальное состояние (^¡(х) = и(х, Т), ^¡(х) = щ(х, Т)}, и установленны необходимые и достаточные условия на эти начальные и финальные функции. Причем минимальный промежуток времени в течение которого это управление можно осуществить равен I.

Аналогичные результаты для граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией были получены в работах [8], [9]. Только в этом случае минимальный промежуток времени в течение которого это управление однозначно осуществимо равно 21. Задача граничного управления смещением на одном конце и закрепленном втором конце процессом, описываемым телеграфным уравнением исследована в работе [10]. Задача граничного управления смещением на одном конце при свободном втором для телеграфного уравнения с переменными коэффициентами изучалась в работе [11]. Следует отметить, что минимальный порог управляемости на одном конце для телеграфного уравнения как и для уравнения колебания струны равен 21. Задачи граничного управления для нагруженного уравнения колебания струны исследованы в работах [12], [13].

В настоящей работе изучается вопрос о граничном управлении процессом, который описывается вырождающимся гиперболическим уравнением. Ниже везде изложение будет вестись в терминах регулярного решения.

Постановка задачи

Пусть некоторый процесс описывается уравнением вида

m 1

ymUyy - ихх + 2 У Щ = 0 (1)

где 0 < m < 2.

Это уравнение относится к классу вырождающихся гиперболических уравнений второго рода. Известно [14], что на линии параболического вырождения y = 0 данные Коши задаются следующим образом

u(x, 0) = фо(х), 0 < x < l, (2)

lim y? ^^ = V0(x), 0 < x < l, (3)

y^0 dy

где l - заданное действительное число.

Итак, наша задача состоит в том, чтобы найти такие граничные управления

u(0, y)= ß (y), u(l, y) = v (y), (4)

которые за минимальный промежуток времени переводили бы процесс из заданного начального состояния (2), (3) в наперед заданное финальное состояние

и(х, T) = ^i(x), 0 < x < l, (5)

lim y? ^^ = Vi(x), 0 < x < l. (6)

y^T dy

Основная часть

Нетрудно убедиться в том, что в характеристических координатах

,, 2 2—т 2 2—т

$ = X— --У 2 , П = х + --У 2

2 — т 2 — т

уравнение (1) приобретает вид у^ = 0 и, следовательно, его общее решение предста-вимо в виде

/ ч ( 2 2—я\ / 2 2—я\ ,„ч

и(х,у) = f х — --у 2 + Их+ --У 2 , (7)

2 — т ) \ 2 — т

где f, g - произвольные функции.

Обозначим через fo и go функции f и g, область определения которых представляет собой интервал (0,1), через ^ и gl функции f и g, область определения которых представляет соответственно множества (—1, 0) и (1,21), а через /2 и g2 функции f и g, область определения которых представляет соответственно множества (—21, —1) и (21,31).

. 2

Случай когда Т = (^1)2—т. Удовлетворяя (7) условиям (2), (3), получим

/0(x) + g0(x) = 90 (x), /0 (x) + g0(x) =

откуда следует, что

Л

/0(x) = ^ - 2/ Vb(i)dt - C0, 0 < x < l, (8)

go(x) = ^02X) + 2/V0(Odi + co, 0 < x < 1.

2

Аналогично, удовлетворяя (7) условиям (5), (6) получим, что

(9)

Л

fi(x -1) = ^ - ^i(i)di - ci, 0 < х < 1,

(10)

gi(x +1) = + 2f ^i(i)di + ci, 0 < x < 1.

(11)

Удовлетворяя (7) условиям (4) и заменяя у на (—^х)2 т, получим

М

2 - m \ 2-m —z—х

= fi(-x) + g0 (х), 0 < х < 1

(12)

v

2 1

2 - m ^ 2-m —;—х

= /0(1 -х) + gi(1 + х), 0 < х < 1.

(13)

Подставляя в (12) и (13) выражения для /0, £0, /1 и £1, вычисляемые по формулам (8)-(11) соответственно и, учитывая условия согласования д(0) = 00(0), V(0) = 00(/) (непрерывности /0(0) = /¡(0) и £0(1) = £1 (I)), окончательно получим

М

2 п

2 - m ^ 2-m —;—х

0i(1 - х) , i

+ 2 / )dt -

1-х

0i(1)

00 (х) , i

22

+ 2/ V0(i )dt +

00(0)

(14)

v

2 - m ^ 2-m —;—х

0iM , i

2

+ 2/ )dt -

0i (0)

00(1 - х) , i

+ 2 / V0(t)dt +

00(1)

1-х

(15)

В силу предположения о регулярности решения задачи Коши в области П =

(х,у) : 0 < х < I,0 < у < (2—-/)2—т | с данными (2), (3) и (5), (6) следует, что

/0 (0)= /1 (0), £0(1 )= £¡(1), /о(0) = /Г(0), £0'(1 )= ),

М

2 - 2-

= 0i (0), v

2 - 2-

= 0i(1).

х

х

2

1

2

х

2

х

2

1

2

m

m

Удовлетворяя соотношения (8) - (11), (14), (15), вышеперечисленным условиям, получаем

Ф0 (0) — У0(0) — ф1 (1) + ^(0 = 0, (16)

^(0) — V (0) — <(1) + V (1)= 0, (17)

ф0 (0) + ^0 (0) — ф1 (0) — ^1(0) = 0, (18)

^ (0) + V (0) — <(0) — V (0) = 0, (19)

1 1 ф0(0) + Ф0(1 ) + / У0(* — Ф1(0) — Ф1(1)^ VI (* К = 0. (20)

00 Очевидно, что условия (16)-(20) являются необходимыми и достаточными для существования д(х) и V(х), которые однозначно определяются по формулам (14) и (15) соответственно.

2

Случай Т < (^1)2—т.

2 2 В силу монотонности функции Т = (2—^х)2—т, очевидно, что Т = (1 — х0)]2—т

2

< т1)2—т ,х0 е (0,1). Для этого значения Т, формулы (10), (11) перепишутся в виде

х

Л(х — 1 + х0) = ^ — 2/— С1, (21)

1

х

gl(x +1 — х0) = ^ + 2/+ С1. (22)

2 2 -2-Если 0 < [2—2т(1 — х0)]2—т < (2"2т02—т, что соответствует тому, что 0 < х0 < 1, то (21) и (22) непосредственно следует следующие соотношения

Л(х — 1 + х0) = /0(х — 1 + х0), х е (1 — х0,1),

gl (х +1 — х0) = go (х +1 — х0), х е (0,х0).

Рассмотрим два случая, а именно:

2

1. 0 < Т < 2—т, что соответствует тому, что | < х0 < 1.

2 2 2

2. 2—т < Т < 2—т, что соответствует тому, что 0 < х0 < 2, где 2—т

2 2—т 2 2—т

есть ордината точки пересечения характеристик х — У 2 = 0 и х + у 2 = 1 уравнения (1).

В первом случае так как | < х0 < 1, то х0 > 1 — х0, а это означает, что данные Коши при у = 0 нельзя задавать произвольно ни на каком отрезке конечной длины принадлежащем интервалу (0,1). Во втором случае имеет место принцип частичной управляемости. Так как в этом случае 0 < х0 < |, то х0 < 1 — х0 и поэтому данными Коши задаваемыми при у = 0 на отрезке [х0,1 — х0] можно однозначно управлять, а на отрезках [0,х0] и [1 — х0,1] управление ими невозможно.

из

Нетрудно заметить, что минимальное время управляемости данными Коши зависит как от 1 так и от т. В зависимости от значений которые они принимают время Т может быть больше, меньше или равно 1. Например, при т = 1, Т = 12 .При 1 < 4 значение Т < 1, при 1 = 4 значение Т = 4, а при 1 > 4 значение Т > 1. Случай с закрепленным концом. Пусть теперь условия (4) имеют вид

и(0, у) = д (у), и(1, у) = 0. (23)

Для однозначного перевода нашей системы из заданного начального состояния (2),

(3) в наперед заданное финальное состояние (5), (6) времени Т = (2—т1)2—т не хватит так как из (15) непосредственно следует, что

(х) + ц(х) - ^0 (1 - х) + 10(1_ х) = 0, 0 < х < 1.

А это означает, что данные Коши (2), (3) задавать произвольно нельзя.

2

Случай Т = [(2 — т)1 ]2-т.

Выражения (10)-(13) при этом значении времени, в наших обозначениях для функций f и g перепишутся соответственно в виде

л

/2(x- 21) = ^ - 1/- ci, 0 < x < 1,

(24)

g2(x + 21) = + 21 ^i(i)di + ci, 0 < x < 1,

ß

ß

. 2 ~|

2 — m \2-m —;—x

= fi(-x) + go(x), 0 < x < 1,

= f2( x) + gl (x), 1 < x < 21, fo(1 -x) + gi(1 + x)= 0, 0 < x < 1,

2 - m \ 2-m —;—x

(25)

(26)

(27)

(28)

л(1 — х) + g2(1 + х) = 0, 1 < х < 21. Учитывая (28) и (29) из (26) и (27) соответственно получаем

ß

ß

2 - m ^ 2-m —z—x

2-m —;—x

2 ~i

2-n

= g0(x) - g2(21 + x), 0 < x < 1,

= /2(-x) - /0(21 -x), 1 < x < 21.

Условия согласования д(0) = <р0(0) и д |[(2 — т)1 ]2—т = (0) позволяют записать последние две формулы в окончательном виде

(29)

ß

2 - m \ 2-m —z—x

^fU1 / ** )dt -

0

x

Фх (x) , фх(0) 1

2

2

- 2 / ^^' 0 < x < 1,

(30)

ß

2 — m ^ 2—m —;—x

фх(21 — x) Фх(0)

2

2

21-x

V (t )dt—

Фо(21 — x) , фо (0)

2

2

+ 2

21—x

1 J Y0(t)dt, 1 < x < 21.

(31)

Выражая (8) - (11), (24), (25), с учетом (26), (27) и в предположении о регу-

2

лярности решения задачи Коши в области П = {(х,у) : 0 < х < /,0 < у < [(2 — т)/]2—т } позволяют записать следующие соотношения

/0(0)= ¿2(2/), /0'(о) = — «2'(2/), «¿(1 ) = /0(/), «0'(/) = — /0'(/), /2(—/) = «2(2/), /2 (—/) = — «2(3/).

Отсюда после несложных вычислений получаем

Ф0 (0) — V (0) — ф1 (0) — Vi(0) = 0,

(32)

Ф0 (0) — V (0) — <(0) — Vi (0) = 0,

(33)

Фо (0) = V0(1 ) = Ф11(1 ) = Vi (1) = 0.

(34)

Итак, мы показали, что в случае с закрепленным концом минимальное время Т

при котором функция д(х) однозначно определяется по формулам (30), (31) равно

2

[(2 — т)/]2—т. Необходимыми и достаточными условиями существования этих представлений являются условия (32)-(34). Как и в случае со свободными концами легко

показать, что в случае, когда 0 < Т < (2—т/)2—т данные Коши задавать произвольно

нельзя на отрезке [0, /], а в случае (2—т/}2—т < Т < [(2 — т)/]2—т имеет место принцип частичной управляемости.

В заключении хочется отметить, что это сообщение в большой степени посвящено подтверждению тезиса о том, что управляемость данными Коши для гиперболических уравнений непосредственно зависит от характеристик. Минимальное время Т управляемости данными Коши, которые задаются на отрезке [а,Ь], есть ордината точки пересечения характеристики гиперболического уравнения, выходящей из точки (а, 0) с прямой х = Ь или характеристики выходящей из точки (Ь, 0) с прямой х = а.

x

2

Список литературы/References

[1] Бутковский А.Х., Методы управления системами с распределенными параметрами, Наука, М., 1975, 568 с. [Butkovskij A.H., Metody upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami, Nauka, M., 1975, 568 pp., (in Russian)].

[2] Бутковский А.Х., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, Наука, М., 1965, 474 с. [Butkovskij A.H., Teoriya optimal'nogo upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami, Nauka, M., 1965, 474 pp., (in Russian)].

[3] Лионс Ж.Л., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, Мир, М., 1972, 415 с. [Lions ZH.L., Optimal'noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi, Mir, M., 1972, 415 pp., (in Russian)].

[4] Butkovskii A. G., Poltavskii L. N., "Optimal control of two-dimensional distributed oscillating system", Avtomat. i Telemekh., 1996, №4, 32-41.

[5] Butkovskii A. G., Poltavskii L. N., "Optimal control of wave processes", Avtomat. i Telemekh., 1966, №9, 48-53.

[6] Vasil'ev F. P., "On duality in linear problems of control and observation", Differ. Equ., 11:31 (1995), 1893-1900.

[7] Ильин В.А., Тихомиров В.В., "Волновое уравнение с граничным управлением на двух конйах и задача о полном успокоении колебательного процесса", Дифференц. уравнения., 35:5 (1999), 692-704. [Il'in V.A., Tikhomirov V.V., "The wave equation with boundary control at two ends and the problem of the complete damping of a vibration process", Differ. Equ., 35:5 (1999), 697-708, (in Russian)].

[8] Ильин В.А., "Граничное управление процессом колебаний на одном конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией", Дифференц. уравнения, 36:12 (2000), 1670-1686. [Il'in V.A., "Boundary Control of Oscillations at One Endpoint with the Other Endpoint Fixed in Terms of a Finite-Energy Generalized Solution of the Wave Equation", Differ. Equ., 36:12 (2000), 1832-1849, (in Russian)].

[9] Ильин В.А., "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени", Дифференц. уравнения, 35:11 (1999), 1517-1534. [Il'in V.A., "A wave equation with a bounded control on two ends for an arbitrary time interval", Differ. Equ., 35:11 (1999), 1532-1552, (in Russian)].

[10] Ильин В.А., Моисеев Е.И., "О граничном управлении процессом, описываемым телеграфным уравнением", Доклады Академии Наук, 387:5 (2002), 600-603. [Il'in V.A. , Moiseev E.I., "Boundary control at one endpoint of a process described by a telegraph equation", Dokl. Akad. Nauk, 387:5 (2002), 600-603, (in Russian)].

[11] Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В., "Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменными коэффициентами", Доклады Академии Наук, 450:6 (2013), 640-643. [Abdukarimov M. F., Kritskov L. V., "Boundary control of the displacement at one end with the other end free for a process described by the telegraph equation with a variable coefficient", Doklady Mathematics, 87:3 (2013), 351-353, (in Russian)].

[12] Attaev A. Kh., "Boundary control by displacement at one and of string and the integral condition on the other", International conference "Functional analysis in interdisciplinary applications (FAIA), 2017.

[13] Аттаев А.Х, "Задача граничного управления для существенно нагруженного уравнения колебания струны", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 13:1 (2011), 30-35. [Attaev A.H, "Zadacha granichnogo kpravleniya dlya sushchestvenno nagruzhennogo uravneniya kolebaniya struny", Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 13:1 (2011), 30-35, (in Russian)].

[14] Смирнов М.М., Вырождающиеся гиперболические уравнения, Вышэйшая школа, Минск, 1977, 160 с. [Smirnov M.M., Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie uravneniya, Vyshejshaya shkola, Minsk, 1977, 160 pp., (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Бутковский А.Х. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

[2] Бутковский А.Х. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.

[3] Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 415 с.

[4] Butkovskii A. G., Poltavskii L. N. Optimal control of two-dimensional distributed oscillating system // Avtomat. i Telemekh. 1996. no. 4. pp. 32-41.

[5] Butkovskii A. G., Poltavskii L. N. Optimal control of wave processes // Avtomat. i Telemekh. 1966. no. 9. pp. 48-53.

[6] Vasil'ev F. P. On duality in linear problems of control and observation // Differ. Equ. 1995. vol. 11. no. 31. pp. 1893-1900.

[7] Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух конйах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. №5. С. 692-704.

[8] Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1670-1686.

[9] Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 15171534.

[10] Ильин В. А., Моисеев Е. И. О граничном управлении процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады Академии Наук. 2002. Т. 387. №5. С. 600-603.

[11] Абдукаримов М.Ф., Крицков Л. В. Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменными коэффициентами // Доклады Академии Наук. 2013. Т. 450. №6. С. 640-643.

[12] Attaev A. Kh. Boundary control by displacement at one and of string and the integral condition on the other // International conference "Functional analysis in interdisciplinary applications (FAIA). 2017. Astana

[13] Аттаев А.Х. Задача граничного управления для существенно нагруженного уравнения колебания струны // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13. №1. С. 30-35.

[14] Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 160 c.

Для цитирования: Аттаев А. Х. Задача граничного управления для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29.

№4. C. 19-27. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-19-27

For citation: Attaev A. Kh. Boundary control problem for one degenerate hiberbolic equation,

Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 19-27. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-1927

Поступила в редакцию / Original article submitted: 17.11.2019