Явные решения в проблеме звукоизоляции с использованием многослойных структур при нормальном прохождении волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2

Научная статья УДК 534.2

doi: 10.18522/1026-2237-2024-2-40-49

ЯВНЫЕ РЕШЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ ЗВУКОИЗОЛЯЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР ПРИ НОРМАЛЬНОМ ПРОХОЖДЕНИИ ВОЛН

Межлум Альбертович Сумбатян1^, Мария Вадимовна Черникова2

12 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

1masumbatyan@sfedu.ruB

2machernikova@sfedu. ru

Аннотация. Рассматривается задача о звукоизоляции на сверхнизких частотах (30-200 Гц) с помощью многослойных конструкций при одномерном нормальном прохождении плоской волны и произвольном числе слоев. Предполагается, что многослойная конструкция состоит из параллельных друг другу акустических слоев, соединенных между собой по вертикальным граничным линиям. Слева и справа от неё расположены акустические полупространства (воздух). Для исследования поставленной задачи определены акустические параметры, описаны волновые уравнения гармонического процесса для её левых и правых полупространств. При помощи уравнения Гельмгольца и систем линейных алгебраических уравнений для заданных граничных условий получены явные аналитические решения для нахождения коэффициента прохождения (коэффициента прозрачности) при произвольном количестве слоев. Рассмотрены примеры решения задач звукопоглощения на низких частотах для строительных конструкций с разным количеством слоев чередующихся между собой строительных материалов и воздушных пространств. Для звукопоглощения на низких частотах при помощи оценки уровня шумоподавления подтверждена эффективность применения смешанных конструкций, в которых воздушные слои расположены между слоями с высоким импедансом.

Ключевые слова: звукоизоляция, многослойные конструкции, системы линейных алгебраических уравнений, нормальное прохождение плоской волны, низкие частоты, акустический импеданс, коэффициент прохождения

Для цитирования: Сумбатян М.А., Черникова М.В. Явные решения в проблеме звукоизоляции с использованием многослойных структур при нормальном прохождении волн // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 2. С. 40-49.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article

EXPLICIT SOLUTIONS IN THE PROBLEM OF SOUND ISOLATION BY USING MULTILAYERED STRUCTURES WITH THE NORMAL WAVE PROPAGATION

Mezhlum A. Sumbatyanш, Mariya V. Chernikova2

12 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

1masumbatyan@sfedu.ruB

2machernikova@sfedu. ru

Abstract. The problem of sound isolation at ultra-low frequencies (30-200 Hz) by using multilayered structures is considered, taking into account the normal wave propagation and an arbitrary number of layers. It is assumed that the multilayered structure consists of parallel acoustic layers, connected to each other along vertical boundary lines; acoustic half-spaces (air) are located to the left and right of the structure. For the problem, we define the acoustic parameters of the structure. The wave equations of the harmonic process are described for the left and right half-spaces of the structure, using the Helmholtz equation and a system of

© Сумбатян М.А., Черникова М.В., 2024

linear algebraic equations with given boundary conditions. Besides, explicit analytical solutions are obtained to find the transmission coefficient (transparency coefficient), with an arbitrary number of layers. Examples of solution for low-frequency sound absorption for building structures with different numbers of layers of alternating building materials and air spaces are considered. The effectiveness of using mixed structures, in which air layers are sandwiched between high impedance layers, for low-frequency sound absorption has been confirmed by assessing the level of noise reduction.

Keywords: sound isolation, multilayered structures, systems of linear algebraic equations, the normal wave propagation, low frequencies, acoustic impedance, transmission coefficient

For citation: Sumbatyan M.A., Chernikova M.V. Explicit Solutions in the Problem of Sound Isolation by Using Multilayered Structures with the Normal Wave Propagation. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(2):40-49. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Задача звукоизоляции с помощью многослойных конструкций является классической [1-4]. Если многослойная среда представляет набор параллельных друг другу слоев, идеально соединенных между собой по параллельным границам, то в данной постановке задача интенсивно исследовалась для произвольного угла падения различными методами [3-5]. В серии монографий одних и тех же авторов [5] рассматриваются как минимум шесть различных методов решения этой задачи, что косвенно говорит о том, что одного надежного метода решения для произвольного числа слоев, который явно выделялся бы на фоне других своей более высокой эффективностью, так и не было найдено. Этот факт кажется странным, так как данная волновая задача в своей постановке достаточно проста и совершенно простой является ее математическая формулировка, а также система определяющих уравнений и граничных условий.

В исходной постановке задача может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), размерность которой на единицу больше числа слоев [3-5]. Решение такой СЛАУ не представляет серьезных трудностей для современных компьютеров. Качественные волновые свойства подобной многослойной конструкции обычно получаются аналитически, так как при большом числе слоев количество физических параметров столь велико, что численный анализ не позволяет определить такую комбинацию параметров, при которой получаются оптимальные акустические характеристики. В то же время аналитические решения построены только для малого числа слоев - для одного, двух или трех; при этом сложность явных аналитических представлений возрастает в геометрической прогрессии при дальнейшем росте числа слоев. В связи с этим одной из целей данной работы является построение явных аналитических решений для коэффициента прохождения (коэффициент прозрачности [3]) волны через среду с произвольным числом акустических слоев. При этом мы ограничиваемся случаем прохождения плоской волны с направлением распространения, ортогональным к границам слоев.

Заметим, что волновые свойства рассматриваемой многослойной конструкции на средних и высоких частотах определяются интерференцией системы волн при их многочисленных отражениях и преломлениях на границах раздела соседних сред с учетом их фаз [3]. Так, большой интерес представляет толщина слоев, сопоставимая с четвертью длины волны (с половиной длины волны и т.д.). Настоящая работа нацелена на оценку возможности звукоизоляции на сверхнизких частотах. Данный режим слабо изучен в литературе и практически не связан с фазовой интерференцией преломляющихся и отражающихся волн.

С инженерно-физической точки зрения звукоизоляция на сверхнизких частотах (басах) (ниже 200 Гц) актуальна при строительстве сооружений в окрестности аэродромов, звукоизоляции музыкальных студий, развлекательных учреждений, располагающихся в жилых и общественных зданиях, а также в ряде других ситуаций. Так, например, уровень звука порядка 120 дБ достаточно типичен для ударного музыкального инструмента [6]. При этом частота его звучания опускается гораздо ниже 50 Гц. Способы шумоподавления в этом случае практически не описываются в строительных нормах и правилах. Громкость на рок-концерте может достигать 140 дБ, а шум реактивного двигателя современного самолета при взлете может доходить до

160 дБ [7]. Таким образом, актуальной является постановка задачи о звукоизоляции со снижением уровня шума на низких частотах на 100-110 дБ. Эта задача считается практически неподъемной при использовании стандартных методов. Так, современные материалы позволяют достичь уровня звукоизоляции (индекс звукоизоляции Rw) с усреднением по частотному диапазону 100-3150 Гц порядка 50-60 дБ [8]. Поскольку эффективность звукоизоляции монотонно возрастает с ростом частоты, то на сверхнизких частотах снижение на 20-30 дБ считается большим успехом. Такая звукоизоляция на басах совершенно недостаточна.

В данной работе показывается, что в некоторых случаях можно достичь звукоизоляции, решающей сформулированную выше задачу. При этом качественные выводы основаны на явных аналитических выражениях.

Постановка задачи и сведение ее к СЛАУ

На рис. 1 изображена конструкция, состоящая из параллельных друг другу вертикальных акустических слоев, соединенных между собой по вертикальным граничным линиям. Всего различных слоев N = M -1 при m = 1,...,N . Слева от этой конструкции расположено акустическое полупространство (его номер m = 0), из которого на данную многослойную конструкцию ортогонально к ее границе падает плоская акустическая волна с круговой частотой œ.

' У

m = 0 m = 1 m = 2 m = M -1 m = M

Po с0 Pi ci p2 c2 Pm Cm Рм-1 Рм Cm

Z0 z1 z2 Zm ZM-1 ZM

^_

Ро Pi P2 Pm Рм-1 Рм x

di d2 dm dM-i

9i 92 9з - 9м-1 9м

Рис. 1. Прохождение плоской акустической волны через многослойную среду / Fig. 1. Propagation of the plane acoustic wave through a multilayered medium

Будем считать волновой процесс гармоническим во времени, с множителем в~ш, который во всех дальнейших формулах опущен. Справа от многослойной конструкции расположено другое акустическое полупространство (m=M), в которое проходит падающая слева волна после многократных преломлений на границах соседних слоев [3].

В принятой здесь системе обозначений общее число геометрических областей, содержащих однородные акустические материалы, равно N + 2 = M +1 (с номерами m = 0,..., M).

Для практических целей звукоизоляции полагаем, что физический материал в левом (m=0) и правом (m=M) полупространствах одинаков (воздух). Основной интерес представляет амплитуда волны, прошедшей в правое полупространство. Параметры задачи: массовые плотности всех сред pm , m=0,.. .,М; скорости распространения звука в этих средах Cm, m=0,.. .,М; толщина каждого слоя dm, m=1,...,N. Через массовую плотность и скорость определяются акустические импедансы всех сред: Zm = PmCm, m=0,...,M Через скорость звука определим волновые числа: кт =о/cm , m=0,...,M При этом рм =Р0, см = C0, Zm = Z0, км = ¿0.

Волновое уравнение в любой из областей для гармонического по времени процесса является уравнением Гельмгольца [3], которое в данной одномерной задаче сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для акустического давления:

2 2 Ю

Ap + k p = 0 , ^ p"(x) + k p(x) = 0 , k = — .

c

В левом полупространстве волновое поле состоит из падающей и отраженной волн: p0(x) = exp(ik0x) + Rexp(_ik0x), x< 0, а в правом - только из волны, прошедшей через все

слои: pM (x) = Texp[ik0(x _ H)], x > H, где H = Ndm - полная толщина всей изолирующей

m=1

конструкции. Амплитуда давления в падающей волне принимается равной единице, а коэффициенты отражения R и прохождения T - некоторые неизвестные постоянные.

Пусть левая и правая границы m-го слоя имеют координаты x = xm-1 и x = xm, m = 1,...,N . При этом x0 = 0 и xN = xM_i = H. Тогда структура решения внутри m-го слоя может быть представлена в виде pm (x) = Am cos[km (x _ xm-1 )] + Bm cos[km (x _ xm )], xm-1 < x < xm, где Am и Bm - неизвестные постоянные.

Неизвестные константы должны быть найдены из граничных условий, которые в рассматриваемой задаче означают непрерывность давления и нормальной (т.е. горизонтальной) компоненты скорости. Используя связь между вектором скорости и градиентом давления ( v = [1/(ip®)]grad p ), последнее условие легко переводится в условие на производные от давлений на границах слоев [3]. В результате приходим к следующим соотношениям: x = 0: p0 = p1, ~ 1 + R = A1 + B1cos(k1d1) ,

1 Ф0 1 Ф1 '(1 _ R) B1

x = 0:--r^ =--r1 = gu ~ —=-= ^sin(kA) = gl, (1)

p0 dx p1 dx Z 0 Z1

x = xm_1 : pm_1 = pm Am_1COs(km_1^m_1) + Bm_1 = Am + Bm COs(km^m), m = 2,...,M _ ^ x = x , : 1 dpm_1 =±_d_pm_ = g ~ (2)

Л xm_1 ■ ~ ~ 6m> v'"/

Pm_1 dx Pm dx

1m _1

b

sin(km_1dm_1) = sin(kmdm ) = g m, m = 2,..., M _ 1.

гу V т — 1 {т-Ь у

^т—1 ^т

х = ХМ—1 : Рм—1 = Рм , ~ Т = Ам—1 СОЭ^м—!) + Вм—! ,

х = Хм—1: 1 дрдХ-1 = —% = ём, ~ — ^ ^м—А—1) = = ём, (3)

рм—1 дх рм СХ Zм—1 2м

где введены неизвестные величины ёт, т=0,...,М, определенные на границах слоев. При этом

коэффициент отражения Я и коэффициент прохождения Т устанавливаются из соотношений (1)

и (3) в виде

Я =1 +1 2о ёь Т = — 1 2м ём • (4)

Выражая все неизвестные коэффициенты Ат,Вт , т=1,...,М-1, в соотношениях (1)-(3) через коэффициенты ёт , т=1,...,М, и вводя вместо последних новые неизвестные величины От = 2тёт, т=1,...,М, приходим к СЛАУ трехдиагонального вида размерностью м для нахождения коэффициентов От, т=1,.,М:

( Z \ с1 _ i Z0

1 Z1

G1 _ A Gl = 2, Z 2 S1

G,

f Z >

m_1 +

Sm_1

m_1

C + C

Zm Gm+1

GM _1 + SM _1

Z

V m y

A

Gm = 0, m = 2,...,M _ 1, (5)

ZS

m+1 m

ZM _1 r ~Z CM _1 _ '

V Z0 У

Gm = 0.

ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2024. No. 2

Поскольку M = N +1, то размерность СЛАУ (5) на единицу больше числа слоев N в рассматриваемой многослойной изолирующей конструкции. Здесь обозначено Sm = sin(kmdm ), Cm = ctg(k mdm ). При этом коэффициенты отражения R и прохождения T в (4) принимают вид

R = 1 + i ^G,,

Z 1

T = - i G

M

(6)

В задаче звукоизоляции основной интерес представляет коэффициент прохождения Т . По формуле (6) он выражается через последний из неизвестных коэффициентов Ом , который, в свою очередь, находится из СЛАУ (5). Для современных компьютеров трёхдиагональная СЛАУ (5) не представляет трудностей практически при любой размерности системы, так как быстрый метод простой прогонки дает ее устойчивое решение [9]. В то же время при возрастании числа слоев количество физических и геометрических параметров задачи резко возрастает, что затрудняет оптимизационный анализ коэффициента прохождения при его минимизации. В связи с этим желательно получить явное выражение для этого коэффициента. Авторам неизвестны публикации, в которых такое решение было бы построено.

Явное выражение для коэффициента прохождения

По правилу Крамера [10] Ом = Дм / А, где А - главный определитель СЛАУ (5); Дм -определитель, который получается из главного, если в нем последний столбец заменить на вектор свободных членов. Поскольку у вектора свободных членов отличен от нуля лишь первый элемент, то имеем

2 N

Am =—, пS =ПSm .

П с

(7)

т=1

В дальнейшем ограничимся случаем нечетного числа слоев N (четное М). Формулу для главного определителя А можно получить из частных случаев. Для трех слоев ^ = 3, М = 4) имеем

A

(

с1с2с3

z 0 + j^l Zi Zc\

Л

+ i

Zi Z3

■ + 3

Ч~1

Л

1

(

1

С

Z0 + Z 2

л

ч z 2

ZH

1

(

С

2

Z 0 + Z3

\

ч z3

Z

J_ С

^ Z 0Z 2 + Z1Z3 ^

Z1Z3 Z 0 Z

02

1

С1С2С3

Ч Z 3

Z

1 У

С1С3

■ + i

^ Z1 + Z 2 ^

Ч Z 2

Z

1 У

С1С2

+i

^ Z 2 + ^

-2 У

Ч Z 3

С2С3

■-2i,

что может быть переписано в виде

A

П

С

3

- = -Z j=1

4 + Zj

ч Zj

Z

3 3 +i Z z

.1 =1 j'2 = .1 +1

(

J_ С

- +

Z 0Z 2 + Z1Z 3

Ч Z1Z3

Z 0Z 2 y

П

- +

(8)

(9)

j1 + j2

Zj

Ч j2

^ У

С j1 С j2

■- 2i,

П с = П С

m=1

Для классического случая одного слоя (N = 1, M = 2) [3], где

A = -

ч z1

- + -

Zi

Л

- 2i C

(10)

(10) также можно переписать в виде (9). При этом последний член в первой строке формулы (9) выпадает, поскольку в случае одного слоя отсутствуют все импедансы, начиная с Z2 . Кроме то-

го, Пс принимает вид П с = П Ст = С1. В итоге по аналогии с (9) имеем для случая одного слоя

m=1

A

(

- = -z j=1

Z0+Zj

Ч Zi

ч j

0

^+i Z

С

1

z

J\ =1 j2 = J\ +1

Zj1 + Zj2 Zi Z.

Ч J2 J\ y

С j1 С j2

- 2i .

(11)

Поскольку во второй сумме в (11) в суммировании по]2 верхний предел всегда меньше нижнего, то в ней нет ни одного члена, и вся сумма выпадает. В итоге выражение (11) приводится к виду

+

+

1

1

1

1

1

0

0

1

С

J=1

f ZsL + Zj

v ZJ Z

\

0

-i- - 2i,

СJ '

(12)

что эквивалентно выражению (10), хорошо известному в литературе.

Для пяти слоев (где N = 5, М = 6) имеет место представление, обобщающее формулу (9):

П

С

j=1

Zo+Zj

zj Zo

± + I

/

С

5

I

5

f Z0ZJ2 + ZJl ZJ3 Л

j Jl =1 J 2 = j +1 j = J 2 +1

ZJ1ZJ3

Z0ZJ2

1

/

С С С

J1 J2 J3

(13)

fZ0Z2Z4 + Z1Z3Z5 ^

v Z1Z 3 Z 5

Z 0 Z 2 Z 4

1

П

- + i

5

I

5

I

f

С

j =1 j = j +1

Zj1 + Zj2

Zt Z

v j2

J1

С1 С J2

5 5 5 5

- i II I I

j=1 J2 = j +1 j = J2 +1 J4 = J3 +1

Zj1 Zj3 + Zj2 Zj4

V Zj2 Zj4

Zj1 Zj3 у

1

С С С С

J1 J2 J3 J4

- 2i, Пс = П С„

m=1

что может быть переписано в виде

П

5

- = -I

J=1

Z„ Z1

v Zj

v J

■ + -

Z

1 5

I

С

5

I

5

I

f Z0ZJ2 + ZJ1 ZJ3 ^

J1=1 J2=J1 +1 J3=J2+1 (

-I I I I I

j1=i j2 = j1+1 j3 = j2 +1 j4 = j3+1 j5 = J4 +1

Z0Z Z.

0 j2 j4

Z Z Z

V j1 J3 J5

V Zj1 Zj3

Л

Z0ZJ2

С С С

J1 J2 J3

(14)

ZiZiZi

л Уэ У5

Z0Z.Z.

0 .2 .4 У

С С С.С C.

j1 j2 j3 j4 j5

+i II

j =1 j2 = .1 +1

V j2

1

j1

С J С

J1 J2

5 5 5 5

- i II I I

J1=1 J2=J1 +1 j=J2 +1 j=j +1

ZJ1 ZJ3 + ZJ2 ZJ4

V Zj2 Zj4

Zj1 Zj3 У

С С С С

J1 J2 J3 J4

- 2i, Пс = П Cm

m=1

поскольку здесь в пятикратной сумме второй строки присутствует лишь один член при у = 1, ]2 = 2, уз = 3,у = 4,75 =5, совпадающий с первым членом во второй строке формулы (13).

Опишем общую закономерность в (9), (14). Это позволит выписать формулу для главного определителя СЛАУ (5) в явном виде при произвольном количестве слоев. Выражения (9), (14) имеют как вещественную, так и мнимую части. Они представляют собой набор кратных сумм, в которых верхние пределы равны числу слоев N в рассматриваемой многослойной среде.

В вещественной части идут по нарастающей кратности многократные суммы нечетного порядка, т.е. одинарная, трехкратная, пятикратная суммы и т.д. Аналогично в мнимой части идут по нарастающей кратности многократные суммы четного порядка, т.е. двукратная сумма, четырехкратная и т.д. При этом знаки перед многократными суммами чередуются как в вещественной, так и в мнимой частях.

Все суммы вещественной части непременно содержат импеданс воздуха Zo, а все суммы мнимой части его не содержат. Другими словами, вклад импеданса внешнего воздушного пространства содержится лишь в вещественной части детерминанта, а в мнимой части имеем лишь вклад импедансов внутренних слоев многослойной структуры.

Любая многократная сумма применяется к выражениям, которые представляют собой круглую скобку, деленную на произведение величин вида Су. При этом кратность произведения

величин Су совпадает с кратностью соответствующей суммы и проходит по тем же индексам у,

что и само суммирование.

Каждая круглая скобка, которая присутствует под знаком многократных сумм, представляет собой сумму двух дробей, вторая из которых является перевернутой первой. В свою очередь, первая дробь определяется в зависимости от того, входит ли она в вещественную или в мнимую часть главного определителя. В первом случае (вещественная часть определителя) в числителе стоит множитель Zo, который умножается на все четные импедансы, стоящие в данной многократной сумме, а в знаменателе - произведение всех нечетных импедансов. Для сумм из мнимой части определителя в числителе стоит произведение нечетных импедансов по всем индексам данной суммы, а в знаменателе - произведение импедансов по всем четным индексам данной суммы.

1

1

1

ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2

Данная закономерность позволяет обобщить выражения (9), (14) на случай произвольного

N

числа слоев. Для этого введем следующие обозначения: o 2 - сумма по всем нечетным индек-

t=\

сам I - от нечетного значения 1 до нечетного значения N (о - первая буква от слова odd - «не-

N-\

четный»). Символ e 2 будет обозначать сумму по всем четным значениям индекса I - от чет-

1=2

ного значения 2 до четного значения N — \ (e - первая буква от слова even - «четный»). Анало-

N N—\

гичные обозначения введем для произведений - соответственно o П и e П . При этом индек-

q=\ q=2

сы, обозначающие суммирование или произведение, могут быть другими, как другими могут быть нижний и верхний пределы, но буква «о» перед знаком суммы или произведения всегда обозначает только нечетные значения индекса, а буква «е» - только четные.

С учетом принятых обозначений значение главного детерминанта СЛАУ (5) для произвольного нечетного числа слоев N может быть выписано в виде

А N „.„ N N N N Г/■ +1/Г1

А = o2(—\р\)/2 2 2 - 2 2 Do,+ Го —

П С ^=1 h =1 h=h +1 it-1=ii-г+1 it=it-i +1

П Cj

m=1

N-1 ... N N N N D£ +1/D

- i • e 2 (-1)*/2 2 2 - 2 2 - 2i, (15)

t = 2 j= i2 = j +1 it-1 = it-2 +1 it = it-1 +1 n C ■

J m

m=1

( t-1 >

z,

e П Z

где Б'0 - 4 Г2 у , В'г -, Пс -ПСт .

о П ^ 1 г П 2ч т-1

, ■'Я п ■'Я

4-1 ч-2

При использовании формул (15) следует иметь в виду, что если в какой-нибудь сумме верхний предел меньше нижнего, то эта сумма равна нулю. Если в каком-то произведении верхний предел меньше нижнего, то это произведение равно единице.

Таким образом, главный определитель СЛАУ (5) находится по явным формулам (15). Тогда последняя компонента вектора неизвестных в этой СЛАУ, величина Ом , вычисляется как отношение частного определителя Дм (7) к главному определителю А (15). После этого коэффициент прохождения Т может быть найден по (6).

Формулы для вариантов N = 1 ((10)-(12)), N = 3 ((8), (9)), N = 5 ((13), (14)) получаются из (15) как частные случаи. Прямые численные расчеты для СЛАУ (5) показывают, что во всех частных случаях результаты, полученные по аналитической формуле (15) и численным методом, совпадают с точностью в 10 значащих цифр при оперировании с арифметикой двойной точности. Очевидно, что отклонение численного решения от аналитического связано только с погрешностью вычислений с плавающей точкой. Для строгого обоснования верности аналитического представления (15) следует применить метод математической индукции, что ввиду сложности выражений не является простой задачей.

Примеры звукоизоляции многослойными конструкциями

Как отмечено во введении, стандартные методы [8, 11, 12] не могут обеспечить уровень снижения шума на низких частотах басов более чем на 30 дБ, хотя актуальным является снижение шума на величину порядка 100 дБ.

Рассмотрим практический пример звукоизоляции многослойной конструкцией для достижения указанных целей. Расчеты основаны на явных аналитических выражениях для коэффициента прохождения Т, полученных в предыдущем разделе. Пересчет абсолютных выражений в децибелы осуществляется по известной формуле и выражается через десятичный логарифм:

IТ |, дБ - 201д(|Т|). (16)

t-1

° П Zj

q=1 h N

Например, если при амплитуде падающей волны, которая принята равной единице, коэффициент прохождения |T| остается единичным, то никакого выигрыша в децибелах нет, т.е. в этом случае | T |, дБ = 20lg(1) = 0 дБ . Например, подавление уровня звука на 60 дБ соответствует величине в формуле (16), равной | T |, дБ = -60 дБ . При этом абсолютное значение коэффициента

_3

прохождения равно одной тысячной: | T |, дБ = 20lg(10 ) = -60 дБ и т.д.

Представим, что для звукоизоляции на сверхнизких басах решено построить стену толщиной в 1,5 стандартного кирпича, т.е. в этом случае многослойная конструкция фактически состоит из одного слоя (N = 1, M = 2) и ее толщина равна примерно di = H = 1,5 х 24 см = 36 см.

3

При этом акустические параметры задачи: воздух - pM = р0 = 1,2 кг/м ; cM = c0 = 340 м/с ;

ZM = Z0 = p0c0 ; kM = k0 = с / c0 = 2nf / c0 ; кирпич - p1 = 1800 кг/м ; c1 = 4000 м/с ; Z1 = p1c1 ; k1 = с/ c1 = 2nf / c1. Изменение уровня прошедшего звукового сигнала по частоте для этого случая представлено на рис. 2 чёрной линией. При этом циклическая частота f Гц, связана с круговой частотой со, 1/с, соотношением со = ÏJtf.

Рис. 2. Зависимость модуля коэффициента прохождения от частоты: N1 - N=1; N3 - N=3; N5 - N=5;

N7 - N=7; N9 - N=9 / Fig. 2. Dependence of the transmission coefficient versus frequency:

N1 - N=1; N3 - N=3; N5 - N=5; N7 - N=7; N9 - N=9

Если рассматривать интервал низких частот в диапазоне 30-200 Гц, то среднее значение для кривой N = 1 на рис. 2 примерно 47 дБ, что совершенно недостаточно для целей звукоизоляции. Тем более будет недостаточным еще меньший уровень шумоподавления на сверхнизких частотах 30-100 Гц.

Теперь, сохраняя общую толщину H = 36 см, возьмем трехслойную конструкцию (N = 3, M = 4), в которой внешние слои с номерами 1 и 3 останутся кирпичными толщиной d1 = d3 = 12 cм (полкирпича), а внутренний слой с такой же толщиной d 2 = 12 cм оставим воздушным. Этому случаю на рис. 2 соответствует красная кривая N = 3. Здесь, начиная с частоты примерно 25 Гц, звукоизоляция заметно лучше, чем в однослойной конструкции. Средний уровень звукоизоляции в интервале 30-200 Гц составляет 70 дБ, что заметно лучше однослойного случая. И даже на сверхнизких частотах 30-100 Гц этот средний уровень - порядка 60 дБ.

Сохраняя слои с нечетными номерами из материала с тем же импедансом, что и кирпич, а четные слои - воздушными, при этом все слои равной толщины dm = d = H/N , m=1,...,N, с примерно одной и той же общей толщиной H, будем увеличивать общее число слоев N. Результаты расчетов отражены на рис. 2, где синий цвет соответствует пяти слоям толщиной по 7 см каждый (общая толщина конструкции H = 35 см), оранжевый - семи слоям толщиной 5 см каж-

дый (общая толщина конструкции H = 35 см) и зеленый - девяти слоям толщиной 4 см каждый (общая толщина конструкции H = 36 см).

Из рис. 2 видно, что выбор оптимального числа слоев зависит от того, в каком частотном диапазоне требуется максимальное звукопоглощение. Например, если рабочим интервалом является частотный диапазон 100-200 Гц, то лучшим выбором здесь будет 9 слоев (среднее звукопоглощение порядка 125 дБ). На отрезке 60-120 Гц наиболее предпочтительно взять N = 5 (со средним звукопоглощением 85 дБ). А N = 3 будет наилучшим, например, на интервале 30100 Гц (среднее звукопоглощение 60 дБ), а также 30-200 Гц (среднее звукопоглощение 70 дБ).

Заключение

По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Построено явное аналитическое представление для коэффициента прохождения (коэффициент прозрачности) в задаче о звукоизоляции с помощью многослойных конструкций при одномерном нормальном прохождении плоской волны и произвольном числе слоев. Заметим, что мы работаем со скалярными акустическим полями, в то время как в рассмотренных примерах некоторые слои на самом деле являются твердыми упругими материалами. Однако хорошо известно [3], что при одномерном нормальном прохождении через многослойные конструкции сохраняются соотношения скалярной акустики, если в упругом материале при вычислении соответствующего импеданса в качестве скорости звука брать скорость продольной волны.

2. Приведенные примеры показывают, что уровень шумоподавления с помощью таких конструкций заметно выше, чем в однослойных, что, в принципе, известно и описано в литературе. В данной работе этот вывод подтверждается для произвольного числа слоев, что обобщает известные результаты. Один из практических выводов состоит в том, что лучшим решением для целей звукоизоляции является чередование твердых (с максимально возможным импедансом) и воздушных (как обладающих наименьшим импедансом) слоев. Общая идея такого подхода также известна в литературе. Однако вместо воздушных слоев на практике рекомендуют засыпать сухой сыпучий материал (типа сухого песка). Считается, что за счет внутреннего трения проскальзывания между микрочастицами подобная конструкция должна обладать более высоким вязким звукопоглощением, что на самом деле справедливо в области более высоких частот, но на низких басах не подтверждается ни конкретными расчетами, ни экспериментальными измерениями.

3. Главный вывод состоит в том, что воздушные слои между слоями с высоким импедансом работают намного лучше, чем слои с внутренним вязким или пористым заполнителем - звуко-поглотителем, так как последние, как правило, имеют высокий импеданс, что нивелирует преимущества многослойной геометрии. Косвенно это подтверждается тем, что индекс звукопоглощения строительных материалов, используемых сегодня на практике, заметно ниже, чем возможности описанной в данной работе многослойной конструкции с воздушными заполнителями. При этом оптимальное число слоев в низкочастотной области зависит от того, на каком конкретно частотном интервале необходима максимальная звукоизоляция.

Список источников

1. Beranek L.L. Acoustical properties of homogeneous, isotropic rigid tiles and flexible blankets // J. of the Acoustical Society of America. 1947. Vol. 19. P. 556-568.

2. Beranek L.L., Work G.A. Sound transmission through multiple structures containing flexible blankets // J. of the Acoustical Society of America. 1949. Vol. 21. P. 419-428.

3. БреховскихЛ.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

4. Попов П.А., Осипов А.С., Синдюков А.А. Расчет звукоизоляции многослойной конструкции на основе метода «обратной матрицы» // Вестн. Самарского гос. аэрокосм. ун-та. 2014. № 3 (45). C. 53-60.

5. Антонец И.В., Щеглов В.И. Распространение волн через многослойные структуры. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та. Ч. 1: Прямой метод. 2011. 134 с.; Ч. 2: Метод матрицы. 2012. 122 с.; Ч. 3: Метод импеданса. 2012. 138 с.; Ч. 4: Специфические методы. 2013. 120 с.; Ч. 5: Алгоритмические методы. 2014. 120 с.; Ч. 6: Метод исключения. 2015. 106 с.

6. Нъюэлл Ф. Звукозапись: Акустика помещений. М.: Шоу-Мастер, 2004. 182 с.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2

7. Gliebe P.R., Brausch J.F., Majjigi R.K., Lee R. Jet Noise Suppression // Aeroacoustics of Flight Vehicles. Theory and Practice. Vol. 2: Noise Control. Ed. H.H. Hubbard. New York: ASA Publ., 1995. P. 207-269.

8. СНиП 23-03-2003. Защита от шума. М.: Министерство регионального развития РФ, 2011. 46 с.

9. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. 1235 p.

10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 432 с.

11. Vigran E. Building Acoustics. Abingdon, Oxon: Taylor & Francis, 2008. 362 p.

12. Rindel J.H. Sound Insulation in Buildings. Boca Raton, Florida: CRC Press, 2020. 476 p.

References

1. Beranek L.L. Acoustical properties of homogeneous, isotropic rigid tiles and flexible blankets. J. of the Acoustical Society of America. 1947;19:556-568.

2. Beranek L.L., Work G.A. Sound transmission through multiple structures containing flexible blankets. J. of the Acoustical Society of America. 1949;21:419-428.

3. Brekhovskikh L.M. Waves in layered environments. Moscow: Nauka Publ.; 1973. 344 p. (In Russ.).

4. Popov P.A., Osipov A.C., Sindyukov A.A. Calculation of sound isolation of a multilayered construction on the basis of "inverse matrix" method. Vestn. Samarskogo gos. aerokosm. un-ta = Bulletin of Samara State Aerospace University. 2014;(3):53-60. (In Russ.).

5. Antonets I.V., Scheglov V.I. Wave Propagation through Multilayered Structures. Syktyvkar: Syktyvkar University Press. Part 1: Direct method. 2011. 134 p. Part 2: Matrix method. 2012. 122 p. Part 3: Impedance method. 2012. 138 p. Part 4: Specific methods. 2013. 120 p. Part 5: Algorithmic methods. 2014. 120 p. Part 6: Method of exclusion. 2015. 106 p. (In Russ.).

6. Newell F. Recording: Acoustics of the Rooms. Moscow: Shou-Master Publ.; 2004. 182 p. (In Russ.).

7. Gliebe P.R., Brausch J.F., Majjigi R.K., Lee R. Jet Noise Suppression. Aeroacoustics of Flight Vehicles. Theory and Practice. Vol. 2: Noise Control. Ed. H.H. Hubbard. New York: ASA Publ.; 1995:207-269.

8. Building Regulations 23-03-2003. Noise Protection. Moscow: Ministry of Regional Development Press; 2011. 46 p. (In Russ.).

9. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed. Cambridge: Cambridge University Press; 2007. 1235 p.

10. Kurosh A.G. Course of higher algebra. Moscow: Nauka Publ.; 1968. 432 p. (In Russ.).

11. Vigran E. Building Acoustics. Abingdon, Oxon: Taylor & Francis Publ.; 2008. 362 p.

12. Rindel J.H. Sound Insulation in Buildings. Boca Raton, Florida: CRC Press; 2020. 476 p.

Информация об авторах

М.А. Сумбатян - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Во-ровича.

М.В. Черникова - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the authors

M.A. Sumbatyan - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Department of the Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science. M. V. Chernikova - Postgraduate Student, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 26.02.2024; одобрена после рецензирования 15.03.2024; принята к публикации 24.05.2024. The article was submitted 26.02.2024; approved after reviewing 15.03.2024; accepted for publication 24.05.2024.